PROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA
VESTIBULAR– 2010 – 2
aFase
RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.
Questão 01.
Um quadrado mágico é uma matriz quadrada de ordem maior ou igual a 3, cujassomas dos termos de cada linha, de cada coluna, da diagonal principal e da diagonal secundária têm o mesmo valor, que é chamado de constante mágica.
Estabeleça um sistema de equações que permita determinar os valores de x, y e z que
tornam a matriz 4 z x 1 z y 5 4z 8 x 8 y 2 y x 1 2y x 9 z 3 2x
A um quadrado mágico e calcule esses
valores.
RESOLUÇÃO:
Aplicando à matriz a lei de formação do quadrado mágico e fazendo a soma dos elementos das linhas, das colunas e das diagonais igual a k:
Soma das linhas
L1 = (–2x+3) + (z+9) + (x+2y+1) = k –x + 2y + z = k – 13
L2 = (x+y+2) + (–y+8) + (–x+8) = k k = 18
L3 = (–4z+5) + (y–z+1) + (–x+z+4) = k –x + y – 4z = k – 10
Soma das colunas
C1 = (–2x+3) + (x+y+2) + (–4z+5) = k –x + y – 4z = k – 10
C2 = (z+9) + (–y+8) + (y–z+1) = k k = 18
C3 = (x+2y+1) + (–x+8) + (–x+z+4) = k –x + 2y + z = k – 13
Soma das diagonais D1 = (–2x+3) + (–y+8) + (–x+z+4) = k –3x+y +z = k – 15
D2 = (x+2y+1) + (–y+8) + (–4z+5) = k x + y – 4z = k – 14
Analisando os resultados encontrados na tabela acima,conclui-se que L3 = C1, L1 = C3 e k = 18, chega-se
então ao sistema: 3 z y 3x 8 4z y x 5 z 2y x 4 4z y x 4 4z y x ) D 3 z y 3x ) D 8 4z y x ) L 5 z 2y x ) L 2 1 3 1
. Resolvendo esse sistema:
4 3 2 1 4 1 3 1 2 1 1 L 2 : L 3 : L L 5 1 11z 2y 12 8z 2y 9 3z 3y 4 4z y x L 3L L L L L L 3 z y 3x 8 4z y x 5 z 2y x 4 4z y x 5 1 11z 2y 6 4z y 3 z y 4 4z y x 1 z 2 y 2 x 4 4 2 x 2 y 11 5 1 2y 15 11 2y 4 4z y x 5 1 11z 2y 1 z 3 3z 4 4z y x L L2 3 .
Questão 02.
Sabendo-se que o vértice da parábola de equação y = a1x² + a2x + a3 é o ponto deinterseção das curvas de equações y log
2x 4
2 1
e y = 2, e que a1, a2 e a3 são elementos da progressão
geométrica a1, a2, a3, ..., calcule a6.
RESOLUÇÃO:
Para determinar o ponto de intersecção das curvas de equações y log
2x 4
2 1 e y = 2, deve-se resolver o sistema: 2 y 3 x 8 2 2 1 4 2 2 4) (2 log 2 y 4) (2 log y x 2 x x 2 1 x 2 1
o ponto de intersecção das curvas é
V = (3, –2).
Sendo esse ponto o vértice da parábola y = a1x² + a2x + a3 ,
6a a 3 2a a 1 2 1 2 que a equação da
parábola pode ser escrita: y = a1x² 6a1x + a3.
Se a1, a2 e a3 são elementos da progressão geométrica a1, a2, a3, ..., a2 2
=a1.a3 (6a1)² = a1.a3 a3 = 36a1
a equação da parábola pode agora ser escrita: y = a1x² 6a1x + 36 a1
Nesta última equação, substituindo x por 3 e y por – 2 ( coordenadas do ponto V): 9a1 18a1 + 36 a1 = – 2 27 a1 = – 2 27 2 a 1 . 3 8 x 9 4 x 27 2 y 2 . Se 3 8 e 9 4 , 27 2
são os três primeiros termos de uma P.G., então
q =
6
576 27 2 a 6 2 27 9 4 27 2 9 4 5 6 RESPOSTA: O valor de a6 é 576.Questão 03.
Sendo z1 e z2 números complexos tais que• z1 é a raiz cúbica de 8i que tem afixo no segundo quadrante,
• z2 satisfaz a equação x4 + x2 12 = 0 e Im(z2) > 0,
) 1 , 3 ( z 2) (0, i 2 i 0 2 ) 1 , 3 ( i 3 2 i 2 3 2 ) 1 , 3 ( i 3 2 i 2 3 2 z 1 3 Resolvendo a equação biquadrada x4 + x2 12 = 0. Como é do 4o grau:
x = 2 4ac b b 2 x = z 2i (Imz 0) 3 x 3 x 2i 4 x 2i 4 x 2 7 1 2 48 1 1 2 2 4 3 2 1 . Sendo z1( 31)
e
z2 2i,
então 2 2 1 z z z 3 =
2i 2i) 2i( 2i) ( i 3 3 2i 2i i 3 3 2i 2i i 3 3 1 4 3 4 1 2 3 i 4 3 2 2i 2i 4 3 2 6i .
RESPOSTA: O valor de 2 2 1 z z z 3 é 1.
Questão 04.
Dadas as funções reais 2 π x 0 , 2 π x f 1 0 x 2 π , 2 π x f g(x) e π x 2 cosx, 1 2 π x 0 senx, f(x) ,
Questão 05.
Considerem-se, no plano cartesiano, os subconjuntos A={(x, y)R²; x² + y² 4},B={(x, y)R²;y 3|x|} e C={(x, y)R²;y 2 }. Calcule a área da região definida por A B C.
RESOLUÇÃO:
O gráfico ao lado representa a região definida por A={(x, y)R²; x² + y² 4}.
O gráfico ao lado representa a região definida por
B={(x, y)R²;y 3 |x|}, que é a intersecção dos subconjuntos D = {(x, y)R²;y 3x} e E = {(x, y)R²;y 3x}, As retas y = 3x e y = 3x formam com o semi-eixo positivo de Ox ângulos cujas tangentes são, respectivamente, iguais a 3 e 3. Logo, suas medidas são, respectivamente 60° e 120°.
A parte em amarelo do gráfico ao lado representa a interseção entre A={(x, y)R²; x² + y² 4} e B={(x, y)R²;y 3|x|}, cuja área é: S(AB) = Scírculo – Ssetor de 60° =
3 10 6 20 6 4 4
A região pintada de amarelo, no gráfico ao lado, representa (A B) C.
No triângulo retângulo AHO, AO² = OH² + AH² 4 = 2 + AH² AH = OH = 2 que esse triângulo é isósceles.
Então a área da região (A B) C é: S(A B) – S(do segmento circular determinado pelo ângulo AÔB). S(do segmento circular determinado pelo ângulo AÔB) = Ssector de 90° – SAOC
= 2 2 2 2 4 4 S(A B) C = 3 6 7 ) 2 ( 3 10
RESPOSTA: A área da região A B C é igual a 3
6 7
u.a.
Questão 06.
Sobre um cilindro circular reto C e uma pirâmide triangular regular P sabe-se que • C tem volume igual a 24cm³ e área de cada base igual a 4cm²,• P tem a mesma altura que C e base inscrita em uma base de C.
Calcule o volume do tronco dessa pirâmide determinado pelo plano paralelo à base que dista 2cm do vértice.
RESOLUÇÃO:
Sbase de C = r² = 4 r² = 4 r = 2.
VC = r²h = 24 4 h = 24 h = 6.
Sendo P uma pirâmide triangular regular, ABC é um triângulo equilátero inscrito na circunferência da base do cilindro, cuja altura BM mede 3 2 3r 2 r r . No triângulo retângulo BMC, 3 2 3 6 2 3 3 sen60 AB BM SABC =
3 3 4 3 ² 3 2 4 3 ² cm². VP = 6 3 3 6 3 3 3 h SABC cm³.Considerando como Vo o volume da pirâmide V(DEF) semelhante à pirâmide P, vale a relação
9 3 2 27 3 6 V 6 2 3 6 V h h V V o 3 o 3 P o P o .
O volume do tronco de pirâmide é VP – Vo =
9 3 52 9 3 2 3 6 .
RESPOSTA: O volume do tronco de pirâmide é 9
3 52
