Primeira página Índice Introdução Proposição Conectivos e valores lógicos Tabelas verdade Valor lógico da proposição Operações l ógicas Construção de tabelas verdade Ordem de precedência dos conectivos Tautologia, contradição e contingência Equivalência Proposições associadas a uma condicional Recíproca da condicional Contrapositiva da condicional Forma normal das proposições Exercícios Bibliografia
L ó g i c a m a t e m á t i c a
Sumário: Introdução Proposição Conectivos e valores lógicos Tabelas verdade Valor lógico da proposição Operações lógicas Construção de tabelas verdade Ordem de precedência dos conectivos Tautologia, contradição e contingência Equivalência Proposições associadas a uma condicional Recíproca da condicional Contrapositiva da condicional Forma normal das proposições Exercícios Bibibliografia Introdução A lógica matemática trata do estudo das sentenças declarativas também conhecidas como proposições e tem por objetivo elaborar procedimentos que permitam obter um raciocínio correto na investigação da verdade, distinguindo os argumentos válidos daqueles que não o são. O filósofo grego Aristóteles (384 322 a.C.) iniciou o estudo da lógica, fazendo uma representação do processo do pensamento. No século XIX o matemático inglês George Boole (1815 1864), criador da Álgebra Booleana, descreveu operações de lógica e de probabilidades, base da atual aritmética computacional. Proposição Proposição é um conjunto de palavras ou símbolos que exprime um pensamento de sentido completo, de modo que se possa atribuir, dentro de certo contexto, somente um de dois valores lógicos possíveis: verdadeiro ou falso. A lógica matemática se assenta em dois princípios fundamentais: Princípio da não contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo; Princípio do terceiro excluído: Toda proposição ou é verdadeira ou falsa, excluindose qualquer outro valor. Somente às sentenças declarativas podese atribuir valores de verdadeiro ou falso, que ocorre quando a sentença é confirmada ou negada, respectivamente. Não se pode atribuir um valor de verdadeiro ou falso às demais formas de sentenças como as interrogativas, as exclamativas e outras, embora elas também expressem pensamentos ou juízos. As proposições classificamse em simples ou atômicas e compostas ou moleculares. Proposição simples — É um pensamento singular sem integrar qualquer outra proposição. Exemplos: Antônio é estudante. José é solteiro. Proposição composta — É formada pela combinação de duas ou mais proposições simples. Exemplos: Maria é professora e Pedro é mecânico. Se o carro é novo, então está em boa condição de uso.
As proposições simples são geralmente designadas pelas letras minúsculas p, q, r, s, ... e as compostas pelas letras maiúsculas P, Q, R, S, ...
Conectivos e valores lógicos
Conectivos: (Termos usados para formar novas proposições a partir de outras existentes.) "e", "ou", "não", "se... então... ", "se e somente se ..."
Valores lógicos das proposições: Verdade (V) e Falsidade (F).
Tabelas verdade
A Tabela verdade é um instrumento usado para determinar os valores lógicos das proposições compostas, a partir de atribuições de todos os possíveis valores lógicos das proposições simples componentes. A primeira das tabelas abaixo apresenta duas proposições simples: p e q e a segunda, três proposições simples: p, q e r. As células de ambas as tabelas são preenchidas com valores lógicos V e F, de modo a esgotar todas as possíveis combinações. O número de linhas da tabela pode ser previsto efetuando o cálculo: 2 elevado ao número de proposições simples. Nos exemplos abaixo temse 22 = 4 linhas e 23 = 8 linhas.
p q
V V
V F
F V
F F
p q r
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
Valor lógico da proposição
Notação: O valor lógico de uma proposição simples indicase por V(p) e composta por V(P) (letra maiúscula).
Exemplos de proposições simples: p : um triângulo têm três lados. q : Blumenau é um país.
V(p) = V V(q) = F (Lêse valor lógico de p é igual a V (verdadeiro) e de q é igual a F (falso))
Exemplo de proposição composta: p : o sol é uma estrela ou q : a terra é uma estrela.
P(p,q) = p v q V(P) = V (O símbolo "v" representa o conectivo "ou" visto abaixo)
Operações lógicas
Os valores lógicos das proposições são definidos pelas tabelas descritas em cada operação a seguir.
Negação (~) "~p" lêse "não p". Exemplo:
p : Joana é bonita
~p : Joana não é bonita
ou ~p : Não é verdade que Joana é bonita ou ~p : É falso que Joana é bonita
p ~p
V F
F V
Conjunção (^) "p ^ q" lêse "p e q". Exemplo:
p : A neve é branca (V) q : 2 < 5 (V)
p ^ q : A neve é branca e 2 < 5 (V) Representação:
V(p ^ q) = V(p) ^ V(q) = V ^ V = V Leitura:
p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
Disjunção (v) "p v q" lêse "p ou q". Exemplo:
p : Blumenau é a capital de SC (F) q : 5/7 é uma fração própria (V)
p v q : Blumenau é a capital de SC ou 5/7 é uma fração própria (V)
V(p v q) = V(p) v V(q) = F v V = V
p q p v q
V V V
V F V
F V V
F F F
Disjunção exclusiva (v) "p v q" lêse "ou p ou q", mas não ambos ou ainda "ou exclusivo".
p q p v q
V V F
V F V
F V V
F F F
O valor lógico é Falso(F) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas.
Exemplo:
P : Carlos é médico ou professor Q : Antônio é catarinense ou gaúcho.
Na proposição composta P pelo menos uma das proposições simples é verdadeira, podendo ser ambas verdadeiras. ("ou" inclusivo).
Na proposição composta Q apenas uma das proposições é verdadeira. ("ou" exclusivo).
Condicional (—>) "p —> q" lêse "se p então q" ("—>" símbolo de implicação).
p q p —> q
V V V
V F F
F V V
F F V
O valor lógico é Falso(F) no caso
em que p é verdadeira e q é falsa.
Exemplo:
p : A terra é uma estrela (F) q : O ano tem nove meses (F)
p —> q : Se a terra é uma estrela, então o ano tem nove meses (V)
V(p —> q) = V(p) —> V(q) = F —> F = V
Bicondicional (<—>) "p <—> q" lêse "p se e somente se q".
p q p <–> q
V V V
V F F
F V F
F F V
Uma bicondicional é verdadeira somente quando ambas proposições são verdadeiras ou ambas falsas. (p é condição necessária e suficiente para q ou q é condição necessária e suficiente para p).
Exemplo:
p : A terra é plana (F) q : 10 é um número primo (F)
p <—> q : A terra é plana se e somente se 10 for um número primo (V)
V(p <—> q) = V(p) <—> V(q) = F <—> F = V
Construção de tabelas verdade
a) Construir a tabela verdade da seguinte proposição: P(p,q) = ~(p ^ ~q). Solução:
V V F F V
V F V V F
F V F F V
F F V F V
Procedimento:
Para determinar os valores lógicos de uma proposição composta, devese antes relacionar em colunas as proposições simples envolvidas e dar a elas todos os valores lógicos combinados, podendo seguir a ordem na qual se começa estabelecendo na primeira linha o valor lógico Verdade para todas as variáveis, na segunda linha repetese os valores, exceto para coluna mais a direita que recebe o valor lógico F e, assim, seguir alternando os valores até especificar na última linha o valor F para todas as proposições simples.
No exemplo acima, inicialmente, foram colunadas as proposições simples p e q e determinados todos os valores lógicos. Em seguida, foi criada a próxima coluna ~q e definidos seus valores, aplicando a operação de negação ou inversão com base nos valores da coluna q. O passo seguinte foi abrir a coluna p ^ ~q e determinar seus valores, efetuando a operação de conjunção considerando os valores das colunas p e ~q. No próximo e último passo criouse a coluna
~(p ^ ~q) e estabelecidos seus valores, negando ou invertendo o conteúdo da coluna anterior.
Formas de indicar o resultado da proposição composta da tabela acima:
P(VV) = V, P(VF) = F, P(FV) = V, P(FF) = V ou P(VV, VF, FV, FF) = VFVV
b) Construir a tabela verdade da proposição: P(p,q,r) = p v ~r —> q ^ ~r. Solução:
p q r ~r p v ~r q ^ ~r p v ~r —> q ^ ~r
V V V V V F F
V V F V V V V
V F V F V F F
V F F V V F F
F V V F F F V
F V F V V V V
F F V F F F V
F F F V V F F
A tabela verdade desenvolvida acima precisou de oito linhas (23) para dispor todos seus valores lógicos, uma vez que a proposição composta envolve tres proposições simples: p, q e r.
Ordem de precedência dos conectivos:
A precedência é o critério que especifica a ordem de avaliação dos conectivos ou operadores lógicos de uma expressão qualquer. A lógica matemática prioriza as operações de acordo com a ordem listadas abaixo.
1) ~ 2) ^ e v 3) —> 4) <—>.
Parênteses podem ser utilizados para determinar uma forma específica de avaliação de uma proposição. A proposição p —> q <—> s ^ r, por exemplo, é bicondicional e nunca uma condicional ou uma conjunção. Para convertêla numa condicional devese usar parênteses: p —> (q <—> s ^ r).
Tautologia, contradição e contingência
Tautologia proposição composta cuja última coluna de sua tabela verdade encerra somente a letra V(verdade). Exemplo: p v ~(p ^ q).
Contradição proposição composta cuja última coluna de sua tabela verdade encerra somente a letra F(falsidade). Exemplo: (p ^ q) ^ ~(p v q).
cada uma pelo menos uma vez. Exemplo: p v q —> p.
Equivalência
Uma proposição P(p, q, r, ...) é equivalente a uma proposição Q(p, q, r, ...) se as tabelas verdade dessas duas proposições são idênticas.
Notação: P(p, q, r, ...) <==> Q(p, q, r, ...).
Exemplo: A condicional "p —> q" e a disjunção "~p v q" são equivalentes como expõe sua tabela verdade:
p q p —> q ~p ~p v q
V V V F V
V F F F F
F V V V V
F F V V V
Equivalência: p—> q <==> ~p v q
Proposições associadas a uma condicional
Proposição recíproca de p —> q : q —> p Proposição contrária de p —> q : ~p —> ~q Proposição contrapositiva de p —> q : ~q —> ~p
p q p —> q q —> p ~p —> ~q ~q —> ~p
V V V V V V
V F F V V F
F V V F F V
F F V V V V
Equivalências: p —> q <==> ~q —> ~p e q —> p <==> ~p —> ~q
A condicional (p —> q) é equivalente a sua contrapositiva (~q —> ~p) e a recíproca da condicional (q — > p) é equivalente à contrária da condicional (~p —> ~q).
Recíproca da condicional
Exemplo:
p —> q : Se triângulo é eqüilátero, então é isósceles. A recíproca da condicional é
q —> p : Se triângulo é isósceles, então é eqüilátero.
(A condicional p —> q é verdadeira (V), mas sua recíproca q –> p é falsa (F)).
Contrapositiva da condicional
Exemplos:
p —> q : Se Carlos é professor, então é pobre. A contrapositiva é
~q —> ~p : Se Carlos não é pobre, então não é professor. Portanto, (p —> q <==> ~q —> ~p) (Proposições equivalentes).
p : x é menor que zero q : x é negativo
q —> p : Se x é negativo,então x é menor que zero. A contrapositiva é
~p —> ~q : Se x não é menor que zero, então x não é negativo. Portanto, (q —> p <==> ~p —> ~q) (Proposições equivalentes).
Forma normal das proposições
Uma proposição está na forma normal (FN) quando contém apenas os conectivos ~, ^ e v.
Toda proposição pode ser levada para a forma normal equivalente pela eliminação dos conectivos —> e < —>.
Exemplos:
p —> q = ~p v q
p <—> q = (~p v q) ^ (p v ~q)
Podese comprovar esta afirmação de igualdade acima construindo as respectivas tabelas verdade.
Exercícios
(Para obter as respostas posicione o cursor sobre a letra da expressão)
1. Sejam as proposições:
p : Está frio e q : Está chovendo.
Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições: a) ~p b) p ^ q c) p v q
d) q <—> p e) p —> ~q f) p v ~q g) ~p ^ ~q h) p ^ ~q —> p
2. A partir das proposições p : Antônio é rico e q : José é feliz, traduzir para a linguagem corrente as proposições a seguir:
a) q —> p b) p v ~q c) q <—> ~p d) ~p —> q e) ~~p f) p ^ q
3. Sejam as proposições:
p : Carlos fala francês, q : Carlos fala inglês e r : Carlos fala alemão.
Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições: a) Carlos fala francês ou inglês, mas não fala alemão
b) Carlos fala francês e inglês, ou não fala francês e alemão c) É falso que Carlos fala francês mas não que fala alemão
d) É falso que Carlos fala inglês ou alemão mas não que fala francês
4. A partir das proposições p : Maria é rica e q : Maria é feliz, traduzir para a linguagem simbólica as proposições:
a) Maria é pobre, mas feliz b) Maria é rica ou infeliz c) Maria é pobre e infeliz
d) Maria é pobre ou rica, mas é infeliz
5. Construir as tabelasverdade das seguintes proposições: a) ~(p v ~q) b) p ^ q —> p v q
c) ~p ^ r —> q v ~r d) (p ^ ~q) v r
6. Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são respectivamente F e V, determinar o valor lógico da proposição:
(p ^ (~q —> p)) ^ ~((p v ~q) —> q v ~p)
(Para obter a resposta posicione o cursor sobre o número da questão)
7. Mostrar que a seguinte proposição é tautológica: p ^ r —> q v r
8. Mostrar que a seguinte proposição é contradição: (p ^ q) ^ ~(p v q)
Bibliografia
Ciência Moderna, 2005. 224p.
Eletrônica:
http://www.angelfire.com/bc/fontini/logica.html http://mjgaspar.sites.uol.com.br/logica/logica#listapref
