3. O sistema Terra-Lua

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O Problema de Dois Corpos:

Aplicac~oes Pouco Discutidas nos Cursos de Mec^anica

Ro drigo Dias Tarsia

Observatorio Astron^omico

Departamento de Fsica, ICEx - UFMG Caixa Postal 702, 30161 - 970 - Belo Horizonte Trabalho recebido em 29 de marco de 1997

Neste artigo discute-se o problema de dois corpos perturbado pela presenca de uma terceira partcula, supondo existir a interac~ao gravitacional mutua entre elas. O formalismo matematico simples e aplicado numa discuss~ao semiquantitativa de alguns casos tais como estabilidade de satelites e mares oce^anicas.

1. Introduc~ao

O problema de dois corpos tem importância funda- mental em Fsica, sendo estudado em todos os textos de Mecânica. Entretanto ele e sempre tratado com as duas partculas isoladas do resto do Universo, hipotese usada para colocar em evidência as caractersticas prin- cipais do movimento. O caso geral e aquele em que cada uma das partculas sofre ac~ao de uma forca resultante externa ao sistema. Dependendo desta forca o problema pode se tornar complicado, passando a ser didaticamente desinteressante. Neste artigo apresenta- mos algumas aplicac~oes do caso geral, supondo existir a interac~ao gravitacional mutua entre as partculas e entre elas e uma terceira. O formalismo matematico e simples e aplicavel a casos pouco discutidos nos livros de Mecânica, mas que enriquecem o estudo do problema.

2. O problema geral

Sejam tr^es partculas de massas m¹, m²e m³, inter- agindo gravitacionalmente. Estamos interessados em descrever o movimento de m²em relac~ao a m¹, na presenca de m³. As equac~oes de movimento de m¹ e m² em relac~ao a um referencial inercial com origem em um ponto O do espaco s~ao:

m¹~r¹= ~F²¹⁽ⁱ⁾+ ~F³¹⁽^e⁾ (1) m²~r²= ~F¹²⁽ⁱ⁾+ ~F³²⁽^e⁾ (2)

em que osndices (i) e (e) s~ao usados para reforcar o que s~ao consideradas forcas internas e externas ao problema de dois corpos.

Seja agora a mudanca de coordenadas:

~R = m¹~r¹+ m²~r² m¹+ m²

~r²¹= ~r²^,~r¹ e as transformac~oes inversas:

~r¹= ~R^, m² m¹+ m²~r²¹

~r²= ~R + mm¹+ m¹ ²~r²¹

em que ~R e o vetor-posic~ao do centro de massa do sistema (m¹;m²) em relac~ao a O e ~r²¹, o vetor-posic~ao de m² em relac~ao a m¹.

Com essas express~oes e com a terceira lei de New- ton, ~F²¹⁽ⁱ⁾ = ^,~F¹²⁽ⁱ⁾, as equac~oes (1) e (2) podem ser transformadas em:

(m¹+ m²)~R = ~F³¹⁽^e⁾+ ~F³²⁽^e⁾ (3)

~r²¹= ~F¹²⁽ⁱ⁾+ ~F³²⁽^e⁾ m² ^, ~F³¹⁽^e⁾

m¹

!

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com = m¹m²

m¹+ m²

A primeira equac~ao descreve o movimento do centro de massa do sistema (m¹;m²) em relac~ao a O; a segunda, o movimento de uma partcula de massa re- duzida em relac~ao a m¹. Assim, o movimento da

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partcula m², visto por m¹, e o mesmo que se m¹ fosse xa e m² tivesse massa .

Se as forcas que atuam sobre as partculas s~ao de origem gravitacional, a equac~ao acima ca escrita:

~r²¹=^,G(m¹+ m²)

r²²¹ ^u²¹+ Gm³

^u³² r³²² ^,^u³¹

r²³¹

(5) em que ^ujk e o vetor unitario na direc~ao e sentido de

~rjk. Esta equac~ao nos da a acelerac~ao de m²em relac~ao a m¹. O primeiro termo e o do movimento kepleriano (descrito pelas leis de Kepler) de m² em relac~ao a m¹. O segundo termo, que chamaremos de acelerac~ao diferencial, representa a inu^encia de m³sobre o movimento relativo de m². Ele e a diferenca entre as acelerac~oes de m² e m¹, sob a ac~ao de m³. Normalmente n~ao con- siderado nos livros, e o responsavel pelas aplicac~oes a serem discutidas a seguir. Notemos que os casos de nosso interesse s~ao aqueles em que a acelerac~ao diferencial e pequena em relac~ao a kepleriana; caso contrario, o problema passa a ser de tr^es corpos.

3. O sistema Terra-Lua

A Lua descreve uma orbita kepleriana elptica em torno da Terra, cuja excentricidade e 0,055. O perodo do movimento e de 27,32 dias; a distância media da Lua a Terra e de cerca de 384000 km. O plano da orbita lunar faz um ângulo de 5,1 graus com o da orbita da Terra em torno do Sol (a Eclptica). Tanto o Sol como os outros planetas inuenciam no movimento da Lua em relac~ao a Terra atraves do termo n~ao kepleriano da equac~ao (5), mas o Sol, por sua massa, e o que tem maior importância. Calculemos ent~ao a acelerac~ao diferencial para o caso de m³ ser o Sol. De- sprezando a inclinac~ao do plano orbital da Lua em relac~ao a Eclptica, podemos ver que o valor maximo deste termo ocorre com a Lua, a Terra e o Sol alinhados, quando û³²=û³¹. Nesse caso, r³¹= r = 1;496 10¹¹ m (distância media Terra-Sol), r²¹= d = 3;84 10⁸ m e r³²= rd. Ent~ao:

ad= GM(rd)^S² ^,GMS

r² ^' 2GMSd r³

pois d << r. Portanto, a inu^encia do Sol e inver- samente proporcional ao cubo da sua dist^ancia a Lua.

Assim a acelerac~ao diferencial (ad) pode ser consider- ada como o efeito de uma perturbac~ao ao movimento kepleriano puro. O valor desta acelerac~ao, em relac~ao

a produzida pela atrac~ao gravitacional da Terra sobre a Lua (ag) e dado por:

ad

ag = 2MS

(MT + ML)

d r

3=^'0;01

com ML=MT = 0;0123, MS = 1;99 10³⁰ kg e MT = 5;98 10²⁴kg.

Apesar de pequeno, este termo e facilmente men- suravel. Ent~ao, quando os tr^es corpos est~ao alinhados, o Sol tende a afastar a Lua da Terra e quando a direc~ao Terra-Lua faz um ^angulo reto com a direc~ao Terra-Sol, o efeito e o de aproximar a Lua da Terra. Em qualquer caso, o Sol modica a forma da orbita lunar em torno da Terra.

4. Limite de estabilidade

Um outro efeito da presenca da acelerac~ao diferencial e o fato de que passa a existir um limite para a estabilidade do movimento de m² em relac~ao a m¹, na presenca de m³. Com efeito, se d e a dist^ancia entre m¹ e m² e r a entre m³ e m¹, a acelerac~ao diferencial maxima de m², devida a presenca de m³e:

ad= Gm(r^,d)³²^,Gm³ r²

Quando esta acelerac~ao se iguala a kepleriana, temos:

r³(2d^,r) = m¹+ m²

m³ (d^,r)²d²

Esta equac~ao da a maior dist^ancia d a que m² pode car de m¹ de modo que ainda permaneca gravitando em torno de m¹. Quando m²<< m¹ e m¹<< m³, ela se reduz a:

d =

m¹ 2m³

1=³

r

No caso do sistema Terra-Lua com a presenca do Sol, r = 1;7 10⁹ m, valor que e 4,8 vezes a dist^ancia Terra - Lua. Logo a Lua e estavel em sua orbita em torno da Terra.

5. Mares oce^anicas

O mesmo formalismo pode ser aplicado para se ter uma explicac~ao simples sobre as mares oce^anicas. As forcas de mare ocorrem toda vez que um corpo de dimens~ao nita se acelera como um todo sob ac~ao de uma forca que varia ao longo da dimens~ao deste corpo. De- vido ao fato da Terra n~ao ser innitamente pequena

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em relac~ao as suas dist^ancias ao Sol e a Lua, as forcas de atrac~ao gravitacional desses corpos sobre os varios pontos da Terra n~ao s~ao iguais, resultando numa forca perturbadora que e func~ao da direc~ao e da dist^ancia entre esses pontos e o corpo perturbador.

Suponhamos a Terra solida e esferica, inteiramente coberta por uma camada de agua. A acelerac~ao de uma partcula de agua, devido a atrac~ao gravitacional da Terra e

g⁰= GMR²

em que M e R s~ao a massa e o raio da Terra. Com a presenca da Lua, a acelerac~ao diferencial desta partcula de agua, sera:

ad= Gmr² ^ur^,Gm a² ^ua

em que m e a massa da Lua, e a, a distância Terra-Lua r a distância partcula - Lua. De acordo com a posic~ao da partcula de agua, r muda de valor e ûr; de direc~ao.

O Ap^endice contem uma deduc~ao simples para a acelerac~ao diferencial; por enquanto vamos procurar fazer a discuss~ao de modo mais intuitivo para que os efeitos fsicos quem mais claros. A Figura 1 mostra a Terra, a Lua e quatro pontos (A,B,C,D) do oceano.

No ponto A, a acelerac~ao diferencial vale a_d= w_a+ w_t= Gm(a^,R)²^,Gm

a² ^' 2GmR a³

Como w_a e maior que w_t, a_d tem sentido voltado para a Lua a acelerac~ao total da partcula em A

~a = ~g⁰+~ad

passa a ser menor que g⁰. No ponto B, teremos:

ad= wb+ wt= Gm(a + R)² ^,Gm

a² ^'2GmR a³

e, como agora w_te maior que w_b, a acelerac~ao diferencial esta dirigida para fora da Terra. Assim, da mesma forma que em A, a acelerac~ao total em B e menor que go.

Nos pontos C e D, as acelerac~oes wce wd fazem um

^angulo obtuso com w_t. Elas podem ser decompostas em duas componentes, uma paralela e oposta a wt e outra, perpendicular a esta, voltada para o centro da Terra. Dessa forma, em C e D, a acelerac~ao resultante torna-se maior que g⁰. Entre C e D, no trecho CAD, a acelerac~ao resultante esta dirigida para A e no trecho CBD, ela esta dirigida para B. O efeito total e ent~ao do oceano se precipitar, em uma metade da Terra, no sentido do ponto A, onde a Lua esta no z^enite, e na outra metade, para o ponto B, onde ela se encontra no nadir.

O involucro do oceano torna-se um elipsoide com o eixo maior apontado para a Lua. Proximo a A e B ocorrera a mare alta e em C e D, a mare baixa.

Com a rotac~ao da Terra, os pontos de mare alta e baixa se deslocam sobre a superfcie de nosso planeta.

Por isso, no intervalo de tempo entre duas passagens su- cessivas da Lua pelo meridiano de um local (em media, igual a 24 horas e 52 minutos), os pontos de mare alta d~ao uma volta em torno da Terra e, durante este intervalo de tempo, havera duas mares altas e duas baixas.

As mares produzidas pelo Sol s~ao semelhantes as da Lua, mas como a raz~ao entre as acelerac~oes devidas a Lua e ao Sol e:

Mm

RS

RL

3

'2;2

a forca da mare solar e 2,2 vezes mais fraca que a da lunar.

Durante as luas Nova e Cheia, os uxos de mare solar e lunar comecam simult^aneamente e observa-se a mare alta maxima; nos quartos Crescente e Minguante da Lua, nos momentos da mare alta lunar tem lugar a mare baixa solar e observa-se a mare mnima. Deve-se notar que, na realidade o fen^omeno das mares e mais complicado que o esquema simples apresentado acima;

provavelmente o efeito mais importante n~ao discutido, e o de que os oceanos est~ao sujeitos a oscilac~oes natu- rais. Alem disso, a Terra n~ao esta coberta totalmente

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pelas aguas; a onda de mare encontra formas de litoral diferentes e complexas, bem como fundos de mar diferentes. Isso produz atrito e em consequ^encia, o maximo de mare em um ponto da Terra, n~ao coincide com o momento de culminac~ao da Lua neste ponto, podendo haver atrasos de ate 6 horas. Da mesma forma, a altura da mare n~ao e a mesma em todos os lugares.

6. Limite de Roche

Em 1880, Edouard Roche mostrou que se um satelite se aproximar de um planeta alem de uma dist^ancia mnima, forcas de mare podem destru-lo.

Embora a determinac~ao rigorosa desta dist^ancia seja complicada, o formalismo descrito e aplicado acima pode ser usado para termos uma boa aproximac~ao.

Seja um satelite de massa m e raio r, orbitando em torno de um planeta de massa M >> m, a uma dist^ancia d. A acelerac~ao gravitacional produzida pelo planeta sobre o satelite, e GM=d². A acelerac~ao diferencial que atua em um ponto da superfcie do satelite, sobre a linha que une os centros do planeta e do satelite, e dada por:

ad= GM(dr)² ^,GM

d² ^' 2Gmr d³ A acelerac~ao angular do centro do satelite e:

! =

GM

d³

1=²

e a acelerac~ao diferencial centrpeta entre a superfcie do satelite e seu centro e:

a¹= w²(dr)^,w²d = w²r = Gmrd³

Para que o satelite n~ao se fragmente e necessario que a combinac~ao a¹+ ad seja igual a acelerac~ao auto- gravitacional do satelite, Gm=r², o que da:

d =

3M m

1=³

r

A dist^ancia d e a menor dist^ancia que o satelite pode car do planeta sem ser destruido pelos efeitos de mare.

Em termos de densidades, d =

3M

m

1=³

R^'1;44

M

m

1=³

R

em que M e m s~ao as densidades volumetricas do planeta e do satelite e R, o raio do planeta.

Os calculos completos resultam em que, para corpos solidos ou gelo, de raio maior que 20 km, o coeciente numerico da equac~ao acima e 1,38; para um corpo caindo diretamente sobre um planeta, o coeciente e 1,19. Para o sistema Terra-Lua, d^'2;9 RT = 18500 km. Devemos notar que os satelites do sistema solar est~ao alem do limite de Roche; ja os aneis de Saturno, que se localizam entre 80000 Km e 136000 km do centro do planeta, o limite de Roche e 150000 km. O mesmo acontece com os aneis de Jupiter, Urano e Netuno.

Ap^endice

A Figura 2 mostra o ponto P do oceano sujeito a forca de atrac~ao gravitacional da Terra e da Lua.

A acelerac~ao de P, devido a atrac~ao gravitacional da Terra e:

g⁰= GMR²_T

A acelerac~ao diferencial a que esta sujeito P e

~ad= ~f^,~gL= Gmr² ^ur^,Gm R² ^ux

em que M e a massa da Terra e m, a da Lua.

Como r²= R²+ R²_T^,2RR_Tcos, o segundo termo da acelerac~ao diferencial ca:

~f =GM R²

^ur

1^,2(RT=R)cos + (RT=R)² Como tambem (R_T=R) << 1 a express~ao acima pode ser desenvolvida e, em primeira ordem em (RT=R), temos:

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~f =GM R²

f1 + 2(R_T=R)cos^g^u¹^g Tambem em primeira ordem,

sen ^'(RT=R)sen ; cos ^'1

Com isso, a express~ao da acelerac~ao diferencial do ponto P ca:

~ad=

GMRT

R³

(2cos ^ux^,sen ^uy) e a acelerac~ao total do ponto P e:

~ge= ~g⁰+~ad

A acelerac~ao diferencial e maxima para = 0, com direc~ao e sentido para Lua, havendo ent~ao uma diminuic~ao de ~ge no ponto sub-lunar (em que nosso satelite esta no z^enite). Quando = =2 (na direc~ao perpendicular a da Lua), a acelerac~ao diferencial e

mnima e aponta para o centro da Terra; a acelerac~ao total e maxima. Entre esses dois pontos, ~g_e n~ao tem a direc~ao do centro da Terra; como a agua n~ao su- porta forcas tangenciais, o envelope aquoso se distorce de modo tal que ~geseja normal a supercie da agua. A massa oce^anica tende ent~ao a se deslocar para as regi~oes da Terra situadas ao longo da reta que une os centros da Terra e da Lua, em ambos os lados da Terra.

Bibliograa

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