Lógica Matemática e Elementos de Lógica Digital

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Lógica Matemática e

Elementos de Lógica Digital

Curso: Ciência da Computação

Lívia Lopes Azevedo

livia@ufmt.br

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L^ÓGICA MÂTEMÁTICA Ê E^LEMENTOS ^DE L^ÓGICA DÎGITAL

 Apresentação

 Plano de ensino

 Curso

 Conceitos básicos de lógica – lógica proposicional

 Comportamento analógico e digital

 Álgebra booleana e circuitos lógicos

 Circuitos combinacionais

 Circuitos seqüenciais

 Circuitos de memória

 Introdução ao Microprocessador

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O que é lógica?

Embora existam muitas definições para o campo de estudo da lógica, essas definições não diferem essencialmente umas das outras; há um certo consenso entre os autores de que a Lógica tem, por objeto de estudo, as leis gerais do pensamento, e as formas de aplicar essas leis corretamente na investigação da verdade.

Lógica é a análise de métodos de raciocinio.

A lógica é uma Ciência de índole matemática fortemente ligada à Filosofia. Um sistema lógico, por sua vez, é um conjunto de axiomas e regras de inferência que visam representar, formalmente, um raciocínio válido.

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Breve Retrospecto

PERÍODO ARISTOTÉLICO (± 390 a.C. a ± 1840 d.C.)

A história da Lógica tem início com o filósofo grego Aristóteles (384 - 322a.C.) na Macedônia.

Aristóteles criou a ciência da Lógica cuja essência era a teoria do silogismo (certa forma de argumento válido).

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) merece ser citado, apesar de seus trabalhos terem tido pouca influência nos 200 anos seguidos e só foram apreciados e conhecidos no século XIX .

L^ÓGICA M^ATEMÁTICA E^LEMENTOS ^DE ^LÓGICA D^IGITAL

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Breve Retrospecto

PERÍODO BOOLEANO :(± 1840 a ± 1910)

George Boole (1815-1864) e Augustus De Morgan (1806-1871).

Gotlob Frege (1848-1925) – suas ideias foram reconhecidas depois de 1905 – avanço lógica

Giuseppe Peano (1858-1932) - simbologia matemática - escola

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Breve Retrospecto PERÍODO ATUAL: (1910- ...)

Bertrand Russell (1872-1970) e Alfred North Whitehead (1861-1947)

David Hilbert (1862-1943) e sua escola alemã com von Neuman, Bernays, Ackerman e outros

Kurt Gödel (1906-1978) e Alfred Tarski (1902-1983)

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 H

á

outros pontos de vista para a lógica?

 Cl

á

ssica, baseada em linguagem natural

 Matem

á

tica ou simbólica

 Booleana

 Circuitos

 Modal

 Plurivalente

 Nebulosas (fuzzy)

 Probabilisticas

 Intucionista

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L^ÓGICA MÂTEMÁTICA Ê E^LEMENTOS ^DE L^ÓGICA DÎGITAL Linguagem natural

« o produto de um número pela soma de dois outros é igual ao produto do primeiro pelo segundo somado ao produto do primeiro pelo terceiro »

Linguagem simbólica ou formal

« Se x, y, z são números, arbitrários, x.(y+z) = x.y + x.z »

Objetivo da linguagem simbólica é exprimir com correção e exatidão o pensamento e os resultados do

conhecimento científico.

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L^ÓGICA MÂTEMÁTICA Ê E^LEMENTOS ^DE L^ÓGICA DÎGITAL No estudo desses métodos a lógica esta interessada,

principalmente, na forma e não no conteúdo dos argumentos.

«Todo molusco é invertebrado.

O caracol é um molusco.

Logo, o caracol é invertebrado. »

« Todo cão late.

Totó é um cão.

Portanto, Totó late. »

Do ponto de vista da lógica, esses argumentos têm a mesma estrutura e forma.

« Se todo X é Y. Z é um X. Logo Z é Y ».

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Toda linguagem necesssita de um alfabeto e uma fórmula ou expressão.

Alfabeto – formado por todo os simbolos matematicos e letras do alfabeto latino e grego. (α, a, +, є, V, F)

Expressão – formada pela concatenação de simbolos do alfabeto

Ex. a + y

3 є (3, 5, 7)

Linguagem de programacão

Abce não se refere a palavra do alfabeto + 3 = є 7 x ou objeto matematico, logo não é

uma expressão

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 O conceito mais elementar no estudo da lógica é o de Proposição.

 Proposição “vem de propor” que significa submeter à apreciação; requerer um juízo. Trata-se de uma sentença declarativa – algo que será declarado por meio de termos, palavras ou símbolos – e cujo conteúdo poderá ser considerado verdadeiro ou falso.

Ao afirmar “a Terra é maior que a Lua”, estamos diante de uma proposição cujo valor lógico é verdadeiro.

Quando falarmos em valor lógico estaremos nos referindo a um dos dois possíveis juízos que atribuiremos a uma proposição:

verdadeiro (V) ou falso (F)

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L^ÓGICA MÂTEMÁTICA Ê E^LEMENTOS ^DE L^ÓGICA DÎGITAL Chama-se de proposição ou enunciado a expressão que

correlaciona objetos ou descreve propriedade desse objeto.

Uma proposição exprime um pensamento de sentido completo

Ex. A lua é satelite da terra 3x5 = 5x3

Pedro estuda e trabalha

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L^ÓGICA MÂTEMÁTICA Ê E^LEMENTOS ^DE L^ÓGICA DÎGITAL Expressões da forma:

Que dia lindo!

Qual o seu nome? Feliz Ano Novo.

Escreva um artigo.

Não são consideradas proposições

Em lógica consideramos apenas as proposições que são declarativas e que só admitem dois valores:

verdadeiro (V) ou falso (F), um excluindo o outro.

Ex.

« duas retas de um plano são paralelas ou concorrentes »

« Os humanos precisam de água para sobreviver »

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Considere o seguinte:

a. Dez é menor do que sete.

b. Como vai você?

c. Ela é muito talentosa.

d. Existem formas de vida em outros planetas do universo.

 A frase (a) é uma proposição porque é falsa.

 Como o item (b) é uma pergunta, não pode ser considerado nem verdadeiro nem falso. Não tem valor-verdade e, portanto, não é uma proposição.

 Na frase (c) a palavra ela é uma variável e a frase não é verdadeira nem falsa, pois ela não está especificada; portanto, (c) não é um enunciado.

 A frase (d) é um enunciado porque é verdadeira ou falsa;

independentemente de sermos capazes de decidir qual dos dois.

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A lógica matematica adota como regras fundamentais três princípios ou axiomas:

 Princípio da identidade

Uma proposição verdadeira é verdadeira; uma proposição falsa é falsa.

 Princípio da Não-Contradição

Nenhuma proposição poderá ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

Ou seja, não é possível afirmar e negar o mesmo predicado para o mesmo objeto ao mesmo tempo; ou ainda, de duas afirmações

contraditórias, uma é necessariamente falsa.

 Princípio do Terceiro Excluído

Uma proposição ou será verdadeira, ou será falsa: não há outra possibilidade.

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L^ÓGICA MÂTEMÁTICA Ê E^LEMENTOS ^DE L^ÓGICA DÎGITAL Exemplos de proposições

1 – O Brasil ganhou a copa de 2014 (F)

2 – Jorge Amado escreveu « mar morto » (V) 3 – ¾ é um numero inteiro (F)

4 – Brasilia é capital do Brasil (V)

5 – O maior jogador do mundo é Maradona (F) 6 – O número 2 é primo (V)

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L^ÓGICA MÂTEMÁTICA Ê E^LEMENTOS ^DE L^ÓGICA DÎGITAL Argumentos lógicos

Se eu ganhar sozinho na Mega Sena, serei rico Eu ganhei na Mega Sena

Logo, sou rico

Como a conclusão “sou rico” é uma decorrência lógica das duas premissas, esse argumento é considerado válido.

A validade do argumento está diretamente ligada à forma pela qual ele se apresenta.

premissas conclusão

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Se eu ganhar na Loteria, serei rico Não ganhei na Loteria

Logo, não sou rico

Embora seja semelhante ao anterior, tem outra forma, e, nessa forma, a conclusão não se segue logicamente das premissas, e, portanto, não é um argumento válido.

Se jogamos bem, ganhamos. Ganhamos, logo, jogamos bem.

Na verdade jogamos mal, mas o adversário jogou pior e o juiz nos ajudou.

premissas conclusão

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A Lógica dispõe de duas ferramentas que podem ser utilizadas pelo pensamento na busca de novos conhecimentos: a dedução e a indução

Dedução - Os argumentos dedutivos pretendem que suas premissas forneçam uma prova conclusiva da veracidade da conclusão.

Um argumento dedutivo é válido quando suas premissas, se verdadeiras, fornecem provas convincentes para sua conclusão.

Um argumento dedutivo é dito inválido quando for impossível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa.

Tvs antigas são preto e branco Pinguins são preto e branco Logo, Pinguins são tvs antigas

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Indução - Os argumentos indutivos não pretendem que suas premissas forneçam provas cabais da veracidade da conclusão, mas apenas que forneçam indicações dessa veracidade.

Joguei uma pedra no lago, e a pedra afundou;

Joguei outra pedra no lago e ela também afundou;

Joguei mais uma pedra no lago, e também esta afundou;

Logo, se eu jogar uma outra pedra no lago, ela vai afundar.

Os termos “válidos” e “inválidos” não se aplicam aos argumentos indutivos; eles costumam ser avaliados de acordo com a maior ou menor possibilidade com que suas conclusões sejam estabelecidas.

Os argumentos indutivos partem do particular para o geral, isto é, a partir de observações particulares, procura estabelecer regras gerais.

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L^ÓGICA M^ATEMÁTICA E^LEMENTOS L^ÓGICA D^IGITAL Analise a proposição

p: Essa sentença é falsa.

A frase é verdadeira ou falsa?

 Se p for falsa, a proposição é verdadeira

 Se p for verdadeira, a proposição é falsa

Estamos diante de um paradoxo, pois a sentença não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente

Paradoxos – são proposições que não admitem um único valor lógico, apesar de serem declarativas.

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L^ÓGICA M^ATEMÁTICA E^LEMENTOS L^ÓGICA D^IGITAL

Analise a proposição

p: Pedro é analista ou não é analista

Qual o valor lógico dessa proposição?

 As proposições ( r ) e ( s ) são contraditórias Ou seja, se uma for verdadeira a outra é falsa.

Uma proposição simples ou composta que apresenta sempre o valor lógico (V), independente dos valores lógicos de suas proposições componentes, é denominado de Tautologia

r s

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L^ÓGICA MÂTEMÁTICA Ê E^LEMENTOS ^DE L^ÓGICA DÎGITAL Uma proposição logicamente verdadeira é aquela cuja

verdade depende exclusivamente do arranjo de certas expressões, ditos vocábulos lógicos, e não de um texto empírico ou observacional. Esses vocábulos são:

e, ou, não, se ... então, ... se somente se ..., todo.

Ex.

« Sócrates é mortal e Zeus é um deus. »

« João é cuiabano ou João não é cuiabano. »

« Se todo homem é mortal e Sócrates é homem, então Sócrates é mortal. »

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As partículas (vocábulos) lógicas: e, ou, não, se ... então, ... se somente se ..., desempenham importante papel no estabelecimento das disciplinas, pois a partir de proposições simples podem ser formados proposições compostas.

Normalmente as proposições são representadas por letras do alfabeto latino ou grego (p, q, t, α, β...)

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 Proposições simples

p: 5 < 8 VL(p) = V q: o novo papa é alemão vl(q) = F r: João é médico vl(r) = F s: Pedro é analista vl(s) = V

 proposições compostas

w= junção de r e s: (João é médico e Pedro é analista) vl(w) = ???

t: comprarei um carro se e somente se ganhar dinheiro vl(t) = ???

v: Paulo é matogrossense ou é goiano vl(v) = ????

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L^ÓGICA MÂTEMÁTICA Ê E^LEMENTOS ^DE L^ÓGICA DÎGITAL A veracidade de uma proposição simples é imediata,

enquanto a veracidade de uma proposição composta depende de duas coisas:

1) do valor lógico das proposições compostas, 2) do tipo de conectivo lógico que as une.

Conectivos a serem estudados:

e, ou, não, se ... então, se somente se,

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L^ÓGICA M^ATEMÁTICA E^LEMENTOS ^DE L^ÓGICA D^IGITAL

Conectivos Lógicos

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L^ÓGICA M^ATEMÁTICA E^LEMENTOS ^DE L^ÓGICA D^IGITAL Analise a proposição

p: Cuiabá é capital de Mato Grosso É uma proposição cujo valor lógico é verdadeiro

A negação dessa proposição ~p seria:

~p: não é verdade que Cuiabá é capital de Mato Grosso

~p: Cuiabá não é capital de Mato Grosso Cujo valor lógico da negação é falso

r:

Computação está na área de humanas

~r: Computação não está na área de humanas

~r: Não é verdade que computação está na área de humanas.

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Negação de p

¬p ou ∼p lê-se: “não p”

Semântica da negação

 se p é verdadeira, então ¬p é falsa

 se p é falsa, então ~p é verdadeira

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Tabela Verdade

descreve os valores lógicos de uma proposição em termos das combinações dos valores lógicos das proposições componentes e dos conetivos usados

Tabela verdade negação

p ~p

V F

F V

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 Conectivo « e » (^) and ( . ) – conjunção Definição

Chama-se conjunção de duas proposições p e q a proposição representada por « p^q », cujo valor lógico é a verdade (V) quando as proposições p e q forem ambas verdadeiras, e falsidade (F) nos demais casos.

Simbolicamente é representada por:

« p^q », « p.q », « p and q »

Reflete uma noção de simultaneidade

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L^ÓGICA MÂTEMÁTICA Ê E^LEMENTOS ^DE L^ÓGICA DÎGITAL Ex. « Eu te darei uma bola e eu te darei uma chuteira » p: eu te darei uma bola q: eu te darei uma chuteira Valor lógico das proposições:

Eu te darei uma bola

p

Eu te darei uma chuteira q

Eu te darei uma bola e eu te darei uma chuteira

p ^q

V V V

V F F

F V F

F F F

Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a conjunção " p e q " corresponderá à interseção do conjunto p com o conjunto q.

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Exercício: Conjunção

1) Suponha que p e q são respectivamente V e F.

Qual o valor lógico?

 p ∧ ~q

 ~p ∧ q

 ~p ∧ ~q

2) Determine o V(p), sabendo que V(q) = V e V(p ∧ q) = F

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LÓGICA MATEMÁTICA E ELEMENTOS DE LÓGICA DIGITAL

 Conectivo « ou » (v) or ( + ) – disjunção « p ∨ q », « p + q », « p or q »

Definição

Chama-se disjunção de duas proposições p e q a proposição representada por « p v q », cujo valor lógico é a falso (F) quando as proposições p e q forem ambas falsas, e verdadeiras (V) nos demais casos.

lê-se: “p ou q”

Reflete a noção de “pelo menos uma”

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«Eu te darei uma bola ou eu te darei uma chuteira » Valor Lógico da proposição

p: eu te darei uma bola q: eu te darei uma chuteira

Eu te darei uma bola (p )

Eu te darei uma chuteira ( q )

Eu te darei uma bola ou eu te darei uma chuteira (p v q )

V V V

V F V

F V V

F F F

Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a disjunção “p e q"

corresponderá à união do conjunto p com o conjunto q.

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Exercício: Disjunção

1) Suponha que p e q são respectivamente V e F.

Qual o valor lógico?

 p ∨ ~q

 ~p ∨ ~q

 ~~p ∨ ~q

 p ∧ (¬p ∨ q)

2) Determine o V(p), sabendo que V(q) = F e V(p ∨ q) = F

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Condição de duas proposições p e q p → q

lê-se: “se p então q”

Definição

Chama-se condição de duas proposições p e q a proposição representada por « p  q », cujo valor lógico é a falso (F) quando a premissa é verdadeira e a conclusão é falsa, e verdadeiras (V) nos demais casos.

Reflete a noção de implicação

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«Se eu te der uma bola então eu te darei uma chuteira » Valor Lógico da proposição

p: eu te der uma bola q: eu te darei uma chuteira

Eu te darei uma bola (p )

Eu te darei uma chuteira ( q )

Se eu te der uma bola então eu te darei uma chuteira (p  q )

V V V

V F F

F V V

F F V

Se as proposições p e q forem

representadas como

conjuntos, por meio de um diagrama, a condicional “p e q" corresponderá à inclusão do conjunto p no conjunto q.

A proposição p é condição suficiente para q.

A proposição q é condição necessária para p.

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Exercício: Condição

1) Determine o V(p), sabendo que

 V(q) = F e V(p → q) = F

 V(q) = F e V(q → p) = V

2) Determine o V(p) e V(q), sabendo que

 V(p → q) = V e V(p ∧ q) = F

 V(p → q) = V e V(p ∨ q) = F

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Bicondição de duas proposições p e q p q

lê-se: “ p se somente se q”

Definição

Chama-se bicondicional uma proposição representada por « p se e somente se q » ou

« p ↔ q », cujo valor logico é verdade (V) quando p e q sao ambas, verdadeiras ou falsas.

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Eu te darei uma bola se, somente se eu te der uma chuteira » p: eu te darei uma bola q: eu te darei uma chuteira

•p é condição necessária e suficiente para q.

* q é condição necessária e suficiente para p

Portanto p ↔ q é (pq ) e (q  p)

• verdadeira, quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas

• falsa, quando p e q possuem valor verdade distintos

Eu te darei uma bola

(p ) Eu te darei uma chuteira

(q ) Eu te darei uma bola se somente se eu te der uma chuteira (p ↔ q )

V V V

V F F

F V F

F F V

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Exercício: Bicondição

Determine o V(p), sabendo que

 V(q) = V e V(p ↔ q) = F

 V(q) = F e V(q ↔ p) = V

2) Determine o V(p) e V(q), sabendo que

 V(p ↔ q) = V e V(p ∧ q) = V

 V(p ↔ q) = V e V(p ∨ q) = V

 V(p ↔ q) = F e V(¬p ∨ q) = V

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Exercícios

Antes de iniciarmos o estudo sistemático da Lógica, exercitemos desde já nosso raciocínio, e apelemos ao velho e útil bom senso para resolver os seguintes problemas:

Se eu não tenho carro, a afirmação “meu carro não é azul” é verdadeira ou falsa ?

Existe um ditado popular que afirma que “toda regra tem exceção”.

Considerando que essa frase é, por sua vez, também uma regra, podemos garantir que é verdadeira ? Ou que é falsa ?

Durante uma expedição, um explorador encontra uma caverna com três deuses: o deus da sinceridade, que sempre fala a verdade;

o deus da diplomacia, que às vezes diz a verdade, às vezes, não;

e o deus da falsidade, cujas declarações são sempre mentirosas.

O deus A diz: “B é o deus da sinceridade”, mas o deus B retruca: “Não, eu sou o deus da diplomacia”, e o deus C completa: “Nada disso, B é o deus da mentira”. Afinal, quem é quem ?

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Havia três garotas, Sueli, Marcia e Diana. Suponha que os seguintes fatos são dados:

a) Paulo ama ao menos uma das garotas;

b) Se ele ama Sueli mas não Diana, então também ama Marcia;

c) Ou ele ama Diana e Marcia ou nenhuma das duas;

d) Se ele ama Diana, entao também ama Sueli;

Qual das garotas voce conclui que Paulo ama?

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Exercícios

1) Construção da tabela verdade para:

a) p ∨ ¬q

b) p ∧ ¬q → F

c) p ∨ (q ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

d) ¬(p ∨ ¬q)

e) ¬(p → ¬q)

f) p ∧ q → p ∨ q

g) ¬p → (q → p)

h) (p → q) → p ∧ q

i) q ↔ ¬q ∧ p

j) p → (q → (q → p))

k) ¬(p → (¬p → q))

l) p ∧ q → (p ↔ q ∨ r)

m) ¬p ∧ r → q ∨ ¬r

n) p → r ↔ q ∨ ¬r

o) p → (p → ¬r) ↔ q ∨ r

p) (p ∧ q → r) ∨ (¬p ↔ q ∨ ¬r)

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2) Verifique se as informações dadas são suficientes para determinar o valor lógico da expressão:

a) (pq)  r , para V (r) = V

b) (p +r) +((s  q) , para V(q) = F

c) ((p+q)↔(p.q)  ((r.p)+q)) , para V(q) = V

d) ((p↔ q)  p) , para V(q) = V

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3. Existe um ditado popular que afirma que “toda regra tem exceção”. Considerando que essa frase é, por sua vez, também uma regra, podemos garantir que é

verdadeira ? Ou que é falsa ?

4. Durante uma expedição, um explorador encontra uma caverna com três deuses: o deus da sinceridade, que sempre fala a verdade; o deus da diplomacia, que às vezes diz a verdade, às vezes, não; e o deus da falsidade, cujas declarações são sempre mentirosas. O deus A diz: “B é o deus da sinceridade”, mas o deus B retruca: “Não, eu sou o deus da diplomacia”, e o deus C completa: “Nada disso, B é o deus da mentira”.

Afinal, quem é quem ?

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Referência:

Daghlian, J. , Lógica e Álgebra de Boole, Atlas, São Paulo, 2001.

Cesar, A. Mortari, Introdução à Lógica, Ed. Unesp, São Paulo, 2011.

Sousa, J. N., Lógica para a Ciência da Computação, Ed. Campus, São Paulo, 2012.