Hewlett-Packard
Ano: 2016
FUNÇÃO REAL
DE UMA
VARIÁVEL REAL
Aulas 01 a 05
Sumário
INTRODUÇÃO AO PLANO CARTESIANO ... 2
PRODUTO CARTESIANO ... 2
Número de elementos de ... 2
Representações de um produto cartesiano ... 2
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ... 2
RELAÇÃO DE A em B ... 3
FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL ... 3
NOÇÃO INTUITIVA DE FUNÇÃO ... 3
ELEMENTOS ESSENCIAIS ... 3
FUNÇÕES CUJAS LEIS SÃO EXPRESSÕES ALGÉBRICAS ... 4
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ... 4
DOMÍNIO DE FUNÇÕES CUJAS LEIS SÃO EXPRESSÕES ALGÉBRICAS ... 4
RAIZ OU ZERO DE UMA FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL ... 5
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ... 5
REFORÇANDO A NOÇÃO DE GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO ... 5
CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO ... 6
GRÁFICOS EM 3D ... 6
NOÇÃO DE COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL ... 7
QUESTÕES EXTRAS... 7
GABARITO ... 9
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ... 9
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 2
AULA 01
INTRODUÇÃO AO PLANO
CARTESIANO
Você deve se lembrar, do 9° ano, que em um plano cartesiano ortogonal, no qual temos um sistema de eixos perpendiculares e (denotado por ), um ponto P de abscissa e ordenada , denotado por , pode ser representado conforme a figura a seguir.
Em geral, os eixos coordenados e são graduados em uma mesma escala.
PRODUTO CARTESIANO
Sejam e conjuntos não vazios. Tomando quaisquer e podemos formar pares ordenados .O produto cartesiano de por , denotado por , é o conjunto formado por todos esses pares
ordenados. Em símbolos, temos:
Obs.1: Em geral, .
Número de elementos de
Sendo A e B conjuntos finitos, é possível demonstrar que o número de elementos do produto cartesiano de por , , é dado por:
Representações
de
um
produto
cartesiano
O produto cartesiano de por pode ser representado de três formas: Tabular Diagrama de flechas Diagrama cartesiano
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
1.1. Sejam . a) Determine .b) Represente os produtos cartesianos e , na forma b.1) tabular; b.2) de diagrama de flechas; e b.3) de diagrama cartesiano. 1.2. Sejam . Represente .
TAREFA 1 – Ler: na parte teórica 1, o tópico
“Introdução ao plano cartesiano”, a Observação 1 e os exercícios resolvidos 1 e 2.
TAREFA 2 – Ler, na pág 6 e 7, a Obs. 4, os ex.
resolvidos 5 e 6 e FAZER os PPS de 1 a 4a.
Representaremos tais produtos cartesianos apenas no plano cartesiano. Use a seguinte notação:
Extremo do intervalo aberto: traçar por ele uma perpendicular pontilhada;
Extremo do intervalo fechado: traçar por ele uma perpendicular contínua;
Extremo do intervalo infinito: não traçar reta;
Intercessão de retas contínuas: “bolinha fechada”;
Intercessão de retas, em que pelo menos uma é pontilhada: “bolinha aberta”.
Para representar o produto cartesiano, você deve
pintar a região comum delimitada pelas retas e suas
intercessões.
Como representar um produto cartesiano quando pelo menos um dos conjuntos é um intervalo?
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 3
AULA 02
RELAÇÃO DE A em B
Considere dois conjuntos e , não vazios, e o produto cartesiano formado à partir de e . Todo subconjunto de denomina-se relação de em .
Exemplo 1: Sendo e tem-se que . Desse modo, algumas relações de A e B são:
FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL
Considere e , subconjuntos não vazios do conjunto dos números reais , e todas as relações de em possíveis de serem realizadas.
Dentre essas relações, chamaremos de função
de em , denotada por , aquelas em que
para cada existe um único , tal que
.
Obs.1: O conjunto é denominado domínio da função
e será denominado por .
Obs.2: O conjunto é denominado contradomínio da
função e será denominado por .
Obs.3: Se , então é a imagem de por
o qual denotamos por .
Obs.4: O conjunto formado pelos elementos de
para os quais existe pelo menos um elemento de tal que é denominada conjunto-imagem de
e será denotado por .
Note que
Obs.5: Em , com , é denominado variável independente e é denominado variável dependente.
NOÇÃO INTUITIVA DE FUNÇÃO
A noção intuitiva de função é aquela que nos permite reconhecer as situações em que os valores de duas grandezas estão relacionados de tal forma que a cada valor de uma delas está associado um único valor da outra.
Exemplo 1: Ao “pesarmos” nosso prato em um self-service, temos a certeza de que para cada quantidade de comida servida existirá um valor associado a ser pago e este será único.
Exemplo 2: Ao analisar, durante um intervalo de tempo, a altura atingida por uma bola ao ser chutada para cima, tem-se a certeza de que, para cada instante analisado a altura atingida pela bola existirá e será única. Mesmo que o contrário não seja verdadeiro (isto é, em dois instantes distintos a bola pode estar a uma mesma altura).
ELEMENTOS ESSENCIAIS
Para definirmos uma função , precisamos de três elementos essenciais:
que associa a cada um único elemento .
EM SALA – Ler, na pág. 16, o exercício resolvido 9(a, d,
e). E, na pág 22, o exercício resolvido 11.
Verifique se cada elemento do domínio , sem exceção, está associado a exatamente um elemento do contradomínio .
Dica: Uma relação será uma função de A em B se a
comparação a seguir valer para todos os elementos de A:
Cada filho(em A) deve ter uma única mãe (em B). Dica prática para relações envolvendo intervalos:
No diagrama cartesiano: trace retas verticais por toda a extensão do domínio da suposta função. Se pelo menos uma das retas não intersectar, ou intersectar mais de uma vez, a curva apresentada, então não se trata de uma função de A em B.
Como verificar se uma relação de A em B é uma função de A em B?
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FUNÇÕES CUJAS LEIS SÃO EXPRESSÕES
ALGÉBRICAS
Quando é uma função real de variável real, o valor é, geralmente, dado por uma expressão algébrica em termos de .
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
2.1 Responda à situação descrita no quadro verde acima.
AULA 03
DOMÍNIO DE FUNÇÕES CUJAS LEIS SÃO
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
Suponha, nas expressões a seguir, que e representam polinômios na variável , que assume todos os valores reais para os quais seja um número real.
existe em se, e somente se, .
Assim, sendo , tal que ,tem-se
existe em se, e somente se, . Assim, sendo , tal que , tem-se
existe, em , para todo .
Assim, sendo , tal que , tem-se
existe em se, e somente se, .
Assim, sendo , tal que
,tem-se
Obs. 1: Algumas funções podem ter suas leis dadas
por expressões que “misturam” os casos acima. Nesses casos, você deve analisar cada expressão.
TAREFA 3 – Ler, na pag 20, o exercício resolvido 10 e na pág 25 a 30, os exercícios resolvidos 12, 13, 15 e 17.
Após a leitura, fazer os PSA 5,8, 11, 13, 15(c,d,e), 17 e 24.
A seguir tem-se a mesma situação descrita em duas linguagens:
I) EM LÍNGUA PORTUGUESA
Seja f uma função com domínio em um conjunto A e contradomínio em um conjunto B, tal que a imagem de cada elemento do domínio é associada ao quadrado deste acrescido de 1. Dado que os elementos de A são todos os números inteiros entre -2 e 2 e os elementos de B são os números naturais não nulos menores que 4, determine o que se pede:
a) o domínio de ; b) o contradomínio de ;
c) a imagem de -1 pela função ; d) o conjunto-imagem de ;
e) o elemento do domínio de tal que sua imagem pela função f é igual a 2;
f) o elemento do contradomínio de tal que ele é a imagem de 0 pela função f.
II) EM LINGUAGEM SIMBÓLICA
Seja , uma função tal que . Dados e , determine o que se pede:
a) ; b) ; c) ; d) ; e) tal que ; f) tal que .
Esperamos que, com essa comparação, você entenda o significado e as facilidades que a linguagem simbólica nos traz.
Entendendo a simbologia das funções...
TAREFA 4 – Fazer os PSA 6, 10, 12, 14, 16(a,d,e), 18,
22(a,b), 26 e 32.
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RAIZ OU ZERO DE UMA FUNÇÃO REAL DE
UMA VARIÁVEL REAL
Seja uma função real de uma variável real, com . Diz-se que é uma raiz de f se:
e
é solução de
Obs. 2: Se é zero de uma função , então é correto
afirmar que o par ordenado . E, desse modo, a representação cartesiana de f intersectará o eixo exatamente no ponto . Portanto, pode-se dizer que o zero de uma função é igual à abscissa do ponto de intercessão do gráfico de f com o eixo das abscissas.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
3.1. Sejam , e uma função tal que sua representação cartesiana está ilustrada a seguir.
Determine os zeros de .
3.2. Determine, se existir, a raiz de cada uma das funções a seguir.
a) , tal que b) , tal que
AULA 04
REFORÇANDO A NOÇÃO DE GRÁFICO DE
UMA FUNÇÃO
DESFAZENDO MITOS
Normalmente, quando falamos de gráfico de uma função, a um aluno do 1° ano do Ensino Médio, percebemos que alguns acreditam em alguns mitos.
MITO 1) Existem apenas dois “tipos” de gráfico: parábola ou reta.
Veja como podemos definir o que é um gráfico de uma função:
O gráfico de uma função é o conjunto dos pares ordenados , em
que e .
Ou seja, se supormos , temos a seguinte representação cartesiana de :
E, desse modo, qualquer “seleção” de pontos da região vermelha (qualquer “desenho”), que atenda à definição de função, pode ser o gráfico de uma função e não apenas uma reta ou uma parábola.
MITO 2) Para se construir o gráfico de uma função é obrigatório “ligar os pontinhos”.
Observando o que vimos no MITO 1), podemos perceber que, no caso de ser um subconjunto de ou de , teremos como representação cartesiana de um conjunto de pontos “isolados”. Desse modo, qualquer subconjunto de não terá pontos “ligados”, nem por segmentos de reta, nem por outra curva qualquer.
EM SALA – Ler, na pág 36, o exemplo 4 e o exercício
resolvido 21.
TAREFA 6 – Fazer os PSA 35, 36(b,c), 37, 38 e 40.
EM SALA – Ler, na pág 37, os exercícios resolvidos 22 e
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CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO
Sejam uma função real de uma variável real tal que e , um subconjunto não-vazio de . Nesse contexto, podemos dizer que, em , uma função pode receber apenas uma das seguintes três classificações:
é dita CRESCENTE em se sendo, e elementos de , tivermos que
Note que, no sentido de leitura (da esquerda para a direita), o gráfico de sobe, quando é crescente.
é dita DECRESCENTE em se sendo, e elementos de , tivermos que
Note que, no sentido de leitura (da esquerda para a direita), o gráfico de desce, quando é decrescente.
é dita CONSTANTE em se sendo, e elementos de , tivermos que
Note que o gráfico de fica contido em uma reta horizontal, quando é constante.
GRÁFICOS EM 3D
Sela do cavalo
Sela do Macaco
EM SALA – Ler, nas pág. 41, a Observação 10, o
Exemplo 6 e o exercício resolvido 25.
TAREFA 7 – Ler, na pág 40, o exercício resolvido 24 e
fazer os PSA 41 a 45.
TAREFA 8 – Ler, na parte teórica 5, o exemplo 8 e fazer
os PSA 46 a 48.
Uma função pode ser crescente e decrescente? Note que em todos os casos acima, a definição foi feita sobre um subconjunto do domínio da função, ou seja, quando falamos de crescimento ou decrescimento, estamos estudando cada “pedacinho” da função. Desse modo, como um todo, uma função pode ser crescente em um momento e decrescente em outro. Porém, é claro, em um mesmo subconjunto a função é crescente ou decrescente ou constante (apenas um).
Tente citar algum exemplo de função que seja crescente em um intervalo e decrescente em outro.
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AULA 05
NOÇÃO DE COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES
REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
MOTIVAÇÃO
Um preparador físico acompanhou o desenvolvimento de um atleta desde o início da adolescência do rapaz até ele atingir a idade adulta.
Durante esse período, o preparador concluiu que a massa do atleta, em quilograma, em função da altura , em metro, era dada pela expressão
.
Também constatou que a altura do rapaz, em metro, em função do tempo , em ano, era dada pela expressão
.
Caso o preparador físico sentisse necessidade, seria possível expressar a massa do rapaz em função do tempo? Como?
Obs.: Para uma avaliação da massa em função do tempo , o preparador teve de efetuar uma composição das funções e .
EXTRA
QUESTÕES EXTRAS
1. Seja , uma função com f x
2x2 a x, em que é uma constante real. Dado que f
3 72 , determine as raízes de .2. O gráfico a seguir é uma representação cartesiana de uma função .
A partir da análise do gráfico, julgue os itens a seguir. Em seguida, justifique, no espaço indicado, apenas um dos itens que você julgou como errado, caso exista.
1. 2.
3. Se , com , então 4. Em é uma função crescente.
3. Considere que o valor total cobrado por uma conta de telefone seja composto por uma taxa fixa de R$ 35,00, que inclui a cobrança dos 150 primeiros minutos utilizados, mais R$ 0,10 por minuto que exceder os 150 primeiros. Determine a lei que exprime o valor total cobrado , em reais, em termos do número de minutos .
4. Estabeleça o domínio da função real , em que
.
5. Dadas as funções , com f x
1
3x2, e , comg x
2x3, determine g f x .
6. Considere os conjuntos e e a função , tal que . Nessas condições, é possível
a) . b) . c) . d) . e )
TAREFA 9 – Ler, na parte teórica 5, a Obs. 11, os
exercícios resolvidos 26 a 31 e fazer os PROP. 50, 51(b,c), 52(a,d), 53(a,b,e), 54(a,b,e), 56 e 57.
EXTRA: CONHECENDO AVALIAÇÕES 1,2, 5, 8, 9, 11,
12, 14, 16, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 31, 33,
EXTRA (Composição de Funções): CONHECENDO
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7. Um taxista cobra por uma corrida um valor fixo de R$ chamado de bandeirada, e R$ por quilômetro rodado. Em uma corrida de quilometros, qual o valor pago , em reais, por taxista?
a) b) c) d) e)
8. A função real cuja lei é
, tem domínio igual a a) b) c) d) e)
9. A figura a seguir é uma representação cartesiana de uma função que tem exatamente quatro raízes reais
É correto afirmar que a soma das raízes dessa função pertence ao intervalor a) . b) . c) . d) . e) .
10. Considere uma função tal que . Nessas condições, tem-se
a) . b) . c) . d) . e) .
11. Sejam, e , tais que e , . Dado que , tem-se igual a a) . b) . c) . d) . e) .
12. Nos itens a seguir têm-se representadas relações entre os conjuntos A e B. Assinale a opção que indica uma função .
13. Considere a função tal que
. O conjunto A pode ser igual a a)
b) . c) . d) .
e) .
14. Considere uma função tal que . Nessas condições, tem-se que
a) . b) c) . d) . e) .
15. Durante certo período, um automóvel deslocou-se com velocidade , em metro por segundo, que variou em função do tempo , em segundos, de acordo com a expressão . A distância , em metro, entre esse automóvel e um ponto fixo , durante o período considerado, pode ser expressa em função de por . Determine e .
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