Esboce as regi˜oes de integra¸c˜ao e calcule as integrais: (a) R RDxy3dxdy,D={(x, y) |1≤x≤2,0≤y≤2x} (b) R RDysenxdxdy, D={(x, y)| |x

MAT0216 - C ´ALCULO III - F´ısica diurno Exerc´ıcios LISTA 2 - 2013

1. Calcule as integrais iteradas e esboce as regi˜oes de integra¸c˜ao:

(a) ^R₁^2R₁²ye^xydxdy (b) ^R11

2

Ry y²

q_y

xdxdy (c) ^R₁^3R₀¹(1 + 4xy)dxdy (d) ^R

π 2

0

R^π₂

0 senxcosy dydx (e) ^R₀^ln2R₀^ln5e^2x−ydxdy (f) ^R₁^2R₁^xx_y2²dydx

(g) ^R

√1 2

0

R1−x² x² x√

ydydx (h) ^R₀^1R_y^ey√ xdxdy

2. Esboce as regi˜oes de integra¸c˜ao e calcule as integrais:

(a) ^{R R}_Dxy³dxdy,D={(x, y) |1≤x≤2,0≤y≤2x}

(b) ^{R R}_Dysenxdxdy, D={(x, y)| |x| ≤ ^π₂,0≤y≤cosx}

(c) ^{R R}_Dx³y²dxdy,D={(x, y) |0≤x≤2,−x≤y≤x}

(d) ^{R R}_{D x}2^2y+1dxdy, D={(x, y)| 0≤x≤1,0≤y≤√ x}

(e)^{R R}_Dy³dxdy,D´e a regi˜ao triangular de v´ertices (0,2),(1,1) e (3,2).

(f) ^{R R}_D(y²−x)dxdy, D´e limitada porx=y² e x= 3−2y². 3. Inverta a ordem de integra¸c˜ao e calcule:

(a) ^R₀^1R_y¹e^x2dxdy (b) ^R₀^1R√1_x√

1 +y³dydx (c) ^R₀^1R_{arcsen y}^π2 cos x√

1 +cos²xdxdy

4. Esboce a regi˜ao de integra¸c˜ao e inverta a ordem de integra¸c˜ao:

(a) ^R₀^aR

√x

−√

xf(x, y)dydx, a >0 (b) ^R₀^1R

√

1−y²

1−y f(x, y)dxdy

1

5. Sabendo que

Z Z

D

f(x, y)dxdy =

Z 1 0

Z 2y 0

f(x, y)dxdy+

Z 3 1

Z 3−y 0

f(x, y)dxdy

esboce D e expresse a integral como uma integral iterada na ordem de inte- gra¸c˜ao invertida.

6. Achea, b∈IRe fun¸c˜oesα(x) e β(x) tais que

Z 1 0

Z ^√y

−√ y

cos (x²+y²)dxdy+

Z 4 1

Z ^√y y−2

cos (x²+y²)dxdy=

Z b a

Z β(x) α(x)

cos (x²+y²)dydx.

Justifique. (Sugest˜ao: n˜ao tente calcular as integrais.) 7. Calcule a ´area das seguintes regi˜oes planas D:

(a) D ´e limitada pelas curvas y=x² ey² =x.

(b) D ´e limitada pelas curvas y=x³ ey=√ x.

(c) D ´e a parte superior do disco centrado na origem e de raio 2.

(d) D determinada pelas desigualdades xy≤4, y ≤x,27y≥4x². 8. Calcule o volume dos s´olidos S:

(a) S ´e o tetraedro com faces nos planos coordenados e no plano x+y+z = 2.

(b) S ={(x, y, z) | 0≤y≤1, y−1≤x≤1−y,0≤z≤1−y²}.

(c) S ´e limitado pelas superf´ıcies x= 0, z = 0, y² = 4−x ez =y+ 2.

(d) S ´e limitado pelas superf´ıciesx² +y² =a² e y²+z² =a².

(e) S´e o s´olido abaixo do gr´afico def(x, y) =x³y, acima do planoxy com (x, y) ∈ D, sendo D a regi˜ao plana limitada por x = 1, y = 2 e y = x² com x≥1.

(f) S ´e limitado pelo cilindro x²+y² = 1 e pelos planos x= 0, z = 0 e y=z , no primeiro octante.

(g) S abaixo do parabol´oide z =x²+y² e acima da regi˜ao do plano limitada por y=x² ex=y².

2

9. Calcule as integrais iteradas e esboce as regi˜oes de integra¸c˜ao:

(a) ^R₁^2R₀^xR₀^2−yx³y³zdzdydx (b) ^R₀^1R₀^zR₀^yze^−y2dxdydz 10. Esboce as regi˜oes de integra¸c˜ao e calcule as integrais:

(a) ^{R R R}_Bxyzdxdydz, B: 0≤x≤2,0≤y ≤1,1≤z ≤2.

(b) ^{R R R}_B√

1−z²dxdydz, B: 0 ≤x≤1,0≤y≤z,0≤z ≤1.

(c) ^{R R R}_B2xdxdydz, B: 0 ≤y≤2,0≤x≤√

4−y²,0≤z ≤y.

(d) ^{R R R}_Bydxdydz, B limitado por z =x, y² = 4−2z e x= 0.

(e) ^{R R R}_Bydxdydz, B dado por: x²+ 4y² ≤1, 0≤z ≤1.

(f) ^{R R R}_B8z^lny_y dxdydz, B: 0 ≤x≤z²,1≤y≤e,0≤z ≤1.

(g) ^{R R R}_Bxdxdydz,B dado por: x² ≤y≤x, 0≤z ≤x+y.

(h) ^{R R R}_B2zdxdydz, sendo B a regi˜ao entre os planos z = 2− y e z = 2 +y, com 0≤y≤x²+ 1, 0≤x≤1.

11. Escreva as integrais abaixo nas outras 5 ordens de integra¸c˜ao:

(a)^R₀^1R√1_x^R₀^1−yf(x, y, z)dzdydx (b)^R₀^1R₀^1−zR₀^y2f(x, y, z)dxdydz (c) ^R₀^1R₀^x2R₀^yf(x, y, z)dzdydx

12. Esboce o s´olido cujo volume ´e dado por V =^R₀^2R₀^2−yR₀^4−x2dzdxdy e calcule V.

13. Calcule o volume dos s´olidos S:

(a) S ´e o tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano 2x+ 3y+ 6z = 12.

(b) S ={(x, y, z) | x² ≤z ≤1−y, y ≥0}.

(c) S´e limitado pelo cilindro el´ıtico 4x²+z² = 4 e pelos planosy= 0 e y=z+ 2.

(d)S´e limitado pelo cilindro parab´olicox=y², porz = 0 ex+z = 1.

(e) S ´e dado por: 0≤x≤π, 0≤y≤senx, 0≤z ≤1.

14. Calcule a massa m da regi˜ao Dcom densidade de massa δ:

(a) D limitada por y= 0 e y =√

a²−x², a >0;δ(x, y) = 3y.

(b) D entre o eixo O_x e a curva y = senx, de x= 0 ax=π;δ(x, y) =x.

15. Determine a massa e o centro de massa da chapa D:

3

(a) D={(x, y) | −1≤x≤1,0≤y≤1}; δ(x, y) = x².

(b) D est´a no primeiro quadrante, e ´e limitada por y = x², y = 1 e x= 0; δ(x, y) = xy.

16. Calcule a massa do tetraedro limitado pelos planos coordenados e x+y+z = 1; δ(x, y, z) =kxyz.

17. Calcule o centro de massa do s´olido de densidade constante, que ocupa a regi˜ao limitada porz =x, z =−x e y² = 4−2x.

18. Calcule o momento de in´ercia em torno do eixo O_x, do s´olido de massa m e densidade δ(x, y) =kx, limitado pelos planos x= 0,y = 0,z = 0, y=z e x+y=a (a >0).

RESPOSTAS 1. (a) ¹₂e⁴− ³₂e²+e (b)

√2

10 −₂₀¹ (c) 10 (d) 1 (e) 6 (f) ⁵₆ (g) ₁₅² (1−

√2

4 ) (h) ⁴₉e³² −³²₄₅ 2. (a) ¹²⁶₃ (b) 0 (c) ²⁵⁶₂₁ (d) ¹₂ln2 (e) ¹⁴⁷₂₀ 3. (c) ²

√2−1 3

4. (a) ^R

√a

−√ a

Ra

y²f(x, y)dxdy (b) ^R₀^1R

√1−x²

1−x f(x, y)dydx 6. a =−1, b= 2, α(x) = x², β(x) = x+ 2

7. (a) ¹₃ (b) ₁₂⁵ (c) 2π (d) ²₃ + 4ln³₂ 8. (a) ⁴₃ (c) ⁶⁴₃ (d) ^16a₃³ (e) ₁₆⁹

9. (b) _4e¹ 10. (a) ³₂ (b) ¹₃ (c) 4 (e) 0 (g) ₁₂₀¹¹ (h) ¹¹²₁₅ 11. (a) ^R₀^1R₀^y2R₀^1−yf(x, y, z)dzdxdy , ^R₀^1R₀^1−yR₀^y2f(x, y, z)dxdzdy ,

R1 0

R1−z 0

Ry²

0 f(x, y, z)dxdydz , ^R₀^1R1−

√x 0

R√1−z

x f(x, y, z)dydzdx,

R1 0

R(1−z)² 0

R√1−z

x f(x, y, z)dydxdz

13. (a) 8 (b) ₁₅⁴ (d) ₁₅⁸ 14. (a) 2a³ (b) π 15. (a) ²₃, (0,¹₂) (b) ¹₆, (⁴₇,³₄)

16. m = ₇₂₀^k 17. (⁸₇,0,0) 18. ¹₂ma²

4