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1. Suponha que f(x) = e

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Academic year: 2022

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LISTA DE ESTAT´ ISTICA

Vari´ aveis Aleat´ orias Cont´ınuas e Distribui¸c˜ oes de Probabilidade

Profa. Anna Regina Corbo

1. Suponha que f(x) = e

−x

, para x > 0. Determine as seguintes probabilidades:

a) P (X > 1) b) P (1 < X < 2, 5) c) P (X = 3)

d) P (X < 4) e) P (X > 3)

2. A fun¸c˜ ao densidade de probabilidade do tempo (em horas) de falha de um compo- nente eletrˆ onico de uma m´ aquina ´ e de f (x) = 2 e

−2x/1000

1000 , para x > 0. Determine a probabilidade de que:

a) Um componente dure mais de 3000 horas antes da falha.

b) Um componente falhe no intervalo de 1000 a 2000 horas.

c) Um componente falhe antes de 1000 horas.

d) Determine o n´ umero de horas necess´ arias de modo que as chances de um com- ponente falhar ´ e de 10%.

3. Suponha que a fun¸c˜ ao de distribui¸c˜ ao da vari´ avel aleat´ oria X seja:

F (x) =

0, x < −2

0, 25x + 0, 5, − 2 6 x < 2 1, x > 2

Determine o seguinte:

a) P (X < 1, 8) b) P (X > −1, 5) c) P (X < −2) d) P (−1 < X < 1)

4. A largura do espa¸camento ´ e uma propriedade importante em um cabe¸cote magn´ etico de grava¸c˜ ao. Se a largura for uma vari´ avel aleat´ oria cont´ınua ao longo da faixa de 0 < x < 2, com f (x) = 0, 5x, determine a fun¸c˜ ao de distribui¸c˜ ao da largura do espa¸camento.

5. A fun¸c˜ ao densidade de probabilidade para o diˆ ametro, em mil´ımetros, de um orif´ıcio ´ e f (x) = 10e

−10(x−5)

, para x > 5mm.

a) Determine a m´ edia e a variˆ ancia do diˆ ametro dos orif´ıcios.

b) Determine a probabilidade do diˆ ametro exceder 5, 1mm.

DICA: Utilize integra¸c˜ ao por partes.

(2)

6. Suponha que X tenha uma distribui¸c˜ ao cont´ınua uniforme no intervalo [1, 5; 5, 5]. Qual

´

e P (X < 2, 5)?

7. A espessura de um semicondutor, est´ a uniformemente distribu´ıda entre 0, 2050µm e 0, 2150µm (micrˆ ometros).

a) Determine a fun¸c˜ ao de distribui¸c˜ ao da espessura do semicondutor.

b) Determine a propor¸c˜ ao de semicondutores que excedem 0, 2125µm em sua es- pessura.

c) Que espessura ´ e excedida por 10% dos semicondutores?

8. Suponha que X tenha uma distribui¸c˜ ao exponencial com λ = 2. Determine:

a) P (X 6 0) b) P (X > 2) c) P (X 6 1) d) P (1 < X < 2)

e) Encontre o valor de x tal que P (X 6 x) = 0, 05.

9. A distribui¸c˜ ao exponencial possui uma propriedade importante denominada de Falta de Mem´ oria. Esta propriedade permite que esta distribui¸c˜ ao seja usada em modelos de dura¸c˜ ao de vida que n˜ ao desgastam com o tempo. A partir dela, podemos considerar que a probablidade de uma vari´ avel aleat´ oria ocorrer ap´ os um certo tempo s+t sabendo que ela n˜ ao ocorreu antes do tempo s ´ e igual a probabilidade de ocorrer ap´ os um certo tempo t. Prove tal propriedade para uma vari´ avel aleat´ oria X ∼ Exp(λ), ou seja,

P (X > s + t|X > s) = P (X > t)

10. O tempo entre a chegada de mensagens eletrˆ onicas em seu computador ´ e distribu´ıdo, exponencialmente, com uma m´ edia de duas horas.

a) Qual ´ e a probabilidade de vocˆ e n˜ ao receber uma mensagem durante o per´ıodo de duas horas?

b) Se vocˆ e n˜ ao tiver recebido uma mensagem nas primeiras quatro horas, qual ser´ a a probabilidade de vocˆ e n˜ ao receber uma mensagem nas pr´ oximas duas horas?

11. A distˆ ancia entre patrulhas em uma auto-estrada segue uma distribui¸c˜ ao exponencial com m´ edia de 5km.

a) Qual ´ e a probabilidade de n˜ ao haver patrulhas em uma extens˜ ao de 10km de estrada?

b) Qual ´ e a probabilidade de haver duas patrulhas em uma extens˜ ao de 10km de estrada?

c) Qual ´ e a probabilidade de que a segunda patrulha ocorra entre 12 e 15km, a

partir da primeira patrulha?

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12. No sistema SUS, o custo m´ edio de um paciente, por interna¸c˜ ao, ´ e de R$8.166, 00.

Suponha que este custo seja exponencialmente distribu´ıdo.

a) Defina a vari´ avel aleat´ oria cont´ınua X em quest˜ ao.

b) Determine a probabilidade de um paciente aleatoriamente escolhido custar aos cofres p´ ublicos mais de R$10.000, 00.

c) Calcule a probabilidade de um paciente internado aleatoriamente escolhido cus- tar entre R$8.000, 00 e R$12.000, 00.

13. Utilize a tabela da distribui¸c˜ ao normal padr˜ ao para determinar as seguintes probabi- lidades da vari´ avel aleat´ oria normal padr˜ ao Z:

a) P (Z < 1, 32) b) P (Z > 1, 45) c) P (Z > −2, 15) d) P (−1 < Z < 1) e) P (0 < Z < 1)

14. Suponha que X seja distribu´ıda normalmente, com m´ edia de 5 e desvio-padr˜ ao de 4.

Determine:

a) P (X < 11) b) P (X > 0) c) P (3 < X < 7) d) P (−2 < X < 9) e) P (2 < X < 8)

15. A resistˆ encia ` a tra¸c˜ ao do papel pode ser modelada por uma distribui¸c˜ ao normal com uma m´ edia de 35kg/cm

2

e um desvio-padr˜ ao de 2kg/cm

2

.

a) Qual ´ e a probabilidade da resistˆ encia de uma amostra ser menor que 40kg/cm

2

? b) Se as especifica¸c˜ oes requerem que a resistˆ encia ` a tra¸c˜ ao exceda 30kg/cm

2

, que propor¸c˜ ao das amostras ser´ a rejeitada?

16. O tempo de rea¸c˜ ao de um motorista para o est´ımulo visual ´ e normalmente distribu´ıdo com uma m´ edia de 0, 4s e um desvio-padr˜ ao de 0, 05s.

a) Qual ´ e a probabilidade de que uma rea¸c˜ ao requeira mais de 0, 5s?

b) Qual ´ e a probabilidade de que uma rea¸c˜ ao requeira entre 0, 4s e 0, 5s?

c) Qual ´ e o tempo de rea¸c˜ ao que ´ e excedido em 90% dos casos?

17. O n´ umero m´ edio de acres perdidos por queimadas no trecho da floresta amazˆ onica

dentro do Estado do Par´ a ´ e de 4300 acres por ano, com desvio-padr˜ ao de 750 acres. A

distribui¸c˜ ao do n´ umero de acres queimados ´ e considerada normal.

(4)

a) Defina a vari´ avel aleat´ oria cont´ınua X em quest˜ ao.

b) Qual a probabilidade de ter entre 2500 e 4200 acres queimados no Estado do Par´ a, num certo ano?

c) Nos anos em que o n´ umero de acres queimados ´ e superior a 5500 acres, se faz necess´ ario a utiliza¸c˜ ao de equipes de outros estados para ajudar no combate aos incˆ endios. Determine a probabilidade do Estado do Par´ a precisar de ajuda para com- bater queimadas, num certo ano.

18. Uma m´ aquina produz bast˜ oes met´ alicos usados em um sistema de suspens˜ ao de au- tom´ oveis. Uma amostra aleat´ oria de 15 bast˜ oes ´ e selecionada, sendo o diˆ ametro medido.

Os dados resultantes, em mil´ımetros, s˜ ao mostrados a seguir.

8,24 8,23 8,20 8,21 8,20 8,28 8,23 8,26 8,24 8,25 8,19 8,25 8,26 8,23 8,24

Podemos considerar que o diˆ ametro dos bast˜ oes tˆ em distribui¸c˜ ao normal? Justifique.

19. Um componente eletrˆ onico ´ e testado, em rela¸c˜ ao ` a sua vida, sob condi¸c˜ oes de alta temperatura para poder acelerar o mecanismo de falha. O tempo (em horas) de falha para 20 componentes, selecionados aleatoriamente, ´ e mostrado a seguir. Vocˆ e acha que o tempo para falhar segue uma distribui¸c˜ ao normal?

176,1 35,3 124,5 90,6 99,6 150,4 55,0 34,9 46,0 40,4 79,6 24,7 155,7 2,42 131,5 197,6 73,0 122,8 133,8 40,4

Gabarito:

1) a) 0,3679 b) 0,2858 c) 0 d) 0,9817 e) 0,0498 2) a) 0,003 b) 0,117 c) 0, 865 d) 52, 68 horas 3) a) 0, 95 b) 0,875 c) 0 d) 0, 5

4) F (x) =

0, x 6 0

0, 25x

2

, 0 < x < 2 1, x > 2

5) a) µ = 5, 1 e σ

2

= 0, 01 b) 0,3678

6)

14

(5)

7) a) F (x) =

0, se x 6 0, 2050

100x − 20, 5, se 0, 2050 < x < 0, 2150 1, se x > 0, 2150

b) 0, 25 c) 0, 2140

8) a) 0 b) 0, 0183 c) 0, 8647 d) 0, 117 e) 0, 0256

10) a) 0, 3679 b) 0, 3679

11) a) 0, 1353 b) 0, 2706 c) 0, 0409

12) a) Custo de um paciente por interna¸c˜ ao no SUS. b) 0, 2939 c) 0, 1454

13) a) 0, 906582 b) 0, 073529 c) 0, 98422 d) 0, 68269 e) 0, 34135 14) a) 0, 933193 b) 0, 10565 c) 0, 382924 d) 0, 801286 e) 0, 546746 15) a) 0, 99379 b) 0, 00621

16) a) 0, 02275 b) 0, 47725 b) 0, 336

17) a) Acres queimados no trecho da floresta amazˆ onica dentro do Estado do Par´ a.

b) 0, 44 c) 0, 0548

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