SÉRIES - TRANSFORMADAS

(1)

UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná

DAMAT – Departamento Acadêmico de Matemática Cálculo Diferencial e Integral 4 (MA64A)

SÉRIES - TRANSFORMADAS

NOTAS DE AULA

Rudimar Luiz Nós

(2)

(3)

Não é paradoxo dizer

que nos nossos momentos de inspiração mais teórica

podemos estar o mais próximo possível

de nossas aplicações mais práticas

.

A. N. Whitehead (1861-1947)

[email protected]

(4)

(5)

SUMÁRIO

1. SÉRIES...9 1.1–SEQUÊNCIAS INFINITAS...9 1.2–SÉRIES INFINITAS...9 1.3–CONVERGÊNCIA DE SÉRIES...10 1.3.1 – A série geométrica...10

1.3.2 – Condição necessária à convergência...11

1.3.3 – Teste da divergência...11

1.3.4 – Série de termos positivos: o teste da integral...11

1.3.5 – Convergência absoluta e condicional ...12

1.3.6 – Convergência uniforme (série de funções)...12

1.3.7 – Teste M de Weierstrass ...13 2. A SÉRIE DE FOURIER...17 2.1–FUNÇÕES PERIÓDICAS...17 2.2–SÉRIES TRIGONOMÉTRICAS...18 2.3–SÉRIE DE FOURIER...22 2.3.1 – Definição ...22 2.3.2 – Coeficientes ...22

2.3.3 – Continuidade seccional ou por partes...25

2.3.4 – Convergência: condições de Dirichlet ...25

2.4–SÉRIE DE FOURIER DE UMA FUNÇÃO PERIÓDICA DADA...27

2.5–FUNÇÕES PARES E FUNÇÕES ÍMPARES...35

2.6–SÉRIE DE FOURIER DE COSSENOS...39

2.7–SÉRIE DE FOURIER DE SENOS...40

2.8–O FENÔMENO DE GIBBS...44

2.9–A IDENTIDADE DE PARSEVAL PARA SÉRIES DE FOURIER...45

2.10–CONVERGÊNCIA DE SÉRIES NUMÉRICAS ATRAVÉS DA SÉRIE DE FOURIER...47

2.11–DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO DA SÉRIE DE FOURIER...48

2.12–A FORMA EXPONENCIAL (OU COMPLEXA) DA SÉRIE DE FOURIER...50

2.13–APLICAÇÕES DA SÉRIE DE FOURIER NA SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS...55

2.13.1 – Equações diferenciais ...55 2.13.2 – Equação do calor ...56 2.13.3 – Equação da onda...59 2.13.4 – Equação de Laplace ...61 2.14–EXERCÍCIOS RESOLVIDOS...65 2.15–EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES...77

3. A INTEGRAL DE FOURIER / TRANSFORMADAS DE FOURIER ...91

3.1–A INTEGRAL DE FOURIER...92

3.2–CONVERGÊNCIA DA INTEGRAL DE FOURIER...92

3.3–A INTEGRAL COSSENO DE FOURIER...93

3.4–A INTEGRAL SENO DE FOURIER...94

3.5–FORMAS EQUIVALENTES DA INTEGRAL DE FOURIER...95

3.6–DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA DE FOURIER E DA TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER...97

3.7–TRANSFORMADA COSSENO DE FOURIER E TRANSFORMADA COSSENO DE FOURIER INVERSA...99

3.8–TRANSFORMADA SENO DE FOURIER E TRANSFORMADA SENO DE FOURIER INVERSA...100

3.9–FUNÇÃO DE HEAVISIDE...102

3.10–ESPECTRO, AMPLITUDE E FASE DA TRANSFORMADA DE FOURIER...104

3.11–PROPRIEDADES OPERACIONAIS DAS TRANSFORMADAS DE FOURIER...106

3.11.1 – Comportamento de F(α) quando |α|→∞ ...107

3.11.2 – Linearidade ...108

3.11.3 – Simetria (ou dualidade)...108

3.11.4 – Conjugado ...109

3.11.5 – Translação (no tempo) ...109

(6)

3.11.7 – Similaridade (ou mudança de escala) e inversão de tempo ...110

3.11.8 – Convolução ...111

3.11.9 – Multiplicação (Convolução na frequência)...114

3.11.10 – Transformada de Fourier de derivadas ...115

3.11.11 – Derivadas de transformadas de Fourier ...116

3.12–RESUMO:PROPRIEDADES OPERACIONAIS DAS TRANSFORMADAS DE FOURIER...119

3.13–DELTA DE DIRAC...120

3.13.1 – Propriedades do delta de Dirac ...121

3.13.2 – Transformada de Fourier do delta de Dirac ...122

3.14–MÉTODOS PARA OBTER A TRANSFORMADA DE FOURIER...122

3.14.1 – Uso da definição...122

3.14.2 – Uso de equações diferenciais ...126

3.14.3 – Decomposição em frações parciais...128

3.15–TRANSFORMADA DE FOURIER DE ALGUMAS FUNÇÕES...130

3.15.1 – A função constante unitária ...130

3.15.2 – A função sinal...131

3.15.3 – A função degrau ...132

3.15.4 – Exponencial...132

3.15.5 – Função cosseno ...133

3.16–RESUMO:TRANSFORMADAS DE FOURIER DE ALGUMAS FUNÇÕES...134

3.17–IDENTIDADE DE PARSEVAL PARA AS INTEGRAIS DE FOURIER...135

3.18–CÁLCULO DE INTEGRAIS IMPRÓPRIAS...137

3.19–SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS...141

3.19.1 – Equações diferenciais ordinárias...141

3.19.2 – Equações diferenciais parciais ...142

Derivação sob o sinal de integração – Regra de Leibniz ... 142

3.19.2.1 – Equação do calor (EDP parabólica)... 144

3.19.2.2 – Equação da onda (EDP hiperbólica) ... 146

3.19.2.3 – Equação de Laplace (EDP elíptica) ... 148

3.20–SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INTEGRAIS E DE EQUAÇÕES ÍNTEGRO-DIFERENCIAIS...151

3.21–EXERCÍCIOS RESOLVIDOS...154

3.22–EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES...157

4. TRANSFORMADAS DE LAPLACE ...165

4.1–DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE...165

4.1.1 – Motivação...165

4.1.2 – Função de Heaviside...166

4.1.2.1 - Generalização... 167

4.1.3 – Transformada de Laplace ...168

4.2–FUNÇÕES DE ORDEM EXPONENCIAL...171

4.3–CONVERGÊNCIA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL...174

4.3.2 – Condições suficientes para a convergência ...174

4.4–TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL DAS FUNÇÕES ELEMENTARES...175

4.4.1 – f(t) = tn...175

4.4.2 – f(t) = eat...177

4.4.3 – Transformada de algumas funções elementares ...177

4.5–PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL...178

4.5.1 – Comportamento da transformada de Laplace F(s) quando s→∞ ...178

4.5.2 – Linearidade ...178

4.5.3 – Primeira propriedade de translação ou deslocamento ...181

4.5.4 – Segunda propriedade de translação ou deslocamento...181

4.5.5 – Similaridade (ou mudança de escala) ...182

4.5.6 – Transformada de Laplace unilateral de derivadas ...183

4.5.7 – Transformada de Laplace unilateral de integrais ...185

4.5.8 – Derivadas de transformadas de Laplace unilaterais (multiplicação por tn) ...186

4.5.9 – Integrais de transformadas de Laplace unilaterais (divisão por t) ...187

4.5.10 – Convolução ...189

4.5.11 – Valor inicial ...190

4.5.12 – Valor final ...191

(7)

4.7–CÁLCULO DE INTEGRAIS IMPRÓPRIAS...194

4.8–MÉTODOS PARA DETERMINAR A TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL...196

4.8.1 – Uso da definição...196

4.8.2 – Expansão em série de potências...196

4.8.3 – Uso de equações diferenciais ...200

4.8.4 – Outros métodos ...200

4.8.5 – Uso de tabelas de transformadas ...200

4.9–TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL DE ALGUMAS FUNÇÕES...200

4.9.1 – Função nula ...200

4.9.2 – Função degrau unitário ...200

4.9.3 – Função impulso unitário ...201

4.9.4 – Algumas funções periódicas...202

4.10–MÉTODOS PARA DETERMINAR A TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL INVERSA...204

4.10.1 – Completando quadrados ...204

4.10.4 – Uso de tabelas de transformadas de Laplace...211

4.10.5 – A fórmula de Heaviside ...211

4.10.6 – A fórmula geral (ou complexa) de inversão ...212

4.11–SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS...213

4.11.1 – Equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes...213

4.11.2 – Equações diferenciais ordinárias com coeficientes variáveis...219

4.11.3 – Equações diferenciais ordinárias simultâneas...221

4.11.4 – Equações diferenciais parciais ...223

4.12–SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES ÍNTEGRO-DIFERENCIAIS...229

5. TRANSFORMADAS ZZZZ...251

5.1–DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA Z_UNILATERAL...252

5.2–TRANSFORMADA Z_{UNILATERAL DE ALGUMAS SEQUÊNCIAS}...253

5.2.1 – Versão discreta da função delta de Dirac...253

5.2.2 – Sequência unitária ou passo discreto unitário ...253

5.2.3 – Exponencial...254

5.2.4 – Potência...255

5.3–SÉRIES DE POTÊNCIAS: DEFINIÇÃO, RAIO DE CONVERGÊNCIA...256

5.4–EXISTÊNCIA E DOMÍNIO DE DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA Z_UNILATERAL...258

5.5–PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA Z_UNILATERAL...260

5.5.1 – Linearidade ...260

5.5.2 – Translação (ou deslocamento) ...264

5.5.3 – Similaridade ...265

5.5.4 – Convolução ...266

5.5.5 – Diferenciação da transformada de uma sequência ...267

5.5.6 – Integração da transformada de uma sequência ...269

5.5.7 – Valor inicial ...270

5.5.8 – Valor final ...271

5.6–RESUMO:TRANSFORMADA Z UNILATERAL DAS FUNÇÕES DISCRETAS ELEMENTARES...272

5.7–TRANSFORMADA Z UNILATERAL INVERSA...272

5.8–MÉTODOS PARA DETERMINAR A TRANSFORMADA Z UNILATERAL INVERSA...273

5.8.1 – Uso da transformada Z unilateral e de suas propriedades ...273

5.8.4 – Estratégia geral de inversão ...279

5.9–TRANSFORMADA Z_BILATERAL...280 5.9.1 - Série de Laurent...280 5.8.1.1 - Singularidades... 280 5.9.2 – Definição ...282 5.10–EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS...286 5.10.1 – Definição ...286

(8)

5.10.3 – Solução de equações de diferenças lineares ...287

6. FORMULÁRIO ...307

(9)

1. SÉRIES

1.1 – Sequências infinitas

Uma sequência infinita é uma função discreta cujo domínio é N\

{ }

0 . Notação:

{ }

a_n , n∈N\

{ }

0, a_n =f

( )

n Exemplos 1o)

{ } ( )

{ }

, 14 25 , 11 16 , 8 9 , 5 4 , 2 1 a 1 n 3 n 1 a _n 2 1 n n       − − = ⇒ − − = + L 2o) A sequência

{ }

1 n 2 n a_n + = é convergente ou divergente?

{ }

, 3 n 2 1 n , 1 n 2 n , , 11 5 , 9 4 , 7 3 , 5 2 , 3 1 an       + + + = L K Se _nliman ∞

→ existe, então

{ }

an é convergente. Caso contrário,

{ }

an é divergente. Como 2 1 n 1 2 1 lim 1 n 2 n lim n n = + = + →∞ ∞ → ,

{ }

an é convergente. 1.2 – Séries infinitas

Uma série infinita é definida como sendo a soma dos termos de uma sequência infinita.

Notação:

∑

= + + +L+ +L ∞ = n 3 2 1 1 n n a a a a a Somas parciais: n 3 2 1 n 3 2 1 3 2 1 2 1 1 a a a a S a a a S a a S a S + + + + = + + = + = = L M Se limS_n S

n→∞ = , então a série infinita é convergente. Se o limite S não existe, então a série infinita é divergente. Exemplo

(

+

)

= + + + +L+

(

+

)

+L

∑

∞ = n n 1 1 5 . 4 1 4 . 3 1 3 . 2 1 2 . 1 1 1 n n 1 1 n

(10)

(

)

1 1 n n lim S lim 1 n n 1 n 1 1 S 1 n 1 n 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 a a a a S 1 n 1 n 1 1 n n 1 a n n n n n 3 2 1 n n = + = + = + − =       + − + +       − +       − +       − = + + + + = + − = + = ∞ → ∞ → L L

Logo, a série infinita é convergente.

1.3 – Convergência de séries Diferenciar:

• Condições necessárias à convergência; • Condições suficientes à convergência;

• Condições necessárias e suficientes à convergência.

1.3.1 – A série geométrica Teorema: A série geométrica

K + + + + =

∑

∞ = 3 2 1 n 1 -n _a _ar _ar _ar r a , com a≠0,

(i) converge, e tem por soma

r 1 a − , se r <1

(

−1<r<1

)

; (ii) diverge, se r ≥1

(

r≤-1 ou r≥1

)

. Exemplos 1o) 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 n 4 3 2 1 n n 1 = − = + + + + + + + = ₋ ∞ = −

∑

L L 2o) 9 5 10 910 5 10 1 1 10 5 10000 5 1000 5 100 5 10 5 5555 , 0 5 , 0 = = − = + + + + = = K K

(11)

1.3.2 – Condição necessária à convergência

Teorema: Se a série infinita

∑

∞

=1 n

n

a é convergente, então lima_n 0 n→∞ = . A recíproca não é sempre verdadeira.

1.3.3 – Teste da divergência

Se _n

n a lim

∞

→ não existir ou limn→∞an ≠0 , então a série infinita

∑

∞

=1 n

n

a é divergente.

1.3.4 – Série de termos positivos: o teste da integral

Teorema: Se f é uma função contínua, decrescente e de valores positivos para todo x ≥ , então 1 a série infinita

( )

=

( )

+

( )

+L+

( )

+L

∑

∞ = n f 2 f 1 f n f 1 n

(i) converge se a integral imprópria

∫

( )

∞ 1 dx x f converge;

(ii) diverge se a integral imprópria

∫

( )

∞ 1 dx x f diverge. Exemplo A série harmônica

∑

= + + + + +L ∞ = 5 1 4 1 3 1 2 1 1 n 1 1 n é divergente. 0 n 1 lim

n→∞ = (condição necessária, porém não suficiente)

( )

[

]

=

[

( )

−

]

=∞ = = ∞ → ∞ → ∞ → ∞

∫

dx limln x limln b 0 x 1 lim dx x 1 b b 1 b b 1 b 1

(12)

1.3.5 – Convergência absoluta e condicional A série

∑

∞ =1 n n

a é dita absolutamente convergente se

∑

= + + +K ∞ = 3 2 1 1 n n a a a a convergir. Se

∑

∞ =1 n n a convergir mas

∑

∞ =1 n n a divergir, então

∑

∞ =1 n n

a é dita condicionalmente convergente.

Teorema: Se

∑

∞ =1 n n a converge, então

∑

∞ =1 n n a também converge. Exemplo A série + ₂ − ₂ − ₂ + ₂ + ₂ − ₂ − ₂ +L 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1

1 é absolutamente convergente, uma vez que

6 n 1 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 2 1 n 2 2 2 2 2 2 2 2 π = = + + + + + + + +

∑

∞ =

L (provaremos usando a série de Fourier).

1.3.6 – Convergência uniforme (série de funções) Série de números reais

K + + + =

∑

∞ = 3 2 1 1 n n a a a a Exemplo: Série de funções

( )

=

( )

+

( )

+

( )

+K

∑

∞ = x u x u x u x u ₁ ₂ ₃ 1 n n Exemplo: K + + + + + =

∑

∞ = ! 5 32 ! 4 16 ! 3 8 ! 2 4 2 ! n 2 1 n n

( )

₌

_{( )}

₊

( )

₊

( )

₊

( )

₊_K

∑

∞ = ! 4 x 4 sen ! 3 x 3 sen ! 2 x 2 sen x sen ! n nx sen 1 n

(13)

A série de Fourier

∑

∞ =             +       + 1 n n n 0 L x n sen b L x n cos a 2

a π π _{é uma série de funções}

trigonomé-ricas. Sejam a série

∑

_{( )}

∞ =1 n n x

u , onde

_{

u_n

_{( )}

x

_}

, n =1,2,3,Ké uma sequência de funções definidas em [a,b], S_n

( )

x =u₁

( )

x +u₂

( )

x +u₃

( )

x +L+u_n

( )

x a soma parcial da série e limS_n

( )

x S

( )

x

n→∞ = . A série converge para S

( )

x em

[ ]

a,b se para cada ε >0 e cada x ∈

[ ]

a,b existe um N > tal que 0

( )

x −S

( )

x <ε

S_n para todo n > N. O número N depende geralmente de ε e x . Se N depende somente deε, então a série converge uniformemente ou é uniformemente convergente em

_{[ ]}

a,b .

Teorema 1: Se cada termo da série

∑

( )

∞ =1 n

n x

u é uma função contínua em [a,b] e a série é uniformemente convergente para S(x) em [a,b], então a série pode ser integrada termo a termo, isto é,

( )

∑ ∫

( )

∫ ∑

∞ = ∞ =         =         1 n b a n b a _n ₁ n x dx u x dx u .

Teorema 2: Se cada termo da série

∑

( )

∞ =1 n

n x

u é uma função contínua com derivada contínua

em [a,b] e se

∑

( )

∞ =1 n

n x

u converge para S(x) enquanto

∑

( )

∞ =1 n

' n x

u converge uniformemente em [a,b],

então a série pode ser diferenciada termo a termo em [a,b], isto é,

∑

( )

∑

( )

∞ = ∞ =       =         1 n n 1 n n u x dx d x u dx d . 1.3.7 – Teste M de Weierstrass

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897): matemático alemão.

Se existe uma sequência de constantes Mn ,n=1,2,3,K, tal que para todo x em um intervalo (a) un

( )

x ≤Mn e (b)

∑

∞ =1 n n M converge, então

∑

( )

∞ n x

(14)

Observações:

1a) O teste fornece condições suficientes, porém não necessárias.

2a) Séries uniformemente convergentes não são necessariamente absolutamente convergentes ou vice-versa. Exemplo

( )

_{( )}

( )

∑

∞ = + + + + = 1 n 2 2 2 2 ₄ x 4 cos 3 x 3 cos 2 x 2 cos x cos n nx cos L é uniforme e absolutamente convergente em [0,2π] (ou em qualquer intervalo), uma vez que

( )

₂ ₂ n 1 n nx cos ≤ e 6 n 1 2 1 n 2 π =

∑

∞ = . Exercícios

01. Mostre que a série

∑

∞ = + 1 n 2 2 4 n 5 n diverge.

R.: Use o teste da divergência.

02. Mostre que a série

(

)(

)

∑

∞

=1 − + n 2n 1 2n 1

1

converge e determine sua soma.

R.: 2 1

03. Determine se as séries infinitas a seguir são convergentes ou divergentes.

a)

∑

∞ =1 + n 2 ₁ n n R.: A série é divergente: =∞ +

∫

∞ 1 2 ₁dx x x . b)

∑

( )

∞ =1 n 3 n n ln R.: A série é convergente:

( )

4 1 dx x x ln 1 3 =

∫

∞ .

(15)

c)

∑

∞ = − 1 n n ne R.: A série é convergente: e 2 dx xe 1 x =

∫

∞ − _. d)

( )

∑

∞ =2 n nln n 1 _{R.: A série é divergente:}

( )

=∞

∫

∞ 2 xln x dx .

04. Verifique se as séries de funções seguintes são uniformemente convergentes para todo x .

a)

∑

( )

∞ =1 n n 2 nx cos

R.: A série é uniformemente convergente para todo x .

b)

∑

∞ =1 + n 2 2 _x n 1

R.: A série é uniformemente convergente para todo x .

c)

∑

( )

∞ =1 − n n 2 1 2 nx sen

R.: A série é uniformemente convergente para todo x . 05. Seja

( )

∑

( )

∞ = = 1 n 3 n nx sen x f . Prove que

( )

(

)

∑

∫

∞ = − = 1 n 4 0 2n 1 1 2 dx x f π . R.: Use

( )

₃ ₃ n 1 n nx sen

≤ , o teste M de Weierstrass (prove que

∑

∞ =1 n n3

1

converge usando o teste da integral) e o fato de que uma série uniformemente convergente pode ser integrada termo a termo.

Observação: Mostraremos futuramente que

(

2n 1

)

96 1 4 1 n 4 π = −

∑

∞ = . Assim,

( )

48 dx n nx sen 4 0 _n ₁ 3 π =

∫ ∑

π ∞ = . 06. Prove que

( )

dx 0 7 . 5 x 6 cos 5 . 3 x 4 cos 3 . 1 x 2 cos 0 =     + + +

∫

π L .

(16)

(17)

2. A SÉRIE DE FOURIER

Jean-Baptiste Joseph Fourier (1766-1830): físico, matemático e engenheiro francês. Principais

contribuições: teoria da condução do calor, séries trigonométricas.

Por que aproximar uma função por uma função dada por senos e cossenos?

Para facilitar o tratamento matemático do modelo, uma vez que as funções trigonométricas seno e cosseno são periódicas de período fundamental π2 , contínuas, limitadas e de classe _{C , ou seja, são}∞ infinitamente diferenciáveis.

2.1 – Funções periódicas

Uma função f :R→R é periódica de período fundamental P se

(

x P

)

f

( )

x x, P 0 f + = ∀ > . Exemplos (a) (b) (c) (d)

Figura 1: (a) f

( )

x =sen

( )

x , função de período fundamental P =2π; (b) f

( )

x =cos

( )

x , função de período fundamental P =2π; (c) f

( )

x = , função de período fundamental 5 P=k ,k>0; (d) função onda triangular, de período fundamental P = . 2

(18)

Como as funções sen

( )

x e cos

( )

x são 2π-periódicas, temos que

( )

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

L L = + = + = + = = + = + = + = π π π π π π 6 x cos 4 x cos 2 x cos x cos 6 x sen 4 x sen 2 x sen x sen .

Funções periódicas surgem em uma grande variedade de problemas físicos, tais como as vibrações de uma corda, o movimento dos planetas em torno do sol, a rotação da terra em torno do seu eixo, o movimento de um pêndulo, a corrente alternada em circuitos elétricos, as marés e os movimentos ondulatórios em geral.

2.2 – Séries trigonométricas

Denomina-se série trigonométrica a uma série da forma

( )

+

( )

+

( )

+

( )

+

( )

+

( )

+L

+a cos x b sen x a cos 2x b sen 2x a cos3x b sen 3x 2 a 3 3 2 2 1 1 0 ou

( )

[

]

∑

∞ = + + 1 n n n 0 _a _cos _nx _b _sen _nx 2 a (2.2.1) ou

∑

∞ =             +       + 1 n n n 0 L x n sen b L x n cos a 2 a π π _{. (2.2.2)}

Obtém-se a forma (2.2.2) através de uma transformação linear que leva um intervalo de amplitude L2 em um intervalo de amplitude π2 .

Em (2.2.1) ou (2.2.2), para cada n temos um harmônico da série ea , 0 a e n b são os n

coeficientes da série. 0 a : constante

( )

n f a_n = e bn =f

( )

n : sequências infinitas Exemplo

( )

{ }

      − − − = ⇒ − = = ,K 5 2 , 2 1 , 3 2 , 1 , 2 a n 1 2 n cos n 2 a _n n n π π π π π π π π

(19)

∑

∞ =       φ + π + 1 n n n 0 _A _sen n 2 a L x , (2.2.3)

onde A_n = a_n2 +b_n2 , an =Ansen

( )

φn e bn =Ancos

( )

φn .

A forma (2.2.3) é obtida multiplicando-se e dividindo-se a forma (2.2.2) por a_n2+b_n2 .

∑

∞ = + +             π +       π + + + 1 n 2 n 2 n 2 n 2 n n n 2 n 2 n 2 n 2 n 0 b a b a n sen b n cos a b a b a 2 a L x L x

∑

∞ =               π + +       π + + + 1 n 2 n 2 n n 2 n 2 n n 2 n 2 n 0 _sen n b a b n cos b a a b a 2 a L x L x Considerando a_n2 +b_n2 =A_n,

( )

n n n _sen A a φ = e

( )

n n n _cos A b φ = , temos que:

( )

∑

∞ =             π φ +       π φ + 1 n n n n

0 _A _sen _cos n _cos _sen n 2 a L x L x

∑

∞ =       φ + π + 1 n n n 0 _A _sen n 2 a L x Em (2.2.3), o termo       φ + π n n n sen A L

x _{é chamado harmônico de ordem n e pode ser} caracterizado somente pela amplitude A e pelo ângulo de fase _n φ . _n

Questões

01. Dada uma função f(x) 2L-periódica, quais as condições que f(x) deve satisfazer para que exista uma série trigonométrica convergente para ela?

02. Sendo m ∈,n N, mostre que:

(a) dx 0, n 0 L x n cos L L ≠ =      

∫

− π

(20)

du n L dx dx L n du L x n u π π π = = =

( )

(

)

[

sen n sen n

]

0 n L L x n sen n L dx L x n cos L L L L = π − − π π =             π π =       π − −

∫

dx dx

[ ]

x L

(

L

)

2L L x n cos 0 n L_L L L L L = − − = = =       π ⇒ = ₋ − −

∫

(b) dx 0 L x n sen L L =      

∫

₋ π ₍

_{( )}

      π = L x n sen x f é ímpar no intervalo

[

−L,L

]

) du n L dx dx L n du L x n u π π π = = =

( )

(

)

[

cos n cos n

]

0 n L L x n cos n L dx L x n sen L L L L = π − − π π − =             π π − =       π − −

∫

dx 0dx 0 L x n sen 0 n L L L L = =       π ⇒ =

∫

− − (c)    ≠ = ≠ =            

∫

− L, sem n 0 n m se 0, dx L x n cos L x m cos L L π π

( )

[

(

)

(

)

]

(

)

(

)

_dx ₀_se_m _n L x n -m cos L x n m cos 2 1 dx L x n cos L x m cos v u cos v u cos 2 1 v cos u cos : que Lembrando L L L L ≠ =           +     + =             − + + =

∫

₋ π π ₋ π π

[ ]

x L 2 1 dx 2 1 dx 1 L x n 2 cos 2 1 dx L x n cos 0 n m LL L L L L L L 2 = = =       +       π =       π ⇒ ≠ = ₋ − − −

∫

[ ]

x 2L dx 2 2 1 dx L x n cos L x m cos 0 n m L_L L L L L = = =       π       π ⇒ = = ₋ − −

∫

(d)    ≠ = ≠ =            

∫

₋ L, sem n 0 n m se 0, dx L x n sen L x m sen L L π

(21)

( )

[

cos

(

u v

)

cos

(

u v

)

]

2 1 v sen u sen : que Lembrando = − − +

(

)

(

)

_dx ₀_se_m _n L x n m cos L x n -m cos 2 1 dx L x n sen L x m sen L L L L ≠ =           + π −     π =       π       π

∫

₋ ₋

[ ]

x L 2 1 dx 2 1 dx L x n 2 cos 1 2 1 dx L x n sen 0 n m L L L L L L L L 2 = = =             π − =       π ⇒ ≠ = ₋ − − −

∫

0 dx 0 2 1 dx L x n sen L x m sen 0 n m L L L L = =       π       π ⇒ = =

∫

− − (e) dx 0 L x n sen L x m cos L L =            

∫

₋ π π _{(o produto de uma função par por uma ímpar é ímpar)}

( )

[

(

)

(

)

]

(

)

(

)

_dx ₀ L x m -n sen L x m n sen 2 1 dx L x n cos L x m sen v u sen v u sen 2 1 v cos u sen : que Lembrando L L L L

∫

₋ ₋ =           +     + =             − + + = π π π π Observações:

1a_{) Os resultados encontrados anteriormente continuam válidos quando os limites de integração –L e L}

são substituídos por c e c + 2L, respectivamente, comc ∈ . R 2a) Funções ortogonais

Definição 1: O produto interno ou produto escalar de duas funções f

( )

x e g

( )

x em um intervalo [a,b] é o número

(

)

=

∫

( ) ( )

b a dx x g x f g | f .

Definição 2: Duas funções f e g são ortogonais em um intervalo

[ ]

a,b se

(

f |g

)

f

( ) ( )

x g x dx 0 b a = =

∫

. Assim, as funções

_{( )}

      = L x n sen x f π e

_{( )}

      = L x n cos x

(22)

2.3 – Série de Fourier 2.3.1 – Definição

Seja a função f(x) definida no intervalo

(

−L,L

)

e fora desse intervalo definida como

(

x 2L

)

f

( )

x

f + = , ou seja, f

( )

x é 2L-periódica. A série de Fourier ou a expansão de Fourier correspondente a f(x) é dada por

∑

∞ =             +       + 1 n n n 0 L x n sen b L x n cos a 2 a π π

sendo que os coeficientes de Fourier a₀ ,a_n e b_n são dados pelas expressões a seguir.

( )

∫

₋ = L L 0 f x dx L 1 a

( )

∫

−       = L L n _L dx x n cos x f L 1 a π

( )

∫

₋       π = L L n dx L x n sen x f L 1 b 2.3.2 – Coeficientes Se a série

∑

∞ =             +       + 1 n n n L x n sen b L x n cos a A π π

converge uniformemente para f

( )

x em

(

−L,L

)

, mostre que, para n =1,2,3,K,

1.

∫

( )

−       = L L n dx L x n cos x f L 1 a π ; 2.

∫

( )

−       π = L L n _L dx x n sen x f L 1 b ; 3. 2 a A₌ 0 _.

(23)

1. Multiplicando

( )

∑

∞ =             +       + = 1 n n n L x n sen b L x n cos a A x f π π por       L x m cos π e integrando de –L a L, obtemos:

( )

∑

_∫

∫

∞ = = − − − −               π       π +       π       π + +       π =       π 1 n m, , 1,2,3, n II L L n L L n I L L L L dx L x n sen L x m cos b dx L x n cos L x m cos a dx L x m cos A dx L x m cos x f 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 1 4 4 4 3 4 4 4 2 1 K K Considerando m≠0 em I e n = m em II:

( )

dx a L L x m cos x f m L L =       π

∫

₋

( )

∫

₋       π = L L m dx L x m cos x f L 1 a ou

∫

( )

−       π = L L n dx L x n cos x f L 1 a Para n = , 0

∫

( )

− = L L 0 f x dx L 1 a . (2.3.2.1) 2. Multiplicando

( )

∑

∞ =             +       + = 1 n n n L x n sen b L x n cos a A x f π π por       L x m sen π e integrando de –L a L, obtemos:

( )

∑

_∫

∫

∞ = = − − − −               π       π +       π       π + +       π =       π 1 n m, , 1,2,3, n I L L n L L n L L L L dx L x n sen L x m sen b dx L x n cos L x m sen a dx L x m sen A dx L x m sen x f 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 1 K K Considerando n =m em I:

(24)

( )

dx b L L x m sen x f _m L L =       π

∫

₋

( )

∫

₋       π = L L m dx L x m sen x f L 1 b ou

∫

( )

−       π = L L n dx L x n sen x f L 1 b 3. Integrando

( )

∑

∞ =             +       + = 1 n n n L x n sen b L x n cos a A x f π π de –L a L, obtemos:

( )

∫

∑

∫

∞ = − − − −               +       + = 1 n L L n L L n L L L L dx L x n sen b dx L x n cos a dx A dx x f π π Para n=1,2,3,K, obtemos:

( )

x dx 2AL f L L =

∫

−

( )

xdx f L 2 1 A L L

∫

₋ = (2.3.2.2)

Comparando (2.3.2.1) e (2.3.2.2), concluímos que

2 a A AL 2 L a 0 0 = ⇒ = .

Observação: Os resultados encontrados continuam válidos quando os limites de integração –L e L são substituídos por c e c + 2L, respectivamente, com c ∈ . R

Teorema 1: Se

∑

( )

∞ =1 n n x u e

∑

( )

∞ =1 n n x

v são uniformemente convergentes em a≤x≤b e se

( )

x

h é contínua em a≤ x≤ b, então as séries

∑

[

( )

]

∞ = + 1 n n n x v x u ,

∑

[

( )

]

∞ = − 1 n n n x v x u ,

( ) ( )

[

]

∑

∞ =1 n n x u x h e

∑

[

_{( ) ( )}

]

∞ =1 n n x v x

h são uniformemente convergentes em a≤x≤b.

(25)

Teorema 2: Toda série trigonométrica uniformemente convergente é uma série de Fourier. Mais precisamente, se a série

( )

+

( )

+

( )

+

( )

+

( )

+

( )

+L

+a cos x b sen x a cos 2x b sen 2x a cos3x b sen 3x 2 a 3 3 2 2 1 1 0

converge uniformemente a f

( )

x para todo x , então f

( )

x é contínua para todo x , f

( )

x tem período π

2 e a série trigonométrica é a série de Fourier de f

( )

x .

2.3.3 – Continuidade seccional ou por partes

Uma função é seccionalmente contínua ou contínua por partes em um intervalo α ≤ t ≤β se este intervalo pode ser subdividido em um número finito de intervalos em cada um dos quais a função é contínua e tem limites, à direita e à esquerda, finitos.

Exemplo

Figura 2: Função seccionalmente contínua – [13]. 2.3.4 – Convergência: condições de Dirichlet

Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859): matemático alemão. Suponha que:

(1) f

( )

x é definida em

(

−L,L

)

, exceto em um número finito de pontos; (2) f

( )

x é 2L-periódica fora de

(

−L,L

)

;

(3) f

( )

x e f'

_{( )}

x _{são seccionalmente contínuas em}

₍

_L_,_L

₎

− . Então, a série

∑

∞ =             +       + 1 n n n 0 L x n sen b L x n cos a 2 a π π _,

(26)

com coeficientes de Fourier, converge para: (a) f(x), se x é um ponto de continuidade; (b)

( )

2 x f x f ₊ + ₋ , se x é um ponto de descontinuidade. Observações:

1a) f

( )

x+ e f

( )

x− representam os limites laterais de f(x), à direita e à esquerda, respectivamente. f

( )

x limf

(

x h

)

0 h + = ₊ → + e f

( )

x− =_hlim_→₀+f

(

x−h

)

2a_{) As condições (1), (2) e (3) impostas a f(x) são suficientes para a convergência, porém não}

necessárias.

Demonstração: SPIEGEL, M.R.; WREDE, R.C. Cálculo avançado. 2a ed. Porto Alegre: Bookman.

Teorema fundamental: Seja f

( )

x uma função definida e muito lisa por partes no intervalo π

≤ ≤ π

− x e seja f

( )

x definida fora desse intervalo de tal modo que tenha período π2 . Então a série de Fourier de f

_{( )}

x converge uniformemente a f

_{( )}

x em todo intervalo fechado que não contenha descontinuidades de f

( )

x . Em cada descontinuidade x , a série converge para ₀

( )

_   ₊ − → + → f x lim f x lim 2 1 0 0 x x x x .

Demonstração: KAPLAN, W. Cálculo avançado. Vol 2. Página 461.

Observação: Uma função contínua por partes é lisa por partes se em cada subintervalo tem derivada primeira contínua; é muito lisa por partes se em cada subintervalo tem derivada segunda contínua.

Teorema da unicidade: Sejam f₁

( )

x e f₂

( )

x funções seccionalmente contínuas no intervalo π

≤ ≤ π

− x , de modo que ambas tenham os mesmos coeficientes de Fourier. Então, f₁

( )

x =f₂

( )

x , exceto talvez nos pontos de descontinuidade.

(27)

2.4 – Série de Fourier de uma função periódica dada Exemplo 1 Seja

( )

   < < < < = 5 x 0 se 3, 0 x 5 - se , 0 x f ,f

( )

x =f

(

x+10

)

. a) Construa o gráfico de f(x). Figura 3: Gráfico de

( )

   < < < < = 5 x 0 se 3, 0 x 5 - se , 0 x f ,f

( )

x =f

(

x+10

)

.

b) f(x) satisfaz às condições de Dirichlet?

• f

( )

x é definida em

(

−5,5

)

, exceto em x = (há um número finito de 0 descontinuidades no intervalo);

• f

( )

x é periódica de período fundamental P =10, isto é, f

( )

x =f

(

x+10

)

; • f

( )

x e f'

( )

x são seccionalmente contínuas em

(

−5,5

)

.

Assim, a série de Fourier converge para f

( )

x nos pontos de continuidade e para 2 3

(média dos limites laterais) nos pontos de descontinuidade.

c) Determine a série de Fourier correspondente a f(x). P=2L=10⇒L=5

( )

[ ]

(

5 0

)

3 5 3 x 5 3 dx 3 dx 0 5 1 dx x f L 1 a 5 0 5 0 0 5 L L 0 = = − =         + = =

∫

− − a₀ = 3

(28)

( )

              π +       π =       π =

∫

− − 5 0 0 5 L L n ₅ dx x n cos 3 dx 5 x n cos 0 5 1 dx L x n cos x f L 1 a

[

sen

_{( )}

n sen

_{( )}

0

]

0 n 3 5 x n sen n 5 5 3 a 5 0 n π − = π =             π π = a_n = 0

( )

              π +       π =       π =

∫

− − 5 0 0 5 L L n ₅ dx x n sen 3 dx 5 x n sen 0 5 1 dx L x n sen x f L 1 b

[

_{( )}

]

[

−

( )

π

]

π = − π π − =             π π − = 1 cos n n 3 0 cos n cos n 3 5 x n cos n 5 5 3 b 5 0 n

[

( )

]

[

( )

1 1

]

n 3 1 1 n 3 b_n n − n 1+ π = − − π = +

[

( )

1 1

]

n 3 b n 1 n − + π = + Série de Fourier de f

_{( )}

x :

( )

∑

( )

∞ = +       π + − π + = 1 n 1 n 5 x n sen n 1 1 3 2 3 x f

( )

      +       π +       π +       π +       π π + = K 5 x 7 sen 7 2 5 x 5 sen 5 2 5 x 3 sen 3 2 5 x sen 1 2 3 2 3 x f

_{( )}

_      +       π +       π +       π +       π π + = K 5 x 7 sen 7 1 5 x 5 sen 5 1 5 x 3 sen 3 1 5 x sen 6 2 3 x f

( )

∑

(

)

∞ =     − π − π + = 1 n 5 x 1 n 2 sen 1 n 2 1 6 2 3 x f

(29)

(a) (b)

Figura 4: (a) Expansão de f(x) em série de Fourier com n =19; (b) expansão de f(x) em série de Fourier com n =49.

d) Redefina f(x) para que a série de Fourier venha a convergir para f(x) em −5≤ x≤5.

_{( )}

        = < < = < < = = 5 x , 2 3 5 x 0 3, 0 x , 2 3 0 x 5 0, -5 x , 2 3 x f Exemplo 2 Seja f

_{( )}

x x2, 0 x 2π < < = , f

( )

x =f

(

x+2π

)

. a) Esboce o gráfico de f(x). Figura 5: Gráfico de f

( )

x x2, 0 x 2π < < = , f

( )

x =f

(

x+2π

)

.

(30)

b) Expanda f(x) em uma série de Fourier. P=2L=2π⇒L=π

Lembre-se de que a função está definida em

(

0,2L

)

, e não em

(

−L,L

)

.

( )

(

)

3 8 0 8 3 1 3 x 1 dx x 1 dx x f L 1 a 2 3 2 0 3 2 0 2 L 2 c c 0 π = − π π =       π = π = = π π +

∫

3 8 a 2 0 π =

∫

( )

∫

( )

π + π =       π = 2 0 2 L 2 c c n x cos nxdx 1 dx L x n cos x f L 1 a (2.4.1)

Usando integração por partes, temos que:

∫

udv=uv−

∫

vdu

( )

n nx sen v , dx nx cos dv 2xdx, du , x u 2 = = = =

∫

_{( )}

=

( )

−

∫

xsen

_{( )}

nx dx n 2 n nx sen x dx nx cos x 2 2

( )

n nx cos v , dx nx sen dv dx, du , x u= = = =−

∫

( )

∫

( )

        + − − = cos nxdx n 1 n nx cos x n 2 n nx sen x dx nx cos x 2 2

∫

( )

=

( )

+

( )

−

( )

+C n nx sen 2 n nx cos x 2 n nx sen x dx nx cos x ₂ ₃ 2 2 Voltando a (2.4.1), obtemos:

( )

π π       − + π = π =

∫

2 0 3 2 2 2 0 2 n n nx sen 2 n nx cos x 2 n nx sen x 1 dx nx cos x 1 a

(31)

_n ₂ ₂ n 4 0 n 4 1 a _ π− _= π = _n ₂ n 4 a =

∫

( )

∫

( )

π + π =       π = 2 0 2 L 2 c c n x sen nxdx 1 dx L x n sen x f L 1 b (2.4.2)

Usando integração por partes, temos que:

( )

n nx cos v , dx nx sen dv 2xdx, du , x u 2 − = = = =

∫

_{( )}

=−

( )

+

∫

xcos

_{( )}

nx dx n 2 n nx cos x dx nx sen x 2 2

( )

n nx sen v , dx nx cos dv dx, du , x u= = = =

∫

( )

∫

( )

        − + − = sen nx dx n 1 n nx sen x n 2 n nx cos x dx nx sen x 2 2

∫

( )

=−

( )

+

( )

+

( )

+C n nx cos 2 n nx sen x 2 n nx cos x dx nx sen x ₂ ₃ 2 2 Voltando a (2.4.2), obtemos:

( )

π π       + + − π = π =

∫

2 0 3 2 2 2 0 2 n n nx cos 2 n nx sen x 2 n nx cos x 1 dx nx sen x 1 b n 4 n 2 n 2 n 4 1 b ₃ ₃ 2 n π − =       − + π − π = n 4 b_n =− π

(32)

Série de Fourier de f

( )

x :

( )

∑

( )

∞ =     π − + π = 1 n 2 2 n nx sen n nx cos 4 3 4 x f (2.4.3)

Em x = , (2.4.3) converge para a média dos limites laterais, ou seja 0

2 2 2 2 0 4 π = + π _.

Figura 6: (a) Expansão de f(x) em série de Fourier com n =10; (b) expansão de f(x) em série de Fourier com n =20.

c) Usando a série de Fourier de f(x), prove que

6 4 1 3 1 2 1 1 n 1 2 2 2 2 1 n 2 π = + + + + =

∑

∞ = L . Considerando x = em (3), temos que: 0

∑

∞ = + π = π 1 n 2 2 2 n 1 4 3 4 2 3 2 3 4 2 n 1 4 2 2 2 1 n 2 π = π − π =

∑

∞ =

(33)

( )

       > ≤ ≤ + − < + = 3 x , x 1 3 x 1 , 4 x 1 x , 2 x x f 2 6 n 1 2 1 n 2 π =

∑

∞ = Observações:

1a) Comando do winplot para uma função definida por várias sentenças:: joinx( ) Exemplo joinx       + − + x 1 , 3 | 4 x , 1 | 2 x2

2a) Comando do winplot para uma soma:

sum(f(n,x),n,a,b): soma de f

(

n,x

)

de n = até a n = b Exemplo

( )

∑

(

)

∞ = + π = 1 n nx 2 sen n 1 4 x f (4/pi)+sum((1/n)*sin(2*n*x),n,1,100)

(34)

Exercícios

01. Seja f

( )

x = x+π , −π <x<π, uma função 2 -periódica. π

a) Verifique se f

( )

x satisfaz às condições de Dirichlet.

b) Expanda f

( )

x em uma série de Fourier.

R.:

( )

∑

( )

∞ = + − + = 1 n 1 n nx sen n 1 2 x f π c) Mostre que

( )

4 1 2 1 1 1 π = − −

∑

∞ = + n n n .

d) Como f

( )

x deveria ser definida em x=−π e x=π para que a série de Fourier convergisse para

( )

x

f em −π ≤ x≤π?

e) Plote simultaneamente o gráfico de f

( )

x e da série de Fourier que converge para ela.

02. Calcule a série de Fourier do sinal periódico representado no gráfico (a) da figura abaixo.

(a) (b) Figura 7: (a) Sinal; (b) Série de Fourier do sinal com n = . 5

R.:

( )

∑

∞ =             − + = 1 n 2 2 ₂ x n cos n 2 n cos 1 8 2 1 x f π π π

(35)

03. Seja o sinal representado no gráfico abaixo. −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y Figura 8: Sinal. a) Determine a série de Fourier correspondente ao sinal. R.:

( )

∑

( )

(

)

∞ = + π + − π + = 1 n 1 n x n sen n 1 1 4 1 x f

b) Para quanto converge a série de Fourier do sinal em x = ? E em 1 x = ? 2 R.: 1

c) Use a série de Fourier determinada em (a) para calcular para quanto converge a série numérica

∑

∞ =1 n 2 n 1 . R.: 6 2 π

d) Plote simultaneamente os gráficos de f

_{( )}

x e da série de Fourier de f

_{( )}

x .

2.5 – Funções pares e funções ímpares Uma função f(x) é par se

(

x

)

f

( )

x f − = . Assim,

( )

2 1 x x f = , f

( )

x 2x6 4x2 5 2 = − + , f3

( )

x =cos

( )

x e

( )

x x 4 x e e

(36)

Figura 9: Gráfico da função _f

( )

_x ₌_ex ₊_e−x_.

Uma função f(x) é ímpar se

(

x

)

f

( )

x

f − =− .

Assim,

( )

3 1 x x

f = , f

( )

x x5 3x3 2x

2 = − + , f3

( )

x =sen

( )

x e f4

( )

x =tg

( )

3x são funções ímpares.

Figura 10: Gráfico da função f

( )

x x5 3x3 2x + −

= .

Teorema – Propriedades das funções pares e ímpares (a) O produto de duas funções pares é par.

(b) O produto de duas funções ímpares é par.

(c) O produto de uma função par e uma função ímpar é ímpar. (d) A soma (ou diferença) de duas funções pares é par.

(37)

(e) A soma (ou diferença) de duas funções ímpares é ímpar. (f) Se f é par, então

∫

( )

=

∫

( )

− a 0 a a dx x f 2 dx x f . (g) Se f é ímpar, então f

( )

xdx 0 a a =

∫

₋ . Demonstração Seja F

_{( )}

x =f

_{( ) ( )}

x g x .

(a) Suponhamos f(x) e g(x) funções pares. Assim:

(

)

( ) ( )

( )

(

)

(

) ( )

( ) ( )

( )

x épar F x F x g x f x -g x f x F x g x -g , x f x f ∴ = = − = − = = −

b) Suponhamos f(x) e g(x) funções ímpares. Logo:

(

)

( ) ( )

( )

(

)

(

) ( )

( ) ( )

[

]

( ) ( )

( )

x épar F x F x g x f x g -x f x -g x f x F x g x -g , x f x f ∴ = = − = − = − − = − = −

(c) Suponhamos f(x) par e g(x) ímpar. Então:

(

)

( ) ( )

( )

(

)

(

) ( )

( ) ( )

[

]

( ) ( )

( )

x éímpar F x F x g x f x g -x f x -g x f x F x g x -g , x f x f ∴ − = − = = − = − − = = − Seja F

( )

x =f

( )

x ±g

( )

x .

(d) Suponhamos f(x) e g(x) funções pares. Dessa forma:

(

)

( ) ( )

( )

(

)

(

)

( )

x épar F x F x g x f x -g x f x F x g x -g , x f x f ∴ = ± = ± − = − = = −

(e) Suponhamos f(x) e g(x) funções ímpares. Assim:

(38)

(

)

( ) ( )

( )

(

)

(

)

( )

[

( )

]

( )

(

)

(

)

( )

[

( )

]

( )

x éímpar F x F x g x f x g x f x -g x f x F ímpar é x F x F x g x f x g x f x -g x f x F x g x -g , x f x f ∴ − = − − = + − = − − = − ∴ − = + − = − − = + − = − − = − = − (f) f(x) é par ⇒f

(

−x

)

=f

( )

x

( )

(

)

(

)

( )

∫

( )

∫

( )

∫

( )

∫

( )

∫

( )

∫

= + = + = = − = − − = − − − a 0 a 0 a 0 a 0 0 a a a a 0 a 0 0 a 0 a dx x f 2 dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f (g) f(x) é ímpar ⇒f

(

−x

)

=−f

( )

x

( )

(

)

(

)

( )

xdx f

( )

xdx f

( )

xdx f

( )

xdx f

( )

xdx 0 f dx x f dx x f dx x f dx x f a 0 a 0 a 0 0 a a a a 0 a 0 0 a 0 a = + − = + = − = − = − − =

∫

− − − Exemplo

( )

x =x cos

( )

2xsen

( )

3x, x∈

]

-∞,∞

[

f 5

(

) (

)

(

) (

)

( )

[

( )

]

( )

x f x 3 sen x 2 cos x x 3 sen x 2 cos -x x 3 sen x 2 cos x x f 5 5 5 = = − = − − − = −

( )

x f é função par Exercícios

Verifique a paridade das seguintes funções: 01. f

_{( )}

x =sen

_{( )}

x cos

_{( )}

4x , x∈

]

−∞,∞

[

02. f

_{( )}

x =cos

_{( )}

2x cos

_{( )}

5x , x∈

]

−∞,∞

[

03. f

_{( )}

x =sen

_{( ) ( )}

3x sen x , x∈

]

−∞,∞

[

(39)

05. f

( )

x x4sen

( )

2x = , x∈

]

−∞,∞

[

06. f

( )

x x2cos

( )

3x = , x∈

]

−∞,∞

[

07. f

( )

x x7cos

( )

xsen

( )

4x = , x∈

]

−∞,∞

[

08. f

( ) (

x = x+2

)

cos

( )

2x , x∈

]

−∞,∞

[

09. f

_{( )}

x exsen

_{( )}

x = , x∈

]

−∞,∞

[

10. f

( )

x ₌

(

ex ₊e−x

)

cos

( )

3x sen

( )

x _,_x_∈

]

₋_∞_,_∞

[

11. _f

( )

_x _x _ex + = , x∈

]

−∞,∞

[

12.

_{( )}

x 1 x f = , x∈

]

−∞,0

[ ]

∪ 0,∞

[

13.

( )

(

e e

)

sen

(

10x

)

cos

( )

8x x 1 x f x x 2 − + = , x∈

]

−∞,0

[ ]

∪ 0,∞

[

14. f

( )

x ₌

(

ex ₋e−x

)

cos

( )

x sen

( )

3x _,_x_∈

]

₋_∞_,_∞

[

2.6 – Série de Fourier de cossenos

Se f(x) é uma função par em

₍

−L,L

₎

, então temos que:

( )

dx 0 L x n sen x f L 1 b dx L x n cos x f L 2 x d L x n cos x f L 1 a dx x f L 2 dx x f L 1 a L L ímpar função n L 0 L L par função n L 0 L L 0 =       =       =       = = =

∫

− − − 4 4 3 4 4 2 1 4 4 3 4 4 2 1 π π π

Série de Fourier de cossenos:

( )

∑

∞ =       + = 1 n n 0 L x n cos a 2 a x f π Exemplos 01. Expanda

_{( )}

   < < < < − = 2 x 0 se x, 0 x 2 - se , x x

(40)

R.:

( )

∑

( )

∞ =       − − + = 1 n 2 n 2 ₂ x n cos n 1 1 4 1 x f π π −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y

Figura 11: Gráfico da função

( )

   < < < < − = 2 x 0 se x, 0 x 2 - se , x x f , −2< x<2, f

( )

x =f

(

x+4

)

, expandida em

série de Fourier de cossenos com n = e 5 n =100.

02. Mostre que

(

)

∑

∞ = = − 1 n 2 2 ₈ 1 n 2 1 π _.

03. Determine para quanto converge a soma

( )

∑

∞ =1 n 2 n 2 1 . R.: 24 2 π

2.7 – Série de Fourier de senos

Se f(x) é uma função ímpar em

(

−L,L

)

, então temos que:

( )

dx 0 L x n cos x f L 1 a 0 dx x f L 1 a L L ímpar função n L L 0 =       = = =

∫

− − 4 4 3 4 4 2 1 π

(41)

( )

∫

( )

∫

      =       = − L 0 L L par função n dx L x n sen x f L 2 dx L x n sen x f L 1 b π π 4 4 3 4 4 2 1

Série de Fourier de senos:

( )

∑

∞ =       = 1 n n L x n sen b x f π Exemplo

Expanda f

_{( )}

x =x, -2<x<2, f

( )

x =f

(

x+4

)

, em uma série de Fourier de senos.

R.:

( )

∑

( )

∞ = +       − = 1 n 1 n 2 x n sen n 1 4 x f π π −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y

Figura 12: Gráfico da função f

( )

x =x, −2<x<2, f

_{( )}

x =f

₍

x+4

₎

, expandida em série de Fourier de senos com n =10 e n =100.

Exercícios

01. Seja f

( )

x =2x, -3≤x<3_,f

( )

x =f

(

x+6

)

. a) Desenvolva f(x) em uma série de Fourier.

R.:

( )

∑

( )

∞ = +       − = 1 n 1 n 3 x n sen n 1 12 x f π π

(42)

b) Determine para quanto converge a série

∑

( )

∞ = + − − 1 n 1 n 1 n 2 1 . R.: 4π

02. Calcule a série de Fourier do sinal periódico representado no gráfico (a) da figura abaixo.

(a) (b)

Figura 13: (a) Sinal; (b) Série de Fourier do sinal com cinco harmônicos. R.:

( )

∑

∞ =       −       + = 1 n 2 2 ₂ x n cos n 1 2 n cos 8 2 3 x f π π π

03. Calcule a série de Fourier do sinal periódico representado no gráfico (a) da figura abaixo. (a) (b)

(43)

−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 −3 −2 −1 1 2 3 x y R.:

( )

∑

∞ =             − − = 1 n n 2 x n sen n 2 n sen n 2 1 6 x f π π π π 04. Seja

( )

       < ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ < = 4 x 2 4, 2 x 0 2, -3x 0 x 2 2, -3x --2 x 4 , 4 x

f , f

( )

x =f

(

x+8

)

. Determine a série de Fourier de f

( )

x .

R.:

( )

∑

∞ =       −       + = 1 n 2 2 ₄ x n cos n 1 2 n cos 24 2 5 x f π π π

05. Seja f

( )

x =xsen

( )

2x, -π<x<π, f

(

x+2π

)

=f

( )

x , representada graficamente abaixo.

Figura 15: Gráfico de f

( )

x =xsen

( )

2x, -π<x<π, f

(

x+2π

)

=f

( )

x . a) Determine a série de Fourier de f

( )

x .

R.:

( )

∑

( )

∞ = + − − − − + − = 3 n 2 1 n nx cos 4 n 1 4 x 2 cos 4 1 x cos 3 4 2 1 x f

b) Empregando (a), calcule para quanto converge a série numérica

( )

(

+

)

= − + − + − +K −

∑

∞ = + 10 . 6 1 9 . 5 1 8 . 4 1 7 . 3 1 6 . 2 1 5 . 1 1 4 n n 1 1 n 1 n . R.: 48 7

(44)

06. Seja f:R→R/f

( )

x =xcos

( )

3x , -π<x<π, f

(

x+2π

)

=f

( )

x . a) Calcule a série de Fourier de f

( )

x .

R.:

( )

(

)(

)

( )

∑

∞ = − + − + − − = 4 n n nx sen 3 n 3 n 1 n 2 x 3 sen 6 1 x 2 sen 5 4 x sen 4 1 x f

b) Determine para quanto converge a série numérica

( ) (

)

(

+

)

= − + − + − +K + −

∑

∞ = + 9 . 6 15 8 . 5 13 7 . 4 11 6 . 3 9 5 . 2 7 4 . 1 5 3 n n 3 n 2 1 1 n 1 n . R.: 6 5 2.8 – O fenômeno de Gibbs

Josiah Willard Gibbs (1839-1903): matemático e físico teórico norte americano. Principais contribuições: análise vetorial e mecânica estatística.

O fenômeno de Gibbs descreve a maneira peculiar como a série de Fourier truncada de uma função f

( )

x periódica e seccionalmente contínua se comporta nas vizinhanças de uma descontinuidade dessa função. A n-ésima soma parcial da série de Fourier apresenta oscilações de maior amplitude nas proximidades de uma descontinuidade. A amplitude dessas oscilações não diminui com o aumento do número de harmônicos, porém tende a um limite. Há uma estimativa para a amplitude das oscilações nas proximidades de uma descontinuidade x dada por 0

(

)

(

)

[

f x0 f x0-

]

09 ,

0 ₊ − .

A Figura 16 ilustra o fenômeno de Gibbs para a onda quadrada.

Onda quadrada:

( )

   < < < < = 1 x 0 1 0 x 1 0 , , x f , f

(

x+ 2

)

=f

( )

x .

Série de Fourier da onda quadrada:

( )

∑

( )

(

)

∞ = + π + − π + = 1 n 1 n x n sen n 1 1 1 2 1 x f

(45)

−1 1 1 x y

Figura 16: Série de Fourier da onda quadrada

( )

   < < < < = 1 x 0 1 0 x 1 0 , , x f , f

(

x+ 2

)

=f

( )

x , com n = , 5 10 n = , n =20e n =100. Exercício

Pesquise a respeito dos seguintes aspectos do fenômeno de Gibbs: a) amplitude das oscilações;

b) como minimizar os efeitos do fenômeno de Gibbs;

c) consequências do fenômeno de Gibbs associadas principalmente à compactação de imagens e de áudio;

d) associe os fenômenos de Gibbs e de Runge (interpolação polinomial).

2.9 – A identidade de Parseval para séries de Fourier

Marc-Antoine Parseval des Chênes (1755-1836): matemático francês.

Se a e _n b são os coeficientes de Fourier correspondentes a n f

( )

x , e se f

( )

x satisfaz as condições de Dirichlet, então

( )

[

]

∑

(

)

∫

∞ = − + + = 1 n 2 n 2 n 2 0 L L 2 b a 2 a dx x f L 1 .

(46)

Demonstração

Assumimos que a série de Fourier correspondente a f

( )

x converge uniformemente para f

( )

x em

(

−L,L

)

e que:

( )

dx b L L x n sen x f dx L x n sen x f L 1 b L a dx L x n cos x f dx L x n cos x f L 1 a L a dx x f dx x f L 1 a n L L L L n n L L L L n 0 L L L L 0 =       ⇒       = =       ⇒       = = ⇒ =

∫

− − − − − − π π π π

Dessa forma, multiplicando

( )

∑

∞ =             +       + = 1 n n n 0 L x n sen b L x n cos a 2 a x f π π

por f

( )

x e integrando termo a termo de –L a L, temos que:

( )

[

]

( )

[

]

(

)

( )

[

]

(

)

( )

[

]

∑

(

)

∫

∑

∫

∑

∫

∑

_∫

∫

∞ = − ∞ = − ∞ = − ∞ = − − − − + + =         + + = + + =               +       + = 1 n 2 n 2 n 2 0 L L 2 1 n 2 n 2 n 2 0 L L 2 1 n n n n n 0 0 L L 2 1 n L L n L L n L L 0 L L 2 b a 2 a dx x f L 1 b a 2 a L dx x f L b b L a a L a 2 a dx x f dx L x n sen x f b dx L x n cos x f a dx x f 2 a dx x f π π Aplicações • Convergência de séries.

(47)

Exercício Seja

( )

   < < < < − = 2 x 0 se x, 0 x 2 - se , x x

f _,f

( )

x =f

(

x+4

)

. Determine a identidade de Parseval correspondente à

série de Fourier de f(x). R.:

(

)

7 96 1 5 1 3 1 1 1 n 2 1 4 4 4 4 1 n 4 π = + + + + = −

∑

∞ = L (2.9.1)

2.10 – Convergência de séries numéricas através da série de Fourier Exemplo

Empregando a identidade de Parseval determinada anteriormente, mostrar que

90 n 1 4 1 n 4 π =

∑

∞ = e

( )

2n 1440 1 4 1 n 4 π =

∑

∞ = .

(

)

( )

6 15 96 15 16 n 1 96 n 1 16 15 96 n 1 16 1 1 n 1 16 1 96 n 1 4 1 3 1 2 1 1 2 1 1 n 2 1 n 1 6 1 4 1 2 1 7 1 5 1 3 1 1 n 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 n 1 4 4 1 n 4 4 1 n 4 4 1 n 4 1 n 4 4 1 n 4 4 4 4 4 1 n 4 1 n 4 4 4 4 4 4 4 1 n 4 4 4 4 4 4 4 1 n 4 π π π π π = = = =       − + =       + + + + + − =       + + + +       + + + + = + + + + + + + =

∑

∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = L L L L

(48)

90 n 1 4 1 n 4 π =

∑

∞ = (2.10.1)

Empregando (2.9.1) e (2.10.1), temos que:

( )

2n 1440 1 1440 15 16 96 90 n 2 1 8 1 6 1 4 1 2 1 n 2 1 4 1 n 4 4 4 4 4 1 n 4 4 4 4 4 1 n 4 π π π π π = − = − = + + + + =

∑

∞ = ∞ = ∞ = L

2.11 – Derivação e integração da série de Fourier

Teorema 1: Se

{

u_n

( )

x

}

, n=1,2,3,K, forem contínuas em

[ ]

a,b e se

∑

( )

∞ =1 n

n x

u convergir uniformemente para a soma S

( )

x em

[ ]

a,b , então

( )

∑ ∫

( )

∫

∞ =         = 1 n b a n b a dx x u dx x S ou

∫ ∑

_{( )}

∑ ∫

_{( )}

∞ = ∞ =         =         1 n b a n b a _n ₁ n x dx u x dx u .

Assim, uma série uniformemente convergente de funções contínuas pode ser integrada termo a termo.

Teorema 2: Se

{

un

( )

x

}

, n=1,2,3,K, forem contínuas e tiverem derivadas contínuas em

[ ]

a,b e se

∑

( )

∞ =1 n

n x

u convergir para S

( )

x enquanto

∑

( )

∞ =1 n ' n x u é uniformemente convergente em

[ ]

a,b , então em

[ ]

a,b

( )

∑

( )

∞ = = 1 n ' n ' _x _u _x S ou

∑

( )

∑

( )

∞ = ∞ = =         1 n n 1 n n u x dx d x u dx d .

Dessa forma, a série pode ser derivada termo a termo.