UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA - UDESC CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS - CCT
DEPARTAMENTO DE FÍSICA - DFIS
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA - PPGF
WILLIAN TIAGO PRANTS
DINÂMICA DO ACOPLAMENTO DE DOIS OSCILADORES CAÓTICOS DE RÖSSLER
WILLIAN TIAGO PRANTS
DINÂMICA DO ACOPLAMENTO DE DOIS OSCILADORES CAÓTICOS DE RÖSSLER
Dissertação apresentada para obtenção do título
de mestre em Física da Universidade do Estado de Santa Catarina, Centro de Ciências
Tecnoló-gicas - CCT.
Orientador: Paulo Cesar Rech
Joinville, SC
WILLIAN TIAGO PRANTS
“ DINÂMICA DO ACOPLAMENTO DE DOIS OSCILADORES CAÓTICO DE RÖSSLER ”
Esta dissertação foi julgada adequada para a obtenção do título de
MESTRE EM FÍSICA
área de concentração em “Dinâmica Não Linear” e aprovada em sua forma final pelo
CURSO DE MESTRADO ACADÊMICO EM FÍSICA CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS DA
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA
Banca Examinadora:
Dr. Paulo Cesar Rech - CCT/UDESC (Presidente)
Dr. Holokx Abreu Albuquerque - CCT/UDESC
Dr. Antonio Endler - UFRGS
Dr. Marcus Werner Beims - UFPR (Suplente)
FICHA CATALOGRÁFICA P899d
Prants, Willian Tiago.
Dinâmica do acoplamento de dois osciladores caóticos de Rössler / Willian Tiago Prants; Orientador:
Paulo Cesar Rech - Joinville-SC
46 f.: il ; 30cm Incluem referências.
Dissertação (mestrado) - Universidade do Estado de Santa Catarina, Centro de Ciências Tecnológicas, Mestra-do em Física, Joinville, 2012.
1. Modelo de Rössler. 2. Modelos Acoplados. 3. Não-linearidade. 4. Hipercaos. 5. Supressão de caos. I. Rech, Paulo C.
CDD 531.1
Aos meus pais.
AGRADECIMENTOS
Cito aqui aqueles a quem devo os mais sinceros agradecimentos, pois sem eles esse
trabalho não seria possível.
Ao CNPq e a CAPES, pelo apoio financeiro.
Ao professor Dr. Paulo Cesar Rech, meu caro orientador, pelos conselhos e ensinamen-tos que carregarei comigo pelo resto de minha vida.
Aos meus amigos de ofício, pelos momentos engraçados e pelo companheirismo durante os dois longos anos desse trabalho.
Aos meus amigos em geral, por proporcionarem à minha mente os momentos de des-contração e a possibilidade de respirar novos ares.
Aos meus pais, Raquel e Edson, e meus irmãos, Gabriela e Arthur, pelos inúmeros sacrifícios que fizeram, acreditando no caminho que escolhi seguir. E pelo imensurável amor
que sempre demonstraram por mim.
À minha namorada Fabiola Grasnievicz, responsável por manter minha mente focada e
um grande sorriso em meu rosto. Conhece-la e ama-la foram as melhores coisas que acontece-ram na minha vida.
RESUMO
Neste trabalho analisamos a dinâmica de dois modelos a tempo contínuo: (i) o modelo de Rössler, um modelo para o sistema de Lorenz, composto pelo conjunto de três equações di-ferenciais, de primeira ordem, autônomo e que apresenta apenas uma não-linearidade e (ii) o modelo de dois osciladores caóticos de Rössler acoplados, construído pelo acoplamento linear entre dois sistemas de Rössler e controlado por dois parâmetros de acoplamento ǫ e θ, que correspondem a intensidade e simetria de acoplamento. Para o primeiro modelo, encontramos analiticamente os pontos de equilíbrio e analisamos, através do método de Routh-Hurwitz, suas
estabilidades. Construímos numericamente os espaços de parâmetros a × b, a ×c e c× b identificando as regiões de regime caótico e detectamos estruturas periódicas típicas imersas
nessas regiões. Para o segundo modelo, construímos numericamente o espaço de parâmetros para os parâmetros de acoplamentoǫeθ, e encontramos uma região periódica imersa em caos, caracterizando o efeito de supressão de caos. Analisando o segundo maior expoente de Lya-punov detectamos uma larga região hipercaótica. Para ambos os modelos usamos diagramas de
bifurcação para analisar as estruturas periódicas e determinar as rotas para o caos.
Palavras-chave: Modelo de Rössler. Modelos Acoplados. Não-linearidade. Hipercaos. Su-pressão de caos.
ABSTRACT
In this work we analyze the dynamics of two continuous time models: (i) the Rössler model, a model for the Lorenz system, composed by a set of three differential equations of first order,
autonomous, and has only one nonlinearity and (ii) the model of two coupled chaotic Rössler oscillators, built by the linear coupling between two Rössler systems and controlled by two
coupling parameters ǫ and θ, which correspond to intensity and symmetry of the coupling.
For the first model, we find analytically the equilibrium points and analyzed by the method of
Routh-Hurwitz, their stability. We construct numerically the parameters spacea×b,a×cand
c×bidentifying the regions of chaotic regime and detect typical periodic structures immersed in these regions. For the second model, we construct numerically the parameter space for the
coupling parametersǫandθ, and we find a periodic region immersed in chaos characterizing the
effect of suppression of chaos. By analyzing the second largest Lyapunov exponent we detect
a hiperchaotic region. For both models we use bifurcation diagrams to analyze the periodic
structures and to determine the routes to chaos.
Key words:Rössler model. Coupled model. Nonlinearity. Hiperchaos. Chaos Suppression.
Sumário
1 Introdução 1
2 Uma breve revisão sobre sistemas dinâmicos 3
2.1 Sistemas dinâmicos . . . 3
2.2 Espaço de fases . . . 6
2.3 Atratores . . . 7
2.4 Diagrama de bifurcação . . . 7
2.5 Caos e expoente de Lyapunov . . . 9
2.6 Espaço de parâmetros . . . 11
2.7 Hipercaos . . . 11
3 Modelo de Rössler 14 3.1 Resultados analíticos . . . 16
3.2 Resultados numéricos . . . 21
4 Modelo de osciladores acoplados 28 4.1 Resultados numéricos . . . 29
Capítulo 1
Introdução
Mesmo antes do invento da roda a mente humana procura explicações para os fenômenos
que permeiam sua vida. O conjunto dessas explicações compõem o que conhecemos como verdade. Com o desenvolvimento do pensamento lógico surgiu a necessidade de expressar essa
verdade em uma linguagem própria e universal, nasceu assim a matemática e passamos então a descrever nosso mundo modelando-o através dela. Mas foi apenas depois de Sir Isaac Newton
(1642-1727) que os fenômenos naturais passaram a ser melhor descritos, com o uso de equações diferenciais.
Em 1886, J. H. Poincaré (1854-1912), ao estudar o problema de três corpos [1], perce-beu que haviam métodos adequados para trata-lo que forneciam informações qualitativas sem
a necessidade de solucionar um sistema de equações diferenciais. Poincaré iniciou ali seu es-tudo das estruturas topológicas no espaço de fases de trajetórias dinâmicas, identificando os
componentes essenciais do caos determinístico e elaborando parte da matemática necessária para estudar caos [2]. No capítulo 2 apresentamos algumas técnicas do estudo qualitativo de
sistemas dinâmicos, assim como alguns conceitos e definições inerentes ao estudo do sistema trabalhado.
Criar ou adequar um modelo para descrever um fenômeno observado é um trabalho complexo. O modelo mais completo não é, necessariamente, o melhor modelo para descrever
qualquer situação. Vejamos, por exemplo, a foto de um homem, um manequim de plástico e um macaco. Cada um deles pode servir como modelo para representar um homem, porém, qual
2
para um alfaiate o manequim se torna a opção mais apropriada e para um biólogo, o macaco representaria o melhor modelo. Alguns modelos foram criados simplesmente para simplificar
outros modelos, como a foto de um manequim. Esse é o caso do modelo de Rössler [3], que foi criado em 1976 com a proposta de fornecer resultados próximos do modelo de Lorenz [4],
porém com uma dinâmica mais simples contendo apenas uma não-lineariedade. No capítulo 3 fazemos um estudo da dinâmica do modelo de Rössler. Determinamos analiticamente os
pontos de equilíbrio e suas condições de estabilidade, e numericamente encontramos os locais no espaço de parâmetros que apresentam regime periódico e regiões com regime caótico.
No capítulo 4 apresentamos a proposta de trabalho, o estudo do acoplamento linear de dois osciladores de Rössler. Nesse capítulo apresentamos os resultados numéricos obtidos para
Capítulo 2
Uma breve revisão sobre sistemas
dinâmicos
A pequena revisão que faremos neste capítulo tem como objetivo apresentar ao leitor
uma breve revisão dos conceitos de caracterização qualitativa de sistemas dinâmicos, necessária para garantir uma leitura contínua e mais enriquecedora dos capítulos posteriores. Obviamente
os conceitos abordados aqui serão deliberadamente expostos, sem compromisso com demons-trações ou maiores aprofundamentos, tal como um guia. Se o texto apresentado aqui estimular
a curiosidade do leitor, aconselho a leitura das Refs. [5−10] para um entendimento mais com-pleto dos conceitos.
2.1 Sistemas dinâmicos
Por definição, um sistema dinâmico consiste em um conjunto de estados possíveis para
um sistema mutável no tempo, juntamente com uma regra que determina o estado atual em termos dos estados passados [5]. O tempo em um sistema dinâmico pode ter uma evolução
2.1 Sistemas dinâmicos 4
0,1,2, ...). Um exemplo de mapa pode ser descrito pelo conjunto de equações abaixo,
x(1)t+1 = M1(x(1), x(2), ..., x(N)),
x(2)t+1 = M2(x(1), x(2), ..., x(N)), (2.1)
...
x(tN+1) = MN(x(1), x(2), ..., x(N)),
ondex(i) são as variáveis de estado do sistema eM
isão funções dex(i).
Sistemas dinâmicos com evolução contínua no tempo são chamados fluxos, um
exem-plo de conjunto de equações diferenciais ordinárias autônomas, que descreve um sistemaN -dimensional contínuo, é representado abaixo,
dx(1)
dt = x˙
(1) =F
1(x(1), x(2), ..., x(N)),
dx(2)
dt = x˙
(2) =F
2(x(1), x(2), ..., x(N)), (2.2)
... dx(N)
dt = x˙
(N) =F
N(x(1), x(2), ..., x(N)),
ondex(i) são as variáveis de estado do sistema eM
isão funções dex(i).
Para fins de redução de tempo computacional, é útil escrever um sistema de tempo
2.1 Sistemas dinâmicos 5
Figura 2.1: Esquema representativo da secção de Poincaré.
Observando duas intersecções sucessivas da trajetória seguida pelo sistema com a secção, a
primeira resulta em um ponto com coordenadas (yn,zn) que determina a posição da segunda, com coordenadas (yn+1,zn+1), já que podemos usar o primeiro ponto como condição inicial
nas Eq. (2.2) para obter o segundo. Assim, o mapa de Poincaré é a seqüência de pontos nos quais o fluxo intercepta a secção e transforma as coordenadas (x(1)n ,x(2)n ,...,x(N
−1)
n ) dai-ésima perfuração, nas coordenadas (x(1)n+1,x(2)n+1,...,x(nN+1−1)) da perfuração (i+ 1).
O grande objetivo ao estudarmos sistemas dinâmicos é determinar o comportamento das
soluções para os modelos matemáticos propostos, tendo eles interpretações físicas ou não. Ba-sicamente, existem três técnicas para se investigar o comportamento de um sistema dinâmico:
(i)Técnica analítica: integram-se analiticamente as equações, determinando a solução em ter-mos de fórmulas gerais. Desse modo obtém-se soluções válidas para quaisquer condições
inici-ais e quinici-aisquer conjunto de parâmetros de controle. No entanto, nem todo sistemas de equações pode ser integrado analiticamente;
2.2 Espaço de fases 6
variáveisx(t) = (x1(t), x2(t), ..., xn(t))para determinados valores da variável independentet.
Usando esse método, todo trabalho de integração é realizado pelo computador, o conjunto de
sistemas de equações solucionáveis é infinitamente maior que o da técnica analítica, porém as soluções são específicas para um conjunto de parâmetros e condições iniciais, sendo impossível
generalizar tais soluções;
(iii)Técnica qualitativa: através de cálculos analíticos relativamente simples, temos pistas de como o sistema evolui. Basicamente determinam-se as soluções assintóticas, os possíveis com-portamentos do sistema quandot → ∞, e a estabilidade dessas soluções, sem solucionar dire-tamente um sistema de equações diferenciais. Quando aplicamos essa técnica perdemos parte da informação, relativa ao comportamento do sistema antes de atingir o regime permanente.
Desse ponto em diante, essa revisão tem como foco os sistemas de tempo contínuo e a técnica qualitativa.
2.2 Espaço de fases
Um estado de um sistema dinâmico é composto pelo conjunto de coordenadas, n-variáveis
de estado, determinadas em um tempot. Essas coordenadas compõem um ponto em um espaço
n-dimensional, denominado espaço de fases, ou espaço de estados.
Desse modo um estado é representado como um ponto com coordenadas x1(t),x2(t),...,xn(t)
no espaço de fases n-dimensional e sua dinâmica é regida por um conjunto de equações dife-renciais como na equação (2.2), as funçõesfj representam as variações temporais das variáveis de estadoxj, e o conjunto dasfj compõem o campo de velocidades do sistema. A dimensão do espaço de fases é igual ao número de equações diferenciais de primeira ordem necessárias para descreve-lo que é, por sua vez, igual ao número de variáveis de estado.
2.3 Atratores 7
2.3 Atratores
Analisando um fluxo no espaço de fases aos olhos do teorema de Liouville, podemos verificar se o sistema é conservativo, ou não, observando a evolução temporal de um
hipervo-lumen-dimensional, definido pelo contorno de um conjunto de condições iniciais, sendo n a dimensão do espaço de fases [10]. Se o fluxo preservar o volume no espaço de fases, tal qual
um sistema hamiltoniano [11] na ausência de forças dissipativas, o sistema é dito conservativo. Se o volume no espaço de fases diminui com o tempo, o sistema é dissipativo.
Uma forma mais prática de definir se um sistema é dissipativo é pelo cálculo e análise do diver-gente, pois se ele é negativo o sistema é dissipativo. O divergente do sistema é dado por,
∇ •F = ∂x˙
(1)
∂x(1) +
∂x˙(2)
∂x(2) +...+
∂x˙(n)
∂x(n). (2.3)
Conhecer se seu modelo descreve um sistema dissipativo é um fator importante para o estudo de
sistemas dinâmicos, pois apenas sistemas dissipativos podem apresentar atratores. Tal afirmação se torna mais plausível após definirmos o atrator.
SejaAum conjunto fechado de pontos no espaço de fases de um sistema dinâmico,Aé um atrator se:
(i)Aé um conjunto invariante: ou seja, qualquer trajetóriax(t)que começa emA, permanece emApor todo o tempo;
(ii)Aatrai um conjunto aberto de condições iniciais: isso é, há um hipervolumeB, que contém A, tal que para qualquer condição inicialx(0)pertencente aB, então a distância entre a trajetória x(t)eAtende a zero, quandot → ∞. O maior conjunto de condições iniciais que satisfaz essa propriedade é chamadobacia de atraçãodeA;
(iii)Aé mínimo: ou seja, não há subconjunto deAque satisfaça as duas condições anteriores.
2.4 Diagrama de bifurcação
O conceito de bifurcação está intimamente ligado ao conceito de estabilidade estrutural
e consiste na variação no retrato de fases quando realizamos alguma mudança nos parâmetros de controle. Um sistema é estruturalmente estável se mantiver suas características topológicas
2.4 Diagrama de bifurcação 8
assume um valor, conhecido como valor crítico e o sistema sofre mutação em seu retrato de fases, esse passa a ter um comportamento instável e nesse ponto ocorre a bifurcação, como
ilustrado na Fig 2.2.
0,22 0,245
a -10
-6
xi
Figura 2.2: Exemplo genérico de diagrama de bifurcação para um sistema contínuo, construído para os máximos da variávelxiem relação ao parâmetroa.
Como visto na Fig 2.2, a estabilidade do sistema pode ser alterada enquanto variamos apenas um dos parâmetros de controle do sistema, isso caracteriza uma bifurcação de codimensão um.
Em 1997, Ernest Barreto, Brian R. Hunt, Celso Grebogi e James A. Yorke [12] propôs uma relação direta entre o número de expoentes de Lyapunov positivos, dada uma determinada
con-figuração do sistema, e o número mínimo de parâmetros que devem ser variados para que ocorra uma bifurcação.
Podemos classificar as bifurcações quanto a possibilidade, ou não, de prevê-las estudando os autovalores da matriz Jacobiana [6] do sistema. Quando há essa possibilidade estamos tratando
de bifurcações ditas locais, como a sela-nó, a transcrítica, a de forquilha e a de Hopf. Quando não há, estamos tratando de bifurcações ditas globais, como as bifurcações homocíclicas e
heterocíclicas. Não cabe a essa revisão detalhar os tipos de bifurcações, mas é interessante e altamente recomendado que o leitor observe o capítulo 8 da Ref. [10].
Para o caso de mapas, o diagrama de bifurcação pode ser construído apenas plotando o com-portamento de uma variável de estado em função de um único parâmetro de controle. Para o
2.5 Caos e expoente de Lyapunov 9
2.5 Caos e expoente de Lyapunov
A definição precisa e definitiva para que um atrator seja classificado como caótico ainda não consta na bibliografia de sistemas dinâmicos, porém encontramos diversas tentativas.
Acon-selho a leitura do capítulo 10, subsecção 2 da Ref. [10]. Nessa revisão vamos simplificar esse trabalho analisando apenas um aspecto, comum a todas as definições já apresentadas. Um
atra-tor, cuja dinâmica é caótica, apresenta dependência sensível nas condições iniciais, essa sendo a característica de sistemas caóticos mais conhecida. Num atrator caótico duas trajetórias
vi-zinhas no espaço de fases divergem à medida que o sistema evolui no tempo, como mostra a Fig 2.3. Para medir a taxa de divergência de trajetórias e, portanto, quantificar a dependência
Figura 2.3: Esquema representativo para divergência de trajetórias no espaço de fases.
sensível nas condições iniciais calcula-se os expoentes de Lyapunov. Podemos deduzir o ex-poente de Lyapunov partindo da Fig 2.3 e generalizando a divergência em uma dimensão para
um espaçon-dimensional, imaginemos uma hiperesfera de condições iniciais centrada em um pontox(0). Conforme o tempo evolui, o raio inicial dessa hiperesfera|dj(0)|, definido em todas as direções do espaço de fases, varia exponencialmente no tempo, de modo que a relação entre
|dj(0)|e o valor correspondente ao tempot, dado por|dj(t)|, seja
2.5 Caos e expoente de Lyapunov 10
Essa relação pode ser escrita como,
λj = 1 t ln
dj(t) dj(0)
.
Os númerosλj são chamados de expoentes de Lyapunov ej = 1,2,...,n. Observando quedj(t) =ft(x0+dj(0))−ft(x0), o que resulta em
λj = 1 t ln
ft(x
0+dj(0))−ft(x0)
dj(0)
λj = 1 t ln|(f
t)′
(x0)|,
onde fizemos o limite dj(0) → 0 no último passo. O termo dentro do logaritmo pode ser expandido usando a regra da cadeia, resultando
(ft)′
(x0) =
t−1 Y
i=0
f′
(xi).
Teremos portanto o expoente de Lyapunovλescrito como
λj = 1 t ln|
t−1 Y
i=0
f′(xi)|
λj = 1 t
t−1 X
i=0
ln|f′
(xi)|. (2.4)
Num instantet > t0, o volumeV(t)da hiperesfera deve ser proporcional ao produto das
dis-tânciasdj(t)que o caracterizam logo,
V(t)∝ n
Y
j=1
dj(t)∝V(t0)e (t−t0)
n
X
j=1
λj
, (2.5)
sendoV(t0)o volume no instante inicialt0.
Quando n
X
j=1
λj = 0, temosV(t) = V(t0)e o sistema é conservativo, quando
n
X
j=1
λj <
0, temos V(t) < V(t0), ocorre a contração da hiperesfera no espaço de fases e o sistema
é dissipativo. Vamos considerar um sistema tridimensional, onde podemos encontrar quatro
2.6 Espaço de parâmetros 11
seguintes possibilidades:
(i)ponto de equilíbrio: neste caso os sinais dos expoentes sãoλ1, λ2, λ3 < 0. Com efeito, as
trajetórias convergem para um único ponto, cessando qualquer deslocamento;
(ii)ciclo limite: tem-seλ1 = 0,λ2,λ3 <0correspondendo o expoente nulo à direção ao longo
da trajetória;
(iii)toros bidimensional: tem-seλ1,λ2 = 0, λ3 < 0de modo que a trajetória atratora situa-se
sobre uma superfície;
(iv) atrator caótico: tem-se λ1 > 0, λ2 = 0, λ3 < 0, um expoente deve ser positivo para
que exista dependência sensível nas condições iniciais. Ao longo da trajetória associa-se um expoente nulo e o terceiro deve ser negativo e, em módulo, maior que o primeiro, para que o
sistema seja dissipativo, isto é,
3
X
j=1
λj =λ1+λ2+λ3 <0.
2.6 Espaço de parâmetros
Quando usamos um diagrama de bifurcação para analisar qualitativamente um sistema,
podemos observar seu comportamento em função de um único parâmetro. Porém não pre-cisamos nos limitar a análise de apenas um parâmetro, podemos expandir esse método para
dois parâmetros. Para tal basta incluir a característica do sistema a ser analisada em uma coluna de cores, uma representação da terceira dimensão.
Podemos atribuir para a coluna de cores a periodicidade do sistema, possibilitando-nos contar períodos usando um método seguro e simples. Outro uso é a análise do maior expoente de
Lyapunov em função dos parâmetros do sistema, observamos assim as regiões de periodicidade e de caos. Esse método ainda nos possibilita observar regiões de hipercaos e torus 3, 4, 5 ...,
analisando, em conjunto com o maior expoente de Lyapunov, todos os demais expoentes. O amplo leque de aplicações faz desse um dos métodos mais importantes para o estudo
qualitativo de sistemas dinâmicos.
2.7 Hipercaos
Em 1979 O. E. Rössler propôs um modelo quadridimensional [13], uma variação de seu
2.7 Hipercaos 12
de instabilidade em duas dimensões do atrator. A modificação proposta foi a adição de uma quarta variável de estado de forma que seu modelo corresponde a
˙
x = −y−z,
˙
y = x+ay+w, (2.6)
˙
z = b+z(x−c),
˙
w = −0,5z+ 0,05w,
com x, y, z e w sendo as variáveis de estado ea = 0,25, b = 3 e c = 0 como parâmetros de controle. Neste trabalho Rössler introduziu o termo hipercaos, nomeando assim a órbita caótica com dois ou mais expoentes de Lyapunov positivos. A adição da quarta dimensão foi
necessária, pois sabia-se que para sistemas dissipativos deve-se ter, ao menos, uma direção do espaço de fases para qual a dimensão do atrator se contraia, e uma direção em que a dimensão
do atrator permaneça imutável, sobrando livres, para expandir no tempo, duas direções, critério necessário, porém não suficiente, para ocorrência de hipercaos. Vamos considerar um sistema
quadridimensional, onde podemos encontrar seis tipos de atratores. Para esses atratores temos quatro expoentes de Lyapunov(λ1, λ2, λ3, λ4)com as seguintes possibilidades:
(i)ponto de equilíbrio: neste caso os sinais dos expoentes são λ1, λ2, λ3, λ4 < 0[14]. Com
efeito, as trajetórias convergem para um único ponto, cessando qualquer deslocamento;
(ii)ciclo limite: tem-se λ1 = 0, λ2, λ3, λ4 < 0, correspondendo o expoente nulo à direção ao
longo da trajetória;
(iii)toros bidimensional: tem-se λ1, λ2 = 0, λ3, λ4 < 0, de modo que a trajetória atratora
situa-se sobre uma superfície;
(iv) toros tridimensional: tem-se λ1, λ2, λ3 = 0, λ4 < 0, de modo que a trajetória atratora
situa-se sobre um volume;
(v)atrator caótico: tem-seλ1 >0,λ2 = 0,λ3,λ4 <0ouλ1 >0,λ2,λ3 = 0,λ4 <0[15], um
expoente deve ser positivo para que exista dependência sensível nas condições iniciais, e para
que o sistema seja dissipativo,
4
X
j=1
λj =λ1+λ2+λ3+λ4 <0;
(vi)atrator hipercaótico: tem-seλ1 > 0,λ2 > 0,λ3 = 0, λ4 < 0[14], dois expoentes devem
2.7 Hipercaos 13
Nas últimas décadas, devido aos grandes avanços na capacidade de processamento com-putacional, o interesse por sistemas de quatro ou mais dimensões, denominados sistemas de alta
dimensionalidade, têm aumentado. Os sistemas hipercaóticos podem ser utilizados para descre-ver didescre-versas dinâmicas, tanto na área da biologia, para descredescre-ver uma dinâmica simplificada de
uma rede neural de quatro neurônios [16], como na química para descrever modelos de equi-líbrio químico [17]. Na engenharia descrevem dois circuitos de Chua acoplados [18]. Na física
descrevem sistemas meteorológicos, como o sistema de Lorenz modificado pela adição de uma quarta dimensão [19].
Essa tendência pela investigação da dinâmica de sistemas de alta dimensionalidade é previsível, pois se representamos a variação temporal de uma grandeza física por uma equação diferencial
envolvendo uma variável de estado e tal equação representa uma dimensão do espaço de fases, então quanto mais dimensões um modelo apresenta, mais grandezas físicas são representadas e
Capítulo 3
Modelo de Rössler
O. E. Rössler, em 1976, propôs em seu artigo [3] um sistema de equações diferenciais de
primeira ordem e autônomas que gerava um atrator caótico tridimensional, muito semelhante ao atrator ”borboleta” proposto anteriormente por E.N. Lorenz [4]. Seu sistema chamou a
atenção por apresentar tal atrator, tendo apenas uma não-linearidade. Inicialmente o modelo foi apresentado com parâmetros fixos, como visto abaixo,
˙
x = −y−z,
˙
y = x+ 0,2y, (3.1)
˙
z = 0,2 +z(x−5,7).
Rössler referia-se ao seu modelo como "um modelo de um modelo"e não tinha, ao menos no princípio de seu trabalho, o objetivo de modelar qualquer sistema físico real.
15
-10 15
x
-5 25
z
(a) -10 x 15
-15 10
y
(b)
Figura 3.1: Projeções nos planos (a)zxe (b)yxdo atrator de Rössler [3]. (c) Atrator tridimensional do modelo de Rössler.
Posteriormente o modelo de Rössler ficou mais conhecido na sua forma geral dada por,
˙
x = −y−z,
˙
y = x+ay, (3.2)
˙
z = b+z(x−c).
3.1 Resultados analíticos 16
3.1 Resultados analíticos
Para obter os pontos de equilíbrio do sistema (3.2) fazemos
˙
x = −y−z= 0,
˙
y = x+ay= 0, (3.3)
˙
z = b+z(x−c) = 0.
Resolvendo o sistema (3.3), obtemos os pontosP+=(x+,y+,z+) eP−=(x−,y−,z−) onde
x± =
c∓√c2−4ab
2 ,
y± = −
c±√c2−4ab
2a ,
z± =
c∓√c2−4ab
2a .
A matriz Jacobiana para o sistema (3.2) é dada por
J =
∂x˙ ∂x
∂x˙ ∂y
∂x˙ ∂z ∂y˙
∂x ∂y˙ ∂y
∂y˙ ∂z ∂z˙
∂x ∂z˙ ∂y
∂z˙ ∂z =
0 −1 −1
1 a 0
z 0 x−c
.
Consequentemente, a equação característica, encontrada fazendodet(J−λI)= 0, ondeI é a matriz identidade, é dada por
λ3+Aλ2+Bλ+C = 0, (3.4)
onde
A = c−a−x,
B = ax−ac+z+ 1,
C = −az −x+c.
3.1 Resultados analíticos 17
Routh-Hurwitz [20]. O critério de Routh-Hurwitz é um método que serve para determinar a estabilidade de um sistema, apenas examinando os coeficientes da equação característica do
sistema, calculada em cada um dos pontos de equilíbrio sem envolver o cálculo explícito das raízes.
Seja a equação característica
D(s) =anλn+an−1λn −1
+. . .+a1λ+a0 = 0. (3.5)
Para determinar se o sistema é estável ou não, checamos duas condições:
1. Duas condições necessárias, mas não suficientes, para todas as raízes possuírem parte
real negativa são:
(i) Todos os coeficientes do polinômio devem ter o mesmo sinal; (ii) Todos os coeficientes do polinômio devem ser diferentes de zero.
Se a condição (1) for satisfeita, então calculamos a série de Routh-Hurwitz como segue
λn a
n an−2 an−4 . . . λn−1 a
n−1 an−3 an−5 . . . λn
−2 b1 b2 b3 . . .
λn−3 c
1 c2 c3 . . .
λn
−4 ... ... ... ...
λ1
λ0
onde osa′
3.1 Resultados analíticos 18
b1 = −
1 an−1
an an−2
an−1 an−3
= −1 an−1
(anan−3−an−2an−1),
b2 = −
1 an−1
an an−4
an−1 an−5
= −1 an−1
(anan−5−an−4an−1),
b3 = −
1 an−1
an an−6
an−1 an−7
= −1 an−1
(anan−7−an−6an−1),
c1 = −
1 b1
an−1 an−3
b1 b2
= −1 b1
(b2an−1−an−3b1),
c2 = −
1 b1
an−1 an−5
b1 b3
= −1 b1
(b3an−1−an−5b1).
2. A condição necessária para todas as raízes possuírem parte real negativa, é que todos os elementos da primeira coluna da série devem possuir o mesmo sinal. O número de mudanças
de sinal é igual ao número de raízes com parte real positiva.
Para o pontoP+=(x+,y+,z+) a equação (3.4) se transforma em
a3λ3+a2λ2+a1λ+a0 = 0, (3.6)
onde
a3 = 1,
a2 =
c+√c2−4ab
2 −a,
a1 =
c(1−a2)−√c2−4ab(a2+ 1)
2a + 1,
a0 =
√
c2−4ab.
3.1 Resultados analíticos 19
Routh-Hurwitz. Para a condição 1. (i) ser satisfeita,
c+√c2−4ab
2 −a >0,
c(1−a2)−√c2−4ab(a2+ 1)
2a + 1 >0,
√
c2−4ab >0,
que resolvidas parabfornecem
b < c−a (3.7)
e
c2
4a −
(c(a2−1)2−2a)2
4a(a2 + 1)2 < b <
c2
4a. (3.8)
Para o caso presente, a condição 1. (a) sendo satisfeita, a condição 1. (b) é automaticamente
satisfeita. Uma vez satisfeita a condição 1., calculamos os demais termos da série de Routh-Hurwitz,
b1 = a
c+√c2−4ab
2
1−c+
c−a2− c+
√
c2−4ab
2
a3
c−a− c+ √
c2−4ab
2
b2 = 0,
c1 =
√
c2−4ab,
c2 = 0,
que pode então ser construída, resultando
λ3 1 c(1−a2)−
√
c2−4ab(a2 + 1)
2a + 1
λ2 c+
√
c2−4ab
2 −a
√
c2−4ab
λ1 b
1 0
3.1 Resultados analíticos 20
Aplicando a condição 2. do critério de Routh-Hurwitz, encontramos uma nova condição para o parâmetrobque, juntamente com as equações (3.7) e (3.8) dão as condições de estabilidade do pontoP+, em termos dea,bec, dadas por
b < c−a
c2
4a −
(c(a2−1)2−2a)2
4a(a2+ 1)2 < b < −
1 4a
2a2−c+a3(c−1)(c−2a)
a3(c−1)−2
2
+ c
2
4a.
Para o pontoP−=(x−,y−,z−) a equação (3.4) se transforma em
a3λ3+a2λ2+a1λ+a0 = 0, (3.9)
onde
a3 = 1,
a2 =
c−√c2−4ab
2 −a,
a1 =
c(1−a2) +√c2 −4ab(a2+ 1)
2a + 1,
a0 = −
√
c2−4ab.
Para a condição 1. (i) ser satisfeita,
c−√c2−4ab
2 −a >0,
c(1−a2) +√c2−4ab(a2+ 1)
2a + 1>0,
−√c2−4ab >0,
que resolvidas parabfornecem
3.2 Resultados numéricos 21
e
c2
4a −
(c(a2−1)2−2a)2
4a(a2 + 1)2 > b >
c2
4a. (3.11)
Como os parâmetrosa, b ecsão positivos, a condição de estabilidade (3.11) é um ab-surdo matemático, dessa forma a condição 1.(a) não é satisfeita e como resultado não teremos
todas as raízes do polinômio característico com parte real negativa. Determinamos assim que o pontoP− é, obrigatoriamente, instável. Assim, como necessariamente ao menos um ponto de
equilíbrio é instável, temos um indicador de que o sistema pode apresentar o comportamento caótico. Devido a dificuldade de determinar analiticamente o comportamento do sistema,
deve-mos aplicar as técnicas de solução numérica.
3.2 Resultados numéricos
O objetivo dessa seção é investigar alguns aspectos numéricos e qualitativos do modelo
de Rössler enquanto variamos os parâmetros de controlea,bec. Para isso usamos os espaços de parâmetros, mostrados na Fig. 3.2, tendo sido cada um deles obtido por meio do cálculo
do maior expoente de Lyapunov, em uma malha de 500 × 500 pontos. O sistema (3.2) foi
3.2 Resultados numéricos 22
integrado utilizando um integrador Runge-Kutta de quarta ordem com um passo fixo igual a
10−2, e considerando
5×105 passos para calcular cada um dos expoentes. Em cada um dos
espaços de parâmetros da Fig. 3.2, as cores estão associadas à magnitude do maior expoente de Lyapunov: branco para expoentes mais negativos, preto para expoentes nulos e vermelho
para expoentes mais positivos. Usaremos também diagramas de bifurcação do sistema (3.2), utilizando como condição inicial (x= 2,0,y= 3,5,z = 4,0) e dividindo o eixo do parâmetro
bem103intervalos iguais e plotando60pontos para cada valor dos parâmetrosa,bouc.
Figura 3.3: Espaço de parâmetrosa×bconforme a Fig. 3.2(a).
Na Fig 3.2(a) é mostrado o espaço de parâmetrosa×bcomc= 10,0;0,13< b <0,21 e 0,17 < a < 0,19, observamos a ocorrência de estruturas periódicas típicas, comumente conhecidas como camarões, imersas em uma região caótica. Nos limitaremos a analisar as três maiores estruturas,A,B eCcomo observamos na Fig. 3.3.
O diagrama de bifurcação do sistema, representado na Fig. 3.4, foi gerado considerando
c = 10,0 e0,1347 < b < 0,2043, que corresponde aos pontos da reta presente na Fig. 3.3. Caminhando ao longo dessa reta no sentido do crescimento de b, encontramos a estrutura A que inicialmente tem período sete, com atrator representativo demonstrado na Fig. 3.5(a). Em
b ≈0,140119ocorre uma bifurcação e a região passa a ter período quatorze atéb≈ 0,141093 e ruma ao caos via dobramento de período. Aumentando ainda mais o valor do parâmetro
3.2 Resultados numéricos 23
0,15 0,2
b -16
0
x
7 8 9
Figura 3.4: Diagrama de bifurcação construído sobre a reta presente na Fig. 3.3.
através do dobramento de período o sistema retorna ao caos. Aumentando o valor do parâmetro para b ≈ 0,197749 encontramos a última estrutura periódica de interesse, C, com período nove e rota para o caos via dobramento de período como as estruturas A e B, e com atrator representativo demonstrado na Fig. 3.5(c).
Figura 3.5: Atratores periódicos para os pontos (a) A, a = 0,177660, b = 0,138639, (b) B, a = 0,180101,b= 0,175188e (c)C,a= 0,181686,b= 0,198089da Fig. 3.3.
3.2 Resultados numéricos 24
representado na Fig. 3.7, foi gerado considerando b = 0,2e 0,17605 < a < 0,18889, que corresponde aos pontos da reta presente na Fig. 3.6. Caminhando ao longo dessa reta, no
sen-Figura 3.6: Espaço de parâmetrosc×aconforme a Fig. 3.2(b).
tido do crescimento dea, vemos que aumentando o valor do parâmetroanos deparamos com a primeira estrutura periódicaE, ema≈0,177045. Essa estrutura tem período oito e se extende atéa ≈ 0,177214evoluindo para o caos através do dobramento de período. Observamos que
0,18 0,185
a -15
0
x
8 8
7 8 9
Figura 3.7: Diagrama de bifurcação construído sobre a reta presente na Fig. 3.6.
3.2 Resultados numéricos 25
oito e nove, respectivamente. Os atratores referentes a cada uma dessas estruturas são apresen-tados na Fig. 3.8.
Figura 3.8: Atratores periódicos para os pontos (a) A, a = 0,188669, c = 9,03396, (b) B, a = 0,187732,c= 9,14468, (c)C,a= 0,186070,c= 9,37858, (d)D a= 0,183706,c= 9,75354e (e)
3.2 Resultados numéricos 26
Por fim, analisaremos o espaço de parâmetros b ×c presente na Fig. 3.2(c) com a = 0,15,
5,0 < c <15,0e0,1 < b < 0,5. Encontramos regiões caóticas e regiões periódicas, porém nenhuma estrutura típica em especial. Conforme feito anteriormente, o diagrama de bifurcação
Figura 3.9: Espaço de parâmetrosb×cconforme a Fig. 3.2(c).
representado na Fig. 3.10, foi gerado considerandoa= 0,15e0,130431< b <0,25, que cor-responde aos pontos da reta presente na Fig. 3.9. Caminhando ao longo dessa reta, no sentido
0,15 0,25
b -20
-5
x
5
4
3
2
Figura 3.10: Diagrama de bifurcação construído sobre a reta presente na Fig. 3.9.
do crescimento deb encontramos os pontosA, emb ≈ 0,161134,C emb ≈ 0,187807,Dem
3.2 Resultados numéricos 27
Figura 3.11: Atratores para os pontos (a) A, c = 12,4462, b = 0,161134, (b) B, c = 11,7370,
b = 0,169693, (c) C, c = 10,2226, b = 0,187807, (d) D c = 7,92652, b = 0,214978 e (e) E
Capítulo 4
Modelo de osciladores acoplados
O interesse em compreender o comportamento do modelo de Rössler somado ao grande
número de trabalhos publicados envolvendo sistemas de alta dimensionalidade, resultou na pro-posta de um novo modelo [21] construído através do acoplamento de dois osciladores de Rössler
caóticos idênticos.
O acoplamento é realizado adicionando um componente linear às equações que
descre-vem a variação temporal da variável de estadoxnos dois osciladores, dado por,
˙
x1 = −y1−z1+ǫ(1 +θ)(x2 −x1)/2,
˙
y1 = x1+ay1,
˙
z1 = b+z1(x1−c), (4.1)
˙
x2 = −y2−z2+ǫ(1−θ)(x1−x2)/2,
˙
y2 = x2+ay2,
˙
z2 = b+z2(x2−c),
sendo x1, y1, z1, x2, y2 e z2 as variáveis de estado e a, b e c os parâmetros. Foi necessário
4.1 Resultados numéricos 29
4.1 Resultados numéricos
O objetivo nesta seção é investigar numericamente o impacto da modificação nos pa-râmetros ǫ e θ, sobre a dinâmica do sistema (4.1) com parâmetros de controle, a = 0,15,
b = 0,2 e c = 10,0 a escolha dos valores para os parâmetros foi realizada de forma que o oscilador de Rössler apresente comportamento caótico. Para isto usamos os espaços de
pa-râmetros, mostrados na Fig. 4.1, tendo sido cada um deles obtido por meio do cálculo dos expoente de Lyapunov, em uma malha de 500 × 500 pontos. O sistema (4.1) foi integrado utilizando um integrador Runge-Kutta de quarta ordem com um passo fixo igual a10−2
, e con-siderando5×105 passos para calcular cada um dos expoentes. Em cada um dos espaços de
parâmetros da Fig. 4.1, as cores estão associadas à magnitude do maior expoente de Lyapunov, branco para expoentes mais negativos, preto para expoentes nulos e vermelho para expoentes
mais positivos. Usaremos também diagramas de bifurcação do sistema (4.1), utilizando como condição inicial (x1 = 2,0,y1 = 3,5, z1 = 4,0, x2 = 5,0,y2 = 7,5, z2 = 6,0), dividindo o
eixo do parâmetro em103 intervalos iguais e plotando60pontos para cada valor do parâmetro
θ. Observando os espaços de parâmetros na Fig. 4.1 percebemos regiões caóticas, com maior
Figura 4.1: Espaços de parâmetrosθ ×ǫ para o sistema (4.1) coma = 1,5, b = 2,0 e c = 10,0,
relacionando a coluna de cores ao (a) maior expoente de Lyapunov, (b) segundo maior expoente de
Lyapunov.
expoente de Lyapunov positivo, regiões periódicas, com maior expoente de Lyapunov nulo, e regiões hipercaóticas, com dois maiores expoentes de Lyapunov positivos. Representamos
es-sas regiões, respectivamente, pelos pontosA,B eC, dispostos sobre a reta presente na Fig. 4.2 e seus atratores representativos são demonstrados na Fig. 4.3.
As magnitudes dos dois maiores expoentes de Lyapunov,λ1 eλ2, e o tipo de dinâmica
4.1 Resultados numéricos 30
Figura 4.2: Espaço de parâmetros conforme Fig. 4.1(a), mostrando os pontosA,BeC.
Ponto λ1 λ2 Dinâmica do sistema
A 0,12615 0,00015 Caótica B −0,00011 −0,01497 Periódica C 0,12694 0,11139 Hipercaótica.
Os pontosA eC apresentam maior expoente de Lyapunov positivo, propriedade característica de sistemas caóticos. Porém a magnitude do segundo maior expoente de Lyapunov diferencia esses pontos, sendo queA possui segundo maior expoente nulo e portanto, dinâmica caótica. O pontoC possui tanto o maior quanto o segundo maior expoentes de Lyapunov positivos, que caracteriza um sistema hipercaótico, comportamento comum a todos os pontos da região em
amarelo ou vermelho da Fig. 4.1(b). A Fig. 4.3 mostra os atratores dos pontos A e C.
Figura 4.3: Atratores para os pontos (a) A, ǫ = 0,253227, θ = −0,425110e (b) C,ǫ = 0,022492,
θ=−0,037700da Fig. 4.2.
per-4.1 Resultados numéricos 31
Figura 4.4: Ampliação do espaço de parâmetros da Fig. 4.2.
iódico, tal como o próprio pontoB. A ocorrência de regiões periódicas no espaço de parâmetros dos parâmetros de acoplamentoǫeθ, para o sistema com parâmetros de controlea, becfixos de forma que o sistema tenha comportamento caótico, caracteriza o efeito de supressão de caos [21]. A Fig. 4.4 apresenta a ampliação de uma região do espaço de parâmetrosǫ×θ da Fig. 4.2, nela podemos observar uma pequena região com estruturas sem simetria em relação ao parâmetroθ, nas proximidades deθ = 0,0. O espaço de parâmetros paraθ= 0,0não apresenta qualquer região periódica, esse comportamento garante que a supressão de caos só pode existir se θ 6= 0,0, tal condição garante que o acoplamento deve ser realizado de forma assimétrica [21]. A Fig. 4.5 ilustra esse efeito mostrando os atratores, em (a) para o oscilador do sistema
Figura 4.5: Atratores para (a) sistema de Rössler (3.2) com a = 0,15, b = 0,2 e c = 10,0 e (b)
modelo de osciladores de Rössler acoplados (4.1) coma= 0,15,b = 0,2,c = 10,0eǫ= 0,065815,
θ=−0,110608, conforme pontoB na Fig. 4.4.
4.1 Resultados numéricos 32
de acoplamento ǫe θ de acordo com o ponto B. Para analisar mais cuidadosamente a região periódicaB, construímos o diagrama de bifurcação para o sistema (4.1) caminhando ao longo da reta construída na Fig. 4.4, no sentido do crescimento deθ, com −0,125 < θ < −0,09. Vemos que inicialmente a região periódica tem período três cujo atrator aparece na Fig. 4.7(a).
-0,12 -0,1
θ
-15 -5
x2
3 30
Figura 4.6: Diagrama de bifurcação construído sobre a reta presente na Fig. 4.4.
Em θ ≈ −0,1059 o sistema assume uma dinâmica caótica retornando ao regima periódico emθ ≈ −0,09789. Aumentando o valor de θ encontramos uma região periódica, agora com
Figura 4.7: Atratores para os pontos (a) B, ǫ = 0,065815, θ = −0,110608 e (b) ǫ = 0,061435,
θ=−0,102393da Fig. 4.2.
período trinta e atrator representado na Fig. 4.7(b).
Para observarmos melhor a região periódica, executamos uma ampliação no espaço de
parâmetros na Fig 4.4, resultando no espaço de parâmetros nas Fig. 4.8. Observamos a ocor-rência de estruturas periódicas típicas imersas em uma região caótica, porém com contornos
levemente modificados, representadas pelos pontosB,C,De a regiãoEda Fig. 4.8, os pontos
bifur-4.1 Resultados numéricos 33
Figura 4.8: Ampliação das estruturas periódicas típicas da Fig 4.4, representando os pontosA,B,C,D, F e a regiãoE.
cação representados na Fig. 4.9, foram gerados com−0,14< θ <−0,03, que corresponde aos pontos das retas presentes na Fig 4.8. Caminhando ao longo da reta entre−0,14< θ <−0,12, no sentido do crescimento de θ, nos deparamos com duas estruturas periódicas, B e C, a primeira em θ ≈ −0,1234, com período dezoito e bifurcação em θ ≈ −0,1226, a região passa a ter período trinta e seis e ruma ao caos via dobramento de período. Encontramos a
segunda estrutura emθ ≈ −0,1112, com período vinte e quatro e rota para o caos via dobra-mento de período. Aumentando ainda mais o valor do parâmetroθ encontramos a estruturaD
-0,16 -0,12
θ
-14 -6
x2
6 18
-0,1 -0,05
θ -15
-5
x
2
24 30 6
Figura 4.9: (a) Diagrama de bifurcação construído sobre a primeira reta presente na Fig 4.8 entre
−0,14 < θ < −0,12, (b) diagrama de bifurcação construído sobre a segunda reta presente na Fig
4.8 entre−0,12< θ <−0,03.
4.1 Resultados numéricos 34
e quatro e sessenta, ambas com rota para o caos via dobramento de período.
-0,09 -0,085
θ -14
-6
x2
36 42
-0,082 -0,078
θ -14
-6
x
2
48 54 60
Figura 4.10: (a) e (b) Ampliações do diagrama de bifurcação da Fig 4.9, correspondentes as estruturas
Capítulo 5
Conclusões
Neste trabalho fizemos a caracterização dos estados de dois sistemas dinâmicos a tempo
contínuo. O primeiro tratou-se do sistema tridimensional obtido por Rössler [3] e que se con-sidera um modelo para o modelo de Lorenz [4]. O segundo sistema é resultado do acoplamento
linear entre dois sistemas caóticos de Rössler controlado por dois parâmetros,ǫeθ, correspon-dendo a intensidade e simetria do acoplamento.
Para o sistema de Rössler encontramos as expressões analíticas para os pontos de equi-líbrio e suas condições de estabilidade. Mostramos numericamente que quando um parâmetro
é mantido fixo enquanto os outros dois são variados, o espaço de parâmetros bidimensional apresenta regiões periódicas e estruturas periódicas típicas, imersas na região caótica. Como
um resultado de nossa investigação numérica, concluímos ainda que o sistema de Rössler (3.1) apresenta apenas um tipo de rota para o caos, via dobramento de período.
Numericamente observamos as variações na dinâmica dos osciladores de Rössler com relação a modificações nos parâmetros de acoplamento. Através do estudo do espaço de
parâ-metrosǫxθ, com cores representando a magnitude do maior expoente de Lyapunov, observamos regiões periódicas, caracterizando o efeito de supressão de caos. Usando o mesmo espaço de
parâmetros, e observando a magnitude do segundo maior expoente de Lyapunov, observamos uma larga região de hipercaos. Mostramos que o sistema acoplado mantém rotas para o caos
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![Figura 3.1: Projeções nos planos (a) zx e (b) yx do atrator de Rössler [3]. (c) Atrator tridimensional do modelo de Rössler.](https://thumb-eu.123doks.com/thumbv2/123dok_br/16966622.761792/24.892.157.765.149.664/figura-projeções-planos-atrator-rössler-atrator-tridimensional-rössler.webp)
