Definição 2.1.1. Dizemos que uma relação © em W é uma ordem admissível, se satisfaz as
seguintes condições para todo w1, w2, w3, w4 P W .
pbq w1 © w2 e w2 © w1 implica que w1 w2;
pcq w1 © w2 e w2 © w3 implica que w1 © w3;
pdq w1 © w2 ou w2 © w1;
peq Para cada cadeia de elementos em W da forma w1 © w2 © w3 , existem j P N e w P W ,
tais que wi w para i ¥ j;
pfq w1 © w2 implica que w3w1w4 © w3w2w4; em outras palavras, © é compatível com a
multiplicação à esquerda bem como à direita.
Uma relação © em W satisfazendo os itens paq pdq é dita ser uma ordem total em W . E uma ordem total satisfazendo o item peq é chamada uma boa ordem em W .
Se w1 © w2 e w1 w2, escrevemos w1 ¡ w2.
Segue da definição que uma boa ordem em W que satisfaz a condição pfq, isto é, que é compatível com a multiplicação, é uma ordem admissível.
Definição 2.1.2. A ordem lexicográfica¥Lexem W é definida da seguinte forma: Primeiramente,
assumimos que x1 ¥Lex x2 ¥Lex ¥Lex xn. Sejam w1, w2 P W , dizemos que w1 ¥Lex w2 se
w1 w2w para algum w P W , ou se w1 wxi1w
1, w
2 wxi2w
2 para alguns w, w1, w2 P W e
algumas letras xi1, xi2 P X com i1 i2.
Note que a ordem¥Lex é uma ordem total em W . Agora, se |X| ¡ 1 temos que ¥Lex não
é compatível com a multiplicação, e também não é uma boa ordem. Portanto, não é uma ordem admissível. Por exemplo, x22 ¡Lexx2 mas x2x1 ¡Lexx22x1. Além disso, temos a seguinte cadeia
estritamente decrescente x2x1 ¡Lex x22x1 ¡Lex x32x1 ¡Lex .
Algumas ordens admissíveis que serão necessárias no nosso estudo são as seguintes.
Definição 2.1.3. Definimos a ordem lexicográfica graduada ¥grLex em W , da seguinte forma:
para w, w1 P W dizemos que w ¥grLex w1 se degpwq ¡ degpw1q, ou se degpwq degpw1q e
w¥Lexw1.
Definição 2.1.4. A ordem de eliminação ¥Elim é definida assim: sejam w, w1 P W , então
w¥Elim w1 se degxipwq ¡ degxipw
1q para algum i P t1, . . . , nu e deg
xjpwq degxjpw 1q para todo j P t1, . . . , i 1u, ou se degx ipwq degxipw 1q para todo i P t1, . . . , nu e w ¥ Lexw1.
Exemplo 2.1.5. Seja X tx1, x2u. Então:
• x1 ¥Elim x22, dado que degx1px1q 1 ¡ 0 degx1px
2 2q.
• x32x1 ¥Elim x1x22, dado que degx2px 3 2x1q ¡ degx2px1x 2 2q e degx1px 3 2x1q degx1px1x 2 2q.
• x1x22 ¥Elim x22x1, dado que degx1px1x
2 2q degx1px 2 2x1q, degx2px1x 2 2q degx2px 2 2x1q e x1x22 ¡Lexx22x1.
Definição 2.1.6. Dizemos que uma ordem admissível© é graduada se degpwq ¡ degpw1q implica
que w © w1.
Note que ¥grLex é uma ordem graduada, mas ¥Elim não o é.
Definição 2.1.7. Seja f P KxXyzt0u, então f pode ser apresentado de forma única como
f c1w1 csws,
onde wkP W e ckP Kzt0u. Se wl max
¡ twku então escrevemos
• lmpfq wl, e chamamos wl de monômio líder de f .
• lcpfq cl, e chamamos cl de coeficiente líder de f .
O monômio líder lmp0q e o coeficiente líder lcp0q não estão definidos.
Sejam f , f1, f2 P KxXyzt0u. Algumas propriedades do monômio líder que seguem facilmente
da definição, são as seguintes:
• Se f1 f2 0 então lmpf1 f2q ¨ maxtlmpf1q, lmpf2qu.
• Para w, w1 P W , tem-se que lmpwfw1q w lmpfqw1. • lmpf1f2q lmpf1q lmpf2q.
Agora, se M KxXy é um submódulo à direita, definimos o semigrupo lmpMq tlmpfq | f P M, f 0u
e o submódulo monominal à direita
LMpMq xlmpfq | f P M, f 0y KxXy. O módulo LMpMq é chamado de módulo monômios líder de M.
Exemplo 2.1.8. Consideremos F Kxx1, x2, x3y, e ¡ a ordem ¡grLex.
Seja I0 F o ideal bilateral dado por I0 xx1x2 x2x1, x1x3 x3x1, x2x3 x3x2y. Logo,
temos que lmpI0q xx1x2, x1x3, x2x3y W .
Considere agora I1 xx21 x1, x22 x2, x23 x3y. Assim, tem-se que lmpI1q xx21, x 2 2, x
2 3y
Consideremos agora o conjunto OpMq : W z lmpMq. Este conjunto fornece uma base linear do espaço F{M, de acordo com o seguinte resultado.
Teorema 2.1.9. Seja I F um ideal. Então F I ` Span
KpOpIqq, soma direta de espaços
vetoriais.
Demonstração. Primeiro vejamos que I X SpanKpOpIqq t0u. Suponha f 0, tal que f P IX SpanKpOpIqq. Então lmpfq P lmpIq X OpIq H. Portanto I X SpanKpOpIqq t0u. O fato de que F I SpanKpOpIqq segue do seguinte algoritmo:
Seja f P F , f 0. Se lmpfq P lmpIq, então existe gI P I tal que lmpfq lmpgIq. Além
disso, dado que I é um ideal de F , podemos escolher gI de forma que lcpgIq 1. Defina então,
f1 P F , como sendo
f1 f lcpfqgI.
No caso em que lmpfq R lmpIq, temos que lmpfq P OpIq, e defina f1 como sendo
f1 f lcpfq lmpfq.
Note que, em ambos os casos, temos que f1 0 ou lmpfq ¡ lmpf1q, e tem-se que
f f1 lcpfqh1,
onde h1 P I ou h1 P OpIq. Se f1 0, podemos fazer o mesmo procedimento para f1 e assim
temos que f1 f2 lcpf1qh2, onde f2 0 ou lmpfq ¡ lmpf1q ¡ lmpf2q. Logo,
f f2 lcpfqh1 lcpf1qh2,
onde h1, h2 P I Y OpIq. Lembre que ¡ é uma boa ordem. Então, mediante a iteração deste
procedimento, existe n tal que fn 0, lmpfq ¡ lmpf1q ¡ ¡ lmpfnq, fn 1 0, e
f lcpfqh1 lcpf1qh2 lcpfnqhn 1,
onde hi P I Y OpIq para 1 ¤ i ¤ n 1. Portanto f P I SpanKpOpIqq, como desejado.
Como consequências imediatas do teorema acima temos os seguintes resultados.
Corolário 2.1.10. Seja I F um ideal.
(a) As classes módulo I dos elementos de OpIq formam uma base do K-espaço vetorial F {I. (b) Para cada polinômio f P F , existe um único polinômio ˆf P SpanKOpIq tal que f ˆf P I.
Definição 2.1.11. Seja I F um ideal. Dado f P F , o único polinômio ˆf P SpanKOpIq tal
que f ˆf P I é chamado de forma canônica de f módulo I. Este polinômio ˆf é denotado por CanIpfq.
Observação 2.1.12. Sejam I F um ideal e f, g P F .
(a) CanIpfq CanIpgq se, e somente se, f g P I,
(b) CanIpfq 0 se, e somente se, f P I.
Exemplo 2.1.13. Seja I0 como no Exemplo 2.1.8 e seja f 2x1x2x3 3x3x21. Calculemos
CanI0pfq seguindo o algoritmo na demonstração do Teorema2.1.9, isto é, dado fi P F escrevemos
fi 1 fi lcpfiqhi 1 onde hi 1P I0 quando lmpfiq P lmpI0q, ou no caso em que lmpfiq P OpI0q
então hi 1 P OpI0q. Portanto, existe r P N tal que
f lcpfqh1 lcpf1qh2 lcpfrqhr 1 fI0 fˆ
com fI0 P I0, ˆf P SpanKOpI0q. Logo, ˆf CanI0pfq.
Lembramos que I0 xx1x2 x2x1, x1x3 x3x1, x2x3 x3x2y e lmpI0q xx1x2, x1x3, x2x3y.
Consideramos f f0 2x1x2x33x3x21. Então, para f temos que lmpfq x1x2x3 P lmpI0q.
Assim consideramos h1 x1px2x3 x3x2q P I0 e, neste caso escrevemos
f1 f0 lcpfqh1 2x1x3x2 3x3x21.
Para f1 temos que lmpf1q x1x3x2 P lmpI0q. Logo, h2 px1x3 x3x1qx2 P I0 e
f2 f1 lcpf1qh2 2x3x1x2 3x3x21.
Seguindo este procedimento temos os seguintes: lmpf2q x3x21 R lmpI0q, h3 x3x21 P OpI0q
f3 f2 lcpf2qh3 2x3x1x2.
lmpf3q x3x1x2 P lmpI0q, h4 x3px1x2 x2x1q P I0
f4 f3 lcpf3qh4 2x3x2x1.
lmpf4q x3x2x1 R lmpI0q, h5 x3x2x1 P OpI0q. Logo, f5 f4 lcpf4qh5 0.
Assim, temos que f lcpf0qh1 lcpf1qh2 lcpf2qh3 lcpf3qh4 lcpf4qh5 onde h1, h2,
h4 P I0 e h3, h5 P OpI0q.
Logo, CanI0pfq lcpf2qh3 lcpf4qh5 2x3x2x1 3x3x
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