MAE 0219 - Introdução à Probabilidade e Estatística I Gabarito Lista de Exercícios 3
Segundo Semestre de 2017
Observação: Nos cálculos abaixo, consideramos aproximações por duas casas decimais.
EXERCÍCIO 1.
a. Construa o diagrama de dispersão entre despesas com publicidade (x) e vendas (y). Comente.
Resposta: O diagrama de interesse é dado abaixo.
20 25 30 35 40 45 50
400450500550
Despesas com publicidade por semana ($)
Vendas por semana ($)
Pelo gráfico, há leves indícios de uma relação linear crescente entre as variáveis.
b. Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson entre as duas variáveis. Comente.
Resposta: Temos que
¯
x≈34,17; y¯= 453,75;
∑12
x2i = 15650;
∑12
y2i = 2512925 e
∑12
xiyi = 191325. (1)
s2Y = 2512925−12×(453,75)2
11 ≈3841,48 → sY =√3841,48≈61,98. (3) Portanto, o coeficiente de correlação linear de Pearson fica dado por
r =
∑12
i=1xiyi−n¯x¯y (n−1)sXsY
= 191325−12×34,17×453,75
11×12,21×61,98 ≈0,63. (4) Como o coeficiente de correlação é de0,63, não há indícios de uma forte associação linear entre as variáveis despesas e vendas.
c. Ajuste a reta de regressão linear entre as duas variáveis. Interprete o coeficiente angular b.
Resposta: Temos que
b=
∑12
i=1xiyi−n¯x¯y
(n−1)s2X = 191325−12×34,17×453,75
11×148,99 ≈3,22 (5)
e
a= ¯y−b¯x= 453,75−3,22×34,17≈343,72. (6) Logo, a reta ajustada é dada por
Yˆi= 343,72 + 3,22Xi, i= 1, . . . ,12. (7) Como b = 3,22, segue pelo modelo ajustado que, por semana, para o aumento de uma unidade monetária($) nas despesas com publicidade, o valor em vendas aumenta, em média, $3,22.
d. Estime as vendas semanais quando os custos de publicidade são de$35.
Resposta: Pela reta ajustada emc, o valor estimado para as vendas semanais quando as despesas semanais com publicidade são de$35é dado por
Yˆ = 343,72 + 3,22×35 = 456,42. (8)
Exercício 2
a. Construa o diagrama de dispersão entre comprimento (x) e força (y). Comente.
Resposta: O diagrama de interesse é dado abaixo.
2 4 6 8 10
50100150200250
Comprimento (cm)
Força (N)
Pelo gráfico, há indícios de uma forte relação linear crescente entre as variáveis, isto é, observa-se que a força necessária tende a aumentar com o comprimento que a mola é estendida e que o aumento parece ocorrer de maneira linear sobre o comprimento.
b. Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson entre as duas variáveis. Comente.
Resposta: Temos que
¯
x= 5,5; y¯= 136,07;
∑12
i=1
x2i = 385;
∑12
i=1
yi2= 239115,1 e
∑12
i=1
xiyi= 9451,36. (9) Daí, segue que
s2X = 385−10×(5,5)2
9 ≈9,17 → sX =√9,17≈3,03 (10) s2 = 239115,1−10×(136,07)2
≈5996,07 → sY =√5996,07≈77,43. (11)
(n−1)sXsY 9×3,03×77,43
O coeficiente de correlação apresenta um valor elevado, indicando uma forte associação linear entre as variáveis força e comprimento. O sinal (positivo) do coeficiente de correlação indica que é necessário empregar mais força para um maior alongamento da mola.
c. Ajuste a reta de regressão linear entre as duas variáveis. Interprete o coeficiente angular b.
Resposta: Temos que
b=
∑10
i=1xiyi−n¯xy¯
(n−1)s2X = 9451,36−10×5,5×136,07
9×9,17 ≈23,84 (13)
e
a= ¯y−bx¯= 136,07−23,84×5,5 = 4,95. (14) Logo, a reta ajustada é dada por
Yˆi= 4,95 + 23,84Xi, i= 1, . . . ,10. (15) O coeficiente angular da reta ajustada (23,84) indica que, para obter um acréscimo de 1 cm no alongamento da mola, é necessário aumentar a força, em média, em 23,84 newtons.
d. Considerando a reta ajustada emc, estime a força necessária esperada para alongar a mola em 7,2 centímetros.
Resposta: Para X= 7,2, tem-se
Yˆ = 4,95 + 23,84×7,2≈176,6 (16) Portanto, a força necessária esperada para alongar a mola em7,2cm é de 176,6 newtons.
Exercício 3.
a. Encontre a média e o desvio padrão do número de reuniões profissionais nos últimos cinco anos dos professores entrevistados.
Resposta: Pelo enunciado, sabemos que
n= 12,
∑n
i=1
xi= 48 e
∑n
i=1
x2i = 232. (17)
Assim, o número médio de reuniões profissionais nos últimos cinco anos dos professores entrevistados é dado por
¯ x=
∑n
i=1xi
n = 48
12 = 4. (18)
Além disso,
s2X =
∑n
i=1x2i −n¯x2
n−1 = 232−12×42
11 ≈3,64 (19)
(20) donde segue que o desvio padrão para a variável sob estudo é dado por
sX =√3,64≈1,91. (21)
b. Ajuste a reta de regressão linear entre as duas variáveis. Interprete o coeficiente angular b.
Resposta: Do enunciado, sabemos também que ∑n
i=1
yi = 144, donde segue que y¯ = 12, e que
∑n i=1
xiyi= 662. Com os valores já ressaltados ema, temos que
b=
∑10
i=1xiyi−n¯x¯y
(n−1)s2X = 662−12×4×12
11×3,64 ≈2,15 (22)
e
a= ¯y−b¯x= 12−2,15×4 = 3,4. (23)
participar, em média, de2,45 reuniões profissionais adicionais.
c. Suponha que ∑n
i=1
yi2 = 1916. Determine a correlação linear entre as duas variáveis.
Resposta: Sob tal suposição, temos que
s2Y =
∑n
i=1yi2−n¯y2
n−1 = 1916−12×122
11 ≈17,09 (25)
donde segue que
sY =√17,09≈4,13. (26)
Sabemos pelo item aquesX = 1,91e, pelo itemb queb= 2,15. Daí, por relação vista em aula, o coeficiente de correlação entre as duas variáveis é dado por
r = sX
sY
b= 2,15×1,91
4,13 ≈0,99. (27)
