Universidade Federal do Paraná 2◦ semestre 2015.
Algebra Linear, CM 005 Olivier Brahic
Lista de exercícios 9
Mudança de Bases
Observação: no livro do Leon [1], o autor chama de ’matriz de transição de B1 para B2’ o
que a maioria dos outros autores chamam de ’matriz de transição de B2 para B1’ (as duas
terminologias fazem sentido, mas para razões diferentes !). No presente documento, usamos a terminologia do Steven J. Leon.
Exercício 1: Para cada um dos itens seguintes, encontre a matriz de transição correspondente à mudança de base de {u1, u2} para {e1, e2}.
a) u1= (1, 1)|, u2 = (−1, 1)|,
b) u1= (1, 2)|, u2 = (2, 5)|,
c) u1= (0, 1)|, u2 = (1, 0)|.
Exercício 2: Para cada uma das bases ordenadas {u1, u2} no Exercício 1, encontre a matriz
de transição correspondente à mudança de base de {e1, e2} para {u1, u2}.
Exercício 3: Sejam v1 = (3, 2)| e v2 = (4, 3)|. Para cada base ordenada {u1, u2} dada no
Problema 2, ache a matriz de transição de {v1, v2} para {u1, u2}.
Exercício 4: Seja E = [(5, 3)|, (3, 2)|] e sejam x = (1, 1)|, y = (−1, 1)|e z = (10, 7)|. Determine os valores de [x]E, [y]E e [z]E.
Exercício 5: Sejam u1:= (1, 1, 1)|, u2:= (1, 2, 2)|, e u1:= (2, 3, 4)|.
a) Encontre a matriz de transição corespondente à mudança de base de {e1, e2, e3} para
{u1, u2, u3}.
b) Encontre as coordenadas dos vetores seguintes em relação a {u1, u2, u3}.
i) (3, 2, 5)|, ii) (1, 1, 2)|, iii) (2, 3, 2)|.
Exercício 6: Sejam v1 := (4, 6, 7)|, v2 := (0, 1, 1)|, v3 := (0, 1, 2)|, e u1, u2, u3 os vetores do
Exercício 5.
a) Encontre a matriz de transição de {v1, v2, v3} para {u1, u2, u3}.
encontre vetores w1 e w2 tais que S seja a matriz de transição de {w1, w2} para {v1, v2}. Exercício 8: Dados: v1 := 2, 6 | v2:= 1, 4 | S :=4 1 2 1
encontre vetores w1 e w2 tais que S seja a matriz de transição de {v1, v2} para {u1, u2}.
Exercício 9: Sejam {x, 1} e {2x − 1, 2x + 1} bases ordenadas para P2.
a) Encontre a matriz de transição representando a mudança de base de {2x − 1, 2x + 1} para {x, 1}.
b) Encontre a matriz de transição representando a mudança de base de {x, 1} para {2x − 1, 2x + 1}.
Exercício 10: Encontre a matriz de mudança de coordenadas em P3 da base ordenada
Resoluções:
Resolução do Ex. 1: A matriz de transição correspondente à mudança de base, de {u1, u2}
para {e1, e2} é a matriz cujas colunas são os vetores coordenadas dos vetores {u1, u2} na base
{e1, e2}. Obtemos: a) M(B1←B2)=1 −1 1 1 , b) M(B1←B2) =1 2 2 5 , c) M(B1←B2)=0 1 1 0
onde notemos as bases B2:= {u1, u2} e B1 := {e1, e2}.
Resolução do Ex. 2: A matriz de transição da base B1 = {e1, e2} para a base B2 = {u1, u2}
é a inversa da matriz de transição de B2 para B1. Obtemos:
a) M(B2←B1)= M −1 (B1←B2) = 1 −1 1 1 −1 = [ · · · ] = 1/2 1/2 −1/2 1/2 , b) M(B2←B1)= M −1 (B1←B2) = 1 2 2 5 −1 = [ · · · ] = 5 −2 −1 1 , c) M(B2←B1)= M −1 (B1←B2) = 0 1 1 0 −1 = [ · · · ] =0 1 1 0 .
Resolução do Ex. 3: Notemos B3 a base B3 := {v1 = (3, 2)|, v2 = (4, 3)|}. A matriz de
transição de B3 para B1 é dada por:
M(B1←B3)=3 4 2 3
.
Alem disso, sabemos que a matriz de transição de B3 para B2é obtida multiplicando a matriz
de transição de B3 para B1 com a matriz de transição de B1 para B2, ou seja:
M(B2←B3)= M(B2←B1)· M(B1←B3).
Aplicando a fórmula acima, obtemos em cada um dos casos: a) M(B2←B3)= M(B2←B1)· M(B1←B3)= 1/2 1/2 −1/2 1/2 3 4 2 3 = [ · · · ] =−5/2 −7/2 −1/2 −1/2 , b) M(B2←B3)= M(B2←B1)· M(B1←B3)= 5 −2 −1 1 3 4 2 3 = [ · · · ] = 11 14 −4 −5 , c) M(B2←B3)= M(B2←B1)· M(B1←B3)= 0 1 1 0 3 4 2 3 = [ · · · ] =2 3 3 4 .
A matriz de transição da base padrão B1para a base E = {(5, 3)|, (3, 2)|} é dada pela inversa: M(E←B1)= M−1(B 1←E)= 5 3 3 2 −1 = [ · · · ] = 2 −3 −3 5 .
Os vetores de coordenadas [x]E, [y]E e [z]E de x = (1, 1)|, y = (−1, 1)| e z = (10, 7)| na base
E são obtidos multiplicando M(E←B1) para os vetores de coordenadas [x]B1 = (1, 1)|, [y]B1 =
(1, −1)|e [z]B1 = (10, 7)| na base padrão, calculemos que:
[x]E = M(E←B1)· [x]B1 = 2 −3 −3 5 1 1 =−1 2
[y]E = M(E←B1)· [y]B1 =
2 −3 −3 5 1 −1 = 5 −8 [z]E = M(E←B1)· [z]B1 = 2 −3 −3 5 10 7 =−1 5 Resolução do Ex. 5:
a) Notemos B1 := {e1, e2, e3} a base padrão de R3, e B2 a base B2 := {u1 = (1, 1, 1)|, u2 :=
(1, 2, 2)|, u3 := (2, 3, 4)|}.
A matriz de transição da base B2 para a base padrão é dada por:
M(B1←B2)= 1 1 2 1 2 3 1 2 4 .
A matriz de transição da base padrão B1 para a base B2 é dada pela inversa, ou seja:
M(B2←B1)= M −1 (B1←B2)= 1 1 2 1 2 3 1 2 4 −1 = [ · · · ] = 2 0 −1 −1 2 −1 0 −1 1 .
b) O vetor de coordenadas na base B2 sendo obtido por multiplicação para M(B2←B1) do vetor de coordenadas na base B1, temos que:
i) [x]B2 = M(B2←B1)· [x]B1 = 2 0 −1 −1 2 −1 0 −1 1 3 2 5 = 1 −4 3
ii) [y]B2 = M(B2←B1)· [y]B1 =
2 0 −1 −1 2 −1 0 −1 1 1 1 2 = 0 −1 1 iii) [z]B2 = M(B2←B1)· [z]B1 = 2 0 −1 −1 2 −1 0 −1 1 2 3 2 = 2 2 −1
Resolução do Ex. 6: a) Notemos: • B1 a base padrão de R3, B 1 := {e1, e2, e3}, • B2 a base B2 := {u1 = (1, 1, 1)|, u2 := (1, 2, 2)|, u1 := (2, 3, 4)|}, • B3 a base B3 := {v1= (4, 6, 7)|, v2 = (0, 1, 1)|, v3 = (0, 1, 2)|}.
A matriz de transição da base B3 para a base padrão é dada por:
M(B1←B3)= 4 0 0 6 1 1 7 1 2 .
Jà calculàmos no Exercício 5 que a matriz de transição da B1 para a base B2 era:
M(B2←B1)= 2 0 −1 −1 2 −1 0 −1 1 .
A matriz de transição da base B3 para a base B2 é obtida por multiplicação:
M(B2←B3)= M(B2←B1)·M(B1←B3)= 2 0 −1 −1 2 −1 0 −1 1 4 0 0 6 1 1 7 1 2 = [ · · · ] = 1 −1 −2 1 1 0 1 0 1 .
b) O vetor x = 2v1+ 3v2− 4v3 tem coordenadas [x]B3 = (2, 3, −4)
| na base B
3. As
coorde-nadas de x em B2 podem ser obtidas por multiplicação de [x]B3 com M(B2←B3), da forma
seguinte: [x]B2 = M(B2←B3)· [x]B3 = 1 −1 −2 1 1 0 1 0 1 2 3 −4 = 7 5 −2 Resolução do Ex. 7: Notemos: • B1 a base padrão de R2, • B2 a base B2:= {v1 = (1, 2)|, v2 = (2, 3)|}, • B3 a base incógnita, B3:= {w1, w2}.
As colunas da matriz de transição de B3 para B1 sendo dadas pelos vetores coordenadas de
{w1, w2} na base padrão, basta encontrar M(B1←B3).
Queremos que S seja a matriz de transição de B3 para B2, isso é:
S = M(B2←B3)= M(B2←B1)· M(B1←B3).
Multiplicando à esquerda os dois lados dessa expressão por M−1(B
2←B1), obtemos:
M(B1←B3)= M
−1
Concluemos que: w1 :=5 9 w2 :=1 4 Resolução do Ex. 8: Notemos: • B1 a base padrão de R2, • B2 a base B2:= {v1 = (2, 6)|, v2 = (1, 4)|}, • B3 a base incógnita, B3:= {u1, u2}.
As colunas da matriz de transição de B3 para B1 sendas dadas para os vetores coordenadas de {u1, u2} na base padrão, basta encontrar M(B1←B3).
Queremos que a matriz S seja a matriz de transição de B2 para B3, isso é: S = M(B3←B2)
= M(B3←B1)· M(B1←B2).
Multiplicando à direita os dois lados dessa expressão para M−1(B
1←B2), obtemos:
M(B3←B1)= S · M−1(B
1←B2)
= S · M(B2←B1)
Passando aos inversos, temos que: M(B1←B3)= M−1(B 3←B1) = S · M(B2←B1) −1 = M−1(B 2←B1)· S −1 = M(B1←B2)· S −1 =2 1 6 4 4 1 2 1 −1 =2 1 6 4 1/2 −1/2 −1 2 = 0 1 −1 5 Concluemos que: u1 = 0−1 u2 =1 5
Resolução do Ex. 9: Notemos:
• B1 a base de P3 dada por B1 := {x, 1} ,
• B2 a base de P3 dada por B2 := {2x − 1, 2x + 1}.
a) É fácil ver que os vetores de coordenadas dos elementos da base B2 na base B1 são: [2x − 1]B1 = (2, −1)
|,
[2x + 1]B1 = (2, 1)
|.
Logo a matriz de mudança de base de B2 para B1 é dada por M(B1←B2) =
2 2 −1 1
b) A matriz de transição de B1 para B2 sendo a matriz inversa da matriz de transição de B2 para B1, calculemos que:
M(B2←B1) = M−1(B 1←B2)= [ · · · ] = 1/4 −1/2 1/4 1/2 .
Resolução do Ex. 10: Notemos:
• B1 a base de P3 dada por B1 := {1, x, x2}
• B2 a base de P3 dada por B2 := {1, 1 + x, 1 + x + x2}.
É fácil ver que os vetores de coordenadas dos elementos da base B2na base B1são dados por: [1]B1 = (1, 0, 0)
|,
[1 + x]B1 = (1, 1, 0)
|,
[1 + x + x2]B1 = (1, 1, 1).
Logo a matriz de transição de B2 para B1 é dada por
M(B1←B2)= 1 1 1 0 1 1 0 0 1 .
A matriz de transição de B1 para B2 sendo a matriz inversa da matriz de transição de B2 para B1, calculemos que:
M(B 2←B1)= M −1 (B1←B2)= [ · · · ] = 1 −1 0 0 1 −1 0 0 1 .
