Soluções Numéricas de EDO’s

Soluções Numéricas

de EDO’s

Prof. Dr. Leandro Blass

Prof. Dr. Anderson Bihain

Equações Diferenciais

 Equações contendo derivadas são equações diferenciais.

 É necessário conhecer equações diferenciais para:

• Compreender e investigar problemas envolvendo o fluxo de corrente elétrica em circuitos, a dissipação de calor em objetos sólidos, a propagação e detecção de ondas sísmica, o aumento ou diminuição de populações, o movimento de fluidos, entre outros.

Equações Diferenciais

 Você aprendeu, em cálculo, que a derivada dy/dx de uma

função y =  (x) é em si uma outra função ’(x).

2

1 0 x

e

y



 A função é diferencial no intervalo (-, ), e a sua

derivada é . Se substituirmos no lado

direito da derivada pelo símbolo y, obteremos

2 1 0 2 0 x xe dx

dy/  , ,

_e

xy dx dy 2 0, 

 Como resolver essa equação na função incógnita y =  (x)?

 A equação construída em (1) é chamada de equação diferencial.

Definição de Equação

Diferencial

 Uma equação que contém as derivadas (ou diferenciais) de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma ou mais variáveis independentes é chamada de equação diferencial (ED).

Classificação quanto ao Tipo

dy _{ }

5 _{6 0,}

2 2    y dx dy dx y d

Equações Diferenciais Ordinárias (EDO): se a função desconhecida depende de uma única variável independente. Neste caso, aparecem apenas derivadas simples.

y x dt dy dt dx    2 , 0 2 2 2 2       y u x u , t u t u x u         2 2 2 2 2

Equações Diferenciais Parciais (EDP): se a função desconhecida depende de diversas variáveis independentes. Neste caso, aparecem as derivadas parciais.

Classificação de Equações

Diferenciais

Notação de Leibniz: _{, , ,...}

3 3 2 2 dx y d dx y d dx

dy _{Notação linha:}

```,... ``,

`, y y y

Notação de Leibniz:

Notação linha: , x e y dx

dy _{ }

5 ₂ 6 0,

2    y dx dy dx y d y x dt dy dt

dx _{  }

2

, ` y ex

y 5  y``y`6y  0,

A notação linha é usada somente para denotar as três primeiras derivadas; a quarta derivada é escrita como y(4)_{, em}

Classificação de Equações

Diferenciais

Sistema de equações diferenciais: se existem duas ou mais funções que devem ser determinadas, precisamos de um sistema de equações.

Uma solução de um sistema como (8) é um par de funções diferenciais x = ₁(t), y = ₂(t), definidas em um intervalo comum I, que satisfazem cada equação do sistema neste intervalo.

) , , (t x y f

dt dx



) , ,

(t x y g

dt dy



Classificação de Equações

Diferenciais

Notação ponto de Newton: é às vezes usada em Física ou

Engenharia para denotar derivadas em relação ao tempo. Assim sendo, a equação diferencial

32 2 2   dt s

d _torna-se

_

_

₃₂

s





Derivadas parciais são geralmente denotadas por uma

notação em subscrito. Assim sendo, a equação diferencial

t tt

xx u u

u   2

Equações Diferenciais



Ao estudar alguns fenômenos, é difícil estabelecer

diretamente a

relação de dependência

entre uma

variável independente

x

e uma

dependente

y

.



Todavia, é mais fácil estabelecer a relação entre

x

,

y

e as derivadas

y’(x), y’’(x), …, Y

(x)

.



Esta relação constitui uma

equação diferencial

.

Equações Diferenciais



Equação diferencial:

• é uma equação envolvendo uma função desconhecida e algumas de suas derivadas.



Equação diferencial ordinária de ordem

n

:

• equação que envolve derivadas até a ordem

n

Y

_{(x) = f(x, y(x),}

y’(x), y’’(x), …

_{, Y}

_(x))

Ordem: a ordem de uma ED é a ordem da mais alta derivada que aparece na equação.

Exemplos:



₅

_x



₃

_,

1











y

dt y d dt y d dt y d

Classificação por Ordem

É uma equação diferencial de segunda ordem.

x e y dx dy dx y

d _{ }

     

 5 4

3

2 2

Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem são ocasionalmente escritas na forma diferencial

Classificação por Ordem

M(x, y) dy + N(x, y) dx = 0

Por exemplo, supondo que

y

(y - x) dx + 4x dy = 0,

então

y’ = dy/dx

Portanto, dividindo pela diferencial dx, obtemos a forma alternativa

Por razões práticas e teóricas, também consideraremos

)

,...,

"

,'

,

,

(





n n

y

y

y

y

x

f

y

dx

y

d

Classificação por Ordem

Geralmente a equação

F(y, y’, y”, ..., y(n)_{) = 0} (4)

é uma equação diferencial ordinária de ordem n em uma

variável dependente.

Onde F é uma função de valores reais de n + 2 variáveis, x, y,

y’, ..., y(n), e onde _y(n) _{= d}n_{y / dx}n.

para representar equações diferenciais ordinárias de primeira e segunda ordem.

Classificação por Ordem

Quando servir aos nossos propósitos, usaremos a forma normal

)

,

(

x

y

f

dx

dy



f

(

x

,

y

,

y

'

)

dx

y

d



2 2

e

Equações Lineares e não-lineares: A equação diferencial

0



)

,...,

"

,'

,

(

x

y

y

y

F

É dita linear se F é uma função linear das varáveis y, y’, y”,..., y(n-1)

Assim a equação diferencial ordinária linear geral de ordem n é

0

1 1

1













(

)

(

)

'

(

)

(

)

)

(

x

y

a

x

y

a

x

y

a

x

y

g

x

a



Classificação por

Linearidade

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

a

x

y

g

x

dx

dy

x

a

dx

y

d

x

a

dx

y

d

x

a

n













 ₁ 1 0

1

1



Em (2) observamos as duas propriedades características de uma equação diferencial linear:

1) A variável dependente e todas as suas derivadas são do 1º grau, isto é, a potência de cada termo envolvendo y é 1.

2) Cada coeficiente depende no máximo da variável independente x. As equações diferenciais ordinárias lineares

abaixo são, respectivamente, de 1ª, 2ª e 3ª ordem.

Classificação por

Linearidade

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

a

x

y

g

x

dx

dy

x

a

dx

y

d

x

a

dx

y

d

x

a

n













 ₁ 1 0

1

1



(y - x) dx + 4x dy = 0, y’’– 2y’+ y = 0 e x

dt dy dx y d

e

y

x







5

A equação diferencial que não é da forma (1) é uma equação não-linear. Exemplo:

_y

_'

_''



₂

_e

_y

_"



_yy

_'



_t

Classificação por

Linearidade

Equações não-lineares: Uma equação diferencial ordinária

não-linear é simplesmente uma que não é linear.

Funções não-lineares da variável dependente ou de suas derivadas, como seny ou e y’, não podem aparecer em uma equação linear. Assim sendo, , 0 2 2   seny dx y d , ' )

(1 y y 2y  ex ₄ 2

0

4





y

dx

y

d

Coeficiente dependente de y Termo não-linearFunção não-linear de y

Termo não-linear

Solução de uma EDO

 Definição: Toda função , definida em um intervalo I que tem

pelo menos

n

substituídas em uma equação diferencial ordinária de ordem

n

solução da equação diferencial no intervalo.

Em outras palavras, uma solução de uma equação diferencial ordinária de ordem n (4) é uma função  que tem pelo menos n

derivadas e para qual

Soluções: Uma solução da equação

y(n) _{= f (x, y, y`, y``, ..., y}(n-1) ₎ em  _{< x <} 

é uma função  tal que `, ``, ... (n) existem e satisfazem

(n)_{(x) = f [x,} _(x), _`(x), _{``(x), ...} (n-1) _(x)]

para todo x em  < x < 

Soluções

2

1 0 x

e

y



Verificação de uma Solução

Exemplo 1: Verifique se a função indicada é uma solução da

equação diferencial dada no intervalo (-, ).

a)

dy/dx = xy

; y = x

/16

y’’ –

2

y’

+ y = 0; y = xe

Solução: Uma maneira de verificar se a solução dada é uma solução é observar depois de substituir, se ambos os lados da equação são iguais para cada x no intervalo.

a) dy/dx = xy1/2_{; y = x}4_/16

lado esquerdo:

lado direito:

 

4 1 4 16 1 x x dx

dy _{ }

. 3 2 2 1 4 2 1 4 1 4 1 16 1 x x x x x

xy  

Verificação de uma Solução

Verifique se a função indicada é uma solução da equação diferencial dada no intervalo (-, ).

a) dy/dx = xy1/2_{; y = x}4_/16

lado esquerdo:

lado direito:

 

4 1 4 16 1 x x dx

dy _{ }

. 3 2 2 1 4 2 1 4 1 4 1 16 1 x x x x x

xy  

             . / /

Vemos que ambos os lados são iguais para cada número real x.

Verificação de uma Solução

Verifique se a função indicada é uma solução da equação diferencial dada no intervalo (-, ).

b) y’’ – 2y’ + y = 0; y = xex

Das derivadas y’ = xex _{+ e}x e y’’ _{= xe}x _{+ 2e}x, temos, para _x  

lado esquerdo:

lado direito: 0

0

2       

 x x x x

xe e

x e

xe y

y

y '' ' ( 2 ) 2( ex )

Observe que neste exercício, cada equação diferencial tem a solução constante y = 0, - < x < . Uma solução de uma

equação diferencial identicamente nula no intervalo I é chamada

Curva Integral

O gráfico de uma solução  de uma EDO é chamado de curva integral. Uma vez que  é uma função diferenciável, ela é contínua no intervalo de definição I. Assim sendo, pode haver uma

diferença entre o gráfico da função  e a solução da função .

Posto de outra forma, o domínio da função  não precisa ser

igual ao intervalo I de definição (ou domínio) da solução  .

Domínio versus

intervalo

I

de Definição

Exemplo 2: O domínio de y = 1/x é  - {0}. A função racional y = 1/x, é

descontínua em zero. A função não é diferenciável em x = 0, uma vez que

o eixo y (cuja equação é x = 0) é uma assíntota vertical do gráfico.

Entretanto, y = 1/x é também solução da equação diferencial linear de primeira ordem xy’ + y = 0. (verifique)

Mas quando afirmamos que y = 1/x é uma solução dessa ED, queremos dizer que é uma função definida em um intervalo I no qual é diferenciável e satisfaz a equação.

Portanto, tomamos I como sendo (-, 0) ou (0, ). O gráfico ilustra as

Domínio versus

intervalo

I

de Definição

Exemplo 2:

Soluções Explícitas e

Implícitas

Solução Explícita: É quando numa solução a variável dependente

é expressa somente em termos da variável independente e das constantes.

y = x4/16, y = xex e y = 1/x são soluções explícitas de

dy/dx = xy1/2_, y’’ – ₂y’ _{+ y = 0} e xy’ _{+ y = 0}

Além disso, a solução trivial y = 0 é uma solução explícita de

Soluções Explícitas e

Implícitas

Solução Implícita: Dizemos que uma relação G(x, y) = 0 é uma

solução implícita de uma equação diferencial (4), em um intervalo

I, quando existe pelo menos uma função  que satisfaça a relação,

bem como a equação diferencial em I.

Exemplo 3: A relação x2 + y2 = 25

é uma solução implícita da ED

y x dx dy  

no intervalo -5 < x < 5. Por

diferenciação implícita, obtemos

0  ) ,..., " ,' ,

(x y y y(n)

F (4) 25 2 2 dx d y dx d x dx

d _{ }

ou 2  2  0

Soluções Explícitas e

Implícitas

Exemplo 3: Uma solução implícita e duas explícitas de y’ = - x/y

(a) Solução implícita

x2 _{+ y}2 _{= 25}

(b) Solução explícita

5 5

25 2

1   x   x 

y ,

(c) Solução explícita

5 5

25 2

2    x   x 

Uso de computadores na

solução de EDO

 Exercícios destinados a Laboratório de Computação.

Use um SAC (Sistema Algérico Computacional) para computar todas as derivadas e fazer as simplificações necessárias à constatação de que a função indicada é uma solução particular da equação diferencial dada.

1) y(4) – ₂₀ y’’’ _{+ 158}y’’ – ₅₈₀y’ _{+ 841y = 0; y = xe}5x _{cos 2x}

2) x3y’’’ + 2x2y’’ + 20xy’ - 78y = 0;

x x sen

x x

Equações Diferenciais

Ordinárias

 A solução de (5’):

• y(n)(x) = f(x, y(x), y’(x), y’’(x), …, Y(n-1)_{(x)) (5)}

a ≤ x ≤b.

• é qualquer função y = F(x) que é definida em [1, b] e tem n

derivadas neste intervalo e que satisfaz (5).

• Se a função é de uma só variável, então a equação se chama

ordinária.

• As equações que estabelecem relações entre uma variável e

Solução de uma EDO

 Na solução de uma EDO, dois caminhos podem ser seguidos:

• Método analítico: O que tenta levar à uma solução exata do problema

• Método numérico: O que encontra uma solução aproximada.

 Do ponto de vista analítico, resolver uma EDO do tipo y’ = f(x,y) é encontrar uma função y = F(x) que satisfaça a equação dada.

 Por exemplo, dada equação diferencial y’ = f(x,y) = 2x + 3, sua solução é obtida por:

• y = ∫(2x+3)dx = x2 _{+ 3x + C}

• Na verdade, temos uma família de soluções (para cada C  R tem

uma solução particular). A figura 1 (próximo slide) mostra algumas

Solução de uma EDO

Representações de soluções particulares, para alguns valores de

C, dafunção

y = x 2 _{+ 3 x + C.}

Figura 1

C= 0

C= 2

C= 4

x y

Note que à medida que C varia,

Solução de uma EDO

Para determinarmos uma solução específica é necessária a atribuição do valor de y em um dado x. Em outras palavras, deve ser dado um ponto ( x = a , y = s ) por onde a solução particular deve obrigatoriamente passar.

O processo para encontrar esta solução específica y da equação y’ =

f ( x, y ) com y ( a ) = s, onde a e s são dados numéricos, é chamado de problema de condição inicial.

Assim, podemos particularizar a solução do problema anterior atribuindo-lhe, por exemplo, a seguinte condição:

Logo, a solução geral é dada por y = x 2 + 3 + C, e a particular será dada por y ( 0 ) = 0 = 0 2 + 3 _x 0 + C  C = 0. Ou seja, y = x 2 + 3 x .

Definindo as condições

iniciais

 Para especificar uma das curvas que formam a família de

soluções, é preciso impor condições adicionais na função y. Essas condições são da forma:

• y(a) = ₁ , y’(a) = ₂ , y’’(a) = ₃ ,… , y(n-1)_{(a) =} 

n (2)

• Que são chamadas de condições iniciais.

 O problema (1) com as condições iniciais (2) é chamado de

problema de valor inicial ou problema de condições iniciais.

Definindo as condições

iniciais

 O problema geral de primeira ordem é escrito como:

• y’(x) = f(x, y(x)), y(a) =  _{com a ≤ x ≤ b (3)}

ou

dy/dt = f(t, y(t)), y(a) =  _{com a ≤ t ≤ b}

 Um problema de valor inicial de ordem n é escrito como:

• y(n)(x) = f(x, y’, y’’, …, y(n-1)), a ≤ x ≤b (4a)

• y(a) = ₁ , y’(a) = ₂ , y’’(a) = ₃ ,… , y(n-1)_{(a) =} 

Condições de contorno

 Juntamente com o problema de valor inicial, podemos ter problemas com condições de contorno, isto é:

 Além da condição no início do fenômeno, temos também uma condição a atingir no fim do fenômeno.

EXEMPLO: condição de contorno de segunda ordem é escrito como

y’’(x) = f(x, y, y’’) , a ≤ x ≤ b (5) com

Usando símbolos diferentes

Exemplo 2: As funções x = c₁cos4t e x = c₂sen4t, onde c₁ e c₂ são

constantes arbitrárias ou parâmetros, são ambas soluções da equação diferencial linear x’’ + 16x = 0.

Para x = c₁cos4t  _x’ = - 4c₁sen4t e x’’ = - 16c₁cos4t. Substituindo x’’ e x, obtemos

x’’ + 16x = - 16c₁cos4t + 16c₁cos4t = 0

Para x = c₂sen4t  _x’’= - 16c₂sen4t e, portanto,

x’’ + 16x = - 16c₂sen4t + 16c₂sen4t = 0

É fácil constatar que a combinação linear de soluções, ou a família a dois parâmetros x = c₁cos4t + x = c₂sen4t é também uma

Verificação de uma Solução

Uma solução de uma equação diferencial na incógnita y e na variável independente x no intervalo  é uma função y(x) que verifica a equação diferencial identicamente em todo x em .

Exemplo 3: Tem-se que y(x) = C₂sen(2x) + C₂cos(2x) é uma

solução de _y’’ + 4y = 0. Isso pode ser visto através da

substituição de y(x) na equação original. Assim:

y’(x) = C1cos(2x) - C1sen(2x)

y’’(x) = -4C₁sen(2x) - 4C₂cos(2x)

Sistema de Equações

Diferenciais

 Um sistema de equações diferenciais de primeira ordem tem a seguinte

forma geral:

• y’1(x) = f1(x, y1, y2, y3, … yn)

• y’2(x) = f2(x, y1, y2, y3, … yn)

• … a ≤ x ≤ b

• y’n(x) = fn(x, y1, y2, y3, … yn)

• Sujeito a y_k(a) = _k , k = 1(1)n (6b)

• Onde f₁, f₂, … f_1n são funções de n + 1 variáveis.

• Nota: se o problema (6a) tem solução, então ele tem, em geral, várias soluções (uma família de soluções). Com as condições (6b), temos o problema do valor inicial.

Sistema de Equações

Diferenciais

 As soluções do problema (6a) são derivadas da solução de uma única equação. Resolvendo o problema (6), podemos resolver o problema (4), utilizando mudanças de variáveis. Assim, basta definir um conjunto de n funções y₁, y₂, …, y_n, da seguinte forma:

• y₁(x) = y(x)

• y₂(x) = y’(x)

• …

• y_n(x) = y(n-1)_(x)

• Então (4a) pode ser escrita como:

• y(n)_{(x) = f(x, y}

Sistema de Equações

Diferenciais

 Diferenciando (7), obtemos:

• y’₁(x) = y₂(x)

• y’₂(x) = y₃(x)

• …

• y_n-1(x) = y_n(x)

• De onde obtemos para (4) um sistema de equações diferenciais. As condições iniciais de (4b) tornam-se as condições iniciais do sistema.

Sistema de Equações

Diferenciais

 EXEMPLO:

• y’’’(x) = xy’(x) + ex_{y(x) + x}2 + 1 0 ≤ x ≤ 1

y(0) = 1 , y’(0) = 0 , y’’(0) = _-1

• Fazendo a mudança de variáveis, obtemos:

• y’₁(x) = y₂(x)

• y’₂(x) = y₃(x) 0 ≤ x ≤ 1

• y’₃(x) = xy₂(x) + ex _y

1(x) + x2 + 1

Uso de computadores na

solução de EDO

 Um computador pode ser uma ferramenta extremamente útil no estudo de equações diferenciais.

 Algoritmos já estão sendo usados há muito tempo para solucioná-las como, por exemplo: o método de Euler e o de Runge-Kutta.

Algumas questões

relevantes



Uma equação diferencial sempre tem solução?

(existência)



Quantas soluções tem uma equação diferencial dada

que ela tem pelo menos uma? Que condições

adicionais devem ser especificadas para se obter

apenas uma única solução? (unicidade)



Dada uma ED, podemos determinar, de fato, uma

Equações Diferenciais de

Primeira Ordem

A forma geral das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem é

dy/dx = f (x,y) (i)

Qualquer função diferencial y = (t) que satisfaça essa equação para todo t em um dado intervalo é uma solução desta equação.

Exemplo: y’ = 2y + 3et

Equações Lineares

Se a função f em (1) depende linearmente de y, então ela é chamada de uma equação linear de primeira ordem. Um exemplo com coeficientes constantes é

dy/dt = - ay + b,

onde a e b são constantes dadas.

Substituindo os coeficientes a e b por funções em t, temos a forma geral da equação linear de primeira ordem

dy/dt + p(t)y = g(t),

Exemplo: Considere a equação diferencial

dy/dt + 2y = 3. Encontre sua solução. Solução:

Temos que dy/dt = -2y + 3 ou dy/dt = -2 y - 3/2

ln |y - 3/2| = -2t + c

Logo,

y = 3/2 + ce- 2t

Fator integrante

Consiste em multiplicar a equação diferencial por uma

determinada função



(t)

de modo que a equação resultante

seja facilmente integrável.

Exemplo: Considere a equação

dy/dt +2y = 3

. Assim

podemos ter



(t) dy/dt + 2



(t) y = 3



(t)

Vamos tentar encontrar



(t)

de modo que a expressão

anterior tenha a esquerda do sinal da igualdade a derivada

de



(t) y

.

Comparando com a equação anterior temos que as duas primeiras parcelas são iguais e que as segundas podem ficar desde que (t) seja tal que d (t) /dt = 2 (t)

Logo [d (t) /dt] / (t) = 2

Donde d [ln| (t)|] / dt = 2 O que nos leva ao resultado

ln |(t)| = 2t +c ou (t) = c e 2 t

que é um fator integrante para a equação dada. Como não queremos um caso mais geral, tomamos

(t) = e 2 t

Logo, a equação dada, fica:

e

_{dy/dt + 2 e}

_{y = 3 e}

Ora, d (e

_{y)/dt = 3 e}

Então e

_{y = (3/2) e}

_{+ c, donde y = (3/2) + c e}

_.

que é a mesma solução encontrada anteriormente.

Em várias equações pode-se ter fator integrante como

em dy/dt + ay = b, o fator será



(t) = e

_{basta apenas}

fazer as devidas substituições de a e b.

Exemplo : Resolver a seguinte equação diferencial com condição inicial

y ` + 2y = te–2t _{, y(1) = 0.}

Solução: Temos (t) = e 2 t

Logo e 2 t _{y` + 2y e} 2 t _{= t}

(e 2 t_{y)` = t}

e 2 t _{y = (t}2_{/2) + c. Aplicando a condição inicial, y(1) = 0,}

Obtemos c = ½. E finalmente, a resposta

y = (e –2t_{/2) (t}2 – ₁₎

Escolha de (t)

dy/dt + p(t)y = g(t)

(t) [dy/dt] + (t) p(t)y = (t) g(t) o segundo termo do lado esquerdo é igual a derivada do primeiro

[d(t)] /dt = p(t) (t), supondo que (t) > 0

{[d(t)] /dt} / (t) = p(t) então

ln (t) =  p(t)dt + c, escolhendo c = 0, temos

(t) que é a função mais simples, ou seja,

(t) = exp [ p(t)dt] = e p(t)dt

Exemplo: Seja dy/dt + y/2 = 2 + t.

Temos então a = 1/2, logo



(t) = e

_.

Então d[e

_{y]/dt = 2 e}

_{+ t e}

_.

Temos, integrando por partes,

e

_{y = 4 e}

_{+ 2t e}

_{- 4 e}

_{+ c,}

Como c é constante, temos

y = 2t + c e

Equações separáveis

A equação geral de primeira ordem é dy/dx = f(x,y) que pode ser colocada na forma

M(x,y) + N(x,y)dy/dx = 0

Onde M(x,y) = - f(x,y) e N(x,y) = 1.

Porém se M depende apenas de x e N apenas de y, ela pode ser escrita como

M(x) + N(y)dy/dx = 0.

M(x)dx + N(y)dy = 0

Então as fórmulas envolvendo cada variável pode ser separada pelo sinal da igualdade.

Exemplo: Considere a equação diferencial

y` = -2xy.

Então podemos fazer y`/y = -2x e daí

ln|y| = - x2 _{+ c,}

logo para cada c R temos duas soluções:

y1 = e - x + c _{e y2 = - e} - x + c

2 2

Equações exatas

Uma equação na forma M(x,y) + N(x,y) y` = 0 é uma equação exata em R (uma região) se, e somente se,

M_y (x,y) = N_x (x,y) em cada ponto de R.

Exemplo: Verifique se a equação

(x2 _{+ 4y)y` + (2xy + 1 ) = 0 é exata.}

Solução: Neste caso, M(x,y) = 2xy +1 e

N(x,y) = x2 _{+ 4y.}

Teorema 2.6.1: Suponha que as funções M, N, M

, N

são

contínuas na região retangular

R:



< x <



e



< y <



. Então a equação

M(x,y) + N(x,y)y` = 0 é uma equação exata em R se, e

somente se, M

(x,y) = N

(x,y) (1) em cada ponto de

R. Isto é, existe uma equação



satisfazendo as equações



(x,y) = M(x,y),



(x,y) = N(x,y) se,

e somente se, M e N satisfazem a equação (1).

As vezes é possível transformar uma equação diferencial que não é exata em uma exata multiplicando-se a equação por um fator integrante apropriado. Isto é, determinar uma função (x,y) tal que (M)_y = (N)_x seja uma equação exata.

Exemplo: A equação xy` - y = 0 não é exata.

Porém se multiplicarmos por 1/x2 ₌ _{(x,y), temos}

y`/x - y/x2 _{= 0 que é exata.}

Facilmente podemos ver que M(x,y) = - y/x2

N(x,y) = 1/x e que M_y = - 1/x2 _{= N} x

Exemplo: Resolva a seguinte equação diferencial (3x2 – _{2xy +2 ) dx + (6y}2 _{- x}2 _{+ 3) dy = 0.}

Solução: Temos M_y(x,y) = -2x = N_x(x,y). Logo exata. Assim existe uma  (x, y) tal que

_x (x, y) = 3x2 – _{2xy +2 ,} 

y (x, y) = 6y2 - x2 + 3

Integrando a _x (x, y), temos  (x, y) = (3x2 – _{2xy +2) dx}

= x3 – _{2 x}2 _{y +2x + h(y).}

Fazendo _y = N, temos - x2 + h’(y) = 6y2 _{- x}2 _{+ 3}

h’(y) = 6y2 _{+ 3 donde h(y) = 2y}3 _{+ 3y e por fim}

 (x, y) = x3 – _{2 x}2 _{y +2x + 2y}3 _{+ 3y = c.}

Fatores integrantes para equações exatas

Podemos multiplicar M(x,y) dx + N(x,y)dy = 0

por uma função  e depois tentar escolhê-la de modo que a equação resultante (x,y) M(x,y) dx + (x,y N(x,y)dy = 0 seja exata.

Sabemos que ela será exata se, e somente se, (M)_y = (N)_x. Assim, ela deve satisfazer a equação diferencial

M _y - N _x + (M_y – N_x)  = 0.

Vamos determinar as condições necessárias sobre M e N de modo que a equação dada tenha um fator integrante  dependendo apenas de x.

(M)_y = (N)_x, (N_x) = N_x + N[(d )/dx]

Logo, para que (M)_y seja igual a (N)_x, é necessário que d )/dx = [(M_y – N_x) / N] .

Se [(M_y – N_x) / N] depende somente de x, então existe um fator integrante  que depende apenas de x também.

Exemplo: Determine o fator integrante e resolva a seguinte equação diferencial dx – 2xydy = 0.

Solução: Temos que M = 1 e N = –2xy.

Logo M_y = 0 e N_x = -2y e, como são diferentes, a equação dada não é exata.

Vamos então determinar o fator que a torna exata.

Temos (M

–

N

) / N = (0 + 2y) / (-2xy) = - 1 / x.

Logo



(x,y) = exp



(-1/x)dx = e

_{= 1/ x.}

Assim temos dx /x = 2y dy

Donde



dx /x =



2y dy

E conseqüentemente ln|x| - y

_{+ c = 0.}

Existência e unicidade

de solução

Teorema 2.4.1: (Existência e Unicidade) Se as funções p e g são contínuas em um intervalo aberto

I :  < t <  contendo o ponto t = t_0,então existe uma única função y = (t) que satisfaz a equação diferencial

y` + p(t)y = g(t)

Exemplo: Determine um intervalo no qual a equação

ty` + 2y = 4t2 _{e y(1) = 2 tem uma única solução.}

Solução: y` + (2/t) y = 4t

Assim, p(t) = 2 / t e g(t) = 4t e consequentemente g(t) é contínua para todo t e p(t) contínua para t  0.

Logo, para t > 0 contém a condição inicial, dando o intervalo procurado 0 < t < .

A solução é y = t2 _{+ 1 / t}2 _{, t > 0.}

.

Teorema: 2.4.2: Suponha que as funções f e f/y são contínuas em um retângulo

 < t <  e  < y <  contendo o ponto (t_o, y_o). Então

em algum intervalo t_o – h < t < t_o + h contido em  < t < ,

Existe uma única solução y = (t) do problema de valor inicial y’ = f(x,y) e y(t_o) = y_o

Exemplo: Resolva o problema de valor inicial y’ = y2

e y(0) = 1 e determine o intervalo no qual a solução existe.

Solução: Pelo teorema 2.4.2 temos f(x,y) = y2 _e _f/_{y = 2y}

contínuas em todo ponto de R.

Logo a solução dy/dt = y2 _{dy/ y}2 _{= dt, logo}

-y – 1 _{= t + c e y = 1 / (t+c).}

Como y(0) = 1, temos y = 1 / (1 - t) que é a solução.

Portanto a solução existe apenas em -  < t < 1.

Referências

 HOPCROFT, J. E.; ULLMAN, J. D. Introdução à Teoria de Autômatos, Linguagens e Computação. Rio de Janeiro: Campus, 2002.

 MENEZES, P. F.; DIVÉRIO, T. A. Linguagens Formais e Autômatos, Porto Alegre: Sagra-Luzzatto, 2001.

 PAPADIMITRIOU, C. H.; LEWIS, H. F. Elementos de Teoria da Computação. Porto Alegre: Bookman, 2000.