2036 39.2 Operadores Limitados em Espa¸cos de Hilbert

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Cap´ıtulo 39

Operadores Lineares Limitados em Espa¸cos de Banach e de Hilbert

Conte´udo

39.1 Operadores Lineares em Espa¸cos Vetoriais Normados . . . 2018

39.1.1 Espa¸cos de Banach de Operadores . . . 2022

39.1.2 O Dual Topol´ogico de um Espa¸co de Banach . . . 2026

39.1.3 O Teorema de Hahn-Banach e Algumas Consequˆencias do Mesmo . . . 2030

39.1.4 O Teorema de Banach-Steinhaus ou Princ´ıpio de Limita¸c˜ao Uniforme . . . 2035

39.1.5 O Teorema da Aplica¸c˜ao Aberta e o Teorema do Gr´afico Fechado . . . 2036

39.2 Operadores Limitados em Espa¸cos de Hilbert . . . 2043

39.2.1 A No¸c˜ao de Operador Adjunto em Espa¸cos de Hilbert . . . 2044

39.2.2 Operadores Autoadjuntos, Normais, Unit´arios, Projetores Ortogonais e Isometrias Parciais . . 2047

39.3 Rudimentos da Teoria das ´Algebras de Banach e ´AlgebrasC^∗ . . . 2056

39.3.1 Algebras de Banach . . . 2056´

39.3.2 Alguns Fatos Estruturais sobre ´Algebras C^∗ . . . 2059

39.3.2.1 ´Algebras com Involu¸c˜ao e a Unidade . . . 2059

39.3.3 A Inversa de Operadores Limitados . . . 2063

39.3.4 O Espectro de Operadores em ´Algebras de Banach . . . 2067

39.3.5 O Operador Resolvente e Propriedades Topol´ogicas do Espectro . . . 2069

39.3.5.1 O Teorema da Aplica¸c˜ao Espectral . . . 2072

39.3.6 O Raio Espectral . . . 2073

39.3.7 O Homomorfismo de Gelfand em ´Algebras C^∗ . . . 2077

39.3.8 Ra´ızes Quadradas de Operadores em ´Algebras de Banach . . . 2079

39.3.9 Elementos Positivos de ´Algebras C^∗. . . 2081

39.3.9.1 Rela¸c˜ao de Ordem Decorrente da Positividade em ´Algebras C^∗ . . . 2085

39.3.10 Aproximantes da Unidade em ´Algebras C^∗ . . . 2087

39.3.10.1 Cosets por Bi-Ideais em ´Algebras C^∗. . . 2089

39.4 Algebras de von Neumann. Um M´´ ınimo . . . 2094

39.4.1 O Teorema do Bicomutante . . . 2095

39.5 Um Pouco sobre Estados e Representa¸c˜oes de ´AlgebrasC^∗. . . 2098

39.5.1 Morfismos Entre ´Algebras C^∗ . . . 2098

39.5.2 Representa¸c˜oes de ´Algebras C^∗ . . . 2101

39.5.2.1 Estados em ´Algebras C^∗e a Representa¸c˜ao GNS . . . 2102

39.5.2.2 Estados Puros, de Mistura e a Irredutibilidade de Representa¸c˜oes GNS . . . 2108

39.5.3 Exemplos em ´Algebras de Matrizes. Constru¸c˜ao GNS. Estados Puros e a Entropia de von Neumann . . . 2111

39.5.3.1 A Entropia de von Neumann . . . 2115

39.5.3.2 A Constru¸c˜ao GNS em Mat (C, n) . . . 2119

39.6 O Espectro de Operadores em Espa¸cos de Banach . . . 2121

39.6.1 O Espectro de Operadores Limitados em Espa¸cos de Hilbert . . . 2125

39.6.2 Espectro em Espa¸cos de Banach. Alguns Exemplos e Contraexemplos . . . 2126

39.7 O Lema da Raiz Quadrada em Espa¸cos de Hilbert . . . 2131

39.7.1 A Decomposi¸c˜ao Polar de Operadores Limitados em Espa¸cos de Hilbert . . . 2136

39.8 Operadores Compactos em Espa¸cos de Banach e de Hilbert . . . 2138

39.8.1 Alguns Fatos Gerais Sobre o Espectro de Operadores Compactos . . . 2147

39.8.1.1 O Teorema da Alternativa de Fredholm . . . 2149

39.8.2 O Teorema Espectral para Operadores Compactos Autoadjuntos . . . 2155

2016 39.9 O Teorema Espectral para Operadores Limitados Autoadjuntos em Espa¸cos de Hilbert 2161 39.9.1 O C´alculo Funcional Cont´ınuo e o Homomorfismo de Gelfand . . . 2161

39.9.2 Generalizando o C´alculo Funcional Cont´ınuo. As Medidas Espectrais . . . 2163

39.9.3 Medidas com Valores em Proje¸c˜oes Ortogonais . . . 2170

39.9.4 Os Projetores Espectrais e o Teorema Espectral . . . 2174

39.10 Operadores Tipo Tra¸co e de Hilbert-Schmidt . . . 2177

39.10.1 Operadores Tipo Tra¸co, ou Traciais . . . 2179

39.10.1.1 O Tra¸co de um Operador Tracial . . . 2183

39.10.2 Operadores de Hilbert-Schmidt . . . 2186

39.10.3 Operadores Traciais e de Hilbert-Schmidt e os Operadores Compactos . . . 2193

39.10.4 Operadores de Hilbert-Schmidt e Operadores Integrais . . . 2195

39.10.5 O Teorema de Lidskii. Tra¸co e Espectro de Operadores Traciais . . . 2198

39.11 O Tra¸co Parcial . . . 2199

AP ˆENDICES . . . 2203

39.A Prova do Teorema 39.19 . . . 2203

39.B Um Lema Sobre Espa¸cos Normados Devido a F. Riesz . . . 2205

E^stecap´ıtulo tenciona ser uma introdu¸cão à teoria dos operadores lineares limitados (cont´ınuos) em espa¸cos de Banach e de Hilbert, assim como à teoria das álgebras de Banach e C^∗. O assunto é de central importância em várias áreas da F´ısica e da Matemática, desde a Mecânica Quântica e a Teoria Quântica de Campos até a Teoria das Equa¸cões a Derivadas Parciais e a Mecânica Estat´ıstica. O Cap´ıtulo 40, página 2207, é dedicado à teoria dos operadores não-limitados em espa¸cos de Hilbert.

Na Se¸cão 39.1 apresentamos no¸cões básicas e demonstramos uma série de teoremas de importância fundamental para toda a teoria de operadores em espa¸cos de Banach e de Hilbert: o Teorema BLT, o Teorema de Hahn-Banach, o Teorema de Banach-Steinhaus, o Teorema da Aplica¸cão Aberta, o Teorema da Aplica¸cão Inversa e o Teorema do Gráfico Fechado.

Na Se¸cão 39.2 estudamos a teoria básica de operadores em espa¸cos de Hilbert. A Se¸cão 39.3 é uma introdu¸cão às álgebras de Banach e às álgebras C^∗, com uma certa ênfase na teoria espectral dessas álgebras. Na Se¸cão 39.5 desenvolvemos um pouco mais a teoria das álgebras C^∗e discutimos sua rela¸cão com álgebras de operadores em espa¸cos de Hilbert. Na Se¸cão 39.6 especializamos a teoria espectral para o contexto de operadores limitados agindo em espa¸cos de Banach e de Hilbert. Na Se¸cão 39.8 desenvolvemos a teoria dos operadores compactos em espa¸cos de Banach e de Hilbert e obtemos resultados gerais sobre o espectro de tais operadores, o Teorema da Alternativa e Fredholm o Teorema Espectral para operadores compactos autoadjuntos em espa¸cos de Hilbert e generaliza¸cões. A Se¸cão 39.9 é dedicada à demonstra¸cão do Teorema Espectral para operadores limitados autoadjuntos agindo em espa¸cos de Hilbert. A Se¸cão 46.3, página 2508, discute a relevância desse teorema para a F´ısica Quântica. A Se¸cão 39.10 introduz as no¸cões de operador tracial e de Hilbert-Schmidt em espa¸cos de Hilbert separáveis, assim como a no¸cão de tra¸co de operadores traciais. Diversas propriedades e desigualdades são obtidas.

H´a uma grande quantidade de livros-textos dedicados aos temas aqui desenvolvidos. Uma lista muito limitada inclui as referˆencias [11], [14], [19], [61]–[62], [91], [95], [99], [100], [105], [51], [174], [296], [189], [209]–[212], [214], [232], [291], [315], [321], [328], [355], [385] e [429].

•Operadores lineares

Umoperador linearT: Dom(T)→Wé uma aplica¸cão entre um espa¸co vetorial¹Dom(T) (o dom´ınio de defini¸cão de T) com valores em um espa¸co vetorialWtal que, para todoα, β∈Ce todou, v∈Dom(T) tem-se

T(αu+βv) = αT(u) +βT(v).

Note-se que isso, em particular, implicaT(0) = 0. Como neste cap´ıtulo só falaremos de operadores lineares, vamos frequentemente omitir o qualificativo “linear” e falar apenas emoperadores. Operadores lineares são também denominados

“transforma¸c˜oes lineares” ou “aplica¸c˜oes lineares”.

1Daqui por diante sempre trataremos de espa¸cos vetoriais sobre o corpo dos complexos.

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Nota¸cão.Na teoria dos operadores lineares em espa¸cos vetoriais é costume denotar-seT(u) simplesmente porT u. ◭ Em muitas circunstâncias Dom(T) é um subespa¸co linear de um outro espa¸co vetorialVe existe interesse em estudar extensões lineares deTa outros subespa¸cos deV. É importante ao estudante mentalizar desde o inicio que a especifica¸cão de um dom´ınio é parte integrante da defini¸cão de um operador e que propriedades do mesmo dependem intrinsecamente de propriedades de seu dom´ınio. Tal fato é de crucial relevância para o caso de operadores não-cont´ınuos em espa¸cos vetoriais topológicos (vide, por exemplo, Cap´ıtulo 40, página 2207, para o tratamento de operadores lineares não cont´ınuos em espa¸cos de Hilbert).

Na literatura, o conjunto imagem Im(T)⊂Wde um operador linearT : Dom(T)→W, é mais frequentemente denotada por Ran (T) (nota¸cão essa que usaremos com maior frequência nestas notas), ou porR(T), ou ainda mesmo porRT. Aqui, o s´ımbolo Ran provém de “range” (“alcance”). O dom´ınio de defini¸cão deTé também mais frequentemente denotado porD(T) (nota¸cão essa que usaremos com maior frequência nestas notas) ou mesmo porDT.

Nomenclatura.SeT:V→W, comD(T) =V, ´e um operador entre espa¸cos vetoriaisVeW´e comum dizer-se queT age entreVeW.

Neste cap´ıtulo iremos nos dedicar ao estudo de propriedades básicas de operadores lineares em espa¸cos de Hilbert², especificamente, dos chamados operadores limitados. Algumas dessas propriedades podem ser estudadas em um contexto mais geral como propriedades de operadores lineares em espa¸cos vetoriais normados ou em espa¸cos de Banach³, sem referência a propriedades espec´ıficas de espa¸cos de Hilbert, ou com mais generalidade ainda, no contexto de álgebras normadas, como álgebras de Banach e álgebras C^∗, objetos que definiremos e estudaremos no momento apropriado.

O estudo de aplica¸cões lineares entre espa¸cos vetoriais é de grande importância em Matemática e na F´ısica, em especial na F´ısica Quântica. O maior papel, porém, é seguramente desempenhado pelas aplica¸cões lineares entre espa¸cos normados, das quais falaremos agora.

39.1 Operadores Lineares em Espa¸cos Vetoriais Normados

SejamVeWdois espa¸cos vetoriais normados, cujas normas ser˜ao denotadas pork · k^Vek · k^W, respectivamente. Por exemploVeWpodem ser dois espa¸cos de Banach ou de Hilbert, mas por ora n˜ao vamos requerer nada sobre a completeza dos mesmos.

Um dos problemas básicos da teoria dos operadores lineares entre espa¸cos vetoriais normados é classificá-los de acordo com caracter´ısticas que permitam associar-lhes propriedades comuns. Veremos várias dessas classifica¸cões ao longo destas notas, a mais básica, da qual trataremos a seguir, sendo a continuidade. Outras classifica¸cões que veremos, em particular no contexto de espa¸cos de Hilbert, são a classifica¸cão de operadores em limitados ou não-limitados, fechados ou não- fechados, de fecháveis ou não-fecháveis, de operadores autoadjuntos ou não autoadjuntos, de operadores compactos ou não etc.

Os exemplos mais bem conhecidos de operadores são as matrizes, que são operadores entre espa¸cos de dimensão finita comoV=CⁿeW=C^m. Acreditamos que os estudantes destas notas já tenham no¸cões bem definidas sobre matrizes mas, apesar disso, ou mesmo por isso, vale advertir que iremos aqui desenvolver a teoria de operadores entre espa¸cos vetoriais normados gerais, mesmo de dimensão infinitas e, por isso, muito da intui¸cão que desenvolvemos sobre matrizes não é mais válida. Por exemplo, matrizes agindo entreCⁿeC^m(com as normas usuais) são sempre operadores cont´ınuos, um fato não mais necessariamente verdadeiro para operadores lineares entre espa¸cos vetoriais normados de dimensão infinita. Tal é a origem de boa parte da dificuldades no estudo de operadores lineares agindo entre espa¸cos vetoriais normados em geral.

•Operadores cont´ınuos

SeVeWsão dois espa¸cos vetoriais normados ambos são espa¸cos métricos com a métrica definida por suas normas e, portanto, são espa¸cos topológicos métricos. Consequentemente, ao falarmos de fun¸cões entreVeWcoloca-se a questão da continuidade dessas fun¸cões como fun¸cões entre dois espa¸cos topológicos métricos. Essa questão é de grande relevância, pois em espa¸cos vetoriais de dimensão infinita é muito frequente o aparecimento de operadores lineares não-cont´ınuos.

De fato, na Mecânica Quântica, por exemplo, quase todos os operadores com os quais tipicamente lidamos, como os operadores de posi¸cão e de momento, não são cont´ınuos. O ponto é que, como veremos, operadores não-cont´ınuos podem

2David Hilbert (1862–1943).

3Stefan Banach (1892–1945).

ter propriedades drasticamente diferentes das de operadores cont´ınuos.

ComoVeWsão dois espa¸cos métricos, valem as defini¸cões usuais de continuidade em espa¸cos métricos. Assim, dizemos que um operadorT:V→Wé cont´ınuo se

T

n→∞limxn

= lim

n→∞T xn

para qualquer sequˆencia convergente{xn}n∈NemV. Note que, na ´ultima igualdade, o limite do lado esquerdo refere-se

`

a topologia deVenquanto que o limite do lado direito refere-se `a topologia deW.

Equivalentemente (vide discussão à página 1444) um operadorT:V→Wé cont´ınuo se para todoǫ >0 e todou∈V existirδ(ǫ)≡δ >0 (eventualmente dependente deǫ) tal quekT u−T vk^W≤ǫsempre quevfor tal queku−vk^V≤δ.

δpode ser escolhido independente deudevido ao fato deTser linear e cont´ınuo em 0. De fato, porTser cont´ınuo em 0, para todoǫ >0 existeδ(ǫ,0)≡δ(ǫ) tal quekT vk^W≤ǫsempre quekvk^V≤δ(ǫ). Segue disso que, parauarbitrário, kT u−T vkW=kT(u−v)kW≤ǫsempre queku−vkV≤δ(ǫ). O que isso está afirmando é que seTé linear e cont´ınuo, entãoTé igualmente uniformemente cont´ınuo.

Adiante (vide por exemplo, página 2020) veremos exemplos de operadores não-cont´ınuos. Passemos primeiro a uma defini¸cão igualmente importante e que se mostrará equivalente à de continuidade.

•Operadores limitados

De grande importância é também a seguinte defini¸cão. Um operadorT:V→Wé dito ser umoperador limitadose existir uma constanteM >0 tal que para todou∈Vtem-se

kT ukW≤ MkukV. Note-se que a constanteMacima deve ser a mesma para todou.

A seguinte proposi¸c˜ao tem importˆancia fundamental:

Proposi¸c˜ao 39.1Um operador linearTagindo entre dois espa¸cos vetoriais normadosVeW´e limitado se e somente

ser for cont´ınuo. 2

Prova.SejaTlimitado, ou seja, tal que existeM >0 satisfazendokT uk^W≤Mkuk^Vpara todou∈V. Sejaǫum número positivo arbitrário e sejamuevdois vetores deVtais queku−vk^V≤ǫ/M. Então,

kT u−T vk^W = T(u−v)

W ≤ Mku−vk^V ≤ M ǫ M = ǫ . Assim, adotando-seδ=ǫ/Mvemos queTsatisfaz a defini¸c˜ao de continuidade.

Provemos a rec´ıproca. SejaT cont´ınuo. Ent˜ao, vale que para todoǫ≥ 0 e todou∈V existeδ >0 tal que kT u−T vkW≤ǫsempre quevfor tal queku−vkV≤δ. Tomemosu= 0 e fixemos umǫ. Temos portanto que

kT vkW≤ǫ

sempre quekvk^V≤δ. Lembremos que a constanteδindepende deve que sempre podemos escolherδ >0.

Seja, então,uum vetor não-nulo arbitrário deVe seja v = δ

kukV

u

´e claro que

kvkV = δ

kuk^Vu

V

= δ

kuk^VkukV = δ . Portanto, para essevvalekT vkW≤ǫe, ent˜ao

δ

kuk^VkT uk^W = T

δ kuk^Vu

W

= kT vk^W ≤ ǫ ,

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ou seja,

kT ukW ≤ ǫ δkukV.

DefinindoM:=ǫ/δ, mostramos, então, quekT uk^W≤Mkuk^Vpara todou6= 0. Parau= 0 essa rela¸cão é trivialmente satisfeita e, portanto, vale para todou∈V, mostrando queTé limitado.

•Exemplo de operador n˜ao-limitado. O funcional delta de Dirac

Vamos a um exemplo de um operador agindo entre dois espa¸cos vetoriais normados e que não é limitado e, portanto, não é cont´ınuo.

SejaV=C[−1,1],C

, o conjunto de todas as fun¸c˜oes cont´ınuas no intervalo [−1,1]⊂Rcom valores complexos e adotemos como norma emVa normaL²:

kfkV = Z1

−1|f(x)|²dx 1/2

, f∈C([−1,1],C). SejaW=Ce adotemos emWa norma usual

kzkW = |z|, z∈C. SejaT0:V→Wo seguinte operador linear:

T0f = f(0),

que associa a cada fun¸cãof∈C([−1, 1], C) o seu valor no ponto 0. T0é denominado funcional delta de Dirac. É elementar mostrar queT0é linear. Mostremos queT0, porém, não pode ser cont´ınuo.

Para isso, sejag(x) uma fun¸c˜ao deC([−1,1],C) com a propriedade queg(−1) =g(1) = 0 e queg(0)6= 0. Para n∈Ndefina

un(x) =









g(nx), parax∈[−1/n,1/n], 0, de outra forma.

Comogfoi escolhida de modo queg(−1) =g(1) = 0, é fácil verificar queun∈C([−1,1],C) (por quê?).

Temos que

kunkV =

" Z1/n

−1/n|g(nx)|²dx

#1/2

= 1

√n Z1

−1|g(x)|²dx 1/2

e, portanto,kunk^V→0 quandon→ ∞.

Por outro ladoT0un=un(0) =g(0)6= 0 ´e constante, ou seja, n˜ao depende den. Assim, temos que T0

n→∞limun

= T00 = 0, mas

n→∞limT0un = g(0) 6= 0, o que mostra queT0n˜ao pode ser cont´ınuo nem, portanto, limitado.

E f´´ acil verificar queT0também não seria cont´ınuo se adotássemos emVa normaL^p(comp≥1):

kfkV = Z1

−1|f(x)|^pdx ^1/p

, f∈C([−1,1],C).

E. 39.1Exerc´ıcio. Complete os detalhes da prova dessa ´ultima afirma¸c˜ao. 6

Se, por´em, adot´assemos emVa norma do supremo kfk^V = sup

x∈[−1,1]|f(x)|, ent˜aoT0seria cont´ınuo.

E. 39.2Exerc´ıcio. Complete os detalhes dessa ´ultima afirma¸c˜ao. 6

Esses exemplos mostram mais uma vez que a continuidade de uma aplica¸c˜ao depende das topologias adotadas.

•O espa¸co vetorialB(V,W)

SejamVeWdois espa¸cos vetoriais normados, cujas normas ser˜ao denotadas pork · kVek · kW, respectivamente.

Denotamos porB(V,W) o conjunto de todos os operadores lineares cont´ınuos deVemW.

O conjunto B(V, W) é um espa¸co vetorial sobre os complexos. De fato, dados dois operadores quaisquerT e U∈B(V,W) podemos definir o operadorαT+βU, comα, β∈C, como sendo o operador que associa a cadav∈Vo vetor deWdado porαT v+βU v. É trivial ver queαT+βUé também um operador linear e que também é cont´ınuo.

Mais que isso,B(V,W) ´e um espa¸co vetorial normado, onde para cada operadorT definimos sua norma operatorial kTkcomo

kTk = sup

u∈V, u6=0

kT uk^W kukV

. (39.1)

Notemos que o lado direito de (39.1) ´e finito poisT´e limitado.

E. 39.3Exerc´ıcio. Verifique que as propriedades que caracterizam uma norma s˜ao de fato satisfeitas pela defini¸c˜ao acima. 6

Notemos tamb´em que seT∈B(V,W), ent˜ao para todou∈Vvale que kT uk^W ≤ kTk kuk^V.

E. 39.4Exerc´ıcio. Por quˆe? 6

Mais adiante veremos que seWfor um espa¸co de Banach, entãoB(V,W) também é um espa¸co de Banach em rela¸cão

`

a norma definida acima. Esse fato é importante para toda a teoria dos operadores limitados em espa¸cos de Hilbert e abre caminho para a teoria das chamadas álgebras de Banach e das chamadas álgebras C^∗.

•Extens˜oes de operadores

Convidamos neste momento o leitor a reler a defini¸cão do conceito de extensão de fun¸cões à página 45. Esse conceito se aplica diretamente à teoria dos operadores lineares agindo entre espa¸cos vetoriais.

SejamVeWdois espa¸cos vetoriais eT:V→Wum operador linear agindo entre eles. Suponha queVseja subespa¸co de um espa¸co vetorialV^′. Uma extensão do operadorTao espa¸coV^′seria um fun¸cãoT^′:V^′→Wtal queT^′(v) =T v para todov∈V. Se uma extensãoT^′deTfor também um operador linear deV^′emW, entãoT^′é dita ser umaextensão lineardeT.

Como veremos no Cap´ıtulo 40, página 2207, extensões lineares desempenham um papel importante no estudo de operadores não-limitados em espa¸cos de Hilbert.

•N´ucleo e imagem de operadores lineares

Para fixarmos nota¸c˜ao, introduzamos alguns conceitos de uso geral. SejamVeWdois espa¸cos vetoriais eT:V→W um operador linear agindo entre eles. Definimos on´ucleodeTpor

Ker (T) :=

v∈VT v= 0 .

E elementar demonstrar que´ Té injetor (“um-a-um”) se e somente se Ker (T) ={0}. A imagem deT:V→Wé mais frequentemente denotada por Ran (T), ao invés de Im(T), e é definida por

Ran (T) :=

w∈Ww=T vpara algumv∈V .

(4)

E um exerc´ıcio elementar demonstrar que Ker (T´ ) e Ran (T) s˜ao subespa¸cos lineares deVeW, respectivamente.

No caso de espa¸cos vetoriais normados tem-se o seguinte resultado:

Proposi¸cão 39.2SejamVeWdois espa¸cos vetoriais normados, com normask · k^Vek · k^W, respectivamente, e seja T:V→Wum operador linear cont´ınuo. Então,Ker (T)é um subespa¸co linear fechado deV. 2

Prova.E evidente que Ker (T´ ) é a pré-imagem do conjunto fechado{0} ⊂We, portanto, será fechado seTfor cont´ınuo.

Uma outra prova mais direta é a seguinte. Sejavn,n∈N, uma sequência de elementos de Ker (T) que convirja a v∈V, isto é,v= limn→∞vn. Então, comoTé cont´ınuo, tem-seT v=T limn→∞vn

= limn→∞T vn= limn→∞0 = 0, provando quev∈Ker (T). Isso estabeleceu que Ker (T) ´e um subespa¸co fechado deV.

•Isometrias entre espa¸cos normados

SeVeWsão dois espa¸cos vetoriais normados (com normask·kVek·kW, respectivamente), dizemos que um operador T:V→Wéisométrico(ou umaisometria) se valer

T v

W = v

V

para todov∈V. É bastante evidente que vale a seguinte afirma¸cão: seTé isométrico, então Ker (T) ={0}. É também evidente que uma isometriaT:V→Wé limitada e, portanto, cont´ınua, comkTk= 1.

Se o dom´ınio de um operador isom´etrico for um espa¸co de Banach, vale a seguinte afirma¸c˜ao, que usaremos no que segue:

Proposi¸cão 39.3SejaVum espa¸co de Banach com rela¸cão à uma normak · k^Ve sejaWum espa¸co vetorial normado com normak · kW. SejaT:V→Wum operador isométrico. Então,Ran (T)é um subespa¸co linear fechado deWe, em

verdade, ´e um espa¸co de Banach com respeito `a normak · k^W. 2

Prova.Sejavn,n∈N, uma sequência de elementos deVtal queT vn,n∈N, converge emWa um elementow, ou seja, w= limn→∞T vn. Isso implica queT vn,n∈N, é uma sequência de Cauchy emWe, portanto, para todoǫ >0 existe N(ǫ)∈Ntal queT vn−T vm

W< ǫsempre quenemforem ambos maiores queN(ǫ). Pela linearidade e isometria deT, tem-se queT vn−T vm

W=T(vn−vm)

W=vn−vm

V. Logo, conclu´ımos quevn,n∈N, é uma sequência de Cauchy emVe, como este é um espa¸co de Banach, conclu´ımos que a sequênciavn,n∈N, converge emV, ou seja, que existe v∈Vtal quev= limn→∞vn. Portanto, pela continuidade deT, temos quew= limn→∞T vn=T limn→∞vn

=T v, provando quew∈Ran (T). Isso estabelece que Ran (T) ´e um subespa¸co fechado deW.

Suponhamos agora quewn,n∈N, seja uma sequência de Cauchy em Ran (T). Então, para cadan∈Nexistevn∈V tal quewn=T vn. Assim, para todoǫ >0 existeN(ǫ)∈Ntal queǫ >kwn−wmk^W=kT vn−T vmk^W=kvn−vmk^V sempre quenemforem ambos maiores queN(ǫ). Isso estabelece quevn,n∈N, é uma sequência de Cauchy emV e, portanto, converge av∈V. Agora, pela propriedade de isometria, limn→∞kT v−wnkW= limn→∞kT v−T vnkW= limn→∞kvn−vk^V= 0, provando que a sequênciawn,n∈N, converge emWao elementoT v∈Ran (T). Isso estabeleceu que Ran (T) é um espa¸co de Banach com respeito à normak · k^W.

39.1.1 Espa¸cos de Banach de Operadores

•O Teorema BLT

Vamos agora enunciar e demonstrar um resultado sobre extensões lineares de operadores cont´ınuos que será frequentemente usado adiante, muitas vezes até sem men¸cão expl´ıcita.

Muitas vezes nos é apresentado um operador limitadoTagindo entre dois espa¸cos vetoriais normadosVeW, sendo Vum espa¸co métrico não-completo, masW sendo completo. Muitas vezes é útil, conveniente ou mesmo necessário, saber se é poss´ıvel estender o operadorT para um completamento ˜VdeV. Veremos mais abaixo aplica¸cões em que tal

procedimento é útil. Será isso sempre poss´ıvel? Será a extensão também cont´ınua? E se o for, será a extensão obtida a

´

unica poss´ıvel?

O teorema seguinte nos dá condi¸cões suficientes para que uma tal extensão exista e seja única, a saber, basta queW seja completo. Esse teorema é denominado por alguns autores deTeorema BLT(“bounded linear transformation”). Em verdade, trata-se parcialmente de um caso particular do Teorema 32.13, página 1552, pois operadores lineares e cont´ınuos são uniformemente cont´ınuos (verifique!).

Teorema 39.1 (BLT)SejaVum espa¸co vetorial normado, cuja norma é denotada pork · k^Ve sejaW um espa¸co vetorial normado, cuja norma é denotada pork · kW. Suponha queWseja completo na métrica definida pela norma k·k^W, ou seja, suponha que W,k·k^W

seja um espa¸co de Banach. Suponhamos tamb´em queVseja um subespa¸co denso de um outro espa¸co vetorial normado e completoV˜, com normak · kV˜, e que a inclus˜aoι:V→V˜ seja uma isometria (ou seja, quekvkV=kvk˜Vpara todov∈V).

Então, para todo operador linear limitadoT:V→W,T∈B(V,W), existe uma extensãoT˜: ˜V→Wque também é um operador linear limitado,T˜∈B(˜V, W), e tal quekTk˜ B( ˜V,W)=kTkB(V,W). Fora isso, tal extensão é a única com

as propriedades mencionadas. 2

Comentários.No caso de funcionais lineares, encontraremos no Teorema 39.5, página 2034, uma afirma¸cão semelhante à do Teorema 39.1 (exceto pela unicidade).

Notemos que a hip´otese deVser denso em ˜Vsignifica que para o fechoVdeV⊂V˜na topologia de ˜V,k · kV˜

tem-seV= ˜V. Assim, para cada ˜v∈V˜existe ao menos uma sequˆenciavn∈Vque converge a ˜v: lim_n→∞

˜v−vn _V_˜= 0.

Um terceiro comentário relevante é que, com as devidas adapta¸cões, ˜Vpode ser tomado como o completamento canônico deVna norma

deste. ♣

Prova do Teorema 39.1.A demonstra¸cão consiste em construir a extensão ˜Te mostrar que a mesma satisfaz as propriedades mencionadas. A primeira etapa é a constru¸cão de ˜T.

Como entendemosVcomo um subconjunto denso de ˜V, todo elemento de ˜Vé limite de uma sequência de elementos deV. Seja entãox∈V˜e seja{xn}n∈Numa sequência de elementos deVque converge ax. Como{xn}n∈Nconverge, é uma sequência de Cauchy.

Sejayn=T xn∈W. Mostremos que{yn}n∈N´e um sequˆencia de Cauchy de elementos deW. De fato, kym−ynkW = kT(xm−xn)kW ≤ kTkB(V,W)kxm−xnkV = kTkB(V,W)kxm−xnk˜V.

Como{xn}n∈Né uma sequência de Cauchy em ˜V, o lado direito pode ser feito menor que qualquerǫ >0 dado, desde quemensejam grandes o suficiente, mostrando que{yn}n∈Né de fato uma sequência de Cauchy de elementos deW.

O ponto crucial é que estamos supondo queWseja completo e, portanto,{yn}n∈Nconverge a um elemento deWque chamaremos dey. Esse é o ingrediente que nos permite definir ˜Tcomo sendo a fun¸cão que associaxay:

T˜(x) := y , ou seja,

T˜(x) := lim

n→∞T xn.

Um ponto lógico que ainda tem de ser exibido antes de passarmos adiante é mostrar que essa defini¸cão não depende da particular sequência{xn}n∈Nadotada que converge ax∈V. Para isso basta mostrar que se˜ {x^′n}n∈Né uma outra sequência que converge ax, então{T x^′n}n∈Ntambém converge ao mesmoy. A demonstra¸cão disso está nas seguintes desigualdades. Sejay^′o limite de{T x^′n}n∈N(que existe pelos mesmos argumentos acima). Então

ky−y^′kW =

(y−T xn) +T(xn−x^′n) + (T x^′n−y^′) _W

≤ ky−T xnkW+T(xn−x^′n)

W+kT x^′n−y^′kW

≤ ky−T xnk^W+kTkB(V,W)kxn−x^′nkV˜+kT x^′n−y^′k^W.

= ky−T xnkW+kTkB(V,W)

(xn−x)−(x^′n−x)_˜

V+kT x^′n−y^′kW

≤ ky−T xnkW+kTkB(V,W) kxn−xkV˜+kx^′n−xkV˜

+kT x^′n−y^′kW. (39.2)