Modelação e Simulação

Mestrado Integrado em

Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Modelação e Simulação

2009/2010 Teste 2

17 de Junho de 2010, 17 horas Duração 2 horas

Não é permitida consulta nem meios de cálculo que permitam o armazenamento de texto

Identifique claramente o seu teste com o seu número e nome. Os testes não identificados ou com números ilegíveis poderão ser anulados.

Quot.:P1-a)1b)1c)1d)1e)1f)1g)1 P1A-a)3b)1 P2-a)2b)1 P3-a)2b)3 P4-a)1b)2c)2 Note bem: O problema P1 tem uma alternativa mais simples (P1A), mas que corresponde a uma menor quotação. Deverá indicar claramente qual o problema que resolve (P1 ou P1A). Se apresentar soluções dos dois problemas, mesmo que parciais, apenas contará, nesse caso, a solução de P1.

☺

P1- (Embora este problema tenha uma alternativa mais simples, não tem uma dificuldade especial. Não desista dele logo à partida).

A equação de Duffing é um modelo da vibração em regime não linear de uma barra encastrada. Pode ser descrita pelo modelo de estado não linear seguinte:

2 1 x x = 2 2 1 1 2 x (1 x ) x x = − −

em que =1 é um parâmetro. As variáveis x1 e x2 podem ser positivas ou negativas. Responda às seguintes perguntas:

a) Mostre que o sistema tem três pontos de equilíbrio.

b) Obtenha as matrizes da dinâmica do sistema linearizado em torno de cada um dos pontos de equilíbrio.

c) Obtenha os valores próprios para o sistema linearizado em torno de cada um dos pontos de equilíbrio. Se existirem pontos de sela, determine os correspondentes vectores próprios.

d) Recorrendo aos sinais da derivada, trace no plano de estado setas que indicam a evolução local do estado em pontos sobre o eixo horizontal à sua escolha em que haja comportamentos diferentes.

e) Mostre que o retrato de fase é simétrico em relação à origem, isto é, que se um ponto de coordenadas (x₁, x₂) pertence ao retrato de fase (ou seja, está sobre uma solução das equações), então o ponto (−x −₁, x₂) também pertence ao retrato de fase.

f) Recorrendo às conclusões das respostas que deu nas alíneas anteriores, esboce o retrato de fase. Considere os quatro quadrantes.

g) Considere a situação em que  =0. Diga se poderia traçar o retrato de fase do sistema não linear usando as técnicas das alíneas a) a d). Justifique a sua resposta.

O problema P1A é uma alternativa para quem não resolveu P1, mas tem uma quotação inferior. Deverá indicar claramente qual o problema que resolve (P1 ou P1A). Se apresentar soluções dos dois problemas, mesmo que parciais, apenas contará a solução de P1.

P1- A) A Sildávia e a Bordúria são dois países dos Balcãs que, embora pouco conhecidos da generalidade dos portugueses, estão ligados a um capítulo notável da História da Tecnologia. Com efeito, foi da Sildávia que partiu o primeiro foguete que levou à Lua, e trouxe sãos e salvos de regresso, os primeiros seres humanos e um cão. Embora partilhem muitos traços comuns da sua cultura, a história nem sempre registou relações pacíficas entre estes dois estados vizinhos. São estas relações, potencialmente conflituosas, que se pretendem analisar neste problema.

A praça Plekszy-Gladz em Szohôd, capital da Bordúria

a) Esboce o retrato de fase deste sistema.

b) Suponha que a Sildávia tomava a decisão unilateral de se desarmar (ou seja, forçar x1 =0. Diga o que é que prevê o modelo neste caso: A

Bordúria também se desarmaria ou ambos os países iriam armar-se cada vez mais? Justifique a sua resposta com base no retrato de fase.

P2. A relação entre os parâmetros KeepAlive e CPU no servidor APACHE pode ser representada pela equação de diferenças

) 1 ( ) 1 ( ) (t =ay t− +u t− y

em que u(t) é o valor da variável KeepAlive e y(t) é o valor da variável CPU no instante discreto t (t é um número inteiro), subtraídos dos seus valores médios. Pretende-se estimar por mínimos quadrados não recursivos o parâmetro a no modelo, para o que se fizeram séries de observações das variáveis u(t) e y(t), com 1001 pontos cada. Designam-se estas observações experimentais por u(t) e y(t), em que o índice t toma os valores

1000 , , 0 = = N t  .

a) Determine uma fórmula para a estimativa de mínimos quadrados do parâmetro a em função dos dados, indicando sucessivamente: i) O funcional de mínimos quadrados; ii) A equação satisfeita pela estimativa; iii) Uma fórmula para o cálculo da estimativa aˆ que resulta da resolução desta equação

b) A partir dos dados observados, sabe-se que I. ( 1) 9 1000 1 2 − =





(

)

Determine o valor numérico da estimativa de a (designada por aˆ ).

P3. A confortável sala de estar da D. Eleutéria (que tal como no poema de Fernando Pessoa não tem biblioteca nem consta que saiba nada de Finanças, e muito menos de Engenharia Electrotécnica) é climatizada por um aquecedor que pode ser ligado ou desligado por um termóstato.

Figura P3 – A simpática D. Eleutéria na sua sala de estar sorrindo para os alunos de Modelação e Simulação.

Sempre que a temperatura está no valor de 20ºC ou acima, e o termoestato está ligado, o termoestato é desligado. Se a temperatura estiver em 19ºC ou abaixo deste valor, o termoestato é ligado. Quando o termoestato está ligado, a temperatura na sala, x(t) cresce com uma taxa de 1ºC/minuto, ou seja, satisfaz a equação diferencial:

1 = dt dx em que o tempo t se mede em minutos.

Quando o termoestato está desligado, a temperatura cai exponencialmente de acordo com ) 01 . 0 exp( ) 0 ( ) (t x t x = −

Ou seja, satisfaz a equação diferencial

) ( 01 . 0 x t dt dx ₌₋

Inicialmente a temperatura da sala é de 15ºC e o termoestáto está ligado.

a) Descreva este sistema como um autómato híbrido, desenhando o respectivo diagrama de estados e indicando para cada estado os elementos relevantes.

b) Trace a evolução no tempo dos estados contínuo e discreto de t=0 até 2

. 20 =

Fig. P4-1. Um enchedor de miolos usado no planeta Melmac (patente registada).

Considere uma máquina deste tipo, que pode estar num de dois estados: • Estado 1 (funcionamento normal)

• Estado 2 (avariada)

Pretende-se modelar as transições entre os dois estados através de uma cadeia de Markov. Sabe-se que:

• Se estiver em funcionamento normal, a probabilidade de passar para o estado avariado no instante discreto seguinte é de 0.05 e de permanecer em funcionamento normal de 0.95.

• Se estiver avariada, a probabilidade de passar a funcionar normalmente no instante seguinte é de 0.9 e de permanecer avariada de 0.1

Responda às perguntas seguintes:

a) Desenhe um diagrama indicando os estados e as transições.

b) Escreva uma equação de diferenças verificada pelas probabilidades dos dois estados em função do tempo.

c) Calcule a probabilidade em regime estacionário de a máquina estar em cada um dos dois estados possíveis.