1 Espa¸ co Vetorial

(1)

MAP2110 Modelagem e Matem´atica

1o Semestre de 2007 Notas de Aula 4 - INCOMPLETO - 10/06/2007

1 Espa¸ co Vetorial

Defini¸c˜ao 1 Seja K=R ouC

Um conjunto V munido de uma adi¸c˜ao e uma multiplica¸c˜ao por escalar:

+ : V ×V → V e K×V → V

(~u, ~v) → ~u+~v (λ, ~v) → λ~v satisfazendo as propriedades

i. ~u+~v=~v+~u, ∀~u, ~v∈V,

ii. (~u+~v) +w~ =~u+ (~v+w),~ ∀~u, ~v, ~w∈V,

iii. Existe~e∈V tal que~e+~v=~v+~e=~v, ∀~v∈V,

iv. Para cada~v∈V existe~op_~_v∈V tal que~v+~op_~_v=~op_~_v+v=~e, v. α(~u+~v) =α~u+α~v, ∀α∈V, ∀~u, ~v∈V,

vi. (α+β)~v=α~v+β~v, ∀α, β∈V, ∀~v∈V, vii. α(β~v) = (αβ)~v, ∀α, β∈V, ∀~v∈V, viii. 1~v=~v,∀~v∈V,

´e chamado um espa¸co vetorial sobreK.

Os elementos deV são chamados vetores; o elemento~edo item iii é chamado vetor nulo, e usualmente denotado porO; o elemento~ ~op~v do iem iv é chamado oposto de~v e é ususlmente denotado por−~v.

Observa¸cão 1 Nas Notas de Aula 2 vocês já foram apresentados a alguns espa¸cos vetoriais. Abaixo estão alguns exerc´ıcios que apresentam mais exemplos de espa¸cos vetoriais.

Exerc´ıcio 1 Mostre que Rⁿ com a adi¸cão e a multiplica¸cão por escalar dadas abaixo é um espa¸co vetorial sobreR:

Parax= (x1, x2, . . . , xn), y= (y1, y2, . . . , yn)∈Rⁿ, λ∈R x+y:= (x1+y1, x2+y2, . . . , xn+yn),

λx:= (λx1, λx2, . . . , λxn)

Exerc´ıcio 2 Mostre que Cⁿcom a adi¸cão e a multiplica¸cão por escalar dadas abaixo é um espa¸co vetorial sobreC:

Parax= (x₁, x₂, . . . , x_n), y= (y₁, y₂, . . . , y_n)∈Cⁿ, λ∈C x+y:= (x1+y1, x2+y2, . . . , xn+yn),

λx:= (λx1, λx2, . . . , λxn)

1

(2)

Exerc´ıcio 3 Mostre que o conjunto Pn(R) dos polinômios de grau≤ n com coeficientes reais, com a adi¸cão e a multiplica¸cão por escalar dadas abaixo, é um espa¸co vetorial sobreR:

Parap, q∈ P_n(R)dadospor

p(x) =a₀+a₁x+· · ·+a_nxⁿ eq(x) =b₀+b₁x+· · ·+b_nxⁿ eλ∈R p+q´e definido por (p+q)(x) := (a0+b0) + (a1+b1)x+· · ·+ (an+bn)xⁿ,

λp´e definido por (λp)(x) := (λa0) + (λa1)x+· · ·+ (λan)xⁿ

Exerc´ıcio 4 Mostre que o conjunto Mm×n(R) das matrizes m×n com en- tradas reais, com a adi¸cão e a multiplica¸cão por escalar dadas abaixo, é um espa¸co vetorial sobreR:

ParaA= [aij], B= [bij]∈ M_m×n(R) A+B= [aij] + [bij] := [aij+bij]

λA=λ[aij] := [λaij]

Exerc´ıcio 5 Mostre que o conjuntoC([0,1]) das fun¸cões cont´ınuas definidas em [0,1] a valores em R com a adi¸cão e a multiplica¸cão por escalar usuais dadas abaixo, é um espa¸co vetorial sobreR:

Paraf, g∈C([0,1]) eλ∈R

f+g ´e a fun¸c˜ao definida por (f+g)(x) :=f(x) +g(x),∀x∈[0,1]

λf ´e a fun¸c˜ao definida por (λf)(x) :=λf(x),∀x∈[0,1]

Exerc´ıcio 6 Mostre que se U e V são espa¸cos vetoriais sobre K então W = U×V com a adi¸cão e a multiplica¸cão por escalar definidas abaixo é também um espa¸co vetorial sobreK.

Paraw1= (u1, v1), w2= (u2, v2)∈U×V,eλ∈K definimos w₁+w₂= (u₁, v₁) + (u₂, v₂) := (u₁+u₂, v₁+v₂)

λw₁=λ(u₁, v₁) := (λu₁, λv₁)

Observe que a primeira igualdade em cada uma das duas últimas linhas é nota¸cão. Note ainda que aparecem três adi¸cões e três multiplica¸cões por escalar diferentes: uma emU×V, que está sendo definida, uma existente emU, devido ao fato deU ser espa¸co vetorial, uma existente em V, devido ao fato de V ser espa¸co vetorial.

Exerc´ıcio 7 SejaV um espa¸co vetorial. SejaU ={O} ⊂~ V.

Mostre que U com a adi¸cão e a multiplica¸cão por escalar herdadas deV é um espa¸co vetorrial.

Defini¸cão 2 Um subconjuntoU de um espa¸co vetorial V é dito um subespa¸co vetorial de V se U com a adi¸cão e a multiplica¸cão por escalar herdadas de V torna-se um espa¸co vetorial.

Exerc´ıcio 8 Prove o seguinte teorema:

Teorema: Um subconjuntoS⊂V não vazio é um subespa¸co vetorial deV se, e somente se, é fechado para a adi¸cão (isto é,~u+~v∈S, ∀~u, ~v∈S), e é fechado para a multiplica¸cão por escalar (isto é, λ~u∈S, ∀~u∈S, ∀λ∈R).

Defini¸c˜ao 3 Seja V um espa¸co vetorial.

2

(3)

i. Um subconjunto{v1, v2, . . . , vn} ⊂V ´e dito linearmente independente se a

´

unica solu¸c˜aoa1, a2, . . . , an∈Kda equa¸c˜ao a1v1+a2v2+· · ·+anvn=O~

´

e a solu¸c˜ao triviala1=a2=· · ·=an= 0.

ii. SejaΛ um conjunto n˜ao vazio.

Um subconjuntoA={vλ |λ∈Λ} ⊂V é dito linearmente independente se cada subconjunto finito não vazio de A é linearmente independente, isto

´

e, se para quaisquerλ₁, . . . , λ_n ∈Λ, a única solu¸cãoa₁, a₂, . . . , a_n ∈Kda equa¸cão

a1vλ₁+a2vλ₂+· · ·+anvλ_n =O~

´

e a solu¸c˜ao triviala1=a2=· · ·=an= 0.

Exerc´ıcio 9 SejaV um espa¸co vetorial.

SejaU ={u1, . . . , uk} ⊂V um subconjunto linearmente independente.

Mostre que qualquer subconjunto de U não vazio é também linearmente independente.

i. Um subconjunto {v1, v₂, . . . , v_n} ⊂ V ´e dito gerador de V se para cada v∈V existema₁, a₂, . . . , a_n ∈K tais que

v=a₁v₁+a₂v₂+· · ·+a_nv_n. ii. SejaΛ um conjunto n˜ao vazio.

Um subconjunto A = {vλ |λ ∈ Λ} ⊂ V ´e dito gerador de V se para cada v∈V existe um subconjunto finito n˜ao vazio{vλ₁, . . . , vλ_m} de V e existema1, a2, . . . , am∈K tais que

v=a1vλ₁+a2vλ₂+· · ·+amvλ_m. Defini¸c˜ao 5 Seja V um espa¸co vetorial, V 6={O}.~

Um subconjunto B deV é dito uma base de V se é gerador deV e é linearmente independente.

Exerc´ıcio 10 SejaV =R⁴.

Seja C = {e₁, e₂, e₃, e₄} ⊂ R⁴ onde e₁ = (1,0,0,0), e₂ = (0,1,0,0), e₃ = (0,0,1,0) ee4= (0,0,0,1).

(a) Mostre queC ´e linearmente independente.

(b) Mostre queC ´e gerador deV =R⁴. (c) Conclua queC ´e uma base deV =R⁴. Exerc´ıcio 11 SejaV =R⁴.

Seja C = {v1, v2, v3, v4} ⊂ R⁴ onde v1 = (1,2,3,4), v2 = (0,1,2,3), v3 = (0,0,1,2) ev4= (0,0,0,1).

3

(4)

(a) Mostre queC ´e linearmente independente.

(b) Mostre queC ´e gerador deV =R⁴. (c) Conclua queC ´e uma base deV =R⁴.

Proposi¸c˜ao 1 SejaV um espa¸co vetorial e{v1, . . . , v_n} ⊂V. S˜ao equivalentes:

i. {v₁, . . . , v_n}´e uma base deV.

ii. {v1, . . . , vn}´e maximal linearmente independente.

iii. {v1, . . . , vn} ´e minimal gerador de V.

Proposi¸c˜ao 2 Seja V um espa¸co vetorial e sejam B = {v1, . . . , vn} ⊂ V e C={w1, . . . , wm} ⊂V duas bases de V.

Ent˜aom=n.

Se V ={O}~ dizemos queV tem dimens˜ao zero e escrevemos dimV = 0.

Se V tem uma base finita {v1, . . . , v_n} dizemos que V tem dimens˜ao n e escrevemosdimV =n.

Se V 6={O}~ eV n˜ao tem base finita dizemos que V tem dimens˜ao infinita e escrevemosdimV =∞.

Exerc´ıcio 12 Ache duas bases diferentes deV =M_2×3(R). Justifique.

Exerc´ıcio 13 Ache duas bases diferentes deV =P4(R). Justifique.

Exerc´ıcio 14 Ache duas bases diferentes de V = C⁴ como espa¸co vetorial sobreC. Justifique.

Exerc´ıcio 15 Ache duas bases diferentes deV =P(R) = espa¸co vetorial dos polinˆomios a coeficientes reais. Justifique.

Teorema 1 Todo espa¸co vetorialV 6={O}~ tem uma base.

Observa¸cão 2 Não provaremos este teorema nesta disciplina, mas o usaremos sempre que necessário.

Exerc´ıcio 16 Tente achar uma base deV =C([0,1]).

2 Espa¸ cos Vetoriais Euclidianos

4