MAP 2210 Henrique von Dreifus 15 de maio de 2012

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MAP 2210

Henrique von Dreifus

15 de maio de 2012

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1 N´ umeros Complexos

Nosso objetivo nesta se¸cão é introduzir de maneira informal o conjunto dos números complexos. Para tanto considere o espa¸co vetorial<², o qual consiste de pares ordenados de números reais, (x1, x2), i.e.

<²={(x₁, x₂)|x_j∈ <, j= 1,2}

a estrutura de Espa¸co Vetorial introduzida a partir da defini¸cão das opera¸cões de soma e multiplica¸cão por um escalar, elemento de<:

• Soma

Dados (x1, x2)∈ <² e (y1, y2)∈ <² definimos a opera¸c˜ao de soma por:

(x1, x2) + (y1, y2) = (x1+y1, x2+y2)∈ <²

• Multiplica¸c˜ao por um escalar

Dados (x1, x2) ∈ <² e α∈ < definimos a opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao por um escalar por

α(x₁, x₂) = (αx₁, αx₂)∈ <²

Uma estrutura geométrica é introduzida em <² a partir da defini¸cão de um produto interno. Em particular a estrutura geométrica Euclideana é obtida a partir da defini¸cão do produto interno

• Produto Interno Euclideano

Dados (x₁, x₂)∈ <²e (y₁, y₂)∈ <²definimos a opera¸c˜ao de produto interno que a um par de elementos de<² associa um n´umero real dado por

(x₁, x₂)·(y₁, y₂) =x₁y₁+x₂y₂

A partir da defini¸c˜ao de produto interno temos as no¸c˜oes geometricas de

• Magnitude

|x|=√ x·x

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• Distˆancia

d(x, y) =|(x−y)|

• Angulo

θ= arccos x·y

|x||y|

Uma das principais defini¸cões no estudo das propriedades do espa¸co vetorial<² são as no¸cões de dependência e independência linear.

• Dependˆencia Linear

Dois elementos (x1, x2) e (y1, y2) são ditos ser linearmente dependentes se existem escalares (números reais)αeβ não nulos tais que

α(x1, x2) +β(y1, y2) = (0,0)

ou seja o sistema linear nas vari´aveisαeβ αx₁ + βy₁ = 0 αx₂ + βy₂ = 0

admite solu¸cão não nula. Se o sistema linear acima admitir apenas a solu¸cão trivial, α = 0 e β = 0, os vetores x = (x1, x2) e y = (y1, y2) são dito serem linearmente independentes.

Outro conceito importante consiste na no¸c˜ao debase.

•BaseDados dois vetoresx∈ <²ey∈ <², LI (linearmente independentes), temos definida uma base de <² no sentido de que para qualquer outro vetor (elemento) z= (z1, z2)∈ <², existe um ´unico par de n´umeros reais αeβ tais que

α(x1, x2) +β(y1, y2) = (z1, z2) ou de forma equivalente, o sistema linear nas vari´aveisαeβ

αx₁ + βy₁ = z₁ αx₂ + βy₂ = z₂ admite uma ´unica solu¸c˜ao.

Uma base definida a partir de dois vetoresx∈ <²ey∈ <²é dita serortogonal se os vetoresxey forem ortogonais, isto é, se x·y = 0. Uma base ortogonal é dita serortonormalse|x|²=x·x= 1 e|y|²=y·y= 1

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Em <² uma base ortogonal pode ser caracterizada por um ´unico vetor u = (a, b) ∈ <². Para tanto basta considerar o vetor u⊥ = (−b, a) ∈ <² de forma que os vetoresuev definem uma base ortogonal de<².

Dado ω = (ω1, ω2) ∈ <² e ω_⊥ = (−ω2, ω1) ∈ <² considere a base ortogonal definida a partir destes vetores. Ent˜ao para qualquer outro elemento de z = (z1, z2)∈ <² podemos considerar

α=z·ω=z₁ω₁+z₂ω₂ β =z·ω_⊥=−z1ω2+z2ω1

de forma que dadosωezem<²podemos associar um novo elemento de<²da seguinte maneira

¯

ωz= (α, β) = (z1ω1+z2ω2,−z1ω2+z2ω1)

Ainda com estas defini¸c˜oes deαeβ temos que z=α ω

|ω|+β ω_⊥

|ω⊥|

Observe também que dados z e (α, β) é poss´ıvel recuperar ω= (ω₁, ω₂). Para tanto basta determinar a solu¸cão de

z₁ω₁ + z₂ω₂ = α z₂ω₁ − z₁ω₂ = β

Podemos associar a esta constru¸c˜ao um conjunto de transforma¸c˜oes lineares definidas a partir de um dado elementoω= (ω1, ω2)∈ <²

Dadoω= (ω1, ω2)∈ <² defimos a transforma¸c˜ao linear Ω por:

Ω =

ω₁ ω₂

−ω₂ ω₁

z₁ z₂

=

ω₁z₁+ω₂z₂

−ω₂z₁+ω₁z₂

= α

β

Observe que det[Ω] =ω₁²+ω₂² e portanto não nulo se ω6= (0,0). É fácil de ver que no caso em queω²₁+ω²₂= 1, a transforma¸cão inversa de Ω é:

Ω⁻¹= Ω^t=

ω1 −ω2

ω2 ω1

Observamos que quandoω₁²+ω²₂= 1, as transforma¸c˜oes lineares Ω e Ω⁻¹, agindo em um elemento dez∈ <², podem ser interpretadas como uma rota¸c˜ao por um angulo−θ eθ respectivamente, comθtal que:

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cos(θ) =ω1

sin(θ) =ω2

A partir da transforma¸cão Ω⁻¹ podemos introduzir uma opera¸cão de multiplica¸cão em<²da seguinte maneira:

Defini¸c˜ao

Dadosω∈ <² ez∈ <² definimos uma opera¸c˜ao demultiplica¸c˜ao em<² por:

wz= (ω1z1−ω2z2, ω1z2+ω2z1)

que possui as propriedades:

1. Comutativa

ω=zω 2. Associativa

(yω)z=y(ωz)

3. A multiplica¸cão é distributiva com respeito à soma em <²: y(ω+z) =yω+yz

4. Possui elemento neutro

(1,0)z=z 5. Elemento inverso

z= (z₁, z₂)∈ <², z⁻¹= ( z₁

|z|²,− z₂

|z|²)

O conjunto<²munido das opera¸c˜oes de soma e da multiplica¸c˜ao definida acima constitui umCorpo.

Em vista do que foi apresentado podemos, no contexto dos operadores lineares em<², respresentado por matrizes 2×2, considerar o conjunto das matrizes da forma:

a −b

b a

Estas matrizes s˜ao invers´ıveis:

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a −b

b a

a b

−b a

=

a²+b² 0 0 a²+b²

e dadas duas matrizes desta forma temos a1 −b1

b1 a1

a2 −b2

b2 a2

=

a1a2−b1b2 −a1b2−b1a2

b1a2+a1b2 −b1b2+a1a2

=

α −β

β α

Temos então que oCorpo dos Números Complexospode ser identificado com o conjunto das transforma¸cões lineares de<²obtido pelas combina¸cões de rota¸cões e dilata¸cões ou contra¸cões.

a −b

b a

=

r 0 0 r

cos(θ) −sin(θ) sin(θ) cos(θ)

comr=√

a²+b² e cos(θ) =^√ ^a

a²+b²; sin(θ) =^√ ^b

a²+b²

A forma mais comum de se representar números complexos utiliza o s´ımbolo i que, no contexto da opera¸cão de multiplica¸cão como definida para números reais, teria a propriedade de que:

i²=ii=−1 ou

i=√

−1

de forma quez= (a, b)∈C´e representado por z=a+bi

2 O espa¸ co L

²

(<)

O objetivo aqui não é apresentar uma constru¸cão rigorosa do espa¸co de Hilbert L²(<) mas apenas considerar um paralelo entre alguns resultados de natureza mais complexa com resultados vistos no contexto da álgebra linear em <ⁿ. Muitas das considera¸cões a seguir serão feitas de forma pouco precisa e na maioria das vezes afirma¸cões serão feitas com muito pouco rigor.

Come¸camos com a no¸cão deEspa¸co de Hilbert. Antes de mais nada um espa¸co de Hilbert é umespa¸co vetorialsobre algum corpo. Para que um espa¸co vetorial seja considerado um espa¸co de Hilbert é necessário que ele sejanormado, com um norma definida a partir de um produto interno, e que seja completo com respeito a esta norma. Assim um espa¸co de Hilbert é:

(7)

• Um espa¸co vetorial.

• Um espa¸co vetorial com produto interno definido (ou seja tem uma estrutura geom´etrica definida)

• é um espa¸co normado, isto é possui uma no¸cão dedistância. (com a no¸cão de distância definida a partir do produto interno)

• ´e um espa¸co de Banach (espa¸co vetorial normado completo).

A propriedade de ser completo é uma propriedade de natureza mais complexa que não iremos discutir aqui, apenas com um intuito ilustrativo citamos o exemplo de que, o conjunto dos números racionais com a no¸cão de distância usual, dada pelo valor absoluto da diferen¸ca de dois elementos, não é um conjunto completo, enquanto que o conjunto dos números reais com a mesma no¸cão de distância é completo.

Para darmos uma ideia do espa¸co L²(<), considere inicialmente o conjunto de fun¸cões S(<) constituido por fun¸cões definidas no conjunto dos números reais com valores no conjunto dos números complexos e que tem as seguinte propriedades:

•

φ∈ S(<); φ(x) =a(x) +ib(x)

coma(x) eb(x) fun¸c¸cesC^∞(<)

•

x→±∞lim |x|^k|φ(x)| →0; ∀k∈N

S(<) ´e um espa¸co vetorial sobre o corpoC dos n´umeros complexos. Definimos um produto interno emS(<) por

hφ, ψi= Z ∞

−∞

φ(x)ψ(x)dx¯

onde ¯φ(x) denota o complexo conjugado de ¯φ(x), isto ´e, para φ(x) =a(x) +ib(x)

φ(x) =¯ a(x)−ib(x)

Com esta defini¸c˜ao de produto interno, podemos considerar a norma

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kφ−ψk²= Z ∞

−∞

[ ¯φ(x)−ψ(x)][φ(x)¯ −ψ(x)]dx

O espa¸co S(<) não é completo com esta no¸cão de distância. Evitando uma apresenta¸cão técnica, iremos apenas afirmar que através de um procedimento padrão, podemos competar o espa¸co S(<) com a norma mencionada, obtendo o espa¸co L²(<).

3 Operadores Auto-adjuntos em L

²

(<)

Com a defini¸c˜ao de produto interno em um Espa¸co Vetorial, podemos introduzir a no¸c˜ao deOperador Hermitiano Conjugado.

DadosV um espa¸co vetorial com um produto internohu, vi, e um operador linear M, podemos definir o operador linearM^∗,Operador Hermitiano Conjugado de M, como sendo o operador linear tal que:

hu, M vi=hM^∗u, vi

Observe que no contexto do espa¸co euclideano<ⁿ a no¸c˜ao de Hermitiano Con- jugado coincide com a no¸c˜ao de matriz transposta.

Um operador linear M no contexto acima é dito ser simétrico se M^∗ = M, o que, novamente no contexto do espa¸co euclideano <ⁿ, corresponde a uma matriz ser simétrica. Em um contexto mais geral operadores simétricos são inicialmente definidos em subconjuntos não completos de um espa¸co vetorial.

Por exemplo, o operador linear _dx^d²2 pode ser introduzido no subconjuntoS de L²(<). Posteriormente extensõesdo operador _dx^d²2 podem ser obtidas a partir da no¸cão de completar um espa¸co métrico. Obtemos então a defini¸cão de um operador linear simétrico em um espa¸co vetorial completo, (lembre que estamos considerando que o espa¸co vetorial tem um produto interno definido, a partir do qual consideramos uma norma). Nesta situa¸cão tal operador linear é dito ser Auto-adjunto.

4 O Operador

_∂x^∂²2

Consideramos agora ooperador linear _∂x^∂²2 definido em S(<). N˜ao ´e dif´ıcil de verificar que

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S(<) :S → S φ(x)→ ∂²φ

∂x²(x)

Também não é dif´ıcil verificar que _∂x^∂²₂ é uma operador simétrico

φ,∂²ψ

∂x²

= Z ∞

−∞

φ(x)¯ ∂²

∂x²ψ(x)dx

Efetuando duas integra¸c˜oes por partes obtemos Z ∞

−∞

φ(x)¯ ∂²

∂x²ψ(x)dx= φ(x)¯ ∂ψ

∂x(x)|^∞_−∞− Z ∞

−∞

∂φ¯

∂x(x)∂ψ

∂xψ(x)dx=− Z ∞

−∞

∂φ¯

∂x(x)∂ψ

∂x(x)dx onde a ultima igualdade ´e consequ¸cncia do fato de que lim_|x|→∞φ(x) = 0

− Z ∞

−∞

∂φ¯

∂x(x)∂ψ

∂x(x)dx=−∂φ¯

∂x(x)ψ(x)|^∞_−∞+ Z ∞

−∞

∂²φ¯

∂x²(x)ψ(x)dx= Z ∞

−∞

∂²φ¯

∂x²(x)ψ(x)dx Assim temos

Z ∞

−∞

φ(x)¯ ∂²

∂x²ψ(x)dx= Z ∞

−∞

∂²φ¯

∂x²(x)ψ(x)dx

e portanto _∂x^∂²₂ ´e um operador sim´etrico.

5 Transformada de Fourier

EmL²(<) podemos considerar para cadak∈ <operadores lineares da forma

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F(φ)(k) = 1

√ 2π

Z ∞

−∞

e^−ikxφ(x)dx

temos assim definida uma nova fun¸c˜ao, agora na vari´avelk φ(k) =ˆ F(φ)(k)

N˜ao iremos demonstrar aqui mas apenas afirmar o resultado φ(k)ˆ ∈L²(<)

isto é, ˆφ(k) como fun¸cão da variável real k é um elemento de L²(<). Outro resultado é que o operadorF possui inversa a qual é dada por

F⁻¹( ˆφ)(y) = 1

√2π Z ∞

−∞

e^ikyφ(k)dkˆ

Considere o espa¸co vetorial gerado por combina¸cões lineares de fun¸cões da variável realxda seguinte forma:

e_k(x) =e^ikx

observe que aqui o n´umero real k tem um papel de ´ındice que distingue os elementos dabase deste novo espa¸co vetorial. Se de maneira informal conside- rarmos uma analogia com nosso estudo de ´algebra linear em<ⁿ, a transformada de Fourier poderia ser vista dia seguinte maneira

Para cadak∈ <, ˆφ(k) seria aproje¸c˜ao deφnadire¸c˜aoassociada aek(x).

Uma outra forma de tra¸car um paralelo entre o caso de dimens˜ao finita<ⁿ e o caso de dimens˜ao infinitaL²(<) seria ver a transformada de Fourier como uma mudan¸ca de baseemL²(<).

Tendo em vista o operador ^∂_∂x²^φ₂, temos

φ(x) =F⁻¹( ˆφ)(x) = 1

√2π Z ∞

−∞

e^ikxφ(k)dkˆ e portanto

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∂²φ

∂x²(x) = ∂²

∂x² 1

√ 2π

Z ∞

−∞

e^ikxφ(k)dkˆ

=

√1 2π

Z ∞

−∞

e^ikx[−k²φ(k)]dkˆ

de forma que a mudan¸ca de base devido a a¸c˜ao da transformada de Fourier implica em

F ∂²φ

∂x²

(k) =F 1

√2π Z ∞

−∞

e^ikx[−k²φ(k)]dkˆ

=−k²φ(k)ˆ

Ou seja o operador linear ^∂_∂x²^φ2, após efetuarmos a mudan¸ca de base definida pela transformada de Fourier, é representado por um operador de multiplica¸cão, (multiplica¸cão por−k²).

6 Equa¸ c˜ ao do Calor

A identidade acima pode ser utilizada para obter a solu¸c˜ao do problema de Cauchy para a equa¸c˜ao do calor.

∂φ

∂t(t, x) = ∂²φ

∂x²(t, x) φ(0, x) =f(x)

ondef(x) ´e uma fun¸c˜ao dada.

Para obter a solu¸cão iremos seguir passos analagos aos que foram utilizados para obter a solu¸cão de uma sistema de equa¸cões diferenciais ordinárias da forma:

dv

dt(t) =M v(t) v(0) =v⁰ ondev(t)∈ <ⁿ eM ´e uma matriz sim´etrica.

Primeiro observamos que neste caso mais simples utilizamos o fato de que sendo M uma matriz simétrica então temos assegurada a existência de uma transforma¸cão linear U :<ⁿ→ <ⁿ, invers´ıvel tal que

U^⊥M U =

λ1 0 0 λ2

(12)

comλj autovalores deM e

v¹₁ v₁² v¹₂ v₂²

v¹= v¹₁

v¹₂

ev²= v₁²

v₂²

autovetores normalizados (|v^j|= 1) deM.

Utilizando este fato,

U^⊥dv

dt(t) =U^⊥M U U^⊥v(t) onde utiizamos o fato de queU U^⊥=I.

Assim

d˜v dt(t) =

λ₁ 0 0 λ₂

˜ v(t)

com ˜v=U^⊥v. A resolu¸c˜ao do sistema acima ´e simples.

˜

v₁(t) =c₁e^λ¹^t

˜

v₂(t) =c₂e^λ²^t

onde

c₁ c₂

=U^⊥v⁰ e portanto

˜ v(t) =

e^λ¹^t 0 0 e^λ²^t

U^⊥v⁰

de forma que

v1(t) v2(t)

=U

v˜1(t)

˜ v2(t)

ou

v(t) =U

e^λ¹^t 0 0 e^λ²^t

U^⊥v⁰

Observamos que o ponto importante na resolu¸cão acima reside no seguinte fato Existência da transforma¸cão linearU com as seguintes propriedades

(13)

• U ´e invers´ıvel.

• U^⊥M U ´e um operador lineardiagonal.

No contexto da equa¸c˜ao do calor, consideramos as seguintes analogias F ←→U^⊥

F⁻¹←→U φ(t, x)←→v(t) φ(t, k)ˆ ←→v(t)˜

observe quexcorresponde aos indices que indicam as componente dev ekaos indices que indicam as componentes de ˜v.

{F ∂²

∂x²F⁻¹Fφ}(t, k) =

√1 2π

Z ∞

−∞

e^−ikx ∂²

∂x²{ 1

√2π Z ∞

−∞

eⁱ^¯^kx[ 1

√2π Z ∞

−∞

e⁻ⁱ^k^¯^x^¯φ(t,x)d¯¯ x]d¯k}dx=

√1 2π

Z ∞

−∞

e^−ikx{ 1

√2π Z ∞

−∞

(−¯k²)eⁱ^¯^kx[ 1

√2π Z ∞

−∞

e⁻ⁱ^k^¯^x^¯φ(t,x)d¯¯ x]d¯k}dx=

√1 2π

Z ∞

−∞

e^−ikx{ 1

√2π Z ∞

−∞

eⁱ^¯^kx(−k¯²)[ 1

√2π Z ∞

−∞

e⁻ⁱ^¯^k¯^xφ(t,x)d¯¯ x]dk}dx¯ =

denotando

ψ(t,ˆ ¯k) =−¯k²[ 1

√2π Z ∞

−∞

e⁻ⁱ^k^¯^x^¯φ(t,x)d¯¯ x]

temos

{F ∂²

∂x²F⁻¹Fφ}(t, k) ={F F⁻¹ψ}(t, k)ˆ ou

{F ∂²

∂x²F⁻¹}φ(t, k) =ˆ −k²φ(t, k)ˆ dado o exposto acima temos

∂φ

∂t(t, x) =∂²φ

∂x²(t, x)⇒

F {∂φ

∂t}(t, k) =F {∂²φ

∂x²}(t, k)⇒

(14)

∂φˆ

∂t(t, k) =−k²φ(t, k)ˆ e portanto

φ(t, k) =ˆ cke^−k²^t com

c_k ={Ff}(k) Assim

φ(t, x) = 1

√ 2π

Z ∞

−∞

e^ikx{ 1

√ 2π

Z ∞

−∞

e^−ik¯^xf(¯x)d¯x}e^−k²^tdk=

√1 2π

Z ∞

−∞

{ 1

√2π Z ∞

−∞

e^ikx−ik¯^x−k²^tdk}f(¯x)d¯x}=

φ(t, x) = 1

√4πt Z ∞

−∞

e^−(x−¯^x)²^/(4t)f(¯x)d¯x

onde a integral emdk´e calculada da seguinte maneira

√1 2π

Z ∞

−∞

e^ikx−ik¯^x−k²^tdk=

√1 2π

Z ∞

−∞

e^ik(x−¯^x)−k²^tdk=

√1 2π

Z ∞

−∞

exp −

k√

2t−i(x−x)¯

√2t ²

/2

! exp

−(x−x)¯ ² 4t

dk= considerando a mudan¸ca de vari´avel

k√

2t−i(x−x)¯

√

2t =z dk= dz

√2t temos

√1 2π

Z ∞

−∞

e^ikx−ik¯^x−k²^tdk= 1

√2te⁻^(x−¯^4t^x)2 ( 1

√2π

Z ∞−i(x−¯x)/√ 2t

−∞+i(x−¯x)/√ 2t

e^−z²^/2dz )

⇒

(15)

√1 2π

Z ∞

−∞

e^ikx−ik¯^x−k²^tdk= 1 2√

2te⁻^(x−¯^4t^x)2

onde utilizamos o seguinte resultado referente a integra¸c˜ao complexa

√1 2π

Z ∞−i(x−¯x)/√ 2t

−∞+i(x−¯x)/√ 2t

e^−z²^/2dz= 1

√2π Z ∞

−∞

e^−z²^/2dz= 1

Como exemplo consideramos o caso em que f(x) = 1

√2πe^−x²^/2σ² ondeσ´e dado.

Neste caso φ(t, x) = 1

√4πt Z ∞

−∞

e^−(x−¯^x)²^/(4t)f(¯x)d¯x= 1

√4πt Z ∞

−∞

e^−(x−¯^x)²^/(4t) 1

√2πe^−¯^x²^/2σ²d¯x

Exerc´ıcio: Calcule a última integral a direita para obter a expressão expl´ıcita de φ(t, x) e verifique que a fun¸cão de t e x obtida é solu¸cão do problema de Cauchy para a equa¸cão do calor com condi¸cão inicialφ(0, x) =f(x).