REPRESENTAÇÃO DE INCERTEZAS

INCERTEZAS

JUAN LAZO LAZO

Incertezas

: Definições e Tipos

• Na literatura a

imperfeição

da

informação

é geralmente conhecida como

incerteza.

• Este termo é muito restritivo; o que se

convenciona chamar

tratamento de

incerteza

pode, na verdade, estar

endereçando outras imperfeições da

informação, como

imprecisão

,

conflito

,

Um exemplo:a que horas começa um determinado filme?.

Algumas das respostas que podemos obter são:

• Informação perfeita: O filme começa às 8h 15min. • Inf. imprecisa: O filme começa entre 8h e 9h.

• Inf. incerta: Eu acho que o filme começa às 8h (mas não tenho certeza).

• Inf. vaga: O filme começa lá pelas 8h.

• Inf. probabilista: É provável que o filme comece às 8h. • Inf. possibilista: É possível que o filme comece às 8h.

• Inf. inconsistente: Maria disse que o filme começa às 8h, mas João disse que ele começa às 10h.

• Inf. incompleta: Eu não sei a que horas começa o filme, mas usualmente os filmes neste cinema começam às 8h.

• Ignorância total: Eu não faço a menor idéia do horário do filme.

Incertezas

: Definições e Tipos

• Em geral, não se possui certeza sobre todas as informações.

• As informações podem variar de perfeitas, parciais, dinâmicas, a completamente imperfeitas, seja pela total ausência de

informações ou por informações completamente conflitantes.

• Metrologia: Incerteza é um parâmetro associado a uma medição, caracteriza a dispersão dos valores que podem ser atribuídos ao

• Do ponto de vista econômico, os projetos são afetados por incertezas econômicas e

incertezas técnicas.

• Incerteza econômica deve-se a fatores externos ao projeto, sendo geralmente representada pelas oscilações estocásticas do preço do produto e pelos custos.

• Incerteza técnica deve-se a fatores internos, como a incerteza sobre o tamanho da produção e o desempenho dos projetos em função do emprego de tecnologia.

Incertezas

: Definições e Tipos

• Comportamento racional:

tomar decisões

razoáveis mesmo diante informações

imperfeitas.

• Metodologia:

encontrar um modelo

adequado para

representar

a

informação

imperfeita

de acordo com seu tipo de

imperfeição.

• Informação probabilistica: teoria de probabilidades ou teoria da evidencia.

• Informação imprecisa ou vaga: teoria de conjuntos Fuzzy ou teoria de conjuntos de aproximação (Rough Set)

• Informação possibilista: teoria de possibilidades. • Informação incerta: teoria de probabilidades, teoria

de possibilidades ou teoria da evidencia.

Representação de Incertezas

• Técnicas usadas para representar

Incertezas:

– Cenários (com ou sem probabilidades) – Distribuições de probabilidades

– Distribuições possibilísticas – Conjuntos Fuzzy (fuzzy sets) – Teoria Intervalar

– Números Fuzzy

Representação da Incerteza com

Cenários

:

• Assume um conjunto pequeno de cenários

para a incerteza:

– Cenário para o pior caso – Cenário para o melhor caso

– Cenário para o mais provável dos caso

Caso Pessimista= 10 MM m3 Caso Médio = 20 MM m3 Caso Otimista= 30 MM m3 Definição dos Cenários

Representação de Incertezas

8 poços exploratórios para obter informação

Representação da Incerteza com Distribuições de Probabilidades :

• Construi uma distribuição de probabilidade para a variável com incerteza

• Esta distribuição pode ser construída a partir dos valores da variável que temos.

Construi a Distrib. de Probabildade

Representação de Incertezas

8 poços exploratórios para obter informação

Quanto petróleo?

Representação da Incerteza com Distribuições de Probabilidades :

• Distribuição obtida a traves da informação do exemplo anterior 14 16 18 20 22 24 26 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 1 14.2482 2 21.047 3 23.108 4 18.5923 5 19.6703 6 25.4414 7 14.0505 8 18.4963

Representação de Incertezas

Representação da Incerteza com Distribuições

de Probabilidades : caso se tenha mais informação

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 0 5 10 15 20 25 30 1 18.3256 2 24.318 3 16.5625 4 22.5143 5 19.7758 6 27.0785 7 13.2022 8 20.7413 9 17.9217 10 23.8176 11 16.0418 12 22.1277 13 19.4342 14 26.1957 15 14.8352 16 21.4065 17 18.7108 18 24.867 19 17.0448 20 22.922 21 20.1059 22 28.3883 23 11.4321 24 20.3465 25 17.3859 26 23.2439 27 15.3198 28 21.6697 29 18.9889 30 25.3208 31 13.8956 32 20.985 33 18.2265

Representação da Incerteza com Distribuições Possibilísticas :

• Construi uma distribuição de possibilidade para a variável com incerteza

• Esta distribuição pode ser vista como a função de pertinência de um conjunto fuzzy dos

possíveis valores para a variável.

Representação de Incertezas

Representação da Incerteza com Distribuições

Possibilísticas :

A verosimilhança é descrita pela: • Medida de possibilidade e • Medida de necessidade.

( )

A

=

_x∈A

π

( )

x

Π

sup

( )

A

( )

x

N

=

inf

_x∈A

1

−

π

: Conj. Fuzzy A : Variável

: Dist. Possibilidade (função Pertinência de A) π

: quantifica quanto a evidencia disponível suporta a hipóteses de que A contem o

verdadeiro valor de x.

: quantifica quanto a evidencia não contradiz esta hipóteses. Assim

( )

A Π

( )

A N

( )

A

( )

A

N

= 1

−

Π

A

A

é

complement

o

de

Representação de Incertezas

Representação da Incerteza com Conjuntos

Fuzzy :

• Usa conjuntos fuzzy para representar

informações imprecisa ou vaga e emprega a lógica fuzzy para a tomada de decisões.

Inf. Poço1 Inf. Poço2 Inf. Poço N

Representação da Incerteza com a

Teoria

Intervalar

:

• Representa a incerteza a traves de

intervalos (intervalos de confiança).

• Utiliza a aritmética intervalar para realizar

operações para a tomada de decisões

A_Min AMax BMin BMax

Representação de Incertezas

Aritmética Intervalar :

[

a1,a3

]

( )

[

b1,b3

] [

a1 b1, a3 b3

]

B A+ = + = + +

[

a1,a3

]

( )

[

b1,b3

] [

a1 b3, a3 b1

]

B A− = − = − − { } { }

[

min a1 b1,a1 b3,a3 b1,a3 b3,, max a1 b1,a1 b3,a3 b1,a3 b3

]

B A• = • • • • • • • •

{

}

{

}

[

min 1/ 1, 1/ 3, 3/ 1, 2/ 3,, max 1/ 1, 1/ 3, 3/ 1, 2/ 3

]

/B a b a b a b a b a b a b a b a b A =

Aritmética Intervalar :

– Inversa de um intervalo

– Multiplicação de um intervalo por um escalar

{ } { }

[

1 3 1 3

]

1 / 1 , / 1 max , / 1 , / 1 min a a a a A− = [ 1, 3] [ 1, 3] 0 a a a a A se λ λ λ λ λ = = > [ 1, 3] [ 3, 1] 0 a a a a A se λ λ λ λ λ = = <

Representação de Incertezas

Representação da Incerteza com Números

Fuzzy:

• Usa números fuzzy com a mesma forma que a distribuição de probabilidadepara a variável com incerteza

• Faz uso da aritmética fuzzypara realizar as

operações com Números fuzzy para a tomada de decisões.

• Permite trabalhar com várias incertezas, realizando cálculos com toda a incerteza num operação.

3 5 3+5 8 R 3_F 5F R 8_F 3F + 5F Números Fuzzy Números Reais

Representação de Incertezas

Representação da Incerteza com Números

Fuzzy:

• Números fuzzy mais comuns: Triangular, trapezoidal e gaussiano. Ex.

10 MM 20 MM 30 MM Distribuição de Probabilidade

10 MM 20 MM 30 MM Número Fuzzy Triangular

Revisão de Números Fuzzy:

Número fuzzy é um conjunto fuzzy que deve cumprir as seguintes condições:

• Estar definido nos números reais; • A função de pertinência deve ser contínua;

• O conj. fuzzy deve ser normalizado; • O conj. fuzzy deve ser convexo

Cada α-cut define intervalos, logo é possível utilizar a aritmética de intervalos

[

a1,a2,a3

]

A= 1 uA(x) x a1(0) a3 (0) a2 α α’ a1(α’) a1(α) a3(α) a3(α’) ( ) ( ) [ α α] α a1 , a3 A = ( ) ( ) [ '] 3 ' 1 ' , α α α a a A = 0 1 uA(x) x a1(0) a3 (0) a2 α α’ a1(α’) a1(α) a3(α) a3(α’) ( ) ( ) [ α α] α a1 , a3 A = ( ) ( ) [ '] 3 ' 1 ' , α α α a a A = 0

Representação de Incertezas

Revisão de Números Fuzzy:

Formas de representação dos Números fuzzy

[

m1,m2,m3

]

M = m₁ m₃ m₁ m₂ m₃ m₂ a b

[

m a b

]

M = ₂, , b m m a m m + = − = 2 3 2 1

m₁ m₃

Revisão de Números Fuzzy:

Formas de representação dos Números fuzzy

[

m1,m2,m4,m3

]

M = m₂ m₄ a b

[

m m a b

]

M = ₂, ₄, , b m m a m m + = − = 4 3 2 1 m₁ m₂ m₄ m₃

Operações com Números Fuzzy

• São definidas baseadas na Teoria de

intervalos.

+

₌

Número Fuzzy A Número Fuzzy B Número Fuzzy Resultante

Operações com Números Fuzzy

• São definidas baseadas na Teoria de

intervalos.

+

₌

Número Fuzzy A Número Fuzzy B Número Fuzzy Resultante

Representação de Incertezas

Operações com Números Fuzzy:

( ) ( )

[

]

[ ]

( ) ( ) R a a a a a a Aα = 1α , 3α , ∀α∈ 0,1, 1, 3, 1α , 3α ∈ ( ) ( )

[

]

[ ]

( ) ( ) R b b b b Bα = 1α , 3α , ∀α∈ 0,1, 1α , 3α ∈ ( ) ( )

[

α α

]

( )

[

( )α ( )α

]

[

( )α ( )α ( )α ( )α

]

α α B a1 ,a3 b1 ,b3 a1 b1 , a3 b3 A + = + = + + ( ) ( )

[

α α

]

( )

[

( )α ( )α

]

[

( )α ( )α ( )α ( )α

]

α α B a1 ,a3 b1 ,b3 a1 b3 , a3 b1 A − = − = − −

Assim todas as operações definidas pela aritmetica intervalar são validas para os Números Fuzzy

• A vantagem desta representação é que se conseguem boas aproximações do valor da variável

• Com uma redução significativa do tempo computacional.

Representação de Incertezas

Representação da Incerteza com

Processos estocásticos

:

• São usados casos que a variável com

incerteza apresenta um comportamento

dinâmico

ou tem

dependência

com outras

variáveis (tempo).

Representação da Incerteza com Processos estocásticos:

• Um processo estocástico é uma função que contém variáveis aleatórias.

• Muitos dos processo estocásticos usados para representação de incertezas são processos

markovianos (Tempo discreto).

• Processo markoviano é aquele no qual o último

estado contem toda a informação relevantepara o estado seguinte.

Representação de Incertezas

Representação da Incerteza com Processos

estocásticos: Exemplos:

• Random Walk

• Movimento Geométrico Browniano

( )

0

,

1

~

,

2

1

exp

2 1

t

t

N

x

x

_{t t}

α

σ

σε

_⎥

ε

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

_∆

₊

_∆

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

=

₋

( )

0

,

1

~

,

1

N

x

x

_t

=

_t−

+

ε

ε

• Moore, Ramon E., Interval Analysis, Prentice-Hall Series in Automatic Computation. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1966.

• Moore, Ramon E., Methods and Applications of Interval Analysis, SIAM Studies in Applied Mathematics. SIAM, Philadelphia, 1979. • D. Dubois and H. Prade. Possibility Theory - An Approach to the

Computerized Processing of Uncertainty. Academic Press, 1988. • D. Dubois, H. Prade, and S. Sandri. On possibility/probability

transformations. In Fuzzy Logic. Kluwer, 1993.

• D. Dubois, H. Prade, and S. Sandri. Possibilistic logic augmented with fuzzy unification. In Proceedings of the International

Conference on Information Processing and Management of Uncertainty in Knowledge-Based Systems (IPMU'96), Granada, Spain, 1996.

Referencias Bibliográficas

• Dubois, D. and Prade, H., On Several Representations of Uncertain Body of evidence, in M.M. Gupta and E. Sanchez Eds., Fuzzy Information and Decision Process, North-Holland, Amsterdam, pp. 167-182, 1982.

• L.A. Zadeh. Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility. Fuzzy Sets and Systems, 1:3-28, 1978.

• Lazo, Juan G. Lazo, Determinação do Valor de Opções Reais por Simulação Monte Carlo com Aproximação por Números Fuzzy e Algoritmos Genéticos, PhD. Thesis Doutoral Department of Electrical Engineering of Pontifical Catholic University of Rio de Janeiro - PUC-Rio, 2004.

• Fang, J. H. and Chen, H.C., Uncertainties are Better Handled by Fuzzy Arithmetic, The American Association of Petroleum Geologists Bulletin, VI. 74 N. 8, pp. 1228-1233, 1990.

• Hans Schjaer-Jacobsen, Representation and Calculation of Economic Uncertainties: Intervals, Fuzzy Numbers, and Probabilities, International Journal of Production Economics, Volume 78, Issue 1, 1 July 2002, pp. 91-98.

• Hanss, Michael; Willner, Kai, On Using Fuzzy Arithmetic to Solve Problems with Uncertain Model Parameter. Proceedings of the International Colloquium on Numerical Modelling of Uncertainties, Valenciennes, France, 1999, pp 85-92.

• Gao, Lun S., The Fuzzy Arithmetic Mean, Fuzzy Sets and Systems Vol. 107, 1999, pp. 335-348.

• Carlsson, Christer, Fullér, Robert, On Possibilistic Mean Value and Variance of Fuzzy Numbers, Fuzzy Sets and Systems Vol. 122, 2001, pp. 315-326.