Nesta seção I KxXy denotará um ideal bilateral.
Definição 2.2.1. Seja G F zt0u tal que I xGy. O conjunto G é dito uma base de Gröbner
de I se
lmpIq tw lmpgqw1 | g P G, w, w1 P W u. Alguns exemplos de bases de Gröbner são os seguintes (veja [13]).
Exemplo 2.2.2. Considere F Kxx, yy com a ordem ¡grLex tal que x¡grLex y, e o ideal xfy
onde f x2 xy. Então o conjunto txyix xyi 1| i P Nu é uma base de Gröbner de xfy.
Exemplo 2.2.3. Considere F Kxx, yy com a ordem ¡grLex tal que y ¡grLex x, e o ideal xfy
onde f yxy xyx. Seja G tfu Y tyxi 1yx xyxxyi | i ¥ 1u. Então G é uma base de Gröbner de I.
Segue facilmente da definição que se G é uma base de Gröbner de I, então o conjunto lmpGq gera o ideal bilateral LMpIq.
Precisaremos do seguinte resultado.
Proposição 2.2.4. Seja G KxXyzt0u um conjunto de polinômios tal que I xGy. Se lmpGq
gera o módulo dos monômios líder LMpIq, então G é uma base de Gröbner de I.
Demonstração. Como I xGy, temos que wgw1 P I, para quaisquer w, w1 P W e g P G. Dado que w lmpgqw1 lmpwgw1q P lmpIq, tem-se então que tw lmpgqw1 | g P G, w, w1 P W u lmpIq. Note que lmpIq LMpIq. Como lmpGq gera LMpIq, temos que lmpIq tw lmpgqw1 | g P G, w, w1 P W u. Logo, temos que G é uma base de Gröbner de I.
Da proposição anterior temos imediatamente o seguinte resultado para ideais monomiais.
Corolário 2.2.5. Seja S W um conjunto de monômios que geram o ideal xSy KxXy.
Então S é uma base de Gröbner de S com respeito a qualquer ordem admissível.
Lema 2.2.6. Seja I F zt0u um ideal, e seja G Izt0u. Se o conjunto lmpGq gera o semigrupo
lmpIq, então G é uma base de Gröbner de I.
Demonstração. Pela definição de base de Gröbner, é suficiente provar que I xGy. Suponha que xGy I. Dado que é uma boa ordem, existe um polinômio f P IzxGy tal que lmpfq seja mínimo. Como lmpfq P lmpIq e lmpGq gera o semigrupo lmpIq, existem c P Kzt0u, w, w1 P W , e g P G tais que lcpfq lmpfq c lmpwgw1q. Agora, note que f cwgw1 P IzxGy e lmpf cwgw1q lmpfq, contradizendo a escolha de f. Logo, I xGy como queríamos.
Uma outra caraterização de uma base de Gröbner é dada pelo seguinte resultado.
Proposição 2.2.7. Sejam G KxXyzt0u um conjunto de polinômios e I um ideal de KxXy.
Então, as seguintes condições são equivalentes: (a) O conjunto G é uma base de Gröbner de I.
(b) Para todo polinômio f P Izt0u, existe uma representação f
s
¸
i1
ciwigiw1i
com ci P Kzt0u, wi, w1i P W , e gi P G tal que lmpfq © lmpwigiw1iq para cada i P t1, . . . , su.
Demonstração. Suponha que G seja uma base de Gröbner de I, e seja f P Izt0u. Dado que G é uma base de Gröbner de I, existe g1 P G tal que lmpfq w1lmpg1qw11, para alguns w1, w11 P W .
Seja então c1
lcpfq lcpg1q
, e f1 f c1w1g1w11. Logo f1 0 ou lmpfq ¡ lmpf1q. Agora, por
definição G I, donde f1 P I. Portanto, se f1 0, existe g2 P G tal que lmpf1q w2lmpg2qw21,
para alguns w2, w12 P W . Novamente, fazendo c2
lcpf1q
lcpg2q
e f2 f1 c2w2g2w12, temos que
f2 0 ou lmpf1q ¡ lmpf2q. Iterando este procedimento, e dado que ¡ é uma boa ordem, existe
s tal que fs1 0, e fs fs1 cswsgsws1 0, com lmpfq ¡ lmpf1q ¡ ¡ lmpfs1q. Logo, f
tem uma representação da forma
f
s
¸
i1
ciwigiw1i
com ci 0, wi, w1i P W e gi P G. Note também que se f0 f, então temos que lmpfiq
wi 1lmpgi 1qwi 11 lmpwi 1gi 1wi 11 q para 0 ¤ i ¤ s 1. Então lmpfq lmpw1g1w11q ¡
lmpw2g2w21q ¡ ¡ lmpwsgsw1sq.
Suponha agora pbq. Então, tem-se que I xGy. Além disso, existe i P t1, . . . , su tal que lmpfq lmpwigiw1iq wilmpgiqw1i. Logo G é uma base de Gröbner de I.
Definição 2.2.8. Sejam f P KxXyzt0u um polinômio e G KxXyzt0u. Dizemos que f tem
uma presentação de Gröbner em termos de G se existirem c1, . . . , csP KxXyzt0u, w1, w11, . . . ,
ws, ws1 P W , e g1, . . . , gsP G tais que f s ¸ i1 ciwigiw1i e lmpfq lmpw1g1w11q ¡ ¡ lmpwsgsw1sq.
Note que na definição de base de Gröbner não é mencionada a unicidade desta. Isto é porque em geral para um ideal I KxXy podemos ter diferentes bases de Gröbner. Por exemplo,
considere G uma base de Gröbner de um ideal I KxXyzt0u, e seja f P IzG, com f 0. Então, GY tfu também é uma base de Gröbner de I.
Definição 2.2.9. Sejam I KxXyzt0u um ideal, e G uma base de Gröbner de I. Um polinômio
f P G é dito redundante se o conjunto Gztfu ainda é uma base de Gröbner de I. Dizemos que f P G é irredundante se não for redundante.
Pelo Lema2.2.6, temos o seguinte resultado.
Proposição 2.2.10. Sejam I KxXyzt0u um ideal, e G uma base de Gröbner de I. Um
polinômio f P G é redundante se lmpfq w lmpgqw1, para alguns w, w1 P W e g P G.
Agora, se os elementos redundantes são removidos, vamos ter uma base de Gröbner de menor tamanho. Assim apresentamos a definição de base de Gröbner reduzida.
Definição 2.2.11. Sejam I KxXyzt0u um ideal, e G uma base de Gröbner irredundante de
I. G é chamada uma base de Gröbner reduzida de I, se todo polinômio em G for mônico, e se g lmpgq CanIplmpgqq
para cada g P G.
Proposição 2.2.12. Para todo ideal I KxXyzt0u, existe uma única base de Gröbner reduzida.
Demonstração. Primeiro, note que dado I um ideal, o conjunto lmpIq é um ideal do semigrupo W . Logo, pelo Teorema 1.2.13, existe um único conjunto minimal de geradores de lmpIq. Considere lmpGq W como sendo o conjunto minimal de geradores de lmpIq com o correspondente conjunto de polinômios G KxXyzt0u, e seja G1 tlmpgq CanIplmpgqq | g P Gu.
Vejamos que G1 é uma base de Gröbner reduzida de I. Pelo Corolário2.1.10 temos que lmpgq CanIplmpgqq P I para cada g P G, logo G1 I. Além disso lmpG1q lmpGq gera lmpIq.
Assim pelo Lema 2.2.6 tem-se que G1 é uma base de Gröbner de I. Logo, G1 é uma base de Gröbner reduzida de I.
Suponha que G e H são duas bases de Gröbner reduzidas de I. Então, lmpGq e lmpHq são conjuntos minimais de geradores de lmpIq, e portanto lmpGq lmpHq. Sejam g P G e h P H tais que lmpgq lmphq. Note que g h P I. Agora como G e H são reduzidas, tem-se que g lmpgq CanIpgq e h lmphq CanIphq. Logo, g h CanIphq CanIpgq P SpanKOpIq.