CAPÍTULO VII
RETA
Consideremos em
V o sistema de referência (O,
3
i
,
j
,
k
), onde E = (
i
,
j
,
k
) é
base ortonormal positiva e O(0, 0, 0).
7.1. EQUAÇÕES DA RETA
Estudaremos três tipos de equações de retas: vetorial, paramétricas e simétricas.
7.1. 1. EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA
Podemos associar cada ponto P(x, y, z) do espaço a um vetor cujo representante
tem origem em O e extremidade no ponto P, indicado por OP
= x
i
+ y j
+ z
k
ou,
também, por OP
= (x, y, z).
Dados dois pontos A e P distintos, existe uma só reta r que “passa” por eles. Os
pontos A e P definem a direção da reta.
Uma equação da reta é obtida quando se conhecem as coordenadas de dois pontos
fixos distintos ou, então, as coordenadas de um ponto fixo e a sua direção. A direção de
uma reta é dada por um vetor
v
0
paralelo a ela.
Seja A o ponto fixo de r e P um ponto qualquer da reta. O vetor
OP
é a soma
dos vetores OA
e u
. Isto é,
OP
= OA
+
u
.
O sentido e o comprimento de
u
variam conforme a localização de P em r.
Se r tem a direção de
v
, então
v
< u
. Assim, existe
real tal que
u
=
v
, que
substituído na sentença acima, tem-se:
OP
= OA
+
v
chamada de
da reta r.
z
P
u
v
A
r
k
Vemos, pela equação vetorial, que a cada valor do parâmetro
corresponde um
só ponto P de r.
Sendo OP
= (x, y, z),
OA=
( ,
x
Ay
A, )
z
Ae
v
= (a, b, c)
0
, então a equação
vetorial é
r: (x, y, z) =
( ,
x
Ay
A, )
z
A+
(a, b, c) ,
. (1)
Nota:
Se forem dados dois pontos distintos da reta A
( ,
x
Ay
A, )
z
Ae B
( ,
x
By z
B, )
B, podemos
tomar o vetor
v
como sendo
v
=
AB
=
(
x
B
x
A,
y
B
y
A,
z
B
z
A)
.
Exemplificando:
1) Obter a equação vetorial da reta r, conhecendo-se os seus pontos A(2, 1, 0) e
B(5, 0, 1).
Solução:
Temos que
v
=
AB
= (3, 1, 1). Utilizando o ponto fixo A, segue de (1) que:
r: (x, y, z) = (2, 1, 0) +
(3, 1, 1),
.
7.1.2. EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA
Partindo da equação vetorial (1), temos que :
r: (x, y, z) =
( ,
x
Ay
A, )
z
A+ (
a,
b,
c) ,
.
r: (x, y, z) =
(
x
A
a y
,
A
b
,
z
A
c
)
,
Estabelecendo a igualdade das respectivas coordenadas, teremos as equações:
r:
,
A
A
A
x
x
a
y
y
b
z
z
c
, (2)
chamadas de
equações paramétricas
de r.
Exemplificando:
2) Considerando a solução do exercício 1 acima, dê as equações paramétricas da
reta r.
Solução:
r:
2 3
1 1 ,
0 1
x
y
z
.
7.1.3. EQUAÇÃO SIMÉTRICA DA RETA
Considerando a Fig.7.1, vemos que
u
= OP
OA
= (x, y, z)
( ,
x
Ay
A, )
z
A. O
vetor
u
= (x
x
A, y
y
A, z
z
A) é paralelo ao vetor direção da reta v
:
x
x
Ay
y
Az
z
Zr
a
b
c
, a, b, c
*(3)
a forma (3) é chamada de
equação simétrica
de r
.
Exemplificando:
3) Obter a equação simétrica da reta r com direção
v
= (3, 1, 1), sabendo-se que
o ponto A(2, 1, 0) pertence a r.
Solução:
Consideremos P(x, y, z) um ponto qualquer da reta r. Então,
u
= (x 2, y 1, z 0)
é paralelo a
v
= (3, 1, 1). Assim,
:
2
1
3
1
1
x
y
z
r
Nota:
Se, por acaso, apenas a componente
a
for igual a zero, então a equação simétrica da
reta é descrita pela equação:
A A
A
:
y
y
z
z
,
r
x
x
b
c
.
Se apenas a componente b = 0, então a reta r esta contida no plano y = y
Aparalelo
ao plano xz. Se apenas a componente c = 0, a reta r esta contida no plano z = z
Aparalelo ao
plano xy.
Se a = b = 0 a equação simétrica da reta deve ser descrita por
r
:
x
x
A,
y
y
A.
E, nesse caso, é paralela ao eixo z.
z
yz
k
r
j
y
i
x
x
Ax v
= (0, b, c) Fig 7.2
z
r
k
j
y
y
Ay
i
x
x
AA reta
r
:
x
x
A,
z
z
Atem vetor
v
= (0, b, 0) e é paralela ao eixo y.
A reta
r
:
y
y
A,
z
z
Atem vetor
v
= (a, 0, 0) e é paralela ao eixo x.
---
EXEMPLO 7.1
1) Dados o ponto A(2,1,3) e o vetor
v
= (3, 6, 7), obtenha as equações vetorial,
paramétricas e simétrica da reta que contém o ponto A e tem a direção de
v
.
Solução:
a) Equação vetorial (1)
r: (x, y, z) =
(2, 1, 3) +
(3, 6, 7) ,
.
b) Equações paramétricas
r:
2
3
1
6 ,
3
7
x
y
z
.
c) Equação simétrica
:
2
1
3
3
6
7
x
y
z
r
.
2) Dados os pontos A(3, 1, 2) e B(4, 0, 3), obtenha as equações vetorial, paramétricas e
simétrica da reta r que contém os ponto A e B.
Solução:
Precisamos do vetor direção da reta r. Visto que não importam o módulo e nem o
sentido desse vetor, tomaremos
v
= AB
= (1, 1, 1).
Considerando o ponto fixo A, segue que:
d) Equação vetorial (1)
r: (x, y, z) = (3, 1, 2) +
(1, 1, 1) ,
.
e) Equações paramétricas
r:
3
1
,
2
x
y
z
.
f) Equação simétrica
:
3
1
2
1
1
1
x
y
z
r
.
---
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 7.1
1) Obtenha a equação simétrica da reta r, conhecendo-se os seus pontos A e B, sendo:
a) A(1, 2, 5) e B(1, 3, 2)
b) A(0, 1, 2) e B(1,1, 2)
R . a)
2
5
,
1
5
3
y
z
x
r tem a direção de
v
:
a) A(1, 2, 5) e
v
= (2, 1, 3) R. a) x = 1 + 2
, y = 2 +
e z = 53
,
b) A(0, 2, 0) e
v
= (1, 1, 0) R. b) x =
, y = 2
e z = 0,
3) Obtenha a equação simétrica da reta s, sabendo-se que o ponto A pertence a s e que
s é paralela a reta r:
a) A(0, 1, 2) e
:
1
3
4
2
1
1
x
y
z
r
R.
1
2
:
2
1
1
x
y
z
s
b) A(5, 4, 1) e
:
1
1
,
1
1
2
x
z
r
y
R.
5
1
:
,
4
1
2
x
z
s
y
4) Obtenha a equação vetorial da reta t, tal que o ponto P(1, 0, 2) pertence a t e que t é
ortogonal as retas
:
1
,
1
2
1
x
z
r
y
e
1
:
1
2
2
x
y
z
s
.
R. (x, y, z) = (1, 0, 2) +
(2, 3, 4),
.
5) Dada a equação vetorial r: (x, y, z) = (1, 1, 2) +
(2, 3, 4),
, pede as equações
paramétricas e simétrica de r.
R. x = 1+2
, y = 13
e z = 2+4
,
r:
1
1
2
2
3
4
x
y
z
6) Determinar, no sistema referência (O,
i
,
j
,
k
), a posição das retas de equações:
a)
1, 1 32 4
y z
x
. b)
2, 33 2
x z
y
c)
3, 12 2
x y
z
. d)
x1,
y2e)
x0,
z4. f)
y 2,
z2R. a) contida no plano x = 1, paralelo plano yz . b) contida no plano y =2, paralelo plano xz.
c) contida no plano z = -3, paralelo plano xy. d) paralela ao eixo z.
e) paralela ao eixo y. f) paralela ao eixo x.
7) Dê uma equação da reta r, sabendo-se que P(1,2,0)
r e que r é paralela a reta
s: (x,y,z) = (3,2,1) +
(3,5,2),
.
R. r: (x,y,z) = (1,2,0) +
(3,5,2),
8) Determine a equação vetorial da reta que intercepta o eixo x no ponto de abscissa a (a>0)
e o eixo y no ponto de ordenada b (b>0).
R. r: (x,y,z) = (a,0,0) +
(–a,b,0),
9) Determine uma equação simétrica da reta que possui O(0,0,0) e A(1, 1/2, 1/3).
R. x = 2y = 3z
10) Dê as equações das retas que coincidem, respectivamente, com os eixos x, y e z do
sistema de referência.
11) Verifique se o ponto A(2,1, 3) pertence a reta
2 1 32 1/ 2 4
x y z
.
R. Sim.
12) Verifique se o ponto B(1,8,3) pertence a reta x = 2+3t, y = 4+t e z =108t.
R. B não pertence a reta.
---
7.2. POSIÇÃO RELATIVA ENTRE DUAS RETAS
As retas :
r X
A +
u
,
e :
s X
B +
v
,
, podem ser paralelas,
concorrentes ou reversas. Se forem paralelas ou concorrentes serão coplanares, pois existe
um plano que as contém. Se forem reversas não serão coplanares.
Critério para determinar se as retas são concorrentes, paralelas ou reversas
:
Construir o
determinante
com as coordenadas dos vetores
u
,
v
e AB
. (produto misto)
1º) Se
det
(
u
,
v
, AB
) = 0, então as retas r e s são coplanares:
a)
u
paralelo
v
, tem-se que as retas r e s são paralelas.
Caso
A
r
e
A
s
, segue que
r
s
(coincidem).
Caso A
r
e A
s
, segue que r // s (distintas).
b)
u
não paralelo
v
, tem-se que as retas r e s são concorrentes.
2º) Se
det
(
u
,
v
,
AB
)
0, então as retas r e s não são coplanares. São reversas.
---
EXEMPLO 7.2
1) Verifique a posição relativa das retas
r
: ( , , ) (1,2,3)
x y z
(1,3, 2),
e
1
1
:
2
6
4
x
y
z
s
.
Solução:
Temos que
u
= (1, 3, 2) e
v
= (2, 6, 4) são, respectivamente, os vetores
direção das retas r e s. O vetor
AB
= (0, 2, 4) é obtido a partir dos pontos A(1, 2, 3) de r
e B(1, 0, 1) de s.
Coplanares-Concorrentes Coplanares-Paralelas
B u
r A
u
r
I
v
s
v
s
A s B
B
Não coplanares
v
Reversas
Assim,
det
(
u
,
v
, AB
) =
1
3
2
2
6
4
0
2
4
= 0. Logo, as retas são coplanares.
Os vetores
u
e
v
são paralelos, pois as suas coordenadas são proporcionais:
1 3 2
2 6 4
. Substituindo A(1, 2, 3) r na reta s, vemos que
(1) 1 (2) (3) 1
2 6 4
e,
portanto, A
s
. Assim, as retas r e s são paralelas distintas.
2) Verifique a posição relativa das retas
r
: ( , , ) (1,2,3)
x y z
(1,3, 2),
e
1 4 7
:
2 6 4
x y z
s
.
Solução:
Temos que
u
= (1, 3, 2) e
v
= (2, 6, 4) são, respectivamente, os vetores
direção das retas r e s. O vetor
AB
= (2, 6, 4) é obtido a partir dos pontos A(1, 2, 3) de r
e B(1, 4, 7) de s.
det
(
u
,
v
, AB
) =
1
3
2
2
6
4
2
6 4
= 0. Logo, as retas são coplanares.
Os vetores
u
e
v
são paralelos, pois as suas coordenadas são proporcionais.
Substituindo A(1, 2, 3)
r na reta s, vemos que
(1) 1 (2) 4 (3) 72 6 4
e, portanto, A
s
.
Assim, as retas r e s são paralelas coincidentes.
3) Verifique a posição relativa das retas
r
: ( , , ) (2,1,1)
x y z
(1,3, 2),
e
1
2
3
:
1
6
4
x
y
z
s
.
Solução:
Temos que
u
= (1,3,2) e
v
=(1,6,4) são, respectivamente, os vetores direção das
retas r e s. O vetor AB
= (1,3, 2) é obtido a partir dos pontos A(2,1,1) de r e B(1,2, 3)
de s.
Assim,
det
(
u
,
v
, AB
) =
1
3
2
1
6
4
1
3
2
= 0. Logo, as retas são coplanares. Os
vetores
u
e
v
não são paralelos, pois as suas coordenadas não são proporcionais:
1
3
2
1
6
4
. Então, as retas r e s são concorrentes.
4) Verifique a posição relativa das retas
r
: ( , , ) (2,1,1)
x y z
(1,3, 2),
e
2 2 3
:
1 3 4
x y z
s
.
Solução:
Temos que
u
= (1,3,2) e
v
=(1,3,4) são, respectivamente, os vetores direção das
retas r e s. O vetor AB
= (0,1, 2) é obtido a partir dos pontos A(2,1,1) de r e B(2,2, 3) de s.
Assim,
det
(
u
,
v
,
AB
) =
1
3
2
1
3
4
0
1
2
= 6. Logo, as retas não são coplanares.
Neste caso, são reversas.
---
7.3. INTERSECÇÃO DE RETAS
Dadas duas retas :
r X
A +
u
,
e :
s X
B +
v
,
. Se verificar-
mos que
det
(
u
,
v
,
AB
) = 0 e que
u
e
v
não são vetores paralelos, segue que as retas são
coplanares concorrentes.
Mostraremos, através do exemplo abaixo, os procedimentos para se obter o ponto I
de intersecção das retas r e s.
---
EXEMPLO 7.3
1) Obtenha o ponto de intersecção das retas : ( , , ) (2,1,1)
r
x y z
(1,3, 2),
e
:
1
2
3
1
6
4
x
y
z
s
.
a) Verificar a posição relativa das retas dadas. São concorrentes (Ex. 7.2.(3)).
b) Escrever as retas em suas respectivas equações paramétricas:
2
: 1 3 ,
1 2 x r y z
e
1
: 2 6 ,
3 4 x s y z
c) Montar um sistema de duas equações nas incógnitas
e
, identificando-se os
x, y ou z das equações paramétricas:
2 1
1 3 2 6
1 2 3 4
2 1
1 3 2 6
1 2 1
1
e
0.
d) Verificar se os valores encontrados satisfazem a terceira equação:
1 – 2(1) = 3 + 4(0) (verdade)
e) Substituir
1nas equações paramétricas de r (ou
0nas equações de s)
para obter o ponto de interseção
2
: 1 3 ,
1 2 x r y z
,
2 ( 1) 1
: 1 3( 1) 2
1 2( 1) 3 x r y z
2) Obtenha o ponto de intersecção das retas
r
: ( , , ) (0,2,1)
x y z
(1,0,2),
e
s
: ( , , ) (0,1,0)
x y z
(3,0,0),
.
Solução:
Temos que
u
= (1, 0, 2) e
v
= (3, 0, 0) são, respectivamente, os vetores
direção das retas r e s. O vetor AB
= (0, 1, 1) é obtido a partir dos pontos A(0, 2,1) de r
e B(0, 1, 0) de s.
Assim,
det
(
u
,
v
, AB
) =
1
0
2
3
0
0
0
1
1
= 6. Logo, as retas são reversas. Portanto,
elas não se interceptam.
---
7.4. PERPENDICULARISMO ENTRE RETAS
Dadas duas retas : X A +
r
u
,
e : X B +
s
v
,
.
Se
u
v
= 0
, então as retas r e s serão ortogonais:
a) Concorrentes se
det
(
u
,
v
,
AB
) = 0 (coplanares - perpendiculares) e
b) Reversas se
det
(
u
,
v
,
AB
)
0 (não coplanares).
---
EXEMPLO 7.4
1) Dadas as retas
:
1
2
3
1
6
4
x
y
z
r
e
2
1
:
2
3
4
x
y
z
s
, verifique se
elas são ortogonais reversas.
Solução:
Temos que
u
= (1, 6, 4) e
v
= (2, 3, 4) são os vetores direção das retas r e s,
respectivamente. A(1,2, 3) é ponto de r e B(0,2, 1) é ponto de s. Assim,
AB=(1,0,2).
Vejamos:
a)
u
v
= (1).2 + (6).3 + (4).4 = 0, logo, as retas r e s são ortogonais.
s s
B B Fig. 7.5
v
v
b)
det
(
u
,
v
,
AB
) =
1 6 4
2 3 4
1 0 2
= 6 (
0).
As retas r e s são ortogonais reversas.
2) Dadas as retas
:
1
1
3
1
6
4
x
y
z
r
e
2
4
5
:
2
3
4
x
y
z
s
, verifique se
elas são ortogonais reversas.
Solução:
Temos que
u
= (1, 6, 4) e
v
= (2, 3, 4) são os vetores direção das retas r e s,
respectivamente. A(1,1,3) é ponto de r e B(2,4, 5) é ponto de s. Assim,
AB=(3,3, 8).
Vejamos:
a)
u
v
= (1).2 + (6).3 + (4).4 = 0, logo, as retas r e s são ortogonais.
b)
det
(
u
,
v
,
AB
) =
1 6 4
2 3 4
3 3 8
= 0.
As retas r e s são ortogonais coplanares, logo, são concorrentes - perpendiculares.
O ponto de intersecção das retas r e s é I(0, 7, 1). (ver Ex. 7.3.(1))
---
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 7.2
1) As retas r, s e t são concorrentes num ponto. Obter uma equação da reta t, sabendo-se
que P(2, 2, 3) pertence a reta t e que
: 2 1 31 1 2
x y z
r
e
s x: 1,
y0.
R.
t: ( , , ) (1,0,1)x y z (1,2, 4), 2) As retas s, r e t são concorrentes num ponto. Obter uma equação da reta t, sabendo-se
que t é ortogonal as retas
: 2 , 13 2
y z
r x
