O oscilador harmônico singular revisitado

O oscilador harmˆ onico singular revisitado

(The singular harmonic oscillator revisited)

Douglas R.M. Pimentel, Antonio S. de Castro ¹

Departamento de F´ısica e Qu´ımica, Universidade Estadual Paulista “J´ ulio de Mesquita Filho”, Guaratinguet´ a, SP, Brasil Recebido em 25/9/2012; Aceito em 4/4/2013; Publicado em 9/9/2013

Investiga-se a equa¸ c˜ ao de Schr¨ odinger unidimensional com o oscilador harmˆ onico singular. A hermiticidade dos operadores associados com quantidades f´ısicas observ´ aveis ´ e usada como crit´ erio para mostrar que o oscilador singular atrativo ou repulsivo exibe um n´ umero infinito de solu¸ c˜ oes aceit´ aveis, contanto que o parˆ ametro res- pons´ avel pela singularidade seja maior que um certo valor cr´ıtico, em discordˆ ancia com a literatura. O problema definido em todo o eixo exibe dupla degenerescˆ encia no caso do oscilador singular e intrus˜ ao de adicionais n´ıveis de energia no caso do oscilador n˜ ao-singular. Outrossim, mostra-se que a solu¸ c˜ ao do oscilador singular n˜ ao pode ser obtida a partir da solu¸ c˜ ao do oscilador n˜ ao-singular via teoria da perturba¸ c˜ ao.

Palavras-chave: oscilador harmˆ onico, potencial singular, degenerescˆ encia, colapso para o centro.

The one-dimensional Schr¨ odinger equation with the singular harmonic oscillator is investigated. The Hermi- ticity of the operators related to observable physical quantities is used as a criterion to show that the attractive or repulsive singular oscillator exhibits an infinite number of acceptable solutions provided the parameter res- ponsible for the singularity is greater than a certain critical value, in disagreement with the literature. The problem for the whole line exhibits a two-fold degeneracy in the case of the singular oscillator, and the intrusion of additional solutions in the case of a nonsingular oscillator. Additionally, it is shown that the solution of the singular oscillator can not be obtained from the nonsingular oscillator via perturbation theory.

Keywords: harmonic oscillator, singular potential, degeneracy, collapse to the center.

1. Introdu¸ c˜ ao

O oscilador harmˆ onico ´ e um dos mais importantes siste- mas em mecˆ anica quˆ antica porque ele apresenta solu¸c˜ ao em forma fechada e isto pode ser ´ util para gerar solu¸c˜ oes aproximadas ou solu¸c˜ oes exatas para v´ arios proble- mas. O oscilador harmˆ onico ´ e costumeiramente resol- vido com o m´ etodo de solu¸c˜ ao em s´ eries de potˆ encias (veja, e.g., Ref. [1]) e o m´ etodo alg´ ebrico (veja, e.g., Ref. [2]), e tamb´ em por meio de t´ ecnicas de integra¸ c˜ ao de trajet´ oria (veja, e.g., Ref. [3]). Recentemente, o os- cilador harmˆ onico unidimensional foi abordado com os m´ etodos operacionais da transformada de Fourier [4] e da transformada de Laplace [5].

A equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger com um potencial quadr´ atico acrescido de um termo inversamente quadr´ atico, conhecido como oscilador harmˆ onico sin- gular, tamb´ em ´ e um problema exatamente sol´ uvel [6]- [12]. A bem da verdade, o problema geral de espa- lhamento e estados ligados em potenciais singulares

´

e um tema antigo (veja, e.g., Ref. [13]). O caso do oscilador harmˆ onico singular com parˆ ametros do po- tencial dependentes do tempo tˆ em sido alvo de inves-

tiga¸c˜ ao recente [14]. O oscilador singular se presta pa- ra a constru¸c˜ ao de modelos sol´ uveis de N corpos [15], tanto quanto como base para expans˜ oes perturbativas e an´ alise variacional para osciladores harmˆ onicos acres- cidos de termos com singularidades muito mais fortes que o termo inversamente quadr´ atico [16]. O oscila- dor singular tamb´ em tem sido utilizado em mecˆ anica quˆ antica relativ´ıstica [17]. A exata solubilidade do os- cilador singular pode ser constatada nas Refs. [6] e [8]

para o caso tridimensional, e tamb´ em ´ e patente nas Refs. [7] e [9] para o caso unidimensional restrito ao semieixo positivo. Duas referˆ encias mais recentes abor- dam o problema unidimensional em todo o eixo [10,11].

Na Ref. [10] n˜ ao h´ a detalhes da solu¸c˜ ao do problema nem men¸c˜ ao ` as poss´ıveis degenerescˆ encias, e l´ a consta que, para um oscilador singular atrativo, a part´ıcula colapsa para o ponto x = 0 (The particle collapses to the point x = 0). Na Ref. [11], Palma e Raff es- miu¸cam o problema com o potencial singular repulsivo, concluem apropriadamente sobre a degenerescˆ encia e simplesmente afirmam que n˜ ao h´ a estado fundamental no caso do oscilador singular atrativo (the attractive potential has no lower energy bound).

1

E-mail: castro@pq.cnpq.br.

Copyright by the Sociedade Brasileira de F´ ısica. Printed in Brazil.

O intuito deste trabalho ´ e perscrutar a equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger unidimensional com o oscilador harmˆ onico singular. Veremos que, al´ em de uma cr´ıtica ` a lite- ratura concernente a um problema de interesse re- cente e j´ a cristalizado em livros-texto largamente co- nhecidos, a abordagem dos estados ligados do osci- lador harmˆ onico singular que se presencia neste tra- balho permite aos estudantes de mecˆ anica quˆ antica e f´ısica matem´ atica dos cursos de gradua¸c˜ ao em f´ısica o contato com equa¸c˜ oes diferenciais singulares e o com- portamento assint´ otico de suas solu¸ c˜ oes, fun¸c˜ ao hiper- geom´ etrica confluente, polinˆ omios de Laguerre e de Hermite e outras fun¸c˜ oes especiais, valor principal de Cauchy de integrais impr´ oprias, condi¸c˜ ao de hermitici- dade sobre operadores associados com grandezas f´ısicas observ´ aveis e o descarte de solu¸c˜ oes esp´ urias, condi¸c˜ oes de contorno e analiticidade das solu¸c˜ oes na vizinhan¸ ca de pontos singulares, paridade e extens˜ oes sim´ etricas e antissim´ etricas de autofun¸c˜ oes, degenerescˆ encia em sis- temas unidimensionais, transi¸c˜ ao de fase e surgimento de n´ıveis intrusos, et cetera. Seguramente, a profus˜ ao de conceitos e t´ ecnicas ´ e do interesse de estudantes e instrutores. Com o crit´ erio de hermiticidade dos ope- radores associados com quantidades f´ısicas observ´ aveis, o tratamento do problema p˜ oe ` a vista dos leitores que o oscilador singular, seja atrativo ou repulsivo, exibe um n´ umero infinito de solu¸ c˜ oes aceit´ aveis desde que o parˆ ametro respons´ avel pela singularidade seja maior que um certo valor cr´ıtico. Veremos que o espectro de energia ´ e uma fun¸c˜ ao mon´ otona do parˆ ametro res- pons´ avel pela singularidade e que a energia do estado fundamental do oscilador singular, independentemente do sinal de tal parˆ ametro, ´ e sempre maior que dois ter¸ cos da energia do estado fundamental do oscilador n˜ ao-singular para o problema definido no semieixo, e sempre maior que o dobro da energia do estado fun- damental do oscilador n˜ ao-singular para o problema definido em todo o eixo. Mostramos que o problema definido em todo o eixo nos conduz ` a dupla degene- rescˆ encia no caso do potencial singular e ` a intrus˜ ao de adicionais n´ıveis de energia no caso do oscilador n˜ ao- singular (relacionados com as autofun¸ c˜ oes de paridade par). O robusto crit´ erio de hermiticidade do operador associado com a energia cin´ etica (ou potencial) mostra- se suficiente para descartar solu¸c˜ oes ileg´ıtimas e permite demonstrar que se o potencial singular for fracamente atrativo n˜ ao h´ a cabimento em se falar em colapso para o centro ou inexistˆ encia de estado fundamental. Fi- nalmente, mostramos que, seja o problema definido no semieixo ou em todo o eixo, o oscilador n˜ ao-singular pode ser pensado como uma transi¸ c˜ ao de fase do os-

cilador singular, e por causa disso a solu¸c˜ ao do oscila- dor harmˆ onico singular n˜ ao pode ser obtida a partir da solu¸c˜ ao do oscilador harmˆ onico n˜ ao-singular via teoria da perturba¸c˜ ao.

2. Potenciais singulares e degeneres- cˆ encia

A equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger unidimensional para uma part´ıcula de massa de repouso m sujeita a um potencial externo V (x, t) ´ e dada por

i ~ ∂Ψ

∂t = H Ψ. (1)

Aqui, Ψ (x, t) ´ e a fun¸c˜ ao de onda, ~ ´ e a constante de Planck reduzida ( ~ = h/(2π)) e H ´ e o operador hamil- toniano

H = − ~ ² 2m

∂ ²

∂x ² + V. (2)

N˜ ao ´ e dificil mostrar que

∂ | Ψ | ²

∂t = i

~

[ ( H Ψ) ^∗ Ψ − Ψ ^∗ ( H Ψ) ]

, (3)

e levando em considera¸c˜ ao que o operador hamiltoniano

´

e um operador hermitiano, ² temos o corol´ ario d

dt

∫ + ∞

−∞

dx | Ψ | ² = 0. (4) A equa¸c˜ ao da continuidade

∂ρ

∂t + ∂J

∂x = 0 (5)

´

e satisfeita com a densidade de probabilidade

ρ = | Ψ | ² (6)

e a corrente

J = ~ m Im

( Ψ ^∗ ∂Ψ

∂x )

. (7)

A equa¸ c˜ ao da continuidade pode tamb´ em ser escrita como

J (x, t) − J (x 0 , t) = − d dt

∫ x x

dη ρ (η, t) , (8) onde x 0 ´ e um ponto arbitr´ ario do eixo X . A forma in- tegral da equa¸c˜ ao da continuidade, (8), permite inter- pretar inequivocamente a corrente J (x, t) como sendo o fluxo de probabilidade atrav´ es de x no instante t.

No caso de potenciais externos independentes do tempo, a fun¸c˜ ao de onda Ψ admite solu¸c˜ oes particu- lares da forma

2

Todas as quantidades f´ısicas observ´ aveis correspondem a operadores hermitianos. O operador O ´ e dito ser hermitiano se

∫

−∞

dx ( O Ψ

)

Ψ

=

∫

−∞

dx Ψ

( O Ψ

) , onde Ψ

e Ψ

s˜ ao duas fun¸ c˜ oes de onda quaisquer que fazem ∫

−∞

dx Ψ

( O Ψ

) < ∞ . Em particular, as fun¸ c˜ oes de onda devem ser quadrado-integr´ aveis, viz. ∫

−∞

dx | Ψ |

< ∞ .

Ψ(x, t) = ψ(x) e ^{− i}

^t , (9) onde ψ obedece ` a equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger independente do tempo

H ψ = Eψ. (10)

Neste caso, com condi¸c˜ oes de contorno apropriadas, o problema se reduz ` a determina¸c˜ ao do par caracter´ıstico (E, ψ). A equa¸ c˜ ao de autovalor (10) tamb´ em pode ser escrita na forma

d ² ψ dx ² +

(

k ² − 2mV

~ ² )

ψ = 0, (11)

com

k ² = 2mE

~ ² . (12)

A densidade e a corrente correspondentes ` a solu¸ c˜ ao ex- pressa pela Eq. (9) tornam-se

ρ = | ψ | ² , J = ~ m Im

( ψ ^∗ dψ

dx )

. (13)

Em virtude de ρ e J serem independentes do tempo, a solu¸c˜ ao (9) ´ e dita descrever um estado estacion´ ario.

Note que, por causa da equa¸c˜ ao da continuidade (5) e (8), a corrente J n˜ ao ´ e t˜ ao somente estacion´ aria, mas tamb´ em uniforme, i.e. J (x) = J (x 0 ).

Os estados ligados constituem uma classe de solu¸c˜ oes da equa¸ c˜ ao de Schr¨ odinger que representam um sistema localizado numa regi˜ ao finita do espa¸co.

Para estados ligados devemos procurar autofun¸ c˜ oes que se anulam ` a medida que | x | → ∞ . ´ E ´ obvio que, em decorrˆ encia deste comportamento assint´ otico, J → 0 quando | x | → ∞ . Assim, a uniformidade da corrente dos estados estacion´ arios demanda que J seja nula em todo o espa¸co. Fato esperado em vista da interpreta¸ c˜ ao de J apresentada anteriormente. Tamb´ em, neste caso podemos normalizar ψ fazendo

∫ + ∞

−∞

dx | ψ | ² = 1. (14) Com um potencial invariante sob reflex˜ ao atrav´ es da origem (x → − x), autofun¸c˜ oes com paridades bem de- finidas podem ser constru´ıdas. Neste caso, as auto- fun¸ c˜ oes de H s˜ ao tamb´ em autofun¸c˜ oes do operador pa- ridade, viz.

H ψ ^(p) _n = E _n ^(p) ψ ^(p) _n

(15) P ψ ^(p) _n = pψ _n ^(p) ,

onde P ´ e o operador paridade, p = ± 1 e n denota quais- quer outros n´ umeros quˆ anticos. Como consequˆ encia da

hermiticidade de H e P , as autofun¸c˜ oes satisfazem ` a condi¸c˜ ao de ortogonalidade

∫ + ∞

−∞

dx (

ψ _n ^{( ˜} _˜ ^p) ) _∗

ψ _n ^(p) = 0, para ˜ n ̸ = n ou ˜ p ̸ = p.

(16) Por causa da paridade, podemos concentrar a aten¸c˜ ao no semieixo positivo e impor condi¸c˜ oes de contorno na origem e no infinito. Naturalmente, a autofun¸c˜ ao ´ e cont´ınua. No entanto, temos de considerar a condi¸c˜ ao de conex˜ ao entre a derivada primeira da autofun¸c˜ ao ` a direita e ` a esquerda da origem, que deve ser obtida diretamente da equa¸ c˜ ao de Schr¨ odinger independente do tempo. Normalizabilidade, conforme comentado de pouco, requer que ψ → 0 quando | x | → ∞ . Auto- fun¸c˜ oes com paridades bem definidas em todo o eixo podem ser constru´ıdas tomando combina¸c˜ oes lineares sim´ etricas e antissim´ etricas de ψ definida no lado po- sitivo do eixo X. Estas novas autofun¸ c˜ oes possuem a mesma energia, ent˜ ao, em princ´ıpio, existe uma dupla degenerescˆ encia (E n ⁽⁺⁾ = E ⁽ n ^{− )} ). E not´ ´ orio que o es- pectro de estados ligados de sistemas unidimensionais com potenciais regulares ´ e n˜ ao-degenerado (veja, e.g., Refs. [6] e [8]). Entretanto, se o potencial for singu- lar na origem, por exemplo, tanto as autofun¸c˜ oes pa- res quanto as autofun¸c˜ oes ´ımpares poderiam obedecer

`

a condi¸c˜ ao homogˆ enea de Dirichlet na origem, e cada n´ıvel de energia exibiria uma degenerescˆ encia de grau dois. ³ A condi¸c˜ ao de conex˜ ao obedecida pela derivada primeira da autofun¸ c˜ ao, contudo, poderia excluir uma das duas combina¸ c˜ oes lineares, e nesse caso os n´ıveis de energia seriam n˜ ao-degenerados.

3. Oscilador singular

Seguindo a nota¸c˜ ao da Ref. [11], vamos agora conside- rar o potencial

V (x) = 1

2 mω ² x ² + ~ ² α

2mx ² , ω > 0. (17) O parˆ ametro adimensional α caracteriza trˆ es diferentes perfis para o potencial, como est´ a ilustrado na Fig. 1.

Para α = 0 temos o potencial do oscilador harmˆ onico regular (po¸co simples), e para α ̸ = 0 temos o caso de um po¸co duplo com uma barreira de potencial repulsiva e singular na origem (α > 0) ou o caso de um po¸co sem fundo puramente atrativo (α < 0). Para o potencial (17), a equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger independente do tempo assume a forma

d ² ψ dx ² +

(

k ² − λ ² x ² − α x ²

)

ψ = 0, (18) com

λ = mω

~ . (19)

3

Os mais c´ eticos quanto ` a possibilidade de degenerescˆ encia em sistemas unidimensionais podem constatar esta particularidade visu-

alizando as poss´ıveis autofun¸ c˜ oes no caso de dois po¸ cos infinitos dispostos simetricamente em torno de x = 0.

Figura 1 - Os trˆ es perfis para V (x) . As linhas tracejada, cont´ınua e pontilhada para os casos com α negativo, nulo e positivo, res- pectivamente.

Quando α = 0, as solu¸ c˜ oes da Eq. (18) s˜ ao anal´ıticas em todo o eixo X. Quando α ̸ = 0, todavia, ψ pode manifestar singularidade na origem. Tal singula- ridade poderia comprometer a nulidade da corrente em x = 0, a existˆ encia das integrais definidas nos intervalos (0, + ∞ ) e ( −∞ , + ∞ ), e a hermiticidade dos operado- res associados com as quantidades f´ısicas observ´ aveis.

Por causa desta sensa¸ c˜ ao de amea¸ca, come¸caremos a abordagem do problema pela averigua¸ c˜ ao do com- portamento das solu¸c˜ oes da Eq. (18) na vizinhan¸ca da origem. ´ E claro que o comportamento assint´ otico ( | x | → ∞ ) tamb´ em ´ e merit´ orio.

3.1. Comportamento na origem

Na vizinhan¸ca da origem a Eq. (18) passa a ter duas formas distintas

d ² ψ

dx ² + k ² ψ ≃ 0, para α = 0

(20) d ² ψ

dx ² − α

x ² ψ ≃ 0, para α ̸ = 0.

De um jeito ou de outro, no semieixo positivo podemos escrever

ψ ≃

 



A | x | ^β

⁺¹ + B | x | ^β

⁺¹ , para α ̸ = − 1/4 D | x | ^1/2 + F | x | ^1/2 log | x | , para α = − 1/4,

(21)

onde

β _± = − 1 2 ±

√ 1

4 + α (22)

´

e solu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao alg´ ebrica indicial

β _± (β _± + 1) = α. (23) Na vizinhan¸ca da origem, o comportamento dos termos

K nn ˜ = ψ ^∗ _{n ˜} (

− ~ ² 2m

d ² dx ²

) ψ n

(24) V nn ˜ = ψ ^∗ _{n ˜}

( ~ ² 2m

α x ²

) ψ n

comina a hermiticidade dos operadores associados com a energia cin´ etica e com o potencial. Para α ̸ = − 1/4, podemos escrever

K _{nn ˜} ≃ − ~ ² α 2m [

A ^∗ _{˜ n} A _n | x | ^{2 Re β}

+ B _n ^∗ _˜ B _n | x | ^{2 Re β}

(25) + A ^∗ _{n ˜} B n | x | ^β

^+β

+ A n B _n ^∗ _˜ | x | ^β

^+β

]

, e para α = − 1/4

K _{nn ˜} ≃ − ~ ² α 2m

1

| x |

[ D ^∗ _{n ˜} D _n + F _{˜ n} ^∗ F _n log ² | x | (26) + (D ^∗ _{n ˜} F n + D n F _{n ˜} ^∗ ) log | x | ] .

Em ambos os casos V nn ˜ ≃ − K ˜ nn . Vemos destas ´ ultimas rela¸c˜ oes que a hermiticidade do operador associado com a energia cin´ etica (ou potencial) ´ e verificada somente se Re β _± > − 1/2 quando α ̸ = 0, o que equivale a dizer que o sinal negativo defronte do radical na Eq. (22) deve ser descartado e α deve ser maior que − 1/4. Natu- ralmente, devemos considerar β ₋ = − 1 tanto quanto β + = 0 quando α = 0. Portanto, podemos afirmar que ψ comporta-se na vizinhan¸ca da origem como

Cx ^β+1 (27)

com

β =

 



 

− ¹ ₂ +

√

1 4 + α,

− 1 ou 0,

para α ̸ = 0, com α > − ¹ ₄ para α = 0.

(28) Note ainda que a nulidade da corrente requer apenas que β ∈ R e F = 0, enquanto a condi¸c˜ ao de orto- normalizabilidade exige apenas que Re β _± > − 3/2 e F = 0. A condi¸c˜ ao α > − 1/4, que nos faz evitar um potencial atrativo com singularidade muito forte, rela- cionado com o problema da “queda para o centro” [6],

4

No processo de regulariza¸ c˜ ao, V (x) ´ e substitu´ıdo por V (x

) para x < x

≈ 0 e depois de usar as condi¸ c˜ oes de continuidade para

ψ e dψ/dx no cutoff tomamos o limite x

→ 0. Resulta que a solu¸ c˜ ao com β

´ e suprimida em rela¸ c˜ ao a essa envolvendo β

quando

x

→ 0.

tanto quanto a solu¸ c˜ ao apropriada da equa¸ c˜ ao indicial (23), foram obtidas aqui de uma maneira extremamente simples, sem recorrer ao processo de regulariza¸c˜ ao do potencial na origem. ⁴ Nota-se que, ainda que acrescido da exigˆ encia de normalizabilidade, o processo de regu- lariza¸ c˜ ao do potencial ´ e inapto para exluir o caso com α ≤ − 1/4 [6]. O crit´ erio de hermiticidade do operador associado com a energia cin´ etica (ou potencial) ´ e l´ıcito e suficiente para descartar solu¸c˜ oes esp´ urias. ⁵ Resumi- damente,

β = − 1 ou β > − 1

2 . (29)

A condi¸ c˜ ao de Dirichlet homogˆ enea (ψ (0) = 0) ´ e essen- cial sempre que α ̸ = 0, contudo ela tamb´ em ocorre para α = 0 quando β = 0 mas n˜ ao para β = − 1. Em suma,

ψ | x=0

≃

 

 0, C,

para α ̸ = 0, ou α = 0 e β = 0 para α = 0 e β = − 1,

(30) e

dψ dx

x=0

≃

 

 

 

 

 

 0, C,

∞ ,

para α > 0, ou α = 0 e β = − 1 para α = 0 e β = 0

para α < 0.

(31) 3.2. Comportamento assint´ otico

A equa¸ c˜ ao de Schr¨ odinger independente do tempo para o nosso problema, Eq. (18), tem o comportamento as- sint´ otico ( | x | → ∞ )

d ² ψ

dx ² − λ ² x ² ψ ≃ 0, (32) e da´ı sucede que a forma assint´ otica da solu¸ c˜ ao quadrado-integr´ avel ´ e dada por

ψ ≃ e ^{− λx}

^/2 . (33) 3.3. Solu¸ c˜ ao no semieixo

O comportamento assint´ otico de ψ expresso pela Eq. (33) convida-nos a definir y = λx ² de forma que a autofun¸ c˜ ao para todo y pode ser escrita como

ψ (y) = y ^(β+1)/2 e ^{− y/2} w (y) , (34) onde a fun¸ c˜ ao desconhecida w (y) ´ e solu¸ c˜ ao regular da equa¸ c˜ ao hipergeom´ etrica confluente [18]

y d ² w (y)

dy ² + (b − y) dw (y)

dy − a w (y) = 0, (35)

com

a = b 2 − k ²

4λ e b = β + 3

2 . (36)

A solu¸c˜ ao geral da Eq. (35) ´ e dada por [18]

w (y) = A M (a, b, y)+B y ^{1 − b} M (a − b+1, 2 − b, y), (37) onde A e B s˜ ao constantes arbitr´ arias, e M (a, b, y), tamb´ em denotada por 1 F 1 (a, b, y), ´ e a fun¸c˜ ao hiper- geom´ etrica confluente (tamb´ em chamada de fun¸c˜ ao de Kummer) expressa pela s´ erie [18]

M (a, b, y) = Γ (b) Γ (a)

∑ ∞ j=0

Γ (a + j) Γ (b + j)

y ^j

j! , (38) onde Γ (z) ´ e a fun¸c˜ ao gama. A fun¸c˜ ao gama n˜ ao tem ra´ızes e seus polos s˜ ao dados por z = − n, onde n ´ e um inteiro n˜ ao-negativo [18]. A fun¸c˜ ao de Kummer con- verge para todo y, ´ e regular na origem (M (a, b, 0) = 1) e tem o comportamento assint´ otico prescrito por [18]

M (a, b, y) _≃ Γ (b)

Γ (b − a) e ^{− iπa} y ^{− a} + Γ (b)

Γ (a) e ^y y ^{a − b} . (39) Haja vista que b > 1, e estamos em busca de solu¸c˜ ao regular na origem, devemos tomar

B = 0 (40)

na Eq. (37). A presen¸ca de e ^y na Eq. (39) deprava o bom comportamento assint´ otico da autofun¸c˜ ao j´ a di- tado pela Eq. (33). Para remediar esta situa¸c˜ ao cons- trangedora devemos considerar os polos de Γ (a), e as- sim preceituar que um comportamento aceit´ avel para M (a, b, y) ocorre somente se

a = − n, n ∈ N . (41) Neste caso, a s´ erie (38) ´ e truncada em j = n e o polinˆ omio de grau n resultante ´ e proporcional ao po- linˆ omio de Laguerre generalizado L ^(b n ^{− 1)} (y), com b > 0 [18]. Portanto, das Eqs. (12), (19), (36) e (41) podemos determinar que as energias permitidas s˜ ao dadas por

E n = (

2n + β + 3 2

)

~ ω, (42)

e as autofun¸ c˜ oes definidas no semieixo positivo s˜ ao ψ _n ( | x | ) = A _n | x | ^β+1 e ^{− λx}

^/2 L ^(β+1/2) _n (λx ² ). (43) Na Fig. 2 ilustramos os primeiros n´ıveis de energia em fun¸ c˜ ao de α no intervalo ( − 1/4, +1/4]. Observe que, qualquer que seja α, ainda que − 1/4 < α < 0, o espec- tro ´ e discreto e sempre positivo. H´ a um n´ umero infinito de n´ıveis de energia igualmente espa¸cados (espa¸camento igual a 2 ~ ω, independentemente de α), e o estado fun- damental tem energia (2β + 3) ~ ω/2 > ~ ω.

5

A ortonormalizabilidade das autofun¸ c˜ oes (relacionada com a hermiticidade do operador hamiltoniano) e a hermiticidade do operador

momento (relacionada com a nulidade da corrente) s˜ ao crit´ erios mais fr´ ageis porque envolvem o comportamento de ψ

ψ

e ψ

dψ

/dx

na vizinhan¸ ca da origem, respectivamente.

Figura 2 - Autoenergias (ϵ = E/( ~ ω)) em fun¸ c˜ ao de α no inter- valo ( − 1/4, +1/4]. As linhas cont´ınuas para o oscilador singular, e os quadrados em α = 0 para o oscilador n˜ ao-singular.

Na Fig. 3 ilustramos o comportamento da auto- fun¸ c˜ ao para o estado fundamental. A normaliza¸ c˜ ao foi realizada por m´ etodos num´ ericos mas poderia ter sido obtida por meio de f´ ormulas envolvendo os polinˆ omios de Laguerre associados constantes na Ref. [18]. A com- para¸ c˜ ao entre as quatro curvas mostra que a part´ıcula tende a evitar a origem mais e mais ` a medida que α aumenta. Eis um resultado esperado no caso α > 0 que ocorre tamb´ em no caso α < 0. Observe que, qualquer que seja α > − 1/4, as autofun¸c˜ oes (43) s˜ ao fisicamente aceit´ aveis, ainda que no intervalo − 1/4 < α < 0 elas possuam derivada primeira singular. ´ E mesmo assim, contanto que o parˆ ametro α seja maior que − 1/4, o par caracter´ıstico (E _n , ψ _n ) constitui uma solu¸ c˜ ao per- miss´ıvel do problema proposto. A part´ıcula nunca co- lapsa para o ponto x = 0 e certamente h´ a um estado fundamental.

3.4. Solu¸ c˜ ao em todo o eixo

A autofun¸c˜ ao definida para todo o eixo X pode ser es- crita como

ψ ^(p) _n (x) = θ (x) ψ _n ( | x | ) + p θ ( − x) ψ _n ( | x | ) , (44) onde

θ (x) =

 



1 para x > 0, 0 para x < 0

(45)

Figura 3 - Autofun¸ c˜ ao (ϕ = ψ/ √

λ) normalizada do estado fun- damental definido no semieixo em fun¸ c˜ ao de ξ = √

λ x. As linhas cont´ınua, ponto-tracejada, tracejada e pontilhada para os casos com α igual a − 0, 249, − 0, 2, +0, 2 e +3, respectivamente.

´

e a fun¸c˜ ao degrau de Heaviside, p ´ e o autovalor do ope- rador paridade, e a autoenergia ´ e dada por

E _n ^(p) = (

2n + β + 3 2

)

~ ω. (46)

A hermiticidade do operador associado com a energia cin´ etica (ou potencial), por causa da singularidade em x = 0 no caso α < 0 (β < 0), depende da existˆ encia do valor principal de Cauchy ⁶ da integral

∫ + ∞

−∞

dx K _{˜ nn} ^{( ˜ pp)} . (48) Obviamente, o valor principal de Cauchy poderia con- sentir um afrouxamento das condi¸c˜ oes de contorno im- postas sobre as autofun¸c˜ oes. Autofun¸c˜ oes mais singu- lares que essas anteriormente definidas no semieixo se- riam toleradas se na vizinhan¸ca da origem os sinais de K _nn ^{( ˜} _˜ ^pp) ` a direita e ` a esquerda da origem fossem diferentes para quaisquer p e ˜ p. Por´ em, temos

K _{nn ˜} ^{( ˜ pp)} (x < 0) = ˜ pp K _{nn ˜} (x > 0) (49) de modo que, no caso em que α < 0, a integral (48) n˜ ao seria finita para ˜ p = p. Somos assim conduzidos a preservar a rigidez do crit´ erio de hermiticidade j´ a esta- belecido no problema definido no semieixo.

A continuidade (ou descontinuidade) de dψ/dx na origem pode ser avaliada pela integra¸c˜ ao da Eq. (20)

6

Se f (x) for singular na origem, a integral ∫

−∞

dx f (x) ser´ a nonsense. Contudo, o valor principal de Cauchy, P ∫

−∞

dx f (x), ´ e uma prescri¸ c˜ ao que pode atribuir um sentido proveitoso ` a representa¸ c˜ ao integral por meio da receita que se segue:

P

∫

−∞

dx f (x) = lim

ε→0

(∫

−∞

dx f (x) +

∫

+ε

dx f (x) )

. (47)

de − ε para +ε no limite ε → 0. A f´ ormula de conex˜ ao entre dψ/dx ` a direita e dψ/dx ` a esquerda da origem pode ser sumarizada por

ε lim → 0

dψ dx

^x=+ε

x= − ε

= α lim

ε −→ 0

∫ +ε

− ε

dx ψ

x ² . (50) Tomando em considera¸ c˜ ao o valor principal de Cauchy, no caso de ψ antissim´ etrica com β ̸ = 0, podemos afir- mar que as autofun¸c˜ oes tˆ em derivada primeira cont´ınua na origem. Assim, o espectro do oscilador singular ´ e duplamente degenerado.

Por causa da continuidade, n˜ ao h´ a autofun¸c˜ ao ´ımpar para β = − 1 e l´ a ocorre a condi¸c˜ ao homogˆ enea de Neu- mann ( dψ/dx | _x=0

= 0), e n˜ ao h´ a autofun¸ c˜ ao par para β = 0. Portanto, o espectro do oscilador regular ´ e n˜ ao- degenerado, como deveria ser. Para β = − 1 e β = 0, em particular, os polinˆ omios de Laguerre L ⁽ n ^{− 1/2)} (λx ² ) e L ^(+1/2) n (λx ² ) s˜ ao proporcionais aos polinˆ omios de Hermite H _2n

( √ λ | x | )

e x ^{− 1} H _2n+1 ( √

λ | x | )

, respecti- vamente [18]

L ⁽ _n ^{− 1/2)} (λx ² ) = ( − 1) ⁿ n! 2 ²ⁿ H 2n

( √ λ | x | )

(51) L ^(+1/2) _n (λx ² ) = ( − 1) ⁿ

n! 2 ²ⁿ⁺¹ √

λ x H 2n+1

( √ λ | x | )

. Os polinˆ omios de Hermite s˜ ao definidos no inter- valo ( −∞ , + ∞ ) e gozam da propriedade H _n ( − x) = ( − 1) ⁿ H _n (x). Assim, a solu¸c˜ ao do oscilador n˜ ao- singular pode ser escrita na forma que se costumou em termos dos polinˆ omios de Hermite

E n = (

n + 1 2

)

~ ω, (52)

com autofun¸ c˜ ao definida em todo o eixo expressa por ψ _n (x) = A _n e ^{− λx}

^/2 H _n

( √ λx

)

. (53)

As constantes A _n nas Eqs. (43) e (53), chamadas de constantes de normaliza¸ c˜ ao, podem ser determinadas por meio da condi¸c˜ ao de normaliza¸ c˜ ao expressa pela Eq. (14).

Na Fig. 4 ilustramos os primeiros n´ıveis de ener- gia em fun¸c˜ ao de α no intervalo ( − 1/4, +1/4] para o problema definido em todo o eixo. Para α ̸ = 0, o espectro ´ e exatamente igual a esse do problema de- finido no semieixo. Quando a singularidade ´ e nula, entanto, o espa¸ camento dos n´ıveis ´ e ~ ω. Esta mu- dan¸ ca de espa¸camento de n´ıveis quando α = 0 ´ e devida aos n´ıveis intrusos que surgem por causa emergˆ encia da condi¸c˜ ao de contorno homogˆ enea de Neumann, em adi¸ c˜ ao ` a condi¸c˜ ao de contorno homogˆ enea de Dirichlet j´ a existente no problema definido no semieixo. Esta invas˜ ao de novas solu¸c˜ oes com ψ (0) ̸ = 0 tem como consequˆ encia imediata um dr´ astico efeito sobre a lo- caliza¸ c˜ ao da part´ıcula.

Figura 4 - Autoenergias (ϵ = E/( ~ ω)) em fun¸ c˜ ao de α no inter- valo ( − 1/4,+1/4]. As linhas cont´ınuas para o oscilador singular, os quadrados e os c´ırculos em α = 0 para as solu¸ c˜ oes ´ımpares e pares do oscilador harmˆ onico n˜ ao-singular, respectivamente.

4. Coment´ arios finais

Os resultados apresentados neste trabalho mostram com transparˆ encia que o oscilador harmˆ onico singular unidimensional, seja definido no semieixo ou em todo o eixo, seja repulsivo ou atrativo, exibe um conjunto infinito de solu¸c˜ oes aceit´ aveis, em claro contraste com os ditames estampados nas Refs. [10] e [11], e trans- critos na Introdu¸ c˜ ao. Sim, para um potencial singular fracamente atrativo o colapso para o centro n˜ ao tem nada a ver, e certamente h´ a um estado fundamental com energia maior que ~ ω/2. A generaliza¸c˜ ao dos resul- tados do problema definido no semieixo para o oscilador harmˆ onico singular tridimensional pode ser feita com facilidade por meio da substitui¸c˜ ao de α por α+l (l + 1), onde l ´ e o n´ umero quˆ antico orbital, e pela concomitante substitui¸c˜ ao de ψ pela fun¸c˜ ao radial xR (x).

Visto como fun¸c˜ ao de α, o problema do oscilador singular apresenta uma not´ oria transi¸c˜ ao de fase em α = 0.

Para o problema definido no semieixo, a transi¸c˜ ao de fase manifesta-se apenas por meio do comportamento da derivada primeira da autofun¸c˜ ao na origem. De- rivada primeira infinita para α < 0, constante para α = 0, e nula para α > 0.

Para o problema definido em todo o eixo, entre-

tanto, a transi¸c˜ ao de fase manifesta-se por meio da

degenerescˆ encia, pelo comportamento da autofun¸c˜ ao

e sua derivada primeira na origem, e pela localiza¸c˜ ao

da part´ıcula. Uma outra assinatura da transi¸c˜ ao de

fase ´ e o espa¸camento dos n´ıveis de energia. Quando

o potencial ´ e singular na origem, as autoenergias s˜ ao

igualmente espa¸ cadas com passo igual a 2 ~ ω. E ad- ´ mir´ avel que esse espa¸camento de n´ıveis ´ e independente da intensidade do parˆ ametro respons´ avel pela singula- ridade do potencial. Quando a singularidade ´ e nula, entanto, o espa¸ camento dos n´ıveis ´ e ~ ω. Esta brusca mudan¸ ca de espa¸camento de n´ıveis quando α passa por α = 0 ´ e devida aos n´ıveis intrusos que surgem por causa emergˆ encia da condi¸c˜ ao de contorno homogˆ enea de Neumann, em adi¸c˜ ao ` a condi¸c˜ ao de contorno ho- mogˆ enea de Dirichlet j´ a existente para α ̸ = 0. Esta in- trus˜ ao permite o surgimento de polinˆ omios de Hermite pares e seus autovalores associados, que se entremeiam entre os autovalores pr´ e-existentes associados com os polinˆ omios de Hermite ´ımpares. Os polinˆ omios de Her- mite pares tˆ em ψ ⁽⁺⁾ n (0) ̸ = 0 e esta condi¸c˜ ao de con- torno nunca ´ e permitida quando a singularidade est´ a presente, ainda que α seja muito pequeno. Esta invas˜ ao s´ ubita dos polinˆ omios pares tem um brusco efeito sobre a localiza¸ c˜ ao da part´ıcula. Poder-se-ia tamb´ em ten- tar compreender tal transi¸ c˜ ao s´ ubita partindo de um potencial n˜ ao-singular (α = 0), quando a solu¸ c˜ ao do problema envolve os polinˆ omios de Hermite pares e

´ımpares, e ent˜ ao adicionar o potencial singular como uma perturba¸c˜ ao do potencial com α = 0. Agora, por sua natureza o “potencial singular perturbativo” repul- sivo, demanda que ψ n ^{( ± )} (0) = 0 e assim ele “mata”

naturalmente a solu¸c˜ ao envolvendo os polinˆ omios de Hermite pares. Ademais, n˜ ao h´ a degenerescˆ encia no espectro para o caso de α = 0.

Lathouwers [19] considerou o caso unidimensio- nal do oscilador harmˆ onico singular como o oscila- dor harmˆ onico n˜ ao-singular perturbado. Acontece que, por causa dos distintos comportamentos da de- rivada primeira da autofun¸c˜ ao na origem para α = 0 ( dψ/dx | _x=0 = C) e α ̸ = 0 ( dψ/dx | _x=0 = ∞ para α < 0, e dψ/dx | _x=0 = 0 para α > 0), nossos coment´ arios fi- nais desfavorecem tal aspira¸ c˜ ao, ainda que haja conti- nuidade do espectro na vizinhan¸ ca de α = 0 no caso associado com autofun¸c˜ oes ´ımpares do oscilador n˜ ao- singular.

Agradecimentos

O autores s˜ ao gratos ` a FAPESP, ao CNPq e ` a CAPES pelo apoio financeiro. Um ´ arbitro atento e ponderado contribuiu significantemente para a depura¸ c˜ ao e apri- moramento deste trabalho.

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