EQUAÇÕES DE BESSEL APLICADAS À TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM DUTOS COM SIMETRIA AXIAL

(1)

UFRB - Universidade Federal do Recôncavo da Bahia CETEC - Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas

Bacharelado de Ciˆencias Exatas e Tecnol´ogicas

EQUA ¸

C ˜

OES DE BESSEL APLICADAS

`

A TRANSFERˆ

ENCIA DE CALOR EM

DUTOS COM SIMETRIA AXIAL

RAIMAR RAMOS DE MACEDO FILHO

CRUZ DAS ALMAS 2016

(2)

RAIMAR RAMOS DE MACEDO FILHO

EQUA ¸

C ˜

OES DE BESSEL APLICADAS

`

A TRANSFERˆ

ENCIA DE CALOR EM

DUTOS COM SIMETRIA AXIAL

Trabalho de conclusão de curso apresen-tado à Universidade Federal do Recˆ on-cavo da Bahia como parte dos requisitos para a obten¸cão do t´ıtulo de Bacharel Graduado em Ciências Exatas e Tecnol´ o-gicas.

Orientador: MSc. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento

Cruz das Almas 2016

(3)

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Aos meus pais, Sr. Raimar Ramos de Macedo e Sra. Juscicléia Meireles Souza, que não mediram esfor¸cos para que eu chegasse até esta etapa de minha vida.

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Agradecimentos

A Deus que permitiu que tudo isso acontecesse.

A meus pais, as pessoas mais importantes da minha vida, por tudo.

A toda minha fam´ılia, a minha avó Ana Edila e a Dinha (in memorian), avó que a vida me deu, pelas lembran¸cas mais puras da minha infância. A La´ıs, pelo carinho, alegria e aten¸cão, obrigado meu amor.

Ao meu orientador, prof. MSc. Paulo Henrique pela orienta¸cão, apoio e confian¸ca, sem você esse trabalho não seria poss´ıvel. Ao prof. Dr. Juarez Azevedo pelo apoio, ao prof. MSc. Marcus Vin´ıcius e à profa_{. Dr}a_{. Karina Kodel, pelo paciente trabalho de revis˜}_ao.

Ao prof. Dr. Denis Petrucci e ao prof. MSc. Alex Santana pela amizade.

Aos meus amigos do Integre, em especial a Carlos André pela convivência amigável. A todos da Universidade Federal do Recôncavo da Bahia, que direta ou indiretamente, contribu´ıram para a conclusão desta etapa da minha vida. A todos vocês o meu muito obrigado.

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“Mais cedo ou mais tarde, a teoria sempre acaba assassinada pela experiˆencia” (Albert Einstein)

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Resumo

A Transferência de calor foi abordada neste trabalho, especificamente, com um problema envolvendo a distribui¸cão da temperatura. Este é descrito através da equa¸cão da difusão térmica e tem como solu¸cão, uma fun¸cão de Bessel (de primeira ou de segunda espécie). O desenvolvimento da equa¸cão de difusão térmica, em coordenadas convenientes para a resolu¸cão do problema, viabilizou um maior conforto na sua solu¸cão, no sentido de obtê-la com maior facilidade. Enfatizou-se a importância do dom´ınio pleno das ferramentas matemáticas, seu rigor e suas propriedades, tendo em vista o aprofundamento teórico que foi apresentado. Por fim, estudou-se o comportamento da solu¸cão do problema, analiticamente. Observou-se como se comporta a distribui¸cão da temperatura para um duto com determinadas condi¸cões de contorno.

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Abstract

The heat transfer was discussed in this work, specifically, with a problem involving temperature distribution. It is described by the equation of heat diffusion and its solution is a Bessel function (first or second kind). The development of the thermal diffusion equation in convenient coordinates, to solve the problem, enabled greater comfort in its solution in order to obtain the solution more easily. It was emphasized the importance of full domain of mathematical tools, its rigor and its properties, in view of the theoretical deepening that was presented. Therefore, it was observed analytically the behavior of the solution. It was also accomplished how the temperature distribution to a duct with certain conditions of contour.

(9)

Lista de ilustra¸c˜

oes

Figura 1 – Barra s´olida condutora de calor. . . 2

Figura 2 – Volume de controle diferencial 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝑧, para an´alise de condu¸c˜ao em coordenadas cil´ındricas (𝑟, 𝜑, 𝑧). . . . 3

Figura 3 – Fun¸c˜oes de Bessel de Primeira Esp´ecie para 𝜇 = 0,1,2,3,4 . . . . 9

Figura 4 – Fun¸c˜oes de Bessel de Segunda Esp´ecie para 𝜇 = 0,1,2,3,4 . . . . 12

Figura 5 – Seçcão Transversão da Tubula¸cão. . . 13

(10)

Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao . . . 1

2 Desenvolvimento Te´orico . . . 2

2.1 Transferˆencia de Calor . . . 2

2.2 Equa¸cão da Difusão Térmica . . . 3

2.3 Fun¸c˜oes de Bessel . . . 6

2.4 Fun¸c˜ao de Bessel de Primeira Esp´ecie . . . 6

2.5 Fun¸c˜ao de Bessel de Segunda Esp´ecie . . . 10

3 Aplica¸c˜ao . . . 13

3.1 Problema Proposto . . . 13

4 Considera¸c˜oes Finais . . . 19

(11)

1

1 Introdu¸c˜

ao

Problemas que envolvem simetria circular ou superf´ıcies arredondadas, brocas de perfura¸cão de po¸cos de petróleo, processos de usinagem, tubos hidráulicos, frequentemente geram fun¸cões de Bessel de primeira e segunda espécie em suas solu¸cões (MUSHREF et al., 2010).

Neste trabalho, estudamos tais fun¸cões aplicadas a condu¸cão de calor. Em projetos de Engenharia Civil é necessário considerar o empreendimento terá condi¸cões térmicas agradáveis para os usuários. Tendo esse objetivo, deve analisar, por exemplo, a localiza¸cão, posicionamento e materiais utilizados na constru¸cão, minimizando, dessa maneira a transferência de calor entre os ambientes.

Os engenheiros da computa¸cão, em conjunto com os eletricistas, estão preocupados em desenvolver componentes eletrônicos cada vez menores e com um potencial de processa-mento cada vez maior. Neste processo, se deparam com problemas de superaqueciprocessa-mento. Engenheiros mecânicos trabalham com a transferência de calor no resfriamento de ambientes, motores, máquinas, no comportamento de um fluido que escoa em uma tubula¸cão, que pode ser desde a água, que passa em um radiador, ou de um duto, que conduz o petróleo do po¸co até a plataforma.

Em meio a esse contexto, de descrever e quantificar os problemas de transferência de calor, surge a necessidade de resolver equa¸cões que os modelam, de forma anal´ıtica ou através do estudo de métodos que encontram a solu¸cão, com menor esfor¸co computacional e maior precisão.

O presente trabalho busca uma equa¸cão para a distribui¸cão de temperatura, obtida de maneira anal´ıtica, através do estudo das fun¸cões de Bessel, para uma tubula¸cão de formato cil´ındrico.

Nos cap´ıtulos subsequentes apresentamos uma base teórica importante para o entendimento do problema. No cap´ıtulo dois, deduzimos a equa¸cão da difusão térmica em coordenadas cil´ındricas e as fun¸cões de Bessel de primeira e segunda espécies. No cap´ıtulo três apresentamos o desenvolvimento da equa¸cão que possibilita determinar a temperatura, em um duto formato cil´ındrico, para um raio e um dado instante de tempo.

(12)

2

2 Desenvolvimento Te´

orico

2.1 Transferˆ

encia de Calor

A transferência de calor é a propaga¸cão de energia entre corpos de diferentes temperaturas. Ocorre basicamente de três maneiras, que dependem do meio de propaga¸cão, em meios sólidos e fluidos estacionários ocorre a condu¸cão, em fluidos não estacionários ocorre a conveçcão e radia¸cão, que basicamente não depende do meio material, ocorre melhor no vácuo.

Segundo Silva (2014) o estudo da transferência de calor é dedicado a determina¸cão da distribui¸cão das temperaturas tanto no espa¸co quanto no tempo. É comum ocorrer a combina¸cão das formas de transferir calor, no entanto, em muitos casos é poss´ıvel simplificá-los para apenas uma forma. Este trabalho centra-se na transferência de calor através da condu¸cão.

Na condu¸cão, a Lei de Fourier é responsável por quantificar a taxa de transferência de calor em sólidos. A equa¸cão a seguir relaciona a taxa de condu¸c˜ao de calor, 𝑞𝑥 [𝑊 ], a condutividade t´ermica, 𝑘 [𝑊/(𝑚𝐾)], a ´area da seçcão transvers˜ao, 𝐴 [𝑚2_{], a varia¸c˜}_{ao da}

temperatura, Δ𝑇 [𝐾] e o deslocamento, Δ𝑥 [𝑚]:

𝑞𝑥 = −𝑘𝐴 Δ𝑇

Δ𝑥. (𝑈 𝑛𝑖𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙) (1)

o sinal negativo indica que a taxa segue da maior temperatura para a menor. A condu-tividade térmica é uma propriedade inerente ao material no qual ocorre a condu¸cão. A Figura 1, onde 𝑇2 < 𝑇1, ilustra este fenômeno descrito pela lei de Fourier.

Figura 1 – Barra s´olida condutora de calor.

𝑇1 𝑇2

𝑞𝑥

𝑥 = 0 𝑥 = 𝐿 𝑥

(13)

Cap´ıtulo 2. Desenvolvimento Te´orico 3

2.2 Equa¸

c˜

ao da Difus˜

ao T´

ermica

A distribui¸cão da temperatura em um sólido pode ser determinado por uma equa¸cão diferencial. Vamos considerar um volume de controle diferencial apresentado na Figura 2 e seu volume sendo 𝑑𝑉 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝑧. Entende-se por volume de controle como sendo um volume arbitrário no espa¸co através do qual o fluido escoa, sua borda é chamado de superf´ıcie de controle.

Figura 2 – Volume de controle diferencial 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝑧, para an´alise de condu¸c˜ao em coordenadas cil´ındricas (𝑟, 𝜑, 𝑧).

Fonte: (INCROPERA; DEWITT, 2008)

Partindo do princ´ıpio da conserva¸c˜ao de energia, ˙

𝐸𝐴𝐶𝑈 = ˙𝐸𝐸𝑁 𝑇 − ˙𝐸𝑆𝐴𝐼 + ˙𝐸𝐺 (2) tais que ˙𝐸𝐴𝐶𝑈, ˙𝐸𝐸𝑁 𝑇, ˙𝐸𝑆𝐴𝐼 e ˙𝐸𝐺 são, respectivamente, as taxas de energia: acumulada, que entra, que sai e que é gerada. Analisando o volume de controle e considerando que existe um gradiente de temperatura, temos que as taxas de transferência de calor unidimensionais, 𝑞𝑟, 𝑞𝜑, 𝑞𝑧 sofrem um incremento ao passar pelo volume de controle e s˜ao representadas por, 𝑞𝑟+𝑑𝑟, 𝑞𝜑+𝑑𝜑, 𝑞𝑧+𝑑𝑧. Estas podem ser expressas pela expansão e o trucamento da série de Taylor.

(14)

Cap´ıtulo 2. Desenvolvimento Te´orico 4 𝑞𝑟+𝑑𝑟 = 𝑞𝑟+ 𝜕𝑞𝑟 𝜕𝑟𝑑𝑟 (3) 𝑞𝜑+𝑑𝜑= 𝑞𝜑+ 𝜕𝑞𝜑 𝜕𝜑𝑑𝜑 (4) 𝑞𝑧+𝑑𝑧 = 𝑞𝑧+ 𝜕𝑞𝑧 𝜕𝑧 𝑑𝑧. (5)

No volume de controle, pode existir uma fonte térmica, que é quantificado através da taxa de gera¸cão de energia ˙𝐸𝐺.

˙

𝐸𝐺= ˙𝑞𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝑧 (6) onde, ˙𝑞 ´e a taxa de transferência de calor por unidade de volume. Além disso, é poss´ıvel que ocorra, uma varia¸cão na quantidade de energia interna ao longo do tempo e a parcela

˙ 𝐸𝐴𝐶𝑈 ´e apresentada por: ˙ 𝐸𝐴𝐶𝑈 = 𝜌𝑐𝑝 𝜕𝑇 𝜕𝑡𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝑧 (7)

Reescrevendo a equa¸c˜ao (2) na forma ˙

𝐸𝐸𝑁 𝑇 − ˙𝐸𝑆𝐴𝐼 + ˙𝐸𝐺 = ˙𝐸𝐴𝐶𝑈 (8) e substituindo as taxas de energia t´ermica, obtemos:

𝑞𝑟+ 𝑞𝜑+ 𝑞𝑧− (𝑞𝑟+𝑑𝑟+ 𝑞𝜑+𝑑𝜑+ 𝑞𝑧+𝑑𝑧) + ˙𝑞𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝑧 = 𝜌𝑐𝑝

𝜕𝑇

𝜕𝑡𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝑧. (9)

Substituindo as equa¸c˜oes (3), (4) e (5) na equa¸c˜ao (9), obtemos: −𝜕𝑞𝑟 𝜕𝑟 𝑑𝑟 − 𝜕𝑞𝜑 𝜕𝜑𝑑𝜑 − 𝜕𝑞𝑧 𝜕𝑧 𝑑𝑧 + ˙𝑞𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝑧 = 𝜌𝑐𝑝 𝜕𝑇 𝜕𝑡𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝑧. (10)

A Lei de Fourier, descreve a taxa de transferˆencia de calor em meio s´olido, como:

𝑞𝑟 = −𝑘𝐴𝑡 𝑑𝑇 𝑑𝑟 (11) 𝑞𝜑= − 𝑘 𝑟𝐴𝑡 𝑑𝑇 𝑑𝜑 (12) 𝑞𝑧 = −𝑘𝐴𝑡 𝑑𝑇 𝑑𝑧, (13)

em que 𝑘 ´e a condutividade t´ermica, dependente do material que constitui o s´olido e 𝐴𝑡´e a ´area perpendicular ao escoamento de calor. Substituindo as respectivas 𝐴𝑡 em (11), (12) e (13), obtemos: 𝑞𝑟= −𝑘(𝑟𝑑𝜑𝑑𝑧) 𝜕𝑇 𝜕𝑟 (14) 𝑞𝜑= − 𝑘 𝑟(𝑑𝑟𝑑𝑧) 𝜕𝑇 𝜕𝜑 (15) 𝑞𝑧 = −𝑘(𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑) 𝜕𝑇 𝜕𝑧. (16)

(15)

Cap´ıtulo 2. Desenvolvimento Te´orico 5 substituindo (14), (15) e (16) em (10), obtemos: 𝜕 𝜕𝑟 Ç 𝑘𝜕𝑇 𝜕𝑟𝑟𝑑𝜑𝑑𝑧 å 𝑑𝑟+ 𝜕 𝜕𝜑 Ç 𝑘𝜕𝑇 𝜕𝜑 𝑑𝑟 𝑟 𝑑𝑧 å 𝑑𝜑+ 𝜕 𝜕𝑧 Ç 𝑘𝜕𝑇 𝜕𝑧𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑 å 𝑑𝑧+ ˙𝑞𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝑧 = 𝜌𝑐𝑝 𝜕𝑇 𝜕𝑡𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝑧 (17) Dividindo ambos os membro da equa¸c˜ao, pelo volume infinitesimal 𝑑𝑉 , obtemos:

1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 Ç 𝑘𝑟𝜕𝑇 𝜕𝑟 å + 1 𝑟2 𝜕 𝜕𝜑 Ç 𝑘𝜕𝑇 𝜕𝜑 å + 𝜕 𝜕𝑧 Ç 𝑘𝜕𝑇 𝜕𝑧 å + ˙𝑞 = 𝜌𝑐𝑝 𝜕𝑇 𝜕𝑡 (18)

(16)

2.3 Fun¸

c˜

oes de Bessel

As equa¸cões diferenciais de Bessel1 surgem quando se resolvem equa¸cões diferenciais parciais em coordenadas esféricas ou cil´ındricas, usando o método de separa¸cão de variáveis. Elas aparecem, corriqueiramente, quando se trabalha com as equa¸cões de Laplace e Helmholtz.

As fun¸cões de Bessel são solu¸cões dos problemas descritos pelas equa¸cões diferencias de Bessel. Podem ser aplicadas em alguns ramos da ciência, incluindo eletricidade e eletromagnetismo, condu¸cão de calor, vibra¸cões acústicas e equa¸cão radial de Schrödinger (HERN ÁNDEZ; COMMEFORD; P ÉREZ-QUILES, 2011).

2.4 Fun¸

c˜

ao de Bessel de Primeira Esp´

ecie

Existem algumas formas de abordar as equa¸c˜oes de Bessel. A sua forma mais completa ´e: 𝑥2𝑑 2_𝑦 𝑑𝑥2 + (𝑑 − 1)𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + (𝜆 2_𝑥2 _{− 𝜇}2_{)𝑦 = 0,} _{𝑥 > 0} ₍₁₉₎ ´

e uma equa¸c˜ao diferencial de Bessel de ordem 𝜇. Os parâmetros constantes, 𝑑, 𝜆 e 𝜇2 são, respectivamente, a dimensão, o autovalor e o ´ındice angular.

Segundo Mesquita Filho (1996), quando soluciona-se equa¸cões diferenciais, pelo método de separa¸cão de vari´aveis, em coordenadas cil´ındricas, tem-se 𝑑 = 2, quando em coordenadas esf´ericas, 𝑑 = 3. Em coordenadas cil´ındricas, caso haja simetria circular, obt´em-se 𝜇 = 0, em outros casos, para solu¸c˜oes não sim´etricas, 𝜇 pode assumir qualquer valor real.

Para o caso em que temos 𝑑 = 2 e 𝜆 = ±1 a equa¸c˜ao (19) se reduz a equa¸c˜ao a seguir: 𝑥2𝑑 2_𝑦 𝑑𝑥2 + 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + (𝑥 2_{− 𝜇}2_{)𝑦 = 0} _{𝑥 > 0} ₍₂₀₎

Iremos encontrar sua solu¸cão utilizando o método de Frobenius. Este método consiste na obten¸cão de uma solu¸cão através de séries de potência (BUTKOV, 1988). Considere a série 𝑦 = ∞ X 𝑛=0 𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑠 (21) Derivando-a, obtemos: 𝑦′ = ∞ X 𝑛=0 (𝑛 + 𝑠)𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑠−1 (22)

(17)

Derivando mais uma vez, obtemos:

𝑦′′ =

∞

X

𝑛=0

(𝑛 + 𝑠)(𝑛 + 𝑠 − 1)𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑠−2 (23)

Substituindo as s´eries (21), (22) e (23) na equa¸c˜ao (20), obtemos:

𝑥2 ∞ X 𝑛=0 (𝑛 + 𝑠)(𝑛 + 𝑠 − 1)𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑠−2+ 𝑥 ∞ X 𝑛=0 (𝑛 + 𝑠)𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑠−1+ (𝑥2− 𝜇2) ∞ X 𝑛=0 𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑠 = 0 (24) e reescrevendo: ∞ X 𝑛=0 (𝑛 + 𝑠)(𝑛 + 𝑠 − 1)𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑠+ ∞ X 𝑛=0 (𝑛 + 𝑠)𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑠+ ∞ X 𝑛=0 𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑠+2− 𝜇2 ∞ X 𝑛=0 𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑠 = 0 (25)

Tomando os coeficientes de potˆencia mais baixa (𝑥𝑛+𝑠_{) e igualando a zero, temos:} (𝑛 + 𝑠)(𝑛 + 𝑠 − 1)𝑎𝑛+ (𝑛 + 𝑠)𝑎𝑛− 𝜇2𝑎𝑛= 0, (26) ou seja: 𝑎𝑛[𝑛2+ 2𝑛𝑠 + 𝑠2− 𝜇2] = 0. (27) Para 𝑛 = 0 e 𝑛 = 1, temos: 𝑎0[𝑠2− 𝜇2] = 0 (𝑛 = 0) (28) 𝑎1[1 + 2𝑠 + 𝑠2− 𝜇2] = 0 (𝑛 = 1) (29)

Para 𝑛 ≥ 2, 𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑠+2, pode ser reescrito como 𝑎𝑛−2𝑥(𝑛−2)+𝑠+2 = 𝑎𝑛−2𝑥𝑛+𝑠. Ent˜ao, tomando novamente os coeficientes de potˆencia mais baixa e igualando a zero, obtemos:

(𝑛 + 𝑠)(𝑛 + 𝑠 − 1)𝑎𝑛+ (𝑛 + 𝑠)𝑎𝑛+ 𝑎𝑛−2− 𝜇2𝑎𝑛 = 0, 𝑛 ≥ 2, (30) ou seja:

[(𝑛 + 𝑠)2− 𝜇2_]𝑎

𝑛+ 𝑎𝑛−2 = 0. (31)

Da equa¸c˜ao (28), temos que:

(𝑠 + 𝜇)(𝑠 − 𝜇) = 0 (32)

cujas ra´ızes s˜ao: 𝑠1 = 𝜇 e 𝑠2 = −𝜇.

Iremos determinar uma f´ormula de recorrˆencia para 𝑠1.

O termo 𝑎0 ´e arbitrariamente dado por:

𝑎0 =

1

(18)

A letra grega Γ representa uma fun¸cão Gama. Uma fun¸cão fatorial de um número real arbitr´ario e tem como uma de suas propriedade: Γ(𝐿 + 1) = 𝐿Γ(𝐿).

Da equa¸c˜ao (29), temos que 𝑎1 = 0 ou [1 + 2𝑠 + 𝑠2 − 𝜇2] = 0, como a segunda

proposi¸c˜ao n˜ao ´e verdadeira, conclu´ımos que, de fato, 𝑎1 = 0.

Para determinar os pr´oximos termos, usaremos a equa¸c˜ao (31) para 𝑠 = 𝜇, explici-tando 𝑎𝑛, obtendo:

𝑎𝑛 = −

𝑎𝑛−2

𝑛(𝑛 + 2𝜇), ∀𝑛 ≥ 2. (34)

Fazendo 𝑛 = 2𝑟, para garantir que 𝑛 − 2 ≥ 0, temos:

𝑎2𝑟 = −

𝑎2𝑟−2

22_{𝑟(𝑟 + 𝜇)} (35)

Observamos que, para 𝜇 n˜ao negativo, 𝑎1 = 0. Al´em disso, para n ´ımpar, temos

𝑎𝑛= 0 (𝑎1 = 𝑎3 = 𝑎5 = . . . = 𝑎2𝑖+1 = 0); ∀𝑖 ∈ N.

Vamos determinar a forma geral.

Fazendo 𝑟 = 1 e 𝑟 = 2 na equa¸c˜ao (35), temos:

𝑎2 = − 𝑎0 22_{(𝜇 + 1)} = − 1 22+𝜇_{1!Γ(𝜇 + 2)}, (36) 𝑎4 = − 𝑎2 22_{2(𝜇 + 2)} = 1 24+𝜇_{2!Γ(𝜇 + 3)}, (37) e de maneira geral: 𝑎2𝑟 = (−1)𝑟 22𝑟+𝜇_{𝑟!Γ(𝜇 + 𝑟 + 1)}. (38)

Substituindo os coeficientes em (21), temos a solu¸c˜ao, 𝐽𝜇 para a equa¸c˜ao de Bessel de primeira esp´ecie de ordem 𝜇:

𝐽𝜇(𝑥) = 𝑥𝜇

X

𝑛=0

(−1)𝑛𝑥2𝑛

22𝑛+𝜇_{𝑛!Γ(𝑛 + 𝜇 + 1)}, (39)

conhecida como fun¸c˜ao de Bessel de primeira esp´ecie.

(19)

A segunda raiz da equa¸c˜ao (32) ´e 𝑟2 = −𝜇. Logo, substituindo 𝜇 por −𝜇 em (39),

obtemos: 𝐽−𝜇(𝑥) = 𝑥−𝜇 ∞ X 𝑛=0 (−1)𝑛𝑥2𝑛 22𝑛−𝜇_{𝑛!Γ(𝑛 − 𝜇 + 1)} (40)

𝐽𝜇 e 𝐽−𝜇, sendo 𝜇 um inteiro, formam um sistema de solu¸c˜oes para a equa¸c˜ao (20).

A Figura 3, ilustra o comportamento desta fun¸c˜ao para valores inteiros e positivos de 𝜇.

Figura 3 – Fun¸c˜oes de Bessel de Primeira Esp´ecie para 𝜇 = 0,1,2,3,4

Fonte: (MATHWORKS, 1994a)

Vamos enunciar dois teoremas que indicam a necessidade de buscar mais uma solu¸c˜ao particular da equa¸c˜ao de Bessel.

Teorema 2.1 (Solu¸c˜ao Geral). Seja 𝑝 um inteiro, para 𝜇 ̸= 𝑝 a solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao de Bessel, para 𝑥 ̸= 0 ´e:

𝑦(𝑥) = 𝛼1𝐽𝜇+ 𝛼2𝐽−𝜇 𝛼1 𝛼2 ∈ R (41)

Teorema 2.2 (Dependˆencia Linear). Seja 𝑝 um inteiro para 𝜇 = 𝑝 as fun¸c˜oes 𝐽𝜇 e 𝐽−𝜇

s˜ao linearmente dependentes e

𝐽−𝑝 = (−1)𝑝𝐽𝑝 (42)

e, consequentemente, n˜ao formam uma solu¸c˜ao geral.

As demonstra¸c˜oes destes teoremas fogem ao objetivo central deste trabalho e s˜ao facilmente encontradas no Arfken e Weber (2001) e Butkov (1988).

(20)

2.5 Fun¸

c˜

ao de Bessel de Segunda Esp´

ecie

O teorema da Dependência Linear nos remete à necessidade de encontrar mais uma solu¸cão para compor um sistema fundamental de solu¸cões. Iniciemos com o caso em que

𝜇 = 0. A equa¸c˜ao de Bessel se reduz a:

𝑥𝑑

2_𝑦

𝑑𝑥2 +

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑥𝑦 = 0. (43)

As ra´ızes da equa¸cão indicial (32), para este caso, são iguais a zero e a solu¸cão para (43) é: 𝑦2(𝑥) = 𝐽0(𝑥) ln(𝑥) + ∞ X 𝑛=1 𝑎𝑛𝑥𝑛. (44) que é obtida em Arfken e Weber (2001), através da expressão:

𝑦2(𝑥) = 𝑦1(𝑥) Z 𝑥 𝑒𝑥𝑝 ï − Z 𝑥 𝑝(𝑥1)𝑑𝑥1 ò [𝑦1(𝑥2)]2 𝑑𝑥2 (45)

Ao substituirmos 𝑦2 e suas derivadas

𝑑𝑦2(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑑𝐽0(𝑥) 𝑑𝑥 ln (𝑥) + 𝐽0(𝑥) 𝑥 + ∞ X 𝑛=1 𝑛𝑎𝑛𝑥𝑛−1 (46) e 𝑑2𝑦2(𝑥) 𝑑𝑥2 = 𝑑2𝐽0(𝑥) 𝑑𝑥2 ln (𝑥) + 2 𝑥 𝑑𝐽0(𝑥) 𝑑𝑥 − 𝐽0(𝑥) 𝑥 + ∞ X 𝑛=1 𝑛(𝑛 − 1)𝑎𝑛𝑥𝑛−2 (47) em (43), temos que os termos que possuem logaritmo nas equa¸c˜oes (46) e (47) se anulam, uma vez que 𝐽0 ´e solu¸c˜ao de (43). Os outros dois termos contendo 𝐽0 tem sinais opostos.

Sendo assim, obtemos:

2𝑑𝐽0(𝑥) 𝑑𝑥 + ∞ X 𝑛=1 𝑛(𝑛 − 1)𝑎𝑛𝑥𝑛−1+ ∞ X 𝑛=1 𝑛𝑎𝑛𝑥𝑛−1+ ∞ X 𝑛=1 𝑎𝑛𝑥𝑛+1 = 0. (48)

Derivando 𝐽𝜇 na equa¸c˜ao (39) e fazendo 𝜇 = 0, obt´em-se:

𝑑𝐽0(𝑥) 𝑑𝑥 = ∞ X 𝑛=1 (−1)𝑛_2𝑛𝑥2𝑛−1 22𝑛_(𝑛!)2 = ∞ X 𝑛=1 (−1)𝑛_𝑥2𝑛−1 22𝑛−1_{𝑛!(𝑛 − 1)!} (49) Substituindo (49) em (43), temos: ∞ X 𝑛=1 (−1)𝑛_𝑥2𝑛−1 22𝑛−2_{𝑛!(𝑛 − 1)!} + ∞ X 𝑛=1 𝑛2𝑎𝑛𝑥𝑛−1+ ∞ X 𝑛=1 𝑎𝑛𝑥𝑛+1= 0. (50)

(21)

Segue que o coeficiente de 𝑥0 _´_{e 𝑎}

1 = 0. Igualando a soma dos coeficientes de 𝑥2𝑛 a

zero, obtemos:

(2𝑛 + 1)2𝑎2𝑛+1+ 𝑎2𝑛−1 = 0, 𝑛 = 1, 2, . . . (51)

Como 𝑎1 = 0, temos que 𝑎3 = 𝑎5 = . . . = 0. Igualando a soma dos coeficientes de

𝑥2𝑛+1 _{a zero, obtemos:} −1 + 4𝑎2 = 0 (𝑛 = 0) (52) (−10𝑛+1₎ 22𝑛_{(𝑛 + 1)!𝑛!}+ (2𝑛 + 2) 2 𝑎2𝑛+2+ 𝑎2𝑛= 0 (𝑛 = 1, 2, . . .) (53) Assim, para: 1. 𝑛 = 0, temos 𝑎2 = 1 4 2. 𝑛 = 1, temos 𝑎4 = − 3 128 Generalizando, 𝑎2𝑛 = (−1)𝑚−1 22𝑚_(𝑚!)2 Å 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 𝑚 ã (54) Fazendo ℎ𝑛 = 1 + 1 2+ 1 3+ . . . + 1 𝑛 e substituindo em (43), obtemos: 𝑦2(𝑥) = 𝐽0ln(𝑥) + ∞ X 𝑛=1 (−1)𝑛−1ℎ𝑛 22𝑛_(𝑛!)2 𝑥 2𝑛_. ₍₅₅₎

Constitu´ımos, assim, um sistema fundamental de solu¸c˜oes para (43), uma vez que

𝐽0 e 𝑦2 s˜ao fun¸c˜oes linearmente independentes.

Podemos, naturalmente, substituir 𝑦2 pela solu¸c˜ao 𝑎(𝑦2+ 𝑏𝐽0), em que 𝑎 ̸= 0 e 𝑏

s˜ao duas constantes. Faz-se, comumente, 𝑎 = 2

𝜋 e 𝑏 = 0, 577¯2 − ln(2), em que 𝛾 = 0, 577¯2

´

e conhecida como a constante de Euler, obtida de lim

𝑛→∞ℎ𝑛− ln(𝑛). 𝑌0(𝑥) = 2 𝜋 " 𝐽0(𝑥) Å ln Å_𝑥 2 ã + 𝛾 ã + ∞ X 𝑛=1 (−1)𝑛−1_ℎ 𝑛 22𝑛_(𝑛!)2 𝑥 2 𝑛 # (56)

A solu¸cão (56), assim obtida, é conhecida como fun¸cão de Bessel de segunda espécie e de ordem zero ou fun¸cão de Newmann de ordem zero.

A Figura 4, mostra o comportamento das fun¸cões de Bessel de segunda espécie. O amortecimento é uma caracter´ıstica das fun¸c˜oes de Bessel, para os valores de 𝜇 de um a quatro, este comportamento está representado.

(22)

Cap´ıtulo 2. Desenvolvimento Te´orico 12 Figura 4 – Fun¸c˜oes de Bessel de Segunda Esp´ecie para 𝜇 = 0,1,2,3,4

Fonte: (MATHWORKS, 1994b)

(23)

13

3 Aplica¸c˜

ao

3.1 Problema Proposto

Precisou-se determinar a distribui¸cão de temperatura em uma tubula¸cão cil´ındrica que transporta um fluido entre dois reservatórios, Figura 5. Considerou-se que a tubula¸cão foi dimensionada com raio interno 𝑎, raio externo 𝑏 e em material condutor (difusividade 𝛼). A temperatura na superf´ıcie interna do duto é 0 ∘C e a externa é 100 ∘C. Desenvolvemos uma equa¸cão que determina a temperatura para um raio qualquer em um dado instante de tempo.

Figura 5 – Seçcão Transversão da Tubula¸cão.

Fonte: Mushref et al. (2010)

Considerando que o problema apresentou simetria cil´ındrica, precisou-se de uma fun¸c˜ao 𝜃 dependente do raio 𝑟, de ˆangulo 𝜑, da cota 𝑧 e do tempo 𝑡, ent˜ao 𝜃(𝑟, 𝜑, 𝑧, 𝑡).

(24)

Cap´ıtulo 3. Aplica¸c˜ao 14

(18) para esse problema: 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 Ç 𝑘𝑟𝜕𝜃 𝜕𝑟 å + 1 𝑟2 𝜕 𝜕𝜑 Ç 𝑘𝜕𝜃 𝜕𝜑 å + 𝜕 𝜕𝑧 Ç 𝑘𝜕𝜃 𝜕𝑧 å + ˙𝑞 = 𝜌𝑐𝑝 𝜕𝜃 𝜕𝑡 (57)

Pela geometria do problema, pôde-se assumir que a temperatura n˜ao varia com 𝜑 ou 𝑧. Assumiu-se tamb´em, que não existe fonte de gera¸cão de calor no interior do duto e o material é isotrópico. Aplicando estas considera¸cões na equa¸cão (57), obtemos:

1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 Ç 𝑘𝑟𝜕𝜃 𝜕𝑟 å − 𝜌𝑐𝑝 𝜕𝜃 𝜕𝑡 = 0 (58) Explicitando 𝜕𝜃 𝜕𝑡 temos: 𝜕𝜃 𝜕𝑡 = 𝑘 𝜌𝑐𝑃 ñ 1 𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝑟 + 𝜕2_𝜃 𝜕𝑟2 ô (59) A solu¸cão para a equa¸cão (59) pôde ser escrita como a combina¸cão da solu¸cão homogênea e da solu¸cão particular.

𝜃(𝑟, 𝑡) = 𝜃0(𝑟, 𝑡) + 𝜃100 (60)

Solu¸

c˜

ao Homogˆ

enea

Utilizou-se o método de separa¸cão de variáveis para encontrar uma solu¸cão para (59). Fa¸camos 𝜃 o produto de duas fun¸cões, 𝑇 e 𝑅, onde 𝑇 depende apenas do tempo 𝑡 e

𝑅 depende apenas do raio 𝑟.

𝜃 = 𝑅(𝑟)𝑇 (𝑡). (61) A derivada da equa¸c˜ao (61), com respeito a 𝑟 ´e:

𝜕𝜃 𝜕𝑟 = 𝑇

𝑑𝑅

𝑑𝑟 (62)

e a segunda derivada de 𝜃 com respeito `a 𝑟 ´e:

𝜕2𝜃 𝜕𝑟2 = 𝑇

𝑑2𝑅

𝑑𝑟2 . (63)

A derivada da equa¸c˜ao (61), com respeito a 𝑡 ´e:

𝜕𝜃 𝜕𝑡 = 𝑅

𝑑𝑇

(25)

Substituindo as equa¸cões parciais na equa¸cão (59) e separando as variáveis, obtemos: 1 𝑇 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = 𝛼 𝑅 ñ 1 𝑟 𝑑𝑅 𝑑𝑟 + 𝑑2𝑅 𝑑𝑟2 ô (65) onde 𝛼 = 𝑘 𝜌𝑐𝑃

que ´e a difusividade t´ermica do material.

O primeiro membro da equa¸c˜ao (65) depende, apenas, de 𝑡 e o segundo membro, apenas de 𝑟. Ent˜ao, podemos considerar:

1 𝛼𝑇 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = 1 𝑅 ñ 1 𝑟 𝑑𝑅 𝑑𝑟 + 𝑑2_𝑅 𝑑𝑟2 ô = −𝜆2 (66) logo, temos: 1 𝛼𝑇 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = −𝜆 2 ₍₆₇₎ e ñ 1 𝑟 𝑑𝑅 𝑑𝑟 + 𝑑2𝑅 𝑑𝑟2 ô = −𝜆2. (68)

A equa¸c˜ao (67) tem solu¸c˜ao trivial dada por:

𝑇 (𝑡) = 𝑐1𝑒−𝛼𝜆𝑡 (69)

A expressão (68) é uma equa¸cão diferencial de Bessel, que pode ser reescrita como:

𝑟2𝑑 2_𝑅 𝑑𝑟2 + 𝑟 𝑑𝑅 𝑑𝑅 + (𝑟 2_𝜆2_{)𝑦 = 0} _{(𝜇 = 0)} ₍₇₀₎ cuja solu¸cão é 𝑅(𝑟) = 𝐴1𝐽0(𝜆𝑟) + 𝐵1𝑌0(𝜆𝑟) (71) Da equa¸cão (61), temos: 𝜃(𝑟, 𝑡) =X 𝜆 𝑐1𝑒−𝛼𝜆𝑡[𝐴1𝐽0(𝜆𝑟) + 𝐵1𝑌0(𝜆𝑟)] (72)

Precisa-se determinar, ent˜ao, as constantes 𝑐1, 𝐴1 e 𝐵1. Para isso, utiliza-se as

condi¸c˜oes de contorno.

𝜃(𝑎, 𝑡) = 0∘C (73)

𝜃(𝑏, 𝑡) = 100∘C (74)

(26)

temos, ent˜ao:

𝐴1𝐽0(𝜆𝑎) + 𝐵1𝑌0(𝜆𝑎) = 0 (76) 𝐴1𝐽0(𝜆𝑏) + 𝐵1𝑌0(𝜆𝑏) = 0. (77) de (76), tem-se: 𝐵1 = − 𝐴1𝐽0(𝜆𝑎) 𝑌0(𝜆𝑎) . (78) Substituindo 𝐵1 em (76): 𝐽0(𝜆𝑎)𝑌0(𝜆𝑏) − 𝐽0(𝜆𝑏)𝑌0(𝜆𝑎) = 0. (79)

A Figura 6 apresenta o comportamento da equa¸c˜ao (79) para os valores de raio [0.65, 2.5] e [0.65, 5.0] em rela¸c˜ao a 𝜆.

Figura 6 – Comportamento da Equa¸c˜ao 79 em Rela¸c˜ao a 𝜆.

Fonte: Mushref et al. (2010)

Da´ı, (72) pode ser reescrita como:

𝜃(𝑟, 𝑡) =X

𝜆

(27)

Para determinar 𝑐1, faz-se 𝑐1 = 𝑐𝑛 e 𝜆 = 𝜆𝑛, mantendo coerente o método da separa¸cão da variáveis. No intuito de simplificar a escrita, fa¸camos:

𝜃0(𝜆𝑛𝑟) = 𝐽0(𝜆𝑟)𝑌0(𝜆𝑎) − 𝐽0(𝜆𝑎)𝑌0(𝜆𝑟), (81)

em que o ´ındice zero indica a ordem das fun¸c˜oes de Bessel. Tem-se, ent˜ao:

𝜃(𝑟, 𝑡) =

∞

X

𝑛=1

𝑐𝑛𝑒−𝛼𝜆𝑛𝑡𝜃0(𝜆𝑟) (82)

Fazendo 𝑡 = 0 e aplicando a condi¸c˜ao de contorno 𝜃(𝑟, 0) = 𝑓 (𝑟) em (82), temos:

𝑓 (𝑟) =

∞

X

𝑛=1

𝑐𝑛𝜃0(𝜆𝑛𝑟) (83) A fun¸c˜ao 𝑓 (𝑟) ´e uma s´erie de Fourier-Bessel e, para calcular a constante 𝑐𝑛, utiliza-se a rela¸c˜ao a seguir, obtida no livro Bowman (2012).

𝑐𝑛 = 2 Z 𝑏 𝑎 𝑟[𝜃𝜇+1(𝜆𝑛𝑟)]2𝑑𝑟 Z 𝑏 𝑎 𝑟𝑓 (𝑟)𝜃0(𝜆𝑛𝑟)𝑑𝑟 (84)

que decorre de:

||𝜃𝜇||2 = 𝜃𝜇· 𝜃𝜇= Z 𝑏 𝑎 𝑟[𝜃𝜇(𝜆𝑛𝑟)]2𝑑𝑟 (85) 𝑐𝑛= Z 𝑏 𝑎 𝑟𝑓 (𝑟)𝜃0(𝜆𝑛𝑟)𝑑𝑟 Z 𝑏 𝑎 𝑟[𝜃0(𝜆𝑛𝑟)]2𝑑𝑟 (86)

Logo, a solu¸cão homogênea é dada por:

𝜃(𝑟, 𝑡) = ∞ X 𝑛=1 á Z 𝑏 𝑎 𝑟𝑓 (𝑟)𝜃0(𝜆𝑛𝑟)𝑑𝑟 Z 𝑏 𝑎 𝑟[𝜃0(𝜆𝑛𝑟)]2𝑑𝑟 ë 𝑒−𝛼𝜆𝑛𝑡_𝜃 0(𝜆𝑛𝑟) (87)

Solu¸

c˜

ao Particular

A solu¸c˜ao particular foi determinada a partir do regime permanente

Ç

𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 0

å

. Fazendo essa considera¸c˜ao na equa¸c˜ao (59), obtemos:

0 = 𝛼 Ç 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 Ç 𝑟𝜕𝜃 𝜕𝑟 åå (88)

Observou-se que na equa¸cão (88) a temperatura não varia com o tempo. Então, tem-se uma equa¸cão ordinária,

𝑑 𝑑𝑟 Ç 𝑟𝑑𝜃 𝑑𝑟 å = 0 (89)

(28)

de solu¸c˜ao, trivial.

𝑟𝑑𝜃

𝑑𝑟 = 𝑐1. (90)

o raio ´e, obviamente, maior que zero.

Podemos escrever a solu¸c˜ao da seguinte maneira:

𝜃100 = 𝑐1ln(𝑐2𝑟). (91)

Aplicando as condi¸c˜oes de contorno: 𝜃100(𝑎) = 0∘C e 𝜃100(𝑏) = 100∘C,

0 = 𝑐1ln(𝑐2𝑎) (92) ou 𝑐2𝑎 = 1 ∴ 𝑐2 = 1 𝑎. (93) Tem-se, ainda: 100 = 𝑐1ln Ç 𝑏 𝑎 å ∴ 𝑐1 = 100 ln Ç 𝑏 𝑎 å. (94) Substituindo 𝑐1 e 𝑐2 em (91), temos: 𝜃100(𝑟) = 100 ln Ç 𝑏 𝑎 åln Å𝑟 𝑎 ã (95)

que ´e a solu¸c˜ao particular.

Obtêm-se a solu¸cão geral substituindo as equa¸cões (87) e (95) na equa¸cão (60):

𝜃(𝑟, 𝑡) = 100 ln Ç 𝑏 𝑎 åln Å𝑟 𝑎 ã + ∞ X 𝑛=1 R𝑏 𝑎𝑟𝑓 (𝑟)𝜃0(𝜆𝑛𝑟)𝑑𝑟 R𝑏 𝑎𝑟[𝜃0(𝜆𝑛𝑟)]2𝑑𝑟 ! 𝑒−𝛼𝜆𝑛𝑡_𝜃 0(𝜆𝑛𝑟) (96)

onde 𝜃(𝑟, 𝑡) ´e uma fun¸c˜ao que possibilita calcular a temperatura para um dado raio em um determinado tempo, para as condi¸c˜oes de contorno apresentadas pelo problema proposto.

(29)

19

4 Considera¸c˜

oes Finais

As fun¸cões de Bessel podem ser aplicadas para determinar solu¸cões de problemas f´ısicos que envolvem sistemas em coordenadas cil´ındricas. Tais problemas são comumente encontradas em aplica¸cões práticas nas engenharias. A equa¸cão (96) é solu¸cão anal´ıtica para o problema apresentado, pode ser aplicada para determinar a temperatura para um instante de tempo arbitrário e um dado raio.

Existem algumas limita¸cões para a sua aplica¸cão. O duto deve esta imerso em um fluido com temperatura homogênea, uma vez que na simplifica¸cão da equa¸cão (58) não foram consideradas varia¸cão radiais e de cota.

Caso o objetivo seja comparar qual material é mais adequado para determinado uso, deve-se evitar arbitrar valores muito altos para o tempo, uma vez que, a solu¸cão homogênea tende para zero quando o tempo tende para o infinito e, dessa maneira, a equa¸cão (96) se aproxima da solu¸cão particular (95) que não depende da difusividade do material.

Um poss´ıvel trabalho futuro é o estudo de métodos para plotar a equa¸cão (96) e fazer a análises referentes ao material utilizado na constru¸cão do duto. Pode-se, também, desenvolver a solu¸cão numérica, através de cálculo computacional e fazer compara¸cões com a solu¸cão anal´ıtica.

(30)

20

Referˆencias

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MUSHREF, M. A. et al. Fourier-bessel expansions with arbitrary radial boundaries. Applied Mathematics, Scientific Research Publishing, v. 1, n. 01, p. 18, 2010. SILVA, C. R. S. Desenvolvimento de formula¸cões de elementos finitos para problemas de transferência de calor. Disserta¸cão (Mestrado), 2014. Dispon´ıvel em: