Dinâmica das Estruturas

Vibrações em Sistemas com 1 Grau de Liberdade

 

 













































t

p

ku

u

c

u

m

t

p

ku

u

m

ku

u

c

u

m

ku

u

m





















s

amortecida

s

amortecida

-não

forçadas

s

amortecida

s

amortecida

-não

livres

0

0

Vibrações livres não-amortecidas











1

2

2

2









f

T

f

m

k

com

 

 































0

0

:

iniciais

cond

ou

0 0 2

0

0

u

u

u

u

u

u

ku

u

m















Vibrações livres não-amortecidas

 

t









t







u

cos

 

:

com















































0 0 2 0 2 0

u

u

arctg

u

u













u(t) t  u₀ u₀    T = 2 = f1

 

t









t







u

cos

 

 

































0

0

:

iniciais

condições

ou

0 0 2

2

0

u

u

u

u

u

u

u

ku

u

c

u

m





















m

k

m

c

_



2

2







e

:

com

Vibrações Livres com Amortecimento Subcrítico

 

_











_





t

e

t

u

t

cos

_D

 



















































0 0 0 2 0 2 0 0

u

u

u

arctg

u

u

u

D D

















:

com

1





2

1







_D





u(t) t  u₀   - e- t e  -t t₁ TD t₂ u₀  u₁ u₂

 

_











_





t

e

t

u

t

cos

_D

1





 

t

e



u



u

u



t



u



t ₀





₀





₀ u(t) t u₀ u₀

u(t) t u₀ u₀

1





 





_



  







 

_



t

u

u

t

u

e

t

u

t











ˆ

senh

ˆ

ˆ

cosh

0 0 0



1

2











_ˆ

com

Choque Mecânico: Perfeitamente Elástico

Fonte: Os fundamentos da Física – Mecânica Ramalho – Ivan – Nicolau - Toledo

Choque Mecânico: Perfeitamente Inelástico

Fonte: Os fundamentos da Física – Mecânica Ramalho – Ivan – Nicolau - Toledo

Choque Mecânico

e =0 e < 1 e = 1

Choque Perfeitamente Inelástico Choque Parcialmente Elástico Choque Perfeitamente Elástico

Máxima Dissipação Dissipação Parcial Conservação da Energia Cinética

Constante Constante Constante

ENERGIA QUANTIDADE DE MOVIMENTO e = COEFICIENTE DE RESTITUIÇÃO

(antes)

o

Aproximaçã

de

Relativa

Velocidade

(depois)

o

Afastament

de

Relativa

Velocidade



e

Fonte: Os fundamentos da Física – Mecânica Ramalho – Ivan – Nicolau - Toledo

Choque Horizontal (Puramente Inelástico) - Exemplo 3 3m v u kestr m 2m 45° 45° C A B a) b)

Choque Horizontal - desprezando o amortecimento

 

 





































0

0

:

iniciais

cond

ou

3

0

0

0

3

2

v

u

u

u

u

u

k

u

m

_est













Hz

;

s

;

s

rd

₀

₁₁₅₅₈

₈

₆₅₁₉₁

36

54

.



.



.



T

f



u(t) = 6.13177e-4 * cos(54.3616 * t + 1.5708)

Choque Horizontal - Considerando o amortecimento

 

 







































0

0

:

iniciais

condições

ou

3

0

2

0

3

2

v

u

u

u

u

u

u

k

u

c

u

m

_estr



















[ - 0.92206, 0.78787, - 0.67321, 0.57524]

[ - 5.65388e-4, 4.83106e-4, - 4.12799e-4, 3.52724e-4] em metros

Choque Horizontal - Considerando o amortecimento

 

t



e

2,71808



0

,

000614

cos



54

,

2936

t



1

,

5708





u

t

05

0.





Choque Horizontal – Força normal na barra AC: sem e com amortecimento

Acoplamento em Série de Molas 3m v u kestr m 2m C A B a) b) m k km keq c) u 3m

u

k

k

u

u

k

k

u

k

k

k

k

k

F

F

F

k

F

k

F

k

F

u

m eq m est eq est m est m est eq m est m m est est eq

































Acoplamento em Série de Molas 2 2 2 1 1 1 * 2 1

F

F

k

U

F

k

U

F

k

U

F

F











2 1 * 2 2 1 1 * 2 1

1

1

1

k

k

k

k

F

k

F

k

F

U

U

U

















U

k

k

k

F

k

F

U

U

k

k

k

F

k

F

U

2 * 2 2 2 2 1 * 1 1 1 1













Associação em Paralelo 2 1 2 1

U

U

U

F

F

F









2 1 * 2 1 2 2 2 1 1 1 *

k

k

k

F

F

F

U

k

F

U

k

F

U

k

F



















F

k

k

U

k

F

F

k

k

U

k

F

* 2 2 2 2 * 1 1 1 1

















 

 















































0

0

:

iniciais

condições

ou

g

gh

m

m

m

u

k

g

m

u

u

u

m

m

u

k

u

m

m

est est

2

2 1 1 1 2 2 1 2 1













  















:

com

t

u



































































g

m

m

gh

k

k

g

m

m

h

k

g

m

m

m

k

t

k

g

m

m

est est est est est 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1

2

arctan

2

cos























est est máx est est est máx

u

h

m

m

m

D

Du

u

k

g

m

m

u

k

g

m

m

u

2

1

1

2 1 2 2 1 2 1



















































Choque Vertical - Exemplo 4 – Associação em Paralelo

m est

b

k

k

Choque Vertical - Exemplo 4 – Associação em Paralelo

km k*b UEb_est Db UEb_din_max Erro

595000 970000 3,866E-02 2,588 0,100069 0,069% 595100 970100 3,866E-02 2,589 0,100062 0,062% 595200 970200 3,865E-02 2,589 0,100055 0,055% 595300 970300 3,865E-02 2,589 0,100048 0,048% 595400 970400 3,864E-02 2,589 0,100040 0,040% 595500 970500 3,864E-02 2,589 0,100033 0,033% 595600 970600 3,864E-02 2,589 0,100026 0,026% 595700 970700 3,863E-02 2,589 0,100019 0,019% 595800 970800 3,863E-02 2,589 0,100012 0,012% 595900 970900 3,862E-02 2,589 0,100005 0,005% 596000 971000 3,862E-02 2,589 0,099997 0,003% 596100 971100 3,862E-02 2,589 0,099990 0,010% 596200 971200 3,861E-02 2,589 0,099983 0,017% 596300 971300 3,861E-02 2,590 0,099976 0,024% 596400 971400 3,860E-02 2,590 0,099969 0,031% 596500 971500 3,860E-02 2,590 0,099961 0,039% 596600 971600 3,860E-02 2,590 0,099954 0,046% 596700 971700 3,859E-02 2,590 0,099947 0,053% 596800 971800 3,859E-02 2,590 0,099940 0,060% 596900 971900 3,858E-02 2,590 0,099933 0,067% 597000 972000 3,858E-02 2,590 0,099926 0,074% 597100 972100 3,858E-02 2,590 0,099918 0,082%

Choque Vertical - Exemplo 4 – Associação em Série m est c

k

k

k

1

1

1

*





Choque Vertical - Exemplo 4 – Associação em Série

km k*c UG_est UE_est Dc UGc_din_max UEc_din_max Erro

104900 81970 0,4575 0,1000 1,49984 6,86153E-01 1,49984E-01 0,0104% 104920 81982 0,4574 0,1000 1,49987 6,86066E-01 1,49987E-01 0,0083% 104930 81989 0,4574 0,1000 1,49989 6,86022E-01 1,49989E-01 0,0073% 104940 81995 0,4573 0,1000 1,49991 6,85978E-01 1,49991E-01 0,0063% 104950 82001 0,4573 0,1000 1,49992 6,85934E-01 1,49992E-01 0,0052% 104960 82007 0,4573 0,1000 1,49994 6,85890E-01 1,49994E-01 0,0042% 104970 82013 0,4572 0,1000 1,49995 6,85846E-01 1,49995E-01 0,0031% 104980 82019 0,4572 0,1000 1,49997 6,85802E-01 1,49997E-01 0,0021% 104990 82025 0,4572 0,1000 1,49998 6,85758E-01 1,49998E-01 0,0010% 105000 82031 0,4571 0,1000 1,50000 6,85714E-01 1,50000E-01 0,0000% 105010 82037 0,4571 0,1000 1,50002 6,85670E-01 1,50002E-01 0,0010% 105020 82043 0,4571 0,1000 1,50003 6,85627E-01 1,50003E-01 0,0021% 105030 82050 0,4570 0,1000 1,50005 6,85583E-01 1,50005E-01 0,0031% 105040 82056 0,4570 0,1000 1,50006 6,85539E-01 1,50006E-01 0,0042% 105050 82062 0,4570 0,1000 1,50008 6,85495E-01 1,50008E-01 0,0052% 105060 82068 0,4569 0,1000 1,50009 6,85451E-01 1,50009E-01 0,0062% 105070 82074 0,4569 0,1000 1,50011 6,85407E-01 1,50011E-01 0,0073% 105080 82080 0,4569 0,1000 1,50012 6,85364E-01 1,50012E-01 0,0083% 105090 82086 0,4568 0,1000 1,50014 6,85320E-01 1,50014E-01 0,0094%

Caso C - Associação em Série - Analise Dinâmica do Ponto G

A determinação do deslocamento vertical do ponto E faz-se pela relação UE = UG*kc/ka Note-se que UE_est é sempre igual a 0,1 m e, portanto, UE_din_max > 0,1m

Choque Vertical - Exemplo 4 – Associação em Série e Paralelo m est b

k

k

k

*





m b d

k

k

k

1

1

1

* *





Choque Vertical - Exemplo 4 – Associação em Série e Paralelo

km kb k*d UGd_est UEd_est Dd UGd_din_max UEd_din_max Erro 260.000 635.000 184.469 0,203285887 0,059055118 1,716 0,349 0,101321 1,321% 261.000 636.000 185.057 0,202640425 0,058962264 1,717 0,348 0,101224 1,224% 262.000 637.000 185.644 0,201999473 0,058869702 1,718 0,347 0,101127 1,127% 263.000 638.000 186.231 0,201362981 0,058777429 1,719 0,346 0,101030 1,030% 264.000 639.000 186.817 0,200730901 0,058685446 1,720 0,345 0,100933 0,933% 265.000 640.000 187.403 0,200103184 0,05859375 1,721 0,344 0,100836 0,836% 266.000 641.000 187.989 0,199479784 0,05850234 1,722 0,343 0,100740 0,740% 267.000 642.000 188.574 0,198860653 0,058411215 1,723 0,343 0,100643 0,643% 268.000 643.000 189.159 0,198245746 0,058320373 1,724 0,342 0,100547 0,547% 269.000 644.000 189.744 0,197635018 0,058229814 1,725 0,341 0,100451 0,451% 270.000 645.000 190.328 0,197028424 0,058139535 1,726 0,340 0,100355 0,355% 271.000 646.000 190.912 0,196425919 0,058049536 1,727 0,339 0,100260 0,260% 272.000 647.000 191.495 0,195827462 0,057959815 1,728 0,338 0,100164 0,164% 273.000 648.000 192.078 0,195233008 0,05787037 1,729 0,338 0,100069 0,069% 274.000 649.000 192.661 0,194642516 0,057781202 1,730 0,337 0,099974 0,026% 275.000 650.000 193.243 0,194055944 0,057692308 1,731 0,336 0,099879 0,121% 276.000 651.000 193.825 0,193473252 0,057603687 1,732 0,335 0,099784 0,216% 277.000 652.000 194.407 0,192894399 0,057515337 1,733 0,334 0,099689 0,311% 278.000 653.000 194.988 0,192319345 0,057427259 1,734 0,334 0,099595 0,405% 279.000 654.000 195.569 0,191748052 0,05733945 1,735 0,333 0,099501 0,499% 280.000 655.000 196.150 0,191180480 0,057251908 1,736 0,332 0,099407 0,593% 281.000 656.000 196.730 0,190616591 0,057164634 1,737 0,331 0,099313 0,687%

Caso D - Associação em Série e Paralelo - Analise Dinâmica do Ponto G

Vibrações Forçadas Harmônicas  m₁ m₂ a m3 h EI, , EI h t m3 = 2_{a força centrífuga} p(t) u k c m

 

 

 





























0

0

:

iniciais

condições

t

sin

0 0 0

u

u

u

u

p

ku

u

c

u

m













 

 

 





























0

0

:

iniciais

condições

t

sin

0 0 0

u

u

u

u

p

ku

u

c

u

m

















1

Vibrações Forçadas Harmônicas

 

_

_

_

_

_



_

_

_

_



_

_

_



_

_



particular solução homogênea solução















_

_

_





t

sen

t

e

t

u

t

cos

_D

Vibrações Forçadas Harmônicas – Solução da Homogênea

 

_









_





t

e

t

u

_h t

cos

_D









:

com

















































2 2 2 2 0

1

2

2

1

1













arctg

D

k

p

u

Du

e e

Vibrações Forçadas Harmônicas – Solução Particular

 

t





sen





t







p(t) u k c m



2



2





2 0

1

2

1















k

p

D

Vibrações Forçadas Harmônicas – Regime Permanente

 

t





sen





t







p(t) u k c m



2



2





2 0

1

2

1















k

p

D

Vibrações Forçadas Harmônicas – Regime Permanente

 

t





sen





t







Vibrações Forçadas Harmônicas

Estudo do controle de vibrações para uma estrutura

Figura 6.7 N/m 10 60 3 Nm 10 6,75 m 15 10 6 3 2 10 6        h EI k EI h kg m

p(t) u k c m

1

7.746rd/s

12.5%

N/m



















6 6

10

60

10

kg

k

m

[p0 = 60000N, u0 = 0.002m, v0 = 0,0]

p(t) u k c m

1

7.746rd/s

12.5%

N/m



















6 6

10

60

10

kg

k

m

[p0 = 60000N, u0 = 0.002m, v0 = 0,0]

VFH - E4 - Excitação de Suporte

u

s

u

u

s

u

u

s

a

x

u

t t t







































 

t

sen

s

m

s

m

ku

u

c

u

m

ku

u

c

s

u

m





2 ₀

0







































ou

 

t

ms

sen

 

t

s



₀



VFH - E4 - Excitação de Suporte

 

t

ms

sen

 

t

s



₀



 

0 2 0 0

s

m

p

t

sen

p

ku

u

c

u

m













com







𝑚 = 1 × 10

6

kg , ℎ = 15m , 𝑐 = 1,9365 × 10

6

Ns/m , 𝑠

₀

= 0,01m

𝐸 = 3 × 10

10

N𝑚

−2

, 𝐼 = 2,25 𝑚

4

Dinâmica das Estruturas

c EI,h x O xg=x sen0 t -4,00E-02 -3,00E-02 -2,00E-02 -1,00E-02 0,00E+00 1,00E-02 2,00E-02 3,00E-02 4,00E-02 5,00E-02 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 𝜔 = 7 rad/s , 𝛽 = 0,9037 , 𝑝₀ = 4,9 × 105 N , 𝑢_𝑒 = 8,17 × 10−3 m ,

𝐷 = 3,437 , 𝜌 = 2,81 × 10

−2

m , 𝐹

_𝑚𝑎𝑥

= 1,68 × 10

6

N , 𝑀

_𝑚𝑎𝑥

= 2,53 × 10

7

Nm

VFH - E4 - Excitação de Suporte  0 0,02m u 0 0,2m/s u 

Dinâmica das Estruturas

c EI,h x O xg=x sen0 t 𝜔 = 7 rad/s , 𝛽 = 0,9037 , 𝑝₀ = 4,9 × 105 N , 𝑢_𝑒 = 8,17 × 10−3 m ,

𝐷 = 3,437 , 𝜌 = 2,81 × 10

−2

m , 𝐹

_𝑚𝑎𝑥

= 1,68 × 10

6

N , 𝑀

_𝑚𝑎𝑥

= 2,53 × 10

7

Nm

-4,00E-02 -3,00E-02 -2,00E-02 -1,00E-02 0,00E+00 1,00E-02 2,00E-02 3,00E-02 4,00E-02 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 -4,00E-02 -3,00E-02 -2,00E-02 -1,00E-02 0,00E+00 1,00E-02 2,00E-02 3,00E-02 4,00E-02 0 1 2 3 4 5 VFH - E4 - Excitação de Suporte

 

0



0

u

 

0



0

u



Dinâmica das Estruturas

c EI,h x O xg=x sen0 t

m

u

0

0033

5

0

,

.

max







-4,00E-03 -3,00E-03 -2,00E-03 -1,00E-03 0,00E+00 1,00E-03 2,00E-03 3,00E-03 4,00E-03 5,00E-03 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 VFH - E4 - Excitação de Suporte

 

0



0

u

 

0



0

u



Dinâmica das Estruturas

c EI,h x O xg=x sen0 t

m

04

0

u

0

1

,

.

max







-8,00E-02 -6,00E-02 -4,00E-02 -2,00E-02 0,00E+00 2,00E-02 4,00E-02 6,00E-02 8,00E-02 1,00E-01 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 VFH - E4 - Excitação de Suporte  0 0,08m u 0 0 u 

Dinâmica das Estruturas

c EI,h x O xg=x sen0 t

m

017

0

u

5

1

,

.

max







-3,00E-02 -2,00E-02 -1,00E-02 0,00E+00 1,00E-02 2,00E-02 3,00E-02 4,00E-02 5,00E-02 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 VFH - E4 - Excitação de Suporte

Vibração Forçada Harmônica – Transmissibilidade

𝑢

_𝑇

𝑡 = 𝑢 𝑡 + 𝑠 𝑡

𝑢 𝑡 = 𝜌 𝑠𝑒𝑛(𝜔

𝑡 − 𝜃 )

𝜌 = 𝐷

𝑚𝜔

2

_𝑠

0

𝑘

= 𝐷𝛽

2

_𝑠

0

𝜃 = arctan⁡

2ξβ

1 − β

2

𝑢

_𝑇

𝑡 = 𝑢 𝑡 + 𝑠 𝑡

Vibração Forçada Harmônica – Transmissibilidade

 





 

 

















ˆ

sin

sin

max 0











t

u

t

u

t

s

t

sen

t

u

T T T



















estrada da perfil permanente regime









































cos

1

sin

arctan

ˆ

2

1

2 2 2 0 max

D

D

D

TR

s

TR

u

_T

𝑢

_𝑇

𝑡 = 𝑢 𝑡 + 𝑠 𝑡

Vibração Forçada Harmônica – Transmissibilidade





2 0 max

2

1









D

TR

s

TR

u

_T

Vibração Forçada Harmônica – Transmissibilidade

N/m

10

4865

,

1

m

03

,

0

12m

km/h

72

5 0











k

s

V



_Determinar

_tal

_que

₅

_cm

max



T

u

c

Vibração Forçada Harmônica – Transmissibilidade

941

,

0

rad/s

130

,

11

rad/s

10,472

s

6

,

0





















m

k

T

cm

D

c

56

,

3

342

,

1

m

Ns

10450

391

,

0













Vibração Forçada Harmônica – Transmissibilidade

Carregamentos Periódicos

Um carregamento periódico

geral pode ser representado

por meio de série de Fourier

Carregamentos Periódicos

Exemplo: Carregamento Periódico

Determinar a resposta

dinâmica do oscilador,

em regime estacionário,

até o quarto harmônico

Carregamento Impulsivos

Fase 1 : Vibrações Forçadas

1

t

t

0





1

t

t



Fase 2 : Vibrações Livres com

condições iniciais

 

 











1 1 1 1

u

t

u

u

t

u





Carregamento Impulsivo: Pulso Retangular

 

 

t

0

0

t

t

₁1

p

t

t

p

t

p









para

para

u t umáx T 2 T 0 p0 2 = k est u _{= k}p0

Fase 2 : Vibrações Livres

 

 















1 1

u

u

u

u

0

ku

u

m









1 1

t

t

:

i.

c.

 

_









_



_



_



_

_



1 D t t

t

t

e

t

u

1

cos

 

































































1 D 1 1 2 1 2 D 1 1

u

u

u

arctg

u

u

u





:

com

2

1







_D





Carregamento Impulsivo

 

t

0

para

t

t

₁

P





Carregamento Impulsivo: Pulso Retangular

 

 

t

0

0

t

t

₁1

p

t

t

p

t

p









para

para

Carregamento Impulsivo: Pulso Retangular

    1 1 0 0 t t t p t t p t p     para para

Carregamento Impulsivo: Pulso Retangular

    1 1 0 0 t t t p t t p t p     para para

D T1 t 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 0

Carregamentos Impulsivos

Carregamento Impulsivo de Curtíssima Duração

Fase 1 :

1

t

t

0





1

t

t



_{Fase 2 : Vibrações Livres com}

condições iniciais

 

 















m

I

u

t

u

0

t

u

1 1 1





25

0

T

t

₁

_

_.

 

 

 













0

u

0

u

t

p

u

m

0

0

:

i.

c.







 













2 1 1

2

sin

1  











  























e

m

I

t

u

u

t

t

e

m

I

t

u

D D máx D t t D

Exemplo 6: Carregamento Impulsivo de Curtíssima Duração





















m

45

h

m

N

10

7

k

kg

10

7

m

Dados

7 5

/

:

kNm

2025

h

F

M

N

45

ku

F

m

000643

0

m

I

u

s

25

0

s

0318

0

T

t

s

6283

0

2

T

s

rd

10

m

k

máx máx máx máx máx 1

































.

.

.

.

/

Carregamentos Dinâmicos Gerais

somatório simples

aproximação por funcões constantes trapezoidal

aproximação por funcões constantes Simpson

aproximação por funções quadráticas

Método de Runge-Kutta de 4a. Ordem Método de Euler-Gauss Método de Newmark Método de Wilson-Ѳ Análise no domínio da frequência Transformada de

Fourier FFT- Transformada Rápida de Fourier Integração numérica Solução numérica da equação diferencial do movimento Análise no domínio do tempo

 

t p ku u c u m  

Carregamentos Dinâmicos Gerais

Carregamentos Dinâmicos Gerais

Integração numérica

 Somatório simples (aproximação por funções constantes)

 Trapezoidal (aproximação por funções lineares)

Carregamentos Dinâmicos Gerais

Análise no domínio do tempo Integral de Duhamel

 

s rad 10,472 N m N m Ns kg           3948 148650 10450 1200 ₀ 0 p k c m t sen p ku u c u m 

ti (s) Ai Bi Simpson exata erro

1,46 0,005942 0,041554 0,034375 0,034409 -0,10% 1,48 0,003958 0,039246 0,035552 0,035593 -0,11% 1,50 0,003067 0,036264 0,035177 0,035221 -0,12%

ti (s) Ai Bi Simpson exata erro

1,46 0,00594 0,04155 0,03438 0,03441 -0,09% 1,48 0,00396 0,03925 0,03550 0,03559 -0,25% 1,50 0,00307 0,03626 0,03518 0,03522 -0,11%

ti (s) Ai Bi Simpson exata erro

1,46 0,0059 0,0416 0,0344 0,0344 0,00% 1,48 0,0040 0,0392 0,0356 0,0356 0,00% 1,50 0,0031 0,0363 0,0352 0,0352 0,00% ui ui ui

Carregamentos Dinâmicos Gerais

Análise no domínio do tempo

Solução numérica da equação diferencial do movimento – Método de Euler-Gauss

Hipóteses:



Tempo discretizado em intervalos de duração



t

constante



Considera-se um intervalo de tempo



t

entre os instantes

t

i

t

_i





e

t

_i1



 

i



1



t



Admite-se que são conhecidos

u

_i

u



_i

u





_i

no instante

t

_i



Deseja-se determinar

u

_i1

u



_i1

u





_i1

em um certo

instante

t

_i1



Admite-se nesse intervalo que a aceleração seja constante

e igual à média

2

1 



_i i

u

u









Carregamentos Dinâmicos Gerais









































       2 i 1 i i i 1 i i 1 i i 1 i i 1 i i 1 i 1 i i

t

2

u

u

2

1

t

u

u

u

t

2

u

u

u

u

t

t

t

2

u

u

a

t

t

t











































1 i i i 1 i i i i 1 i 2 1 i

u

2

t

u

2

t

u

u

u

t

u

t

4

u

u

t

4

u

   















































Análise no domínio do tempo

Solução numérica da equação diferencial do movimento – Método de Euler-Gauss





1 i i i 1 i i i i 1 i 2 1 i

u

2

t

u

2

t

u

u

u

t

u

t

4

u

u

t

4

u

   















































1 i 1 i 1 i 1 i

c

u

ku

p

u

m





_





_



_



_













_

















_























    i i i i i i i i i

u

u

t

c

u

u

t

u

t

m

p

R

c

t

m

t

k

k

R

u

k









2

4

4

ˆ

2

4

ˆ

ˆ

ˆ

2 1 1 2 1 1

com

Carregamentos Dinâmicos Gerais

Análise no domínio do tempo

Carregamentos Dinâmicos Gerais

Análise no domínio do tempo

Solução numérica da equação diferencial do movimento – Método de Euler-Gauss

Método de Euler- Gauss é incondiconalmente estável

Recomenda-se:























0 0 0 0 0 0 0

u

m

c

u

m

k

m

p

u

u

u

t









)

,

min(

20

* *

T

T

T

T

t



















_

















_























    i i i i i i i i i

u

u

t

c

u

u

t

u

t

m

p

R

c

t

m

t

k

k

R

u

k









2

4

4

ˆ

2

4

ˆ

ˆ

ˆ

2 1 1 2 1 1

Carregamentos Dinâmicos Gerais

Análise no domínio do tempo

Solução numérica da equação diferencial do movimento – Método de Euler-Gauss

 

s rad 10,472 N m N m Ns kg           3948 148650 10450 1200 ₀ 0 p k c m t sen p ku u c u m 

s

60

,

0

s

56

,

0





T

T

Carregamentos Dinâmicos Gerais

Análise no domínio do tempo

Solução numérica da equação diferencial do movimento – Método de Euler-Gauss

 

s rad 10,472 N m N m Ns kg           3948 148650 10450 1200 ₀ 0 p k c m t sen p ku u c u m 