CAMPINAS
Instituto de Matemática, Estatística e
Computação Científica
JONATAN ANDRES GOMEZ PARADA
Série de Hilbert de módulos à direita não
comutativos
Campinas
2020
Série de Hilbert de módulos à direita não comutativos
Dissertação apresentada ao Instituto de Mate-mática, Estatística e Computação Científica da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Matemática.
Orientador: Plamen Emilov Kochloukov
Coorientador: Lucio Centrone
Este exemplar corresponde à versão
fi-nal da Dissertação defendida pelo aluno
Jonatan Andres Gomez Parada e
ori-entada pelo Prof. Dr. Plamen Emilov
Kochloukov.
Campinas
2020
Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467
Gomez Parada, Jonatan Andres,
G586s GomSérie de Hilbert de módulos à direita não comutativos / Jonatan Andres Gomez Parada. – Campinas, SP : [s.n.], 2020.
GomOrientador: Plamen Emilov Kochloukov. GomCoorientador: Lucio Centrone.
GomDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.
Gom1. Séries de Hilbert. 2. Bases de Gröbner. 3. Ideal regular. I. Kochloukov, Plamen Emilov, 1958-. II. Centrone, Lucio, 1983-. III. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. IV. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Hilbert series of noncommutative right modules Palavras-chave em inglês:
Hilbert series Gröbner bases Regular ideals
Área de concentração: Matemática Titulação: Mestre em Matemática Banca examinadora:
Plamen Emilov Kochloukov [Orientador] Roberto La Scala
Viviane Ribeiro Tomaz da Silva
Data de defesa: 25-09-2020
Programa de Pós-Graduação: Matemática
Identificação e informações acadêmicas do(a) aluno(a)
- ORCID do autor: https://orcid.org/0000-0002-0405-4378 - Currículo Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/6340632206752512
pela banca examinadora composta pelos Profs. Drs.
Prof(a). Dr(a). PLAMEN EMILOV KOCHLOUKOV
Prof(a). Dr(a). ROBERTO LA SCALA
Prof(a). Dr(a). VIVIANE RIBEIRO TOMAZ DA SILVA
A Ata da Defesa, assinada pelos membros da Comissão Examinadora, consta no SIGA/Sistema de Fluxo de Dissertação/Tese e na Secretaria de Pós-Graduação do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.
Primeiramente, agradeço a Deus pelas bençãos e oportunidades trazidas à minha vida. Aos meus pais e irmão pela confiança e constante apoio durante os momentos difíceis.
Agradeço especialmente ao Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica, pela oportunidade de cursar o mestrado, e também, aos professores que contribuíram na minha formação acadêmica.
Eu estendo meus mais profundos agradecimentos aos professores Plamen Kochloukov e Lucio Centrone pela orientação e colaboração na realização deste trabalho, assim, como aos professores membros da banca Roberto La Scala e Viviane Ribeiro pelas observações e recomendações apresentadas com vista em melhorar o presente trabalho.
Aos meus amigos pelos momentos compartilhados, as alegrias trazidas e o apoio oferecido nos momentos de dificuldade, graças a eles esta caminhada tem sido mais fácil.
Finalmente, agradeço ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientifico e Tecnológico -CNPq, pelo suporte econômico ao longo do mestrado (processo 143145/2018-5).
Neste trabalho estudaremos um procedimento para calcular a soma racional da série de Hilbert de um módulo monomial à direita N finitamente gerado sobre a álgebra associativa livre Kxx1, . . . , xny. O método é baseado na aplicação iterativa da operação ideal coluna à direita
para ideais monomiais regulares, partindo de uma base de Gröbner do ideal. Usando a teoria dos autômatos, se mostrará que nesta situação o número destas iterações é finito. Analogamente ao caso da série de Hilbert se mostrará que, para ideais monomiais regulares, a série multigraduada de Hilbert é racional.
Também serão apresentados alguns cálculos da série de Hilbert com uma implementação do procedimento na plataforma Singular. A parte principal deste trabalho está baseada no artigo de Roberto La Scala publicado em Journal of Symbolic Computation em 2017.
In this work we will study a method to calculate the rational sum of the Hilbert series of a finitely generated right monomial module N over a free associative algebra Kxx1, . . . , xny. The
method is based on the iterative application of the columnn ideal operation for regular monomial ideals, starting from a Gröbner base of the ideal. Using automata theory, we will show that in this situation the number of these iterations is finite. Similarly to the case of the Hilbert series, we will show that, for regular monomial ideals, the multigraded Hilbert series is rational.
Some calculations of the Hilbert series will also be presented with an implementation of the procedure on the Singular platform. The main part of this work is based on the article by Roberto La Scala published in Journal of Symbolic Computation in 2017.
INTRODUÇÃO . . . 10
1 PRELIMINARES . . . 12
1.1 Módulos . . . 12
1.2 A álgebra livre KxXy . . . 24
1.2.1 Ideais monomiais . . . 27
1.3 Sequências exatas . . . 30
2 BASES DE GRÖBNER EM KxXy . . . 32
2.1 Ordem admissível . . . 32
2.2 Bases de Gröbner de ideais bilaterais . . . 37
2.3 Bases de Gröbner de ideais à direita. . . 40
3 SÉRIES DE HILBERT . . . 41
3.1 A série de Hilbert de uma álgebra graduada . . . 41
3.2 Série de Hilbert de módulos monomiais à direita não comutativos . . . . 47
3.2.1 Uma sequência exata curta chave . . . 52
3.2.2 A série de Hilbert de um ideal regular . . . 53
3.2.3 O caso de dimensão finita . . . 57
3.3 Autômato de ideais monomiais à direita . . . 59
3.4 Um exemplo ilustrativo . . . 63
3.5 Alguns resultados computacionais . . . 66
4 SÉRIE MULTIGRADUADA DE HILBERT . . . 67
4.1 A série multigraduada de Hilbert para KxXy-módulos . . . 67
Introdução
A série de Hilbert (ou série de Hilbert-Poincaré, ou série de Poincaré) foi apresentada inicialmente no século XIX, com o propósito de estudar álgebras finitamente geradas sobre um corpo K. Esta série é dada como a série geradora da função que atribui a cada inteiro não-negativo d, a dimensão da componente graduada de grau d, considerando-a como um K-espaço vetorial.
Para álgebras comutativas finitamente geradas, cumpre-se que a série de Hilbert é uma função racional. Este resultado é conhecido como o Teorema de Hilbert-Serre (ver, por exemplo [1]), e foi inicialmente provado por Hilbert em 1890, a partir de resoluções livres. Em 1927, Francis Macaulay apresentou uma série de resultados que levaram ao fato de que a série de Hilbert de uma álgebra comutativa, é igual à série de Hilbert de certa álgebra gerada por monômios, que é definida a partir de uma ordem monomial. Por esta razão, para o cálculo da série de Hilbert, seguindo a abordagem do teorema da base de Macaulay, é conveniente introduzir-nos no conceito de base de Gröbner. Os primeiros algoritmos eficientes para o cálculo da série de Hilbert de álgebras comutativas foram apresentados ao longo da década de 1990 (ver, por exemplo, [2, 3]).
Por outro lado, as primeiras noções do que hoje é conhecido como bases de Gröbner, foram dadas por Gordan em 1900 (ver [10]), em uma dedução do teorema das bases de Hilbert. Mais tarde, em 1962, A.I Shirshov (ver [25]), estudando polinômios de Lie, apresentou o que hoje é conhecido como as bases de Gröbner-Shirshov. Ideias semelhantes às de Shirshov foram apresentadas por B. Buchberger, em 1965, na sua tese sob a supervisão de W. Gröbner, no estudo dos ideais do anel polinomial comutativo sobre um corpo K (ver [5]). Destas ideias, tem-se as hoje conhecidas bases de Gröbner. Tais tipos de bases foram generalizados para outros tipos de estruturas e foram aplicados em diferentes contextos (ver [17]). No referente ao anel de polinômios não comutativos sobre um corpo K, foi em 1986 que F. Mora apresentou em [22] o conceito de base de Gröbner para ideais neste anel.
No caso de estruturas não comutativas, Govorov apresentou, em 1972 (ver [11]), o primeiro resultado sobre a racionalidade da série de Hilbert de uma álgebra monomial finitamente apresentada. Em 1982 (ver [26]), Ufnarovski, usando a teoria dos grafos, apresentou um método para calcular a série de Hilbert de álgebras monomiais finitamente apresentadas. Os resultados de Govorov e Ufnarovski podem ser estendidos a álgebras (finitamente geradas) nas quais o ideal gerado pelas relações que definem a álgebra, admite uma base de Gröbner finita. Agora, no caso da álgebra associativa livre Kxx1, . . . , xny, em geral não podem ser aplicados tais métodos,
bases de Gröbner (não-comutativas) infinitas.
Nesta dissertação estudamos a racionalidade da série de Hilbert de um módulo monomial à direita, N , que é finitamente gerado sobre a álgebra associativa livre Kxx1, . . . , xny. O estudo é
baseado na aplicação iterativa da operação ideal coluna à direita para ideais monomiais regulares, partindo de uma base de Gröbner do ideal.
No Capítulo 1, são introduzidos alguns conceitos básicos os quais foram necessários no desenvolvimento deste trabalho. Estes são focados principalmente no estudo de módulos e ideais monomiais. Também são apresentadas algumas propriedades de homomorfismos de módulos a partir de sequências exatas.
Dado que no nosso estudo precisamos passar pela base de Gröbner de um ideal, no Capítulo2, apresentamos uma introdução à teoria de bases de Gröbner de ideais monomiais não comutativos, mostrando algumas das principais características destas bases. Também mostramos que tem-se uma diferença drástica no tamanho entre as bases de Gröbner bilaterais e as bases de Gröbner à direita.
No Capítulo 3, seguindo [18], expomos uma abordagem para apresentar um caso em que um módulo monomial à direita não comutativo pode ter uma série de Hilbert racional, tendo como resultado base, uma generalização do teorema das bases de Macaulay. Com este propósito são apresentados alguns resultados sobre autômatos, e se mostra uma aplicação dos mesmos para determinar quando um ideal é regular. Também se mostra uma caracterização do caso em que o módulo F{I seja de dimensão finita, a partir da nilpotência de uma matriz presente no método proposto. Por último apresentamos um exemplo prático da teoria apresentada sobre um ideal bilateral. Além disso, providenciamos dois exemplos de série de Hilbert de ideais finitamente gerados com base de Gröbner finita, mediante uma implementação computacional segundo [19].
Finalmente, no Capítulo4, apresentamos alguns resultados referentes à série multigraduada de Hilbert, definida para álgebras multigraduadas, seguindo uma generalização dos resultados apresentados no Capítulo 3, de acordo com o exposto em [20]. Como resultado principal neste capítulo, apresentamos o fato de que a série multigraduada de Hilbert de um módulo multigraduado monomial regular é racional.
1 Preliminares
Neste capítulo introduziremos alguns conceitos necessários para o desenvolvimento deste trabalho, principalmente concernentes a módulos e sequências exatas. Assumimos que o leitor tenha conhecimentos básicos em teoria de anéis e grupos.
1.1
Módulos
Nesta seção tratamos alguns assuntos concernentes a módulos, principalmente apresentamos resultados sobre módulos graduados os quais serão necessários nos capítulos seguintes. Os resultados e definições apresentadas encontram-se nas referências [1, 7]. Neste trabalho, todo anel será considerado um anel com unidade.
Definição 1.1.1. Seja R um anel com unidade e M um grupo abeliano. M é dito ser um
R-módulo à direita, se existir uma “multiplicação” entre os elementos de M e R denotada assim:
M R Ñ M pm, aq ÞÑ m a tal que: • m prsq pm rq s; • pm nq r m r n r; • m pr sq m r m s; • m 1 m; onde m, nP M e r, s P R.
De forma análoga, são definidos os R-módulo à esquerda. Neste trabalho, R denotará um anel com unidade, e nos referiremos a um R-módulo à direita como R-módulo.
Dizemos que M é um R-bimódulo se for simultaneamente um R-módulos à esquerda e à direita, e além disso as duas estruturas são compatíveis: pr1mqr2 r1pmr2q para todo ri P R e
mP M.
Exemplo 1.1.2. Todo anel R é um R-módulo (à esquerda ou à direita, ou bimódulo), com a
multiplicação por escalar dada pelo produto de R.
Exemplo 1.1.3. Todo grupo abeliano M é um Z-módulo, com a operação m r : mloooooomoooooon m
r vezes
.
Exemplo 1.1.4. Se R EndpMq é o anel dos endomorfismos de M, então M é um R-módulo
à esquerda, com a operação f m : fpmq.
Exemplo 1.1.5. Se MnpRq é o anel das matrizes quadradas de ordem n, se tem uma estrutura
de R-módulo (à direita), com a operação
A r : paijq r paijrq.
Aqui r P R e A paijq P MnpRq é uma matriz n n com entradas aij P R.
Exemplo 1.1.6. Se I R é um ideal à direita de R, então o grupo quociente R{I é um
R-módulo, com a operação x r : xr.
No Exemplo1.1.4, note que dado um módulo à esquerda (direita) M , nem sempre se pode obter um novo módulo à direita (esquerda), só definindo uma nova operação , r m : m r. Veja a primeira propriedade na definição de módulo: se R não é comutativo, nada garante que prsq m m psrq.
Exemplo 1.1.7 (Produto de módulos). Sejam C um conjunto não vazio, R um anel, e tMiuiPC
uma família não vazia de R-módulos. O produto ¹
iPC
Mi, é definido como sendo
¹ iPC Mi # f : C Ѥ iPC
Mi | fpiq P Mi, para cada iP C
+ .
Escrevendo fi : fpiq para cada i P C, podemos escrever os elementos do produto como
f pfiqiPC, ou simplesmente como f pfiq. Então
¹
iPC
Mi possui uma estrutura de R-módulo
natural, dada pelas seguintes operações: piq Dados f pfiq, g pgiq P ¹ iPC Mi, definimos f g pfi giq. piq Dados f pfiq P ¹ iPC Mi, rP R, definimos f r pfi rq.
Definição 1.1.8. Seja M um módulo à direita sobre um anel arbitrário R. Um R-submódulo
de M é um subconjunto L de M que satisfaz as seguintes condições. • L é um subgrupo do grupo aditivo de M ;
• Se lP L e r P R, então l r P L.
Se o anel R pode ser tomado como fixo, diremos que L é um submódulo de M .
Exemplo 1.1.9. Sejam R um anel e I R um ideal (à direita) de R. Dado que R é um
R-módulo, então temos que I é R-submódulo de R.
Suponha que L e N são submódulos de um módulo M . Definimos a soma entre L e N como
L N tl n | l P L, n P Nu.
Algumas propriedades que obtemos imediatamente a partir das definições de submódulo, de soma e de interseção são as seguintes.
Proposição 1.1.10. Sejam L e N submódulos de um módulo M .
piq L N e L X N são submódulos. piiq L N L se, e somente se, N L. piiiq L X N L se, e somente se, L N.
Sejam C um conjunto não vazio, R um anel, etMiuiPC uma família não vazia de R-módulos.
Para f pfiq P
¹
iPC
Mi, definimos o suporte de f por Cf : ti P C | fi 0u. Consideremos o
subconjunto à
iPC
Mi de
¹
iPC
Mi, formado pelos elementos f pfiq tais que Cf é finito. Isto é,
à iPC Mi : # f P¹ iPC Mi | Cf é finito + . Proposição 1.1.11. à iPC Mi é um submódulo de ¹ iPC
Mi, chamado de soma direta externa da
família tMiuiPC.
Demonstração. Observe que à
iPC
Mi H, já que 0 p0iq P
à
iPC
Mi, onde 0i é o elemento nulo de
Mi. Para f pfiq, g pgiq P
à
iPC
Mi, seja h f g. Então, Ch Cf Y Cg é finito. Logo Ch é
finito, e assim hPà
iPC
Mi. Tome r P R, e seja h1 f r. Então Ch1 Cf. Portanto f r P
à
iPC
Mi.
Note que no caso em que o conjunto C for finito, temos que a soma direta externa de R-módulos coincide com o produto dos mesmos. Neste caso, fixando uma ordem nos elementos de C, por exemplo C ti1, i2, . . . , inu, escrevemos
à iPC Mi Mi1` Mi2` ` Min e para f P à iPC Mi.
Então f pfi1, . . . , finq onde fij P Mij para j 1, . . . , n.
Seja R um anel e seja L um submódulo de um R-módulo à direita M . O módulo quociente M{L de M por L é definido da seguinte forma. Introduzimos uma relação de equivalência em M dada pela regra
m n se m n P L.
Dado mP M, a classe de equivalência de m nesta relação, é denotada por m L. Em algumas ocasiões, se não houver dúvida no submódulo L, que define a relação acima, escreveremos m L como m.
O módulo quociente M{L é definido como o conjunto de todas as classes de equivalência da relação acima, com soma dada pela regra
pm Lq pn Lq pm nq L para m L, n L P M{L, e multiplicação por elemento de R dada por
pm Lq r pm r Lq para r P R e m L P M{L.
Estas operações em M{L são bem definidas. De fato, se m1, m2, n1, n2 P M são tais que
m1 m2 P L e n1 n2 P L, então pm1 n1q pm2 n2q pm1 m2q pn1 n2q P L.
Obtemospm1 n1q L pm2 n2q L. Além disso, para r P R, pm1 m2q r P L, portanto
m1 r L m2 r L.
Observamos que podemos “abreviar” a definição de módulo quociente considerando primeiro M{L como um quociente de grupos abelianos aditivos, e em seguida definir sobre M{L a ação de R.
Definição 1.1.12. Sejam M e N dois R-módulos à direita. Um homomorfismo de R-módulos
de M para N é uma função φ : M Ñ N tal que • φpm nq φpmq φpnq para todo m, n P M. • φpm rq φpmq r para todo m P M e todo r P R.
Escrevemos homomorfismo de módulos, quando não há dúvida sobre a escolha do anel R, ou simplesmente homomorfismo.
Definição 1.1.13. Seja φ : M Ñ N um homomorfismo de R-módulos. O kernel (ou núcleo) de
φ, denotado por kerpφq, e a imagem de φ, denotada por Impφq, são definidos como kerpφq tm P M | φpmq 0u, Impφq tn P N | n φpmq para algum m P Mu.
O seguinte resultado é uma consequência imediata da definição acima. A demonstração repete aquela conhecida da Álgebra Linear para espaços vetoriais (que são módulos sobre corpos).
Lema 1.1.14. Seja φ : M Ñ N um homomorfismo de R-módulos à direita, então
piq kerpφq é um submódulo de M.
piiq φ é injetivo se, e somente se, kerpφq 0. piiiq Impφq é um submódulo de N.
Dado que a imagem de um homomorfismo de módulos φ é um submódulo, podemos pensar no módulo quociente definido por Impφq, como segue.
Definição 1.1.15. Seja φ : M Ñ N um homomorfismo de R-módulos. O cokernel de φ define-se
como o módulo cokerpφq N{ Impφq.
Definição 1.1.16. Um homomorfismo de R-módulos φ : M Ñ N é dito ser um isomorfismo se
φ for biunívoco. Se houver um isomorfismo do módulos de M para o módulo N , dizemos que M e N são isomorfos, e escrevemos
M N.
Deixamos a cargo do leitor verificar que o isomorfismo de R-módulos é uma relação de equivalência; a demonstração em nada difere da conhecida da Álgebra Linear para espaços vetoriais.
Definição 1.1.17. Sejam M um R-módulo e L um submódulo de M . A aplicação π : M Ñ M{L
definida por πpmq m é chamada de homomorfismo canônico, ou de projeção canônica, de M em M{L.
O fato de que π é um homomorfismo de R-módulos é imediato a partir da definição, e π é sobrejetor uma vez que cada elemento de M{L tem a forma m para algum m em M. Além disso, kerpπq L.
Definição 1.1.18. Sejam L um submódulo de um R-módulo à direita M , e φ um homomorfismo
de R-módulos de M para N . Suponha também que L kerpφq. Podemos então definir uma função
φ : M{L Ñ N dada por
φpmq φpmq, para todo m P M{L; φ é chamado de homomorfismo induzido por φ.
O fato de φ ser um homomorfismo, segue do fato que φ é homomorfismo e L kerpφq. (Na verdade, a última inclusão garante que φ é bem definido; a afirmação de que ele é homomorfismo é imediata.)
Teorema 1.1.19 (Primeiro Teorema sobre o Isomorfismo). Seja φ : M Ñ N um
homomor-fismo sobrejetivo de R-módulos. Então o homomorhomomor-fismo induzido φ : M{ kerpφq Ñ N é um isomorfismo.
Definição 1.1.20. Seja M um R-módulo à direita e seja x um elemento de M . O submódulo
cíclico de M gerado por x é definido como
xxy txr | r P Ru.
O módulo M é dito ser cíclico se M xxy para algum x P M, e o elemento x é chamado de gerador de M .
Agora consideramos conjuntos de geradores. Seja X txiuiPI um subconjunto de M ,
definimos xXy, como o menor submódulo de M que contém X. Assim, temos que xXy txi1r1 xitrt | ij P I , ri P Ru.
Então,xXy é chamado de submódulo de M gerado pelo conjunto X como R-módulo. Se M xXy dizemos que X é um conjunto de geradores para M , ou que X gera M . Um módulo finitamente gerado é aquele que tem um conjunto finito de geradores.
Definição 1.1.21. Sejam M um R-módulo e B tbiuiPI um subconjunto gerador de M .
Dizemos que o subconjunto B é linearmente independente sobre R, se a igualdade bi1r1 bikrk 0
é válida apenas se
r1 rk 0.
Assim, um conjunto B M é uma base de M, se for linearmente independente sobre R e gera M como um R-módulo. Um R-módulo livre é definido como um R-módulo M que possua uma base, e o número de elementos na base é chamado posto de M e escrevemos rankpMq.
Exemplo 1.1.22. O R-módulo à direita livre canônico de posto k é o conjunto Rk, onde
Rk R ` ` R com k somandos. Por convenção R0 é o módulo nulo. Note que, se ej
p0, 0, . . . , loomoon1
entrada j
, 0, . . . , 0q P Rk, então o conjunto tej | 1 ¤ j ¤ ku é uma base de Rk. Esta base
Sejam M e N dois R-módulos, e φ : M Ñ N um isomorfismo entre eles. Se B tbiuiPI é
uma base de M , então para cada y P N, existem rj P R e bij P B tais que φpbi1r1 bikrkq y.
Assim, dado que φ é um homomorfismo, concluímos que φpBq tφpbiq | bi P Bu é um conjunto
gerador de N como módulo. Além disso, se φpbi1qr1 φpbikqrk 0, então, dado que φ é
homomorfismo injetivo, e B é base de M , temos que r1 rk 0. Portanto, φpBq é uma
base de N . Assim, temos que um módulo isomorfo a um módulo livre, também é um módulo livre.
A seguir daremos uma caracterização dos R-módulos finitamente gerados, a qual nos permite considerar tais módulos como módulos quocientes.
Proposição 1.1.23. Um R-módulo M é finitamente gerado se, e somente se, M é isomorfo a
um quociente de Rk para algum k ¥ 0.
Demonstração. pñq Suponha M xx1, . . . , xky. Defina φ: Rk Ñ M por
pr1, . . . , rkq ÞÑ x1r1 xkrk.
Então φ é um homomorfismo de R-módulos sobrejetivo, assim M Rk{ ker φ. pðq Suponha que M é isomorfo a um quociente de Rk
para algum k. Então temos que existe um homomorfismo sobrejetor φ : Rk Ñ M. Se teiuki1 é base de R
k, entãotφpe
iquki1 gera
M .
Um importante conceito na teoria de anéis e módulos, é a graduação. A seguir apresentamos algumas propriedades de módulos graduados, as quais são apresentadas de forma semelhante em [14].
Lembramos que um anel R é chamado graduado (ou mais precisamente, Z-graduado) se existir uma família de subgrupos tRnunPZ do grupo aditivo de R tal que
piq R à
n
Rn, e
piiq Rn Rm Rn m para todo n, mP Z.
Um elemento não-nulo xP Rn é chamado de elemento homogêneo de R de grau n.
Se R à
n
Rn é um anel graduado, então 1 P R0, R0 é um sub-anel de R e Rn é
um R0-módulo para todo n. De fato, seja 1 a0 an1 ant, onde ai P Ri e seja
x bm1 bml, com bi P Ri, um elemento arbitrário em R. Dado que 1bmi bmi, tem-se
que a0bmi an1bmi antbmi bmi. Agora, como R é anel graduado, temos então que
Portanto 1 a0 P R0. Além disso, se a, bP R0, temos que abP R0 R0 R0 0 R0. Portanto,
R0 é subanel de R. O fato de Rn ser um R0-módulo, segue de Rn R0 Rn 0 Rn.
Definição 1.1.24. Seja M um R-módulo. Dizemos que M é a soma direta de uma família de
submódulos tMiuiPI, se a função à iPI Mi Ñ M pxiqiPI ÞÑ ¸ iPI xi,
é um isomorfismo. Neste caso, escrevemos M à
iPI
Mi. Tal soma direta é chamada de soma
direta interna.
Vemos que não há muita necessidade de diferenciar as somas diretas internas e externas pois são isomorfas, em certo sentido.
Na proposição a seguir apresentamos alguns critérios para determinar quando um módulo é a soma direta de uma família de submódulos.
Proposição 1.1.25. Seja tMiuiPI uma família de submódulos de um R-módulo M . As seguintes
condições são equivalentes: paq O submódulo¸
iPI
Mi é a soma direta da famíliatMiuiPI. Em outras palavras, todo mP
¸
iPI
Mi
pode ser apresentado, e ainda de maneira única, como m ¸
iPI
mi, onde mi P Mi para
todo i e, exceto uma quantidade finita de índices i, os demais mi 0.
pbq Se ¸
iPI
xi 0, onde xi P Mi, então xi 0 para todo i P I.
pcq Para cada k P I, tem-se que MkX
¸
ik
Mi 0.
Aqui recordamos que¸
iPI
Mi é o conjunto de todas as somas finitas
¸
iPI
mi onde mi P Mi
Demonstração. Dado que ¸
i xi ¸ i yi é equivalente a ¸ i pxi yiq 0, temos imediatamente
que paq é equivalente a pbq. Agora, dado que a igualdade ¸
i
xi 0, onde xi P Mi, pode ser
reescrita, para cada k P I, como xk
¸
ik
xi, temos que pbq e pcq são equivalentes.
Agora podemos apresentar o que significa que um módulo tenha a propriedade de ser graduado.
Definição 1.1.26. Seja R um anel graduado e M um R-módulo. Dizemos que M é um R-módulo
graduado se existe uma família de subgrupos tMnunPZ do grupo aditivo de M tal que
piq M à
n
Mn, e
piiq Mn Rm Mn m para todo n, mP Z.
A família de subgrupostMnunPZé chamada uma graduação de M . Um elemento não-nulo xP Mn
é chamado de elemento homogêneo de M de grau n.
Dado qualquer R-módulo graduado M , podemos obter um novo R-módulo graduado ao trocar a graduação em M da seguinte maneira: se d for qualquer inteiro, defina Mpdq como igual a M como R-módulo, mas com sua graduação definida por Mpdqn Mn d.
Proposição 1.1.27. Sejam M um R-módulo graduado, d um número inteiro, e Mpdq a soma
direta
Mpdq à
nPZ
Mpdqn,
onde Mpdqn Mn d. Então Mpdq é também um R-módulo graduado.
Demonstração. Dado que M é um módulo graduado, tem-se que M à
nPZ
Mn, onde cada Mn é
um subgrupo e MnRm Mn m. Como cada Mn d é um elemento detMr | r P Zu, então Mn dé
um subgrupo de Mpdq. Além disso, tem-se que Mpdqn Rm Mn d Rm Mn m d Mpdqn m.
Portanto Mpdq é um R-módulo graduado.
Proposição 1.1.28. Seja R um anel graduado. Considere d1, d2, . . . , dk números inteiros.
Então, tem-se que
M Rpd1q ` Rpd2q ` ` Rpdkq
é um R-módulo graduado livre.
Demonstração. Dado que cada Rpdiq é isomorfo a R como R-módulo, para cada i, tem-se
que Rpd1q ` Rpd2q ` ` Rpdkq é isomorfo a Rk. Logo, como Rk é um R-módulo livre,
Rpd1q ` Rpd2q ` ` Rpdkq também o é.
Seja agora Mn Rpd1qn` Rpd2qn` ` Rpdkqn. Assim, Mn define uma graduação em
M . Com efeito, dado que cada Rpdiq é um R-módulo graduado para cada i, tem-se que
Rpdiq
à
nPZ
Então temos que M à nPZ Rpd1qn ` à nPZ Rpd2qn ` ` à nPZ Rpdkqn à nPZ Rpd1qn` Rpd2qn` ` Rpdkqn à nPZ Mn. Além disso, Mn Rm Rpd1qn` Rpd2qn` ` Rpdkqn Rm Rpd1qn Rm` Rpd2qn Rm` ` Rpdkqn Rm Rpd1qn m` Rpd2qn m` ` Rpdkqn m Mn m.
Portanto, M é um R-módulo graduado.
Note que o módulo M Rpd1q ` Rpd2q ` ` Rpdkq tem a mesma base canônica que Rk
como R-módulo. Além disso, como Rpdqd R0, temos que os elementos da base canônica teiu
são homogêneos de graudi em M , para 1¤ i ¤ k.
Definição 1.1.29. Seja M um R-módulo graduado. Um submódulo N é dito ser graduado (ou
homogêneo) se
N à
nPZ
pMnX Nq.
Note que, dadatMnunPZ uma graduação de M , definindo a família tNnunPZ, como sendo
Nn: MnX N,
tem-se que Nn Rm Nn m para quaisquer n, m P Z. Além disso, a soma
¸
nPZ
Nn é direta. Mas,
em geral, não é possível concluir que a soma coincida com N . Logo, pode-se pensar que nem todo submódulo de um módulo graduado é graduado. De fato, as condições para que isso aconteça são dadas no seguinte resultado.
Proposição 1.1.30. Sejam R um anel graduado, M um R-módulo graduado e N um submódulo
de M . Então, as seguintes condições são equivalentes: paq N é um submódulo graduado.
pbq Se u P N, então as componentes homogêneas de u estão em N. pcq N é gerado por elementos homogêneos.
Demonstração.
paq ñ pbq Se N é submódulo graduado, por definição tem-se que N à
nPZ
pMnX Nq. Logo, dado
uP N, u pode ser escrito de maneira única como u u1 u2 uk, onde ui P Mni X N,
com ni P Z. Portanto, cada componente homogênea de u está em N.
pbq ñ pcq Seja u P N. Então u u1 u2 uk com ui P Mni, ni P Z. Agora, como estamos
supondo que para uP N as correspondentes componentes homogêneas ui estão em N , tem-se
que N é gerado pelas componentes homogêneas de cada uP N.
pcq ñ paq Seja u P N. Se N é gerado por elementos homogêneos, então u u1r1 u2r2 ukrk
com ui P MniX N, ni P Z e ri P R. Dado que R é anel graduado, escrevendo cada ri como soma
de componentes homogêneas e aplicando distributividade, temos que u v1 v2 vd onde
vi P MmiX N, com mi P Z. Portanto N
¸
n
pMnX Nq. Logo N é um submódulo graduado.
Consideremos novamente um R-módulo graduado M e N um submódulo de M . Seja tpM{NqnunPZ a família dada por
pM{Nqn: pMn Nq{N.
Primeiro, note que cada pM{Nqn é um subgrupo de M{N e tem-se que pM{Nqn Rm
pM{Nqn m. Além disso, para u P M, u
¸
un onde un P Mn. Então u N
¸
pun Nq.
Assim, M{N ¸pM{Nqn. Neste caso, não é possível concluir que M{N seja um módulo
graduado, dado que não temos garantia de que a soma seja direta.
Proposição 1.1.31. Sejam R um anel graduado, M um R-módulo graduado e N um submódulo
de M . Então, as seguintes condições são equivalentes: paq N é um submódulo graduado.
pbq O módulo quociente M{N é graduado, ou seja M{N à
nPZ
rpMn Nq{Ns.
Demonstração.
paq ñ pbq Note que, se ¸pun Nq 0 N em M{N, onde un P Mn, temos que
¸
un P N.
Agora, dado que N é um submódulo graduado, tem-se pela Proposição 1.1.30 que cada unP N.
Logo, un N 0 N para cada n. Portanto, a soma
¸
n
rpMn Nq{Ns é direta, isto é, o módulo
pbq ñ paq Suponha que a soma¸
n
rpMn Nq{Ns seja direta, e seja u P N, com u u1 u2 uk,
onde ui P Mni. Então, no quociente M{N, temos que
0 N u N
k
¸
i 1
pui Nq.
Agora, dado que a soma ¸
n
rpMn Nq{Ns é direta, tem-se que ui N 0 N para cada
1¤ 1 ¤ k. Logo, ui P N para cada 1 ¤ 1 ¤ k. Então, pela Proposição 1.1.30, temos que N é
um submódulo graduado.
Definição 1.1.32. Sejam M e N dois R-módulos graduados. Um homomorfismo
φ : M Ñ N
é chamado de homomorfismo graduado de grau d ou homomorfismo d-graduado, onde dP Z, se φpMnq Nn d
para todo nP Z. No caso d 0, diremos que φ é um homomorfismo graduado.
Proposição 1.1.33. Sejam M e N dois R-módulos graduados, e φ : M Ñ N um homomorfismo
graduado. Então kerpφq M e Impφq N são submódulos graduados.
Demonstração. Primeiro, vejamos que kerpφq é um submódulo graduado. De fato, considere o elemento g g0 g1 grP kerpφq, onde os gi são elementos homogêneos de graus distintos
di. Então, dado que φ é homomorfismo, temos
0 φpgq φpg0 g1 grq r
¸
i1
φpgiq.
Além disso, como φ é graduado, os φpgiq são elementos homogêneos de graus distintos di.
Portanto, dado que N é um módulo graduado, temos que para cada i, φpgiq 0. Assim
gi P kerpφq. Desse modo temos uma graduação para kerpφq dada por
kerpφq à
n
pkerpφq X Mnq.
Seja agora a a0 a1 ar P Impφq, onde os ai são elementos homogêneos de graus
distintos ni, e n0 n1 nr. Então existe g g0 g1 gk P M, com os gi elementos
homogêneos de graus distintos di, e d1 d2 dk tais que φpgq a. Dado que φ é
homomorfismo graduado, temos que k r e φpgiq ai. Assim podemos obter uma graduação
de Impφq, dada por
Impφq à
n
Dado M , um R-módulo graduado finitamente gerado, podemos obter um homomorfismo graduado como segue.
Proposição 1.1.34. Seja M xf1, f2, . . . , fmy um R-módulo graduado, onde os elementos fi
são homogêneos de grau di. Então, o seguinte homomorfismo é graduado
φ : Rpd1q ` Rpd2q ` ` Rpdmq Ñ M,
onde φpeiq fi, com teiu a base canônica de Rm. Além disso, φ é sobrejetor.
Demonstração. Note que se teiu é a base canônica de Rm, então o grau de ei no módulo
Rpd1q ` Rpd2q ` ` Rpdmq é di.
Seja
Nt Rpd1qt` Rpd2qt` ` Rpdmqt
Rtd1 ` Rtd2 ` ` Rtdm.
Se g pg1, g2, . . . , gmq P Nt, então cada gi é uma componente homogênea de grau t di. Logo
g e1g1 e2g2 emgm e
φpgq f1g1 f2g2 fmgm P M.
Agora, figi P Mdi Rtdi Mt, então φpgq P Mt. Portanto φ é graduado.
Além disso, se hP M, existem h1, h2, . . . , hmP R tais que
h f1h1 f2h2 fmhm,
então existe
h1 e1h1 e2h2 emhm P Rpd1q ` Rpd2q ` ` Rpdmq,
tal que φph1q h. Isto completa a demonstração.
1.2
A álgebra livre KxXy
Nesta seção apresentamos a noção de um anel ser uma K-álgebra, e o fato de um ideal I KxXy ser monomial, assim como algumas propriedades de ideais no anel KxXy. Além disso, se apresenta a noção do ideal coluna à direita. Os conceitos tratados nesta seção são baseados em [15, 21].
Sejam A um anel com unidade e K um corpo. Dizemos que A é uma K-álgebra se A é um K-espaço vetorial e as estruturas de anel e de espaço vetorial em A são compatíveis. Note que, neste caso, temos que A é um K-módulo.
Diremos que uma K-álgebra A é graduada se tem uma decomposição
Aà
nPZ
An,
tal que cada An é um subespaço vetorial, e AnAm An m para todo n, mP Z.
No nosso estudo, consideraremos graduações em álgebras tais que A0 K, isto é, A é uma
álgebra conexa, e as componentes indexadas por números negativos são nulas, isto é, An t0u
para n 0.
Além disso, dizemos que A é gerada por um conjunto B tbi | i P I1u A, se o conjunto
tbi1 bip | bij P Bu (com possíveis repetições nos bij) gera A como K-módulo. No caso em que
B for finito, dizemos que A é uma K-álgebra finitamente gerada.
Exemplo 1.2.1. Seja K um corpo, e considere o anel das matrizes MnpKq, com a soma e
multiplicação usual de matrizes. Então, MnpKq é uma K-álgebra com a multiplicação usual de
matrizes por elementos de K.
Exemplo 1.2.2. Seja Krx1, . . . , xns o anel dos polinômios comutativos nas indeterminadas
x1, , xn sobre o corpo K com a multiplicação usual de polinômios. Então, Krx1, . . . , xns é
uma K-álgebra.
Sejam K um corpo e X txi | i P Iu uma coleção não vazia de letras não comutativas. Uma
palavra de comprimento k¥ 0 em X significará uma sequência xi1 xik (quando k 0, obtemos
a palavra vazia denotada por 1). Dizemos que duas palavras são iguais se seus comprimentos são iguais e as letras correspondentes coincidem. Consideremos o K-espaço vetorial (de dimensão infinita) KxXy, cuja base consiste de todas as palavras em X. Definimos uma multiplicação em KxXy, a qual é induzida pela justaposição de palavras. Isto é,
¸ αuu ¸ βvv ¸αuβvuv.
Desta forma, KxXy é uma K-álgebra, a qual é chamada de K-álgebra associativa livre, livremente gerada pelo conjunto X. A álgebra KxXy também é conhecida como a álgebra dos polinômios não comutativos.
Seja A uma K-álgebra. Por simplicidade, se não houver confusão na escolha do corpo K, diremos simplesmente que A é uma álgebra.
Sejam A1 e A2 duas álgebras sobre um mesmo corpo K. Uma função ϕ : A1 Ñ A2 é
chamada um homomorfismo de álgebras se, para todo k P K e para todo par a, b P A1, tem-se
• ϕpkaq kϕpaq,
• ϕpa bq ϕpaq ϕpbq, • ϕpabq ϕpaqϕpbq.
Lembramos que uma K-álgebra cumpre as condições de ser um anel e um K-módulo (espaço vetorial), e as duas estruturas são compatíveis. Então, em um homomorfismo de K-álgebras, temos homomorfismo de anéis e homomorfismo de K-módulos (transformação linear).
Aqui notamos que, ao invés de considerar K um corpo, podemos exigir que ele seja apenas um anel comutativo com unidade, e alterar adequadamente a definição de KxXy: exigir que seja um módulo livre sobre K tendo como base todas as palavras em X. Desta forma estendemos o conceito de álgebra livre.
A álgebra KxXy tem a seguinte propriedade universal. Esta propriedade dá o nome da álgebra.
Proposição 1.2.3. Sejam A uma álgebra e φ : X Ñ A uma função. Então existe um único
homomorfismo de K-álgebras φ1: KxXy Ñ A, o qual estende a função φ : X Ñ A dada. Demonstração. Definimos φ1: KxXy Ñ A, como
φ1¸αixi1 xim
¸αiφpxi1q φpximq, αi P K.
Usando as propriedades da multiplicação em KxXy e A, temos que φ1¸αixi1 xip ¸ βjxj1 xjq φ1¸α iβjxi1 xipxj1 xjq ¸αiβjφpxi1q φpxipqφpxj1q φpxjqq ¸αiφpxi1q φpxipq ¸ βjφpxj1q φpxjqq φ1¸α ixi1 xip φ1¸βjxj1 xjq Logo φ1 é um homomorfismo que estende φ.
A unicidade é obtida usando-se que φ1 precisa ser homomorfismo de K-álgebras e que KxXy tem como base todas as palavras em X. De fato, seja φ2: KxXy Ñ A um homomorfismo de K-álgebras tal que φ2 estende a função φ : X Ñ A. Seja¸αixi1 xip P KxXy, então
φ2¸αixi1 xip ¸αiφ2pxi1q φ 2px imq ¸αiφpxi1q φpximq φ1¸α ixi1 xim .
Corolário 1.2.4. Seja A uma álgebra gerada por tai | i P Iu p|tai | i P Iu| |X|q. Então
A KxXy{U, para algum ideal U de KxXy.
Demonstração. Seja φ1: KxXy Ñ A o homomorfismo que estende φpxiq ai, i P I. Então,
φ1: KxXy Ñ A é homomorfismo sobrejetor. Logo, pelo teorema sobre o isomorfismo, A KxXy{U , onde U kerpφ1q. (Aqui observamos que os teoremas sobre o isomorfismo valem para anéis, módulos, grupos, espaços vetoriais, álgebras; as respectivas demonstrações são as mesmas.)
Uma situação que se apresenta no estudo de módulos é o fato de um módulo nem sempre possuir uma base. No caso do anel KxXy temos o seguinte resultado, o qual garante a existência de base em um caso particular. Para sua demonstração, veja por exemplo [6].
Teorema 1.2.5. Seja F KxXy. Se I F é um F -módulo à direita, então I é um F -módulo
à direita livre.
Na literatura, os anéis R que satisfazem a condição de que qualquer ideal à direta é um R-módulo livre, são chamados de anéis de ideais livres. Este nome foi dado por P. Cohn, em inglês Free Ideal Rings, ou abreviado FIR; ele desenvolveu uma boa parte da teoria de tais anéis.
Seja A KxXy{U, onde U é um ideal à direita de KxXy. Note que, pelo teorema anterior, temos que existe uma família B tfjujPJ U, tal que U é gerado por B como ideal de KxXy.
Neste caso, dizemos que A é apresentada pelo conjunto gerador X e o conjunto de relações B, e escrevemos A KxX | By.
Definição 1.2.6. Seja A KxX | By. Dizemos que a álgebra A é finitamente apresentada ou
finitamente apresentável se os conjuntos X e B são finitos.
Exemplo 1.2.7. A álgebra de polinômios em duas variáveis tem a apresentação
Krx, ys Kxx, y | xy yxy.
Logo esta álgebra é finitamente apresentada. De maneira análoga pode ser visto que a álgebra polinomial Krx1, . . . , xns em n variáveis é finitamente apresentada. Por outro lado, a álgebra
polinomial em infinitas variáveis Krx1, . . . , xn, . . .s não é finitamente apresentada.
A álgebra associativa livre KxXy é finitamente apresentada se e somente se X é um conjunto finito. (Observe que o conjunto das relações B H é sempre finito.)
1.2.1
Ideais monomiais
Seja F KxXy. Uma palavra w em X será chamada de monômio de F , e definimos o conjunto MonpF q como o conjunto de todos os monômios de F .
Dado que o conjunto MonpF q é uma K-base de F , cada f P F , pode ser escrito de forma única como combinação K-linear de monômios. Assim, escrevemos
f ¸
wPMonpF q
cww, onde cw P K.
Definimos o suporte de f como
supppfq tw P MonpF q | cw 0u.
Definição 1.2.8. Um ideal I F é chamado de ideal monomial se for gerado por monômios.
Algumas propriedades importantes dos ideais monomiais à direita, das quais precisaremos mais para frente, são as seguintes.
Teorema 1.2.9. Seja I F um ideal monomial à direita. O conjunto N de monômios
pertencentes a I é uma base K-linear (K-base) de I.
Demonstração. É claro que os elementos de N são linearmente independentes, já que N é um subconjunto de MonpF q. Seja f P I um polinômio arbitrário. Vamos mostrar que supppfq N . Isto implica que N é um sistema de geradores do K-espaço vetorial I.
De fato, dado que f P I, existem monômios u1, . . . , um P I e polinômios f1, . . . , fm P F
tais que f
m
¸
i1
uifi. Segue que supppfq m
¤
i1
supppuifiq. Note que supppuifiq N para todos
os i, já que cada v P supppuifiq é da forma uiw com wP MonpF q e, portanto, uiw é um monômio
que pertence a I. Temos que supppfq N , como desejado.
Corolário 1.2.10. Seja I F um ideal à direita. As seguintes condições são equivalentes:
paq I é um ideal monomial;
pbq para todo f P F , vale: f P I se, e somente se, supppfq I. Demonstração.
paq ñ pbq Segue do Teorema 1.2.9.
pbq ñ paq Seja tf¤ iu o conjunto de geradores de I. Dado que supppfiq I para todo i, tem-se que
supppfiq é um conjunto de geradores de I.
Corolário 1.2.11. Seja I F um ideal monomial à direita. Então, o conjunto tw I | w P
Demonstração. Seja W F o conjunto de monômios não pertencentes a I. É claro que W W I é um conjunto gerador do K-espaço vetorial F {I. Suponha que existe uma combinação linear de elementos de W, tal que
¸
wPW
aww 0 P F {I.
Então, se f ¸
wPW
aww, temos que f 0 P F {I, o que implica f P F . Assim, o Corolário1.2.10
implica que w P I quando aw 0, isto é, w 0, sempre que aw 0. Segue que W é um conjunto
linearmente independente. Logo W forma uma base para F{I.
Definição 1.2.12. Seja M MonpF q um semigrupo.
• Um subconjunto não vazio I M é chamado um ideal do semigrupo M se a inclusão tmam1 | m, m1 P M, a P Iu I é válida.
• Um subconjunto B M é chamado de conjunto de geradores de I como ideal do semigrupo M se I tmam1 | a P B, m, m1 P Mu.
Teorema 1.2.13. Sejam I um ideal do semigrupo MonpF q e B o conjunto de todos os elementos
de I que não contêm elemento de I como sub-palavra própria. Então, B é o único conjunto minimal de geradores de I.
Demonstração. Primeiro, vamos ver que B é um conjunto gerador de I. Sejam w um elemento de I e w1 a sub-palavra de w com comprimento mínimo tal que w1 ainda esteja em I. Pela definição de B temos que w1 P B. Assim, B é um conjunto gerador de I.
Suponha que exista B1 B tal que B1 gere I. Seja w P BzB1. Agora, dado que w P I, existem b1 P B1 e a, c P MonpF q tais que w ab1c. Logo, pela definição de B devemos ter w b1 P B1, o que é uma contradição. Portanto, B é conjunto gerador minimal.
Finalmente, provaremos a unicidade. Suponha que existam dois conjuntos geradores minimais B e B1 de I. Logo, podemos assumir que existe um elemento b1 P B1zB. Com o mesmo processo de antes obtemos que b1 P B, uma contradição. Portanto, temos a unicidade.
Agora, introduzimos o ideal coluna à direita, o qual será fortemente utilizado no cálculo da série de Hilbert no Capítulo 3.
Definição 1.2.14. Seja I F um ideal e seja f P F . O conjunto
pI :Rfq tg P F | fg P Iu
Esse conjunto é, de fato, um ideal à direita de F , que geralmente não contém I. No entanto, temos que I pI :R fq quando I é um ideal bilateral.
Além disso, pI :R fq x1y F se, e somente se, f P I. De fato, se f P I, tem-se que
f g P I para todo g P F . Logo pI :R fq x1y. Agora, se pI :R fq x1y, 1 P pI :R fq. Então,
f f 1 P I.
Proposição 1.2.15. Seja F Kxx1, . . . , xny. Se w é um monômio de F e I é um ideal
monomial, então o ideal coluna à direita pI :Rwq é um ideal monomial.
Demonstração. Seja S o conjunto de monômios em pI :R wq e seja T o ideal à direita gerado
por S. Por construção T pI :R wq, dado que S pI :R wq. Afirmamos que T pI :R wq.
Seja f P pI :Rwq, então wf
¸
aiwwi P I, pwi P MonpF q, ai 0q. Logo pelo Corolário1.2.10,
temos wwi P I, isto é, wi P pI :Rwq e wi P S. Assim f P T como desejado.
1.3
Sequências exatas
Nesta seção apresentamos a noção de sequências exatas. Além disso, mostramos como obter sequências exatas a partir de homomorfismos de R-módulos.
Definição 1.3.1. Considere uma sequência de R-módulos e homomorfismos
Ñ Mi 1 φi 1 ÝÝÑ Mi
φi
ÝÑ Mi1 Ñ
A sequência não precisa ser infinita (mas pode ser) em nenhum dos lados. (a) Dizemos que a sequência é exata em Mi se Impφi 1q kerpφiq.
(b) A sequência inteira é dita exata se ela é exata em cada Mi; quando a sequência é finita
(de um ou dos dois lados), não exigimos exatidão nos termos onde ela inicia ou termina. (c) Uma sequência exata é dita curta, se é da forma:
0Ñ M2
φ2 ÝÑ M1
φ1
ÝÑ M Ñ 0.
Algumas propriedades de homomorfismos como ser injetivo, sobrejetivo ou isomorfismo, podem ser apresentadas por meio de sequências exatas da seguinte forma: Seja φ : M Ñ N um homomorfismo de R-módulos, então
• φ : M Ñ N é sobrejetor se, e somente se, a sequência M ÝÑ N Ñ 0φ
• φ : M Ñ N é injetor se, e somente se, a sequência 0Ñ M ÝÑ Nφ
é exata, onde 0Ñ N é o homomorfismo que envia 0 ao neutro aditivo de N. • φ : M Ñ N é um isomorfismo se, e somente se, a sequência
0Ñ M ÝÑ N Ñ 0φ é exata.
Na próxima proposição veremos como relacionar qualquer homomorfismo de R-módulos, bem como submódulos de R-módulos, com sequências exatas.
Proposição 1.3.2. (a) Para qualquer homomorfismo de R-módulos φ : M Ñ N, temos uma
sequência exata
0Ñ kerpφq Ñ M ÝÑ N Ñ cokerpφq Ñ 0,φ
onde kerpφq Ñ M é a inclusão, e N Ñ cokerpφq é a projeção natural para o quociente. (b) Para qualquer homomorfismo de R-módulos φ : M Ñ N, temos uma sequência exata
0Ñ M{ kerpφqÝÑ N Ñ cokerpφq Ñ 0,φ onde φ é o homomorfismo induzido naturalmente por φ.
(c) Se Q P é um submódulo de um R-módulo P , então temos a sequência exata 0Ñ Q Ñ P ÝÑ P {Q Ñ 0,ν
onde QÑ P é a inclusão, e ν é a projeção natural para o quociente.
Demonstração. Em (a) e (b), a exatidão em N se verifica pela definição de cokernel de um homomorfismo, e do fato que Impφq Impφq. Para (a) é claro que a sequência é exata em M, e dado que a inclusão e φ são injetoras, então temos que as duas sequências são exatas.
A exatidão em (c) se tem a partir de (a), considerando φ como sendo a inclusão.
Definição 1.3.3. Seja M um R-módulo graduado, uma resolução graduada de M é uma
sequência exata da forma
ÝÑ Rφ3 2 φ2 ÝÑ R1 φ1 ÝÑ R0 φ0 ÝÑ M Ñ 0
2 Bases de Gröbner em KxXy
As primeiras noções do que hoje é conhecido como bases de Gröbner datam do ano 1900, quando Gordan, em [10], utiliza um método de redução de polinômios para deduzir o teorema da base de Hilbert. Mais tarde, em 1962, A. I. Shirshov (ver [25]), no estudo dos polinômios de Lie, apresentou um método que hoje é conhecido como as bases de Gröbner-Shirshov. Por outro lado, em 1965, ideias semelhantes às de Shirshov foram apresentadas por B. Buchberger em sua tese sob a supervisão de W. Gröbner, no estudo dos ideais do anel polinomial comutativo sobre um corpo K (ver [5]). Ainda que o trabalho de Buchberger tinha sido independente do trabalho de Shirshov, pode-se encontrar um paralelismo entre eles. Para isto e para conhecer mais da história das bases de Gröbner, veja por exemplo [4, 9]. Do trabalho apresentado por Buchberger deriva a noção que hoje é conhecida como base de Gröbner. Estes tipos de bases foram generalizados para outras estruturas e aplicados em diferentes contextos (ver [17]).
No caso do anel de polinômios não comutativos sobre um corpo K, foi em 1986 que F. Mora estendeu, em [22], o conceito de base de Gröbner para ideais neste anel. Uma diferença entre o caso comutativo e o não comutativo é o fato de que o anel polinomial não comutativo não satisfaz a condição de ser Noetheriano. Como consequência, a base de Gröbner de um ideal neste anel pode ser infinita. Aqui faremos um comentário: a álgebra polinomial Krx1, . . . , xns é
Noetheriana; seu grau de transcendência sobre K é igual a n. Assim todo ideal é finitamente gerado. Por outro lado, Kxx1, . . . , xny, n ¡ 1, contém como subálgebras álgebras associativas
livres de qualquer posto (finito ou infinito enumerável).
Os resultados apresentados neste capítulo são baseados principalmente nos trabalhos [23, 27].
Sejam X tx1, . . . , xnu e F KxXy. Neste capítulo utilizaremos a notação W MonpF q.
Logo temos que
W txi1xi2 xim | m ¥ 0, 1 ¤ ij ¤ nu,
lembrando que no caso em que m 0 temos a palavra 1.
2.1
Ordem admissível
Definição 2.1.1. Dizemos que uma relação © em W é uma ordem admissível, se satisfaz as
seguintes condições para todo w1, w2, w3, w4 P W .
pbq w1 © w2 e w2 © w1 implica que w1 w2;
pcq w1 © w2 e w2 © w3 implica que w1 © w3;
pdq w1 © w2 ou w2 © w1;
peq Para cada cadeia de elementos em W da forma w1 © w2 © w3 , existem j P N e w P W ,
tais que wi w para i ¥ j;
pfq w1 © w2 implica que w3w1w4 © w3w2w4; em outras palavras, © é compatível com a
multiplicação à esquerda bem como à direita.
Uma relação © em W satisfazendo os itens paq pdq é dita ser uma ordem total em W . E uma ordem total satisfazendo o item peq é chamada uma boa ordem em W .
Se w1 © w2 e w1 w2, escrevemos w1 ¡ w2.
Segue da definição que uma boa ordem em W que satisfaz a condição pfq, isto é, que é compatível com a multiplicação, é uma ordem admissível.
Definição 2.1.2. A ordem lexicográfica¥Lexem W é definida da seguinte forma: Primeiramente,
assumimos que x1 ¥Lex x2 ¥Lex ¥Lex xn. Sejam w1, w2 P W , dizemos que w1 ¥Lex w2 se
w1 w2w para algum w P W , ou se w1 wxi1w
1, w
2 wxi2w
2 para alguns w, w1, w2 P W e
algumas letras xi1, xi2 P X com i1 i2.
Note que a ordem¥Lex é uma ordem total em W . Agora, se |X| ¡ 1 temos que ¥Lex não
é compatível com a multiplicação, e também não é uma boa ordem. Portanto, não é uma ordem admissível. Por exemplo, x22 ¡Lexx2 mas x2x1 ¡Lexx22x1. Além disso, temos a seguinte cadeia
estritamente decrescente x2x1 ¡Lex x22x1 ¡Lex x32x1 ¡Lex .
Algumas ordens admissíveis que serão necessárias no nosso estudo são as seguintes.
Definição 2.1.3. Definimos a ordem lexicográfica graduada ¥grLex em W , da seguinte forma:
para w, w1 P W dizemos que w ¥grLex w1 se degpwq ¡ degpw1q, ou se degpwq degpw1q e
w¥Lexw1.
Definição 2.1.4. A ordem de eliminação ¥Elim é definida assim: sejam w, w1 P W , então
w¥Elim w1 se degxipwq ¡ degxipw
1q para algum i P t1, . . . , nu e deg
xjpwq degxjpw 1q para todo j P t1, . . . , i 1u, ou se degx ipwq degxipw 1q para todo i P t1, . . . , nu e w ¥ Lexw1.
Exemplo 2.1.5. Seja X tx1, x2u. Então:
• x1 ¥Elim x22, dado que degx1px1q 1 ¡ 0 degx1px
2 2q.
• x32x1 ¥Elim x1x22, dado que degx2px 3 2x1q ¡ degx2px1x 2 2q e degx1px 3 2x1q degx1px1x 2 2q.
• x1x22 ¥Elim x22x1, dado que degx1px1x
2 2q degx1px 2 2x1q, degx2px1x 2 2q degx2px 2 2x1q e x1x22 ¡Lexx22x1.
Definição 2.1.6. Dizemos que uma ordem admissível© é graduada se degpwq ¡ degpw1q implica
que w © w1.
Note que ¥grLex é uma ordem graduada, mas ¥Elim não o é.
Definição 2.1.7. Seja f P KxXyzt0u, então f pode ser apresentado de forma única como
f c1w1 csws,
onde wkP W e ckP Kzt0u. Se wl max
¡ twku então escrevemos
• lmpfq wl, e chamamos wl de monômio líder de f .
• lcpfq cl, e chamamos cl de coeficiente líder de f .
O monômio líder lmp0q e o coeficiente líder lcp0q não estão definidos.
Sejam f , f1, f2 P KxXyzt0u. Algumas propriedades do monômio líder que seguem facilmente
da definição, são as seguintes:
• Se f1 f2 0 então lmpf1 f2q ¨ maxtlmpf1q, lmpf2qu.
• Para w, w1 P W , tem-se que lmpwfw1q w lmpfqw1. • lmpf1f2q lmpf1q lmpf2q.
Agora, se M KxXy é um submódulo à direita, definimos o semigrupo lmpMq tlmpfq | f P M, f 0u
e o submódulo monominal à direita
LMpMq xlmpfq | f P M, f 0y KxXy. O módulo LMpMq é chamado de módulo monômios líder de M.
Exemplo 2.1.8. Consideremos F Kxx1, x2, x3y, e ¡ a ordem ¡grLex.
Seja I0 F o ideal bilateral dado por I0 xx1x2 x2x1, x1x3 x3x1, x2x3 x3x2y. Logo,
temos que lmpI0q xx1x2, x1x3, x2x3y W .
Considere agora I1 xx21 x1, x22 x2, x23 x3y. Assim, tem-se que lmpI1q xx21, x 2 2, x
2 3y
Consideremos agora o conjunto OpMq : W z lmpMq. Este conjunto fornece uma base linear do espaço F{M, de acordo com o seguinte resultado.
Teorema 2.1.9. Seja I F um ideal. Então F I ` Span
KpOpIqq, soma direta de espaços
vetoriais.
Demonstração. Primeiro vejamos que I X SpanKpOpIqq t0u. Suponha f 0, tal que f P IX SpanKpOpIqq. Então lmpfq P lmpIq X OpIq H. Portanto I X SpanKpOpIqq t0u. O fato de que F I SpanKpOpIqq segue do seguinte algoritmo:
Seja f P F , f 0. Se lmpfq P lmpIq, então existe gI P I tal que lmpfq lmpgIq. Além
disso, dado que I é um ideal de F , podemos escolher gI de forma que lcpgIq 1. Defina então,
f1 P F , como sendo
f1 f lcpfqgI.
No caso em que lmpfq R lmpIq, temos que lmpfq P OpIq, e defina f1 como sendo
f1 f lcpfq lmpfq.
Note que, em ambos os casos, temos que f1 0 ou lmpfq ¡ lmpf1q, e tem-se que
f f1 lcpfqh1,
onde h1 P I ou h1 P OpIq. Se f1 0, podemos fazer o mesmo procedimento para f1 e assim
temos que f1 f2 lcpf1qh2, onde f2 0 ou lmpfq ¡ lmpf1q ¡ lmpf2q. Logo,
f f2 lcpfqh1 lcpf1qh2,
onde h1, h2 P I Y OpIq. Lembre que ¡ é uma boa ordem. Então, mediante a iteração deste
procedimento, existe n tal que fn 0, lmpfq ¡ lmpf1q ¡ ¡ lmpfnq, fn 1 0, e
f lcpfqh1 lcpf1qh2 lcpfnqhn 1,
onde hi P I Y OpIq para 1 ¤ i ¤ n 1. Portanto f P I SpanKpOpIqq, como desejado.
Como consequências imediatas do teorema acima temos os seguintes resultados.
Corolário 2.1.10. Seja I F um ideal.
(a) As classes módulo I dos elementos de OpIq formam uma base do K-espaço vetorial F {I. (b) Para cada polinômio f P F , existe um único polinômio ˆf P SpanKOpIq tal que f ˆf P I.
Definição 2.1.11. Seja I F um ideal. Dado f P F , o único polinômio ˆf P SpanKOpIq tal
que f ˆf P I é chamado de forma canônica de f módulo I. Este polinômio ˆf é denotado por CanIpfq.
Observação 2.1.12. Sejam I F um ideal e f, g P F .
(a) CanIpfq CanIpgq se, e somente se, f g P I,
(b) CanIpfq 0 se, e somente se, f P I.
Exemplo 2.1.13. Seja I0 como no Exemplo 2.1.8 e seja f 2x1x2x3 3x3x21. Calculemos
CanI0pfq seguindo o algoritmo na demonstração do Teorema2.1.9, isto é, dado fi P F escrevemos fi 1 fi lcpfiqhi 1 onde hi 1P I0 quando lmpfiq P lmpI0q, ou no caso em que lmpfiq P OpI0q
então hi 1 P OpI0q. Portanto, existe r P N tal que
f lcpfqh1 lcpf1qh2 lcpfrqhr 1 fI0 fˆ com fI0 P I0, ˆf P SpanKOpI0q. Logo, ˆf CanI0pfq.
Lembramos que I0 xx1x2 x2x1, x1x3 x3x1, x2x3 x3x2y e lmpI0q xx1x2, x1x3, x2x3y.
Consideramos f f0 2x1x2x33x3x21. Então, para f temos que lmpfq x1x2x3 P lmpI0q.
Assim consideramos h1 x1px2x3 x3x2q P I0 e, neste caso escrevemos
f1 f0 lcpfqh1 2x1x3x2 3x3x21.
Para f1 temos que lmpf1q x1x3x2 P lmpI0q. Logo, h2 px1x3 x3x1qx2 P I0 e
f2 f1 lcpf1qh2 2x3x1x2 3x3x21.
Seguindo este procedimento temos os seguintes: lmpf2q x3x21 R lmpI0q, h3 x3x21 P OpI0q
f3 f2 lcpf2qh3 2x3x1x2.
lmpf3q x3x1x2 P lmpI0q, h4 x3px1x2 x2x1q P I0
f4 f3 lcpf3qh4 2x3x2x1.
lmpf4q x3x2x1 R lmpI0q, h5 x3x2x1 P OpI0q. Logo, f5 f4 lcpf4qh5 0.
Assim, temos que f lcpf0qh1 lcpf1qh2 lcpf2qh3 lcpf3qh4 lcpf4qh5 onde h1, h2,
h4 P I0 e h3, h5 P OpI0q.
Logo, CanI0pfq lcpf2qh3 lcpf4qh5 2x3x2x1 3x3x
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