Tópicos de Análise de Algoritmos

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Tópicos de Análise de Algoritmos

Análise amortizada

Sec 17.4 Tabelas dinâmicas do CLRS

Parte das notas de aula de um curso do Robert Tarjan.

“Amortized Analysis Explained ” por Rebecca Fiebrink, Princeton University

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Análise amortizada

Serve para analisar uma sequência de operações ou iterações onde o pior caso individual não reflete o pior caso da sequência.

Em outras palavras, serve para melhorar análises de pior caso que baseiem-se diretamente no pior caso de uma operação/iteração e que deem uma delimitação frouxa para o tempo de pior caso da sequência.

Métodos:

I agregado I por créditos I potencial

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Aula passada

Exemplos de análise amortizada:

I odômetro binário I análise agregada I análise por créditos

I análise com função potencial I pilha com operação única

I análise agregada I análise por créditos

I análise com função potencial I tabelas dinâmicas

I análise agregada I análise por créditos

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Tabelas dinâmicas

Vetor que sofre inserções. Cada inserção custa 1.

Inicialmente o vetor tem 0 posições.

Na primeira inserção, um vetor com uma posição é alocado, e o item em questão é inserido.

A cada inserção em que o vetor está cheio, antes da inserção propriamente dita, um vetor do dobro do tamanho é alocado, o vetor anterior é copiado para o novo vetor e depois é desalocado.

O custo no pior caso de uma inserção é alto, pois pode haver umarealocação.

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Custo por inserção

e função potencial

Parai =1,2, . . . ,n, ci =

1 sei não é potência de 2 mais 1 i se i é potência de 2 mais 1.

Chame develhoum item que já estava no vetor T no momento da última realocação do vetorT,

e denovos os itens inseridos após a última realocação. Método potencial:

Que função potencial você usaria neste caso?

TomeΦ(T) como duas vezes o número de elementos novosem T. Ti: estado do vetor T imediatamente após a inserção i

Note queΦ(T0)=0 eΦ(Ti)≥0.

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Custo por inserção

e função potencial

Parai =1,2, . . . ,n, ci =

e denovos os itens inseridos após a última realocação.

Método potencial:

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Custo por inserção e função potencial

Parai =1,2, . . . ,n, ci =

Método potencial:

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Custo por inserção e função potencial

Parai =1,2, . . . ,n, ci =

Método potencial:

TomeΦ(T) como duas vezes o número de elementos novosem T.

Ti: estado do vetor T imediatamente após a inserção i Note queΦ(T0)=0 eΦ(Ti)≥0.

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Custo por inserção e função potencial

Parai =1,2, . . . ,n, ci =

Método potencial:

TomeΦ(T) como duas vezes o número de elementos novosem T. Ti: estado do vetorT imediatamente após a inserção i

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Custo por inserção e função potencial

Parai =1,2, . . . ,n, ci =

Método potencial:

TomeΦ(T)=2(num(T)−size(T)/2)

=2num(T)−size(T),

ondenum(T) é o número de elementos emT e ondesize(T) é o tamanho de T.

Vamos calcularcˆ_i =c_i +Φ(T_i)−Φ(Ti−1).

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Custo por inserção e função potencial

Parai =1,2, . . . ,n, ci =

Método potencial:

TomeΦ(T)=2(num(T)−size(T)/2) =2num(T)−size(T), ondenum(T) é o número de elementos emT e

ondesize(T) é o tamanho de T.

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Custo por inserção e função potencial

Parai =1,2, . . . ,n, ci =

Método potencial:

TomeΦ(T)=2(num(T)−size(T)/2) =2num(T)−size(T), ondenum(T) é o número de elementos emT e

ondesize(T) é o tamanho de T.

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Tabelas dinâmicas: método potencial

Parai =1,2, . . . ,n, ci =

1 sei não é potência de 2 mais um i se i é potência de 2 mais um.

TomeΦ(T)=2num(T)−size(T),

Vamos calcularcˆi =ci +Φ(Ti)−Φ(Ti−1).

Dois casos:

I i não é potência de 2 mais um.

num(Ti)=num(Ti−1)+1 e size(Ti)=size(Ti−1). ˆ

ci = ci +Φ(Ti)−Φ(Ti−1)

= 1+ (2num(T_i)−size(T_i))−(2num(Ti−1)−size(T_i−1))

= 1+2+0 = 3.

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Tabelas dinâmicas: método potencial

Parai =1,2, . . . ,n, ci =

Dois casos:

num(T_i)=num(Ti−1)+1 e size(T_i)=size(Ti−1).

ˆ

= 1+2+0 = 3.

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Tabelas dinâmicas: método potencial

Parai =1,2, . . . ,n, ci =

Dois casos:

num(T_i)=num(Ti−1)+1 e size(T_i)=size(Ti−1).

ˆ

= 1+2+0 = 3.

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Tabelas dinâmicas: método potencial

Parai =1,2, . . . ,n, ci =

Dois casos:

I i não é potência de 2 mais um: cˆ_i =3.

I i é potência de 2 mais um.

num(T_i)=num(Ti−1)+1=c_i e size(T_i)=2size(Ti−1)=2num(Ti−1). ˆ

c_i = c_i +Φ(T_i)−Φ(T_i−1)

= c_i + (2num(T_i)−size(T_i))−(2num(Ti−1)−size(Ti−1))

= c_i +2c_i−3(c_i −1) = 3.

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Tabelas dinâmicas: método potencial

Parai =1,2, . . . ,n, ci =

Dois casos:

num(T_i)=num(Ti−1)+1=c_i e size(T_i)=2size(Ti−1)=2num(Ti−1).

ˆ

c_i = c_i +Φ(T_i)−Φ(T_i−1)

= c_i + (2num(T_i)−size(T_i))−(2num(Ti−1)−size(Ti−1))

= c_i +2c_i−3(c_i −1) = 3.

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Tabelas dinâmicas: método potencial

Parai =1,2, . . . ,n, ci =

Dois casos:

ˆ

c_i = c_i +Φ(T_i)−Φ(Ti−1)

= c_i + (2num(T_i)−size(T_i))−(2num(Ti−1)−size(T_i−1))

= c_i +2c_i−

3(c_i −1) = 3.

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Tabelas dinâmicas: método potencial

Parai =1,2, . . . ,n, ci =

Dois casos:

ˆ

= c_i +2c_i−3(c_i −1)

= 3.

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Tabelas dinâmicas: método potencial

Parai =1,2, . . . ,n, ci =

Dois casos:

ˆ

= c_i +2c_i−3(c_i −1) = 3.

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Tabelas dinâmicas: método potencial

Parai =1,2, . . . ,n, ci =

Dois casos:

I i não é potência de 2 mais um: cˆi =3.

I i é potência de 2 mais um: cˆi =3.

Conclusão: custo amortizado por inserção é 3.

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Move to front

Considere uma lista ligada.

Custo do acesso aoi-ésimo elemento: i.

Custo de trocar dois elementos consecutivos de lugar: constante, descontado o tempo de acessar um deles. Heurística MTF:

ao acessar o elementox, mova-o para o ínicio da lista. ComMTF, custo do acesso ao i-ésimo elemento: 2i−1. Considere uma sequência de acessos à lista.

Qual é o custo de MTF se comparado com um algoritmo ótimo de acesso?

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Move to front

Custo de trocar dois elementos consecutivos de lugar:

constante, descontado o tempo de acessar um deles.

Heurística MTF:

ao acessar o elementox, mova-o para o ínicio da lista. ComMTF, custo do acesso ao i-ésimo elemento: 2i−1. Considere uma sequência de acessos à lista.

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Move to front

Heurística MTF:

ao acessar o elementox, mova-o para o ínicio da lista.

ComMTF, custo do acesso ao i-ésimo elemento: 2i−1. Considere uma sequência de acessos à lista.

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Move to front

Heurística MTF:

a b c d e

a b c

d e

a c

b d e

c

a b d e

ComMTF, custo do acesso ao i-ésimo elemento: 2i−1. Considere uma sequência de acessos à lista.

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Move to front

Heurística MTF:

ComMTF, custo do acesso aoi-ésimo elemento: 2i−1.

Considere uma sequência de acessos à lista. Qual é o custo de MTF se comparado com um algoritmo ótimo de acesso?

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Move to front

Heurística MTF:

ComMTF, custo do acesso aoi-ésimo elemento: 2i−1.

Considere uma sequência de acessos à lista.

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Move to front

Lista ligada e sequência de acessos a ela.

Heurística MTF:

Acesso aoi-ésimo elemento custa 2i −1.

A: algoritmo arbitrário de acesso à lista. Análise amortizada:

custo doMTF ≤4 vezes o custo deA.

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Move to front

Lista ligada e sequência de acessos a ela.

Heurística MTF:

Acesso aoi-ésimo elemento custa 2i −1.

A: algoritmo arbitrário de acesso à lista.

Análise amortizada:

custo doMTF ≤4 vezes o custo deA.

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Operações sobre a lista

Acesso e troca com anterior.

Função potencialΦ: 2 vezes o número de inversões da lista deMTF em relação à lista de A.

Sejax o elemento acessado.

Sejak a posição de x na lista de MTF. Sejai a posição de x na lista de A.

Suponha queAnão troca ninguém de lugar. Custo pelo acesso ax por MTF: 2k−1. Custo pelo acesso ax por A: i.

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Operações sobre a lista

Sejak a posição de x na lista de MTF. Sejai a posição de x na lista de A.

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Operações sobre a lista

Sejak a posição de x na lista de MTF.

Sejai a posição de x na lista de A.

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Operações sobre a lista

Sejak a posição de x na lista de MTF.

Sejai a posição de x na lista de A.

Suponha queAnão troca ninguém de lugar.

Custo pelo acesso ax por MTF: 2k−1.

Custo pelo acesso ax por A: i.

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Custo amortizado do acesso

k: posição dex na lista deMTF.

i: posição de x na lista de A.

EmMTF, depois do acesso,

pares comx e cada um dosk−1 elementos trocaram de posição. Existemi−1 elementos na lista deA na frente dex.

≤min{k−1,i−1} inversõesa maisdepois do acesso

≥(k−1)−min{k−1,i−1} inversõesa menos Então

∆Φ≤2(2min{k−1,i−1} −(k−1)) =4min{k−1,i−1} −2(k−1).

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Custo amortizado do acesso

pares comx e cada um dosk−1 elementos trocaram de posição.

Existemi−1 elementos na lista deA na frente dex.

∆Φ≤2(2min{k−1,i−1} −(k−1)) =4min{k−1,i−1} −2(k−1).

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Custo amortizado do acesso

Existemi−1 elementos na lista deAna frente de x.

∆Φ≤2(2min{k−1,i−1} −(k−1)) =4min{k−1,i−1} −2(k−1).

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Custo amortizado do acesso

∆Φ≤2(2min{k−1,i−1} −(k−1)) =4min{k−1,i−1} −2(k−1).

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Custo amortizado do acesso

≥(k−1)−min{k−1,i−1} inversõesa menos

Então

∆Φ≤2(2min{k−1,i−1} −(k−1)) =4min{k−1,i−1} −2(k−1).

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Custo amortizado do acesso

∆Φ≤2(2min{k−1,i−1} −(k−1))

=4min{k−1,i−1} −2(k−1).

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Custo amortizado do acesso

∆Φ≤2(2min{k−1,i−1} −(k−1)) =4min{k−1,i−1} −2(k−1).

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Custo amortizado do acesso

∆Φ≤4min{k−1,i−1} −2(k−1).

Custo amortizado: ˆ

c = c+∆Φ

≤ 2k−1+4min{k−1,i−1} −2(k−1)

≤ 1+4min{k−1,i−1}

≤ 4i.

Lembre-se que o custo deAé i.

Logo o custo amortizado por acesso deAé no máximo 4.

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Custo amortizado do acesso

∆Φ≤4min{k−1,i−1} −2(k−1).

Custo amortizado:

ˆ

c = c+∆Φ

≤ 2k−1+4min{k−1,i−1} −2(k−1)

≤ 1+4min{k−1,i−1}

≤ 4i.

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Custo amortizado do acesso

∆Φ≤4min{k−1,i−1} −2(k−1).

Custo amortizado:

ˆ

c = c+∆Φ

≤ 2k−1+4min{k−1,i−1} −2(k−1)

≤ 1+4min{k−1,i−1}

≤ 4i.

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Custo amortizado do acesso

∆Φ≤4min{k−1,i−1} −2(k−1).

Custo amortizado:

ˆ

c = c+∆Φ

≤ 2k−1+4min{k−1,i−1} −2(k−1)

≤ 1+4min{k−1,i−1}

≤ 4i.

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Custo amortizado

O custo amortizado por acesso é no máximo 4 em relação ao custo deA... se Anão fizer trocas...

E seAfizer trocas também?

Com uma troca, o custo deAsobe de 1.

E o potencial, como se altera? Sobe ou desce de 2. Ou seja, o custo deAé i+t,

ondet é o número de trocas deA após o acesso dex, e∆Φ≤4min{k−1,i−1} −2(k−1) +2t.

Custo amortizado: cˆ ≤ 4i+2t ≤ 4(i+t). Custo amortizado por operação deAé no máximo 4.

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Custo amortizado

Com uma troca, o custo deAsobe de 1.

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Custo amortizado

Com uma troca, o custo deA sobe de 1.

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Custo amortizado

E o potencial, como se altera? Sobe ou desce de 2.

Ou seja, o custo deAé i+t,

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Custo amortizado

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Custo amortizado

Custo amortizado: cˆ ≤ 4i+2t ≤ 4(i+t).

Custo amortizado por operação deAé no máximo 4.

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Custo amortizado

Custo amortizado: cˆ ≤ 4i+2t ≤ 4(i+t).

Custo amortizado por operação deAé no máximo 4.

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Próximos capítulos

Próxima aula: splay trees

Aula seguinte: union-find