Sistemas de Equações Algébricas

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CURSO DE NIVELAMENTO 2010 - PEQ/COPPE/UFRJ PROF. ARGIMIRO SISTEMA DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS

Matemática – Aula 2

Sistemas de Equações Algébricas

Considerando o problema de um reator contínuo de tanque agitado (CSTR) não-isotérmico, com propriedades físicas constantes (, cp):

Fe , CAe , Te

Fws , Tws

Fwe , Twe

Fs , CA, T

Para o caso de uma reação de ordem n:

rA = k CAn , onde ( ) 0

E R T

k T  k e 

temos as seguintes equações de balanço de massa e energia do modelo:

e s dV F F dt  



A



n e Ae s A A d VC F C F C k C V dt    ( ) ( ) n ( p e p e r A t dT V c F c T T H k C V U A T T dt         )_w

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onde Fe e Fs são as vazões volumétricas de entrada e saída, respectivamente, V é o volume do meio reacional, CA é a concentração molar do reagente, T e Tw são as temperaturas do meio reacional e do fluido de refrigeração, respectivamente, Hr é a entalpia de reação, U é o coeficiente global de transferência de calor e At é a área de troca térmica.

No estado estacionário: Fe = Fs F





n Ae A F C C k C V   A ( ) ( ) ( ) n t r e w p p U A F H T T T T V C V C        A k C

Substituindo a equação de balanço de massa do componente A no balanço de energia: ( ) ( ) t ( ) r ( e w Ae p p U A F F H T T T T C C V C V C V A)        

e definindo as variáveis adimensionais:

1 A Ae C x C  e ₂ e e T T x T   temos: 1 1 2 1 1 1 2 (1 ) exp 1 n n n n Ae a Ae x x k C x D C x x         _ _    x2 =  + (1 – x1)

onde , ,  e Da estão definidos no capítulo anterior. Ou seja, um sistema de equações algébricas: 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 exp ( , ) 0 ( ) 1 ( , ) 0 (1 ) n n a Ae x x D C x f x x F x x f x x x x               _ __ _  __{  }_{  }  _{ } _{   } _  

Neste caso em particular, a segunda equação poderia ser substituída na primeira para eliminar a variável x1, resultando em uma equação algébrica a uma variável, mas, para efeitos de ilustração, vamos manter como um sistema de equações a duas variáveis.

Para o caso sem reação química ( = 0 e Da = 0), resulta no sistema linear:

1 2 1 ( ) x F x x      _    F(x) = A x – b  x = A –1 b ,        1 0 0 1 A b   1              1 0 0 1 1 A x   1   

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2.1MÉTODOS ITERATIVOS PARA SISTEMAS LINEARES 3

Existe uma grande variedade de métodos para solução de sistemas lineares, sendo muitos deles dependentes da estrutura da matriz A (matriz densa, esparsa, simétrica, bloco-diagonal, etc.). Os métodos mais conhecidos para solução de sistemas lineares são:

métodos diretos: • eliminação Gaussiana • fatorações (LU, LLT, LDLT, QR, ...) • método de Thomas métodos iterativos: • método de Jacobi • método de Gauss-Seidel • métodos SOR • minimização

Para o caso não-linear, trataremos da solução do sistema de equações algébricas F(x) = 0 pelos métodos:

• Substituições sucessivas

• Newton-Raphson

Para sistemas de equações algébricas, o procedimento de adimensionamento das variáveis com o intuito de deixá-las com a mesma ordem de grandeza é crucial para o bom desempenho dos métodos numéricos. Por exemplo, ao usarmos a norma euclidiana como uma medida da distância entre pontos de uma seqüência convergente:

1 2 2 1 ( ) N i i i x y x y     _  _ 





E se não adimensionarmos a concentração e a temperatura para o exemplo do reator CSTR;

digamos que a concentração é aproximadamente 5,0  103

kmol/m3 e a temperatura 500 K, então ao calcular a distância entre dois pontos de um método iterativo:

iteração Concentração (kmol/m3) Temperatura (K)

k 5,0  103 500 k+1 6,0  103 501









12





1 2 2 2 ( 1) ( ) 3 3 6 2 6, 0 10 5, 0 10 501 500 10 1 1 k k x EA  x  x _        _      





 

12





12 ( 1) ( ) ( ) ( ) ₂ ₆ ₄ 2 3 1 1 0, 002 500 25 10 25 10 5, 0 10 500 k k x x k k x x _EA ER x x            _ _         1

(4)

Ou seja, se um erro relativo de 0,2% fosse aceitável, o procedimento iterativo encerraria antes da convergência para a solução, pois haveria um erro de 20% na concentração (100 vezes maior que o desejado).

Supondo agora que CAe = 50,0  103

e Te = 400 K e aplicando os adimensionamentos definidos para o CSTR, teríamos para estas mesmas iterações:

iteração x1 x2 k 0,1000 0,2500 k+1 0,1200 0,2525



 



1





₁ 2 2 2 2 ₄ ₆ 0,1200 0,1000 0, 2525 0, 2500 4 10 6, 25 10 0, 0202 x EA _    _       



 



1 2 2 2 0, 0202 0, 0202 0, 075 7, 5% 0, 2693 0,1000 0, 2500 x ER     _    

E, neste caso, o critério de convergência ainda não teria sido satisfeito.

2.1 Métodos iterativos para sistemas lineares

Da mesma forma que os métodos diretos (visto na aula anterior), existe uma grande variedade de métodos iterativos para solução de sistemas lineares, dentre estes:

• iterações de Jacobi • iterações de Gauss-Seidel • iterações SOR • Minimização • iterações ADI • iterações de Richardson • iterações de Chebyshev • Gradiente Conjugado (CG)

• Gradiente Conjugado Quadrático (CGS)

• Gradiente BiConjugado (BiCG)

• Gradiente BiConjugado Estabilizado (BiCGSTAB)

• Resíduo Mínimo Generalizado (GMRES)

Abordaremos aqui somente os quatro primeiros.

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2.1MÉTODOS ITERATIVOS PARA SISTEMAS LINEARES 5

É um método iterativo para a solução de sistemas lineares expresso, na forma matricial, por:

xk1  M xk c , k 0 1 2, , , ...

onde M = D-1_{B, c = D}-1_{b, B = D - A. Sendo D a diagonal da matriz A. O método escrito} para cada elemento do vetor x apresenta a seguinte forma:

x b a x a i N k i k i ij j k j i N ii  _     



1 1 1 0 ( ) , , ... , e , , , ...1 2 Gauss-Seidel

Este método é uma modificação do método de Jacobi, cujo princípio é de usar os novos valores de x tão logo eles estejam disponíveis. Neste caso a matriz M = (D - L)-1_{U e o} vetor c = (D - L)-1_{b, onde D, L e U são as matrizes diagonal, triangular inferior e triangular} superior, respectivamente, extraídas da matriz A = D - L - U. O método escrito para cada elemento do vetor x apresenta a seguinte forma:

x b a x a x a i N k i k i ij j k ij j k j i N j i ii           



1 1 1 1 1 1 0 , , ... , e , , , ...1 2 SOR

O método das sobre-relaxações sucessivas (SOR - successive overrelaxation) é uma variação do método de Gauss-Seidel pela introdução de um fator de relaxação ():

x_ik1 x_ik  ( x_ik1x_ik)

onde é proveniente do método de Gauss-Seidel. Tanto o método SOR, quanto o método

de Gauss-Seidel, ao contrário do método de Jacobi, dependem da ordem em que as equações são resolvidas.

x_ik1

A convergência destes métodos iterativos é caracterizada pela matriz de iteração, M:

xk1  M xk c , k 0 1 2, , , ...

sendo convergentes se, e somente se, todos os valores característicos de M possuírem valor absoluto menor que 1. Uma condição suficiente para convergência é:

M _l  1 onde M max j _i mij N 1 1  



norma 1 2 1 1 ( N N T ij F i j M m tr M   



 M ) norma Frobenius

(6)

M max i _j mij N   



1 norma  Minimização

A solução de sistemas lineares também pode ser obtida por técnicas de otimização, através da transformação do problema A x = b em:

S x( )(A xb) (T A xb)

ou S x( )  1x A xT b x

2

T

no caso de A ser simétrica e positiva definida, onde deseja-se encontrar x tal que S(x) é mínimo.

2.2 Sistemas tri-diagonais

Método de Thomas: Um caso particular, muito comum, de sistemas lineares, é o sistema tri-diagonal, que pode ser representado da forma:

1

i i i i i i i

a x_ b x c x_₁d , i = 1,2,...,n

onde a é a sub-diagonal, b é a diagonal e c é a super-diagonal da matriz A, com x0 = 0 e

xn+1 = 0 como condições de contorno. A solução deste sistema pelo método de Thomas tem a forma: n n x   1 i i i i i c x    x_  , i = n-1, n-2, ...., 2, 1 onde 1 1 i i i i i a c b       e 1 i i i i i d  a _    , i = 2,3,...,n. com ₁b₁ e 1 1 1 d    .

Para entendermos este procedimento, temos: Primeira equação: b x_{1 1}c x_{1 2} d₁ Última equação: a xn n1b xn n dn Fazendo: i ₁ i i i i c x  x     i  n1, , x_n  _n

Pela primeira equação: 1 1

1 2 1 1 d c x x b b   1 1 1 1 c 2 x  x   

(7)

2.2SISTEMAS TRI-DIAGONAIS 7 Logo, ₁ b₁ e 1 1 1 d    Equação i: 1 1 1 1 i i i i c i x  x       ; a x_i _i_₁b x_i _i  d_i c x_i _i_₁ 1 1 1 1 i i i i i i i i i i c a  x b x d  c x             





1 1 1 1 i i i i i i i i b x d a c              i i a c x  



1



1 1 1 1 1 i i i i i i i i i i i i i i d a c x x a c a c b b                           1 i i i i i c x  x     1 1 i i i i i a c b  _   _    para i 2, ,n com 1 b1 1 i i i i i d a      para i 2, ,n com 1 1 1 d    n n x   1 i i i i i c x  x     para 1,i n n  2, ,1

Quando x0 e/ou xn+1 não são nulos, isto é X0  A e Xn1 B, a solução do sistema

, usando o princípio da superposição, é expressa na forma:

i i i i i i iX bX cX d a _1  _1 i i i i x A y B z

X      sendo xi a solução do sistema apresentada acima (com x0  xn1 0,

mas ) os termos yi e zi são soluções das equações homogêneas com

condições de contorno não-homogêneas:

i d i i i i i ix bx c x a _1  _1 

(i) com a_iy_i_₁ b_iy_i c_iy_i_₁ 0 y₀ 1 e y_n_₁ 0, assim a primeira equação seria:

2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 0 y b c b a y y c y b

a        , buscando uma forma recursiva da mesma forma

que na resolução anterior:   _i_₁

i i i i y c y 

 como y_n_₁ 0, tem-se: y_n _n e, em vista de:

2 1 1 1 1 1 y b c b a y   : 1 b1 e 1 1 1 1 1 _  a b a     . i i i i i y c y 1 1 1 1      _ , assim: 1 1 1 1               i i i i i i i i i i i y a c a b y b y a   , mas:

(8)

0 1 1      i i i i i iy b y c y a e identificando: 1 1 1 1     _ __ _   i i i i i i i i i i i y a c y c a b     ,

obtendo-se a mesma forma recursiva de determinação de _i e

i i i i a     1 . Deste modo: 1 1 i i i i i a c b  _   _    para i 2, ,n com 1b1 i i i i a     1 para i 2, ,n com 1 1 1 _  a n n y  e   i1 i i i i y c y   para i n 1,n 2, ,1

(ii) com a_iz_i_₁ b_iz_i c_iz_i_₁ 0 z₀ 0 e z_n_₁ 1, assim a primeira equação seria:

2 1 1 1 2 1 1 1 0 z b c z z c z

b     , buscando uma forma recursiva da mesma forma que nas

resoluções anteriores:   i1 i i i i z c z   como zn1 1, tem-se: n n n n c z     e, em vista de: 2 1 1 1 z b c z  : ₁b₁ e ₁ 0. i i i i i z c z 1 1 1 1      _ , assim: 1 1 1 1               i i i i i i i i i i i y a c a b z b z a   , mas: 0 1 1     i i i i i iz bz c z a e identificando: 1 1 1 1     _ __ _   i i i i i i i i i i i z a c z c a b     ,

obtendo-se a mesma forma recursiva de determinação de _i e

i i i i a     1 . Deste modo: 1 1 i i i i i a c b  _   _    para i 2, ,n com 1b1 i i i i a     1

para i 2, ,n com ₁ 0_i 0 para i1 , ,n

1 1   n z e  i1 i i i z c z  para in, n1,,1

Observe que as soluções dos itens (i) e (ii) acima também podem ser obtidas diretamente pelas relações recursivas do sistema original bastando fazer:

(9)

2.3MÉTODO DAS SUBSTITUIÇÕES SUCESSIVAS 9

(ii) dn = -cn zn+1 e di = 0, i = 1,2,...,n-1

e considerar ambas as condições de contorno nulas (x0 = 0 e xn+1 = 0), pois elas já foram embutidas em d1 e dn, respectivamente. Ao final deve-se lembrar que y0 e zn+1 são dados.

2.3 Método das Substituições Sucessivas

No método das substituições sucessivas para uma variável, o processo iterativo é aplicado à equação algébrica na forma modificada:

x = g(x)

da equação f(x) = 0, que pode ser obtida por um rearranjo interno desta equação ou pela simples adição de x em ambos os lados da igualdade. Assim,

x(k+1) = g(x(k)) , k = 0, 1, 2, ... x x x g(x) 45° 0 1 * x

que convergirá para a solução x* se, para alguma constante 0 <  < 1,

( ) ( )

( k ) ( *) k *

g x g x   x x

Isto é, se g(x) for um mapeamento contrativo. Esta relação pode ser vista expandindo

( ) ( )

f x  x g x em série de Taylor em torno da solução x* e truncando no segundo termo:

( ) ( ) ( *) ( *)( *)

xg x  f x  f x  f x xx Como f(x*) = 0, então:

( ) (1 ( *))( *) ( *) ( *)( *)

xg x  g x xx  xx g x xx

Como x* é um ponto fixo, isto é, x* = g(x*), obtemos:

( ) ( *) ( *)( *)

g x g x g x xx

Note que este resultado também pode ser obtido pela expansão em série de Taylor de g(x) em torno de x*.

(10)

( ) ( *) ( *) ( *)

g x g x  g x  xx

( *) 1

g x   

Portanto, se g x( *) 1 o processo iterativo não converge. Além disto, a expressão acima escrita para a k-ésima iteração:

( 1) ( )

* ( *) ( *

k k

)

x  x  g x  x x

mostra que o método das substituições sucessivas apresenta convergência linear.

O gráfico a seguir ilustra uma situação onde g x( *) 1 e g x( *) , onde a primeira 0 condição leva a não convergência e a segunda a uma seqüência oscilatória em torno da solução. g(x) 45° x0 x* x Exemplos:

1) Aplicando o método das substituições sucessivas ao caso do reator CSTR:

( ) exp 1 1 exp 1 a a g x x D x x x D x _   _           _ _     e ₂ ₂ exp 1 ( ) (1 ) 1 exp 1 a a x D x g x x _x D x _            _ _ __  _ _  _ _ _  

(11)

2.3MÉTODO DAS SUBSTITUIÇÕES SUCESSIVAS 11 x -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 -0,2 -0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 x g(x)

Partindo de duas estimativas iniciais distintas, x(0) = 0,1 e x(0) = 0,11, verificamos que a segunda raiz não pode ser obtida por esta escolha de g(x), pois g x( *) 1 neste ponto.

x -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 -0,2 -0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 x g(x) Iteração _x(0)_{= 0,1} _x(0)_{= 0,11} x(0) _0,100000 _0,110000 x(1) _0,090606 _0,110264 x(2) 0,072510 0,110787 x(3) _0,039398 _0,111822 x(4) -0,012058 0,113870 x(5) _-0,063675 _0,117928 x(6) _-0,087489 _0,125971 x(7) _-0,092758 _0,141875 x(8) _-0,093613 _0,172732 x(9) _-0,093742 _0,227741 x(10) _-0,093762 _0,301672 x(11) _-0,093765 _0,355769 x(12) _-0,093765 _0,375029 x(13) 0,379499 x(14) _0,380406 x(15) 0,380584 x(16) _0,380619 x(17) _0,380626 x(18) _0,380627 x(19) _0,380628 x(20) _0,380628

(12)

2) ( )f x ex 2 sen( )x a) g x( ) ln 2_ sen x

 

_ b)

 

2 x e g x arcsen     _ _   c) Newton-Raphson 2 ( ( ) 2 cos( ) x x e sen g x x e x         ) x CASO a b c x(0) 0,400000 0,700000 0,700000 x(1) _0,249954 _0,250917 _0,309208 x(2) 0,703766 0,399593 0,357327 x(3) _-0,257883 _0,341920 _0,357327 x(4) ARGUMENTO INVÁLIDO 0,363131 0,357327

Similarmente ao caso monovariável, o método das substituições sucessivas aplicado a sistemas de equações algébricas tem a forma:

xk1 G x( k) , k  0 1 2, , ,

(13)

2.4MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 13 G x( k)G x( *)  xk x* , 0 <  < 1. Exemplo: 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 exp ( 1 (1 ) ( , ) n n a Ae x 1, 2) x D C x g x x x x x g x x           _       _{    } _  

2.4 Método de Newton-Raphson

No método de Newton-Raphson a uma variável, o processo iterativo é aplicado diretamente sobre a equação algébrica f(x) = 0 na forma:

( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k f x x x f x  _ _  , k = 0, 1, 2, ... x0 x* _x1 x f(x)

Isto é, a função é linearizada em torno da estimativa inicial e o próximo ponto é encontrado de modo a satisfazer esta função linearizada. Diferente da convergência do método das substituições sucessivas, que converge linearmente (pois x(k1)x*   x( )k x* para 0 <  < 1), o método de Newton converge quadraticamente:

2

( 1) ( )

* *

k k

x  x   x x

onde 0 <  < 1. Para verificar tal convergência, expande-se f(x(k)_{) em torno da solução x*:}

( ) ( ) ( *) ( ) 2

( ) ( *) ( *)( *) ( *)

2

k k f x k

f x  f x  f x x x   x x

e substitui-se esta expressão na equação de Newton-Raphson, considerando que x(k)_esteja próximo da solução de modo que se pode fazer a aproximação f x( ( )k ) f x( *) e sabendo que f(x*) = 0:

(14)

( ) ( ) 2 ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( *) ( *)( *) ( *) ( *) 2 ₍ _*) ₍ ( *) 2 ( *) k k k k k k k f x f x x x x x f x *) x x x x x f x f x       _          x x

que rearranjando resulta em:

( 1) ( *) ( ) 2 * ( 2 ( *) k f x k *) x x x f x  x      

Aplicando-se o módulo na equação resultante, chega-se a:

2 ( 1) ( *) ( ) * * 2 ( *) k f x k x x x f x  _ _  _  x onde ( *) 1 2 ( *) f x f x    

 . A expressão acima mostra que o método de Newton-Raphson

apresenta convergência quadrática.

Expressando o método de Newton-Raphson como um mapeamento:

( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k f x k x x g f x  _ _ _  x

podemos analisar a convergência de maneira similar ao método das substituições sucessivas. Então expandindo g(x) em série de Taylor em torno de x*:

2 ( *) ( ) ( *) ( *)( *) ( *) 2 g x g x g x g x xx   xx Como ( *) ( *) ( *)₂ 0 [ ( *)] f x f x g x f x   

  , é necessário utilizar o termo de segunda ordem desta

expansão onde ( *) ( *) ( *) f x g x f x   

 , chegando ao mesmo resultado da análise anterior.

Algoritmo: Newton-Raphson e Substituição Sucessiva Dados  , kmáximoe x0 k  0 Faça x1  g(x0) y  f(x1)   | x1_{ x}0 | x0 x1 k  k + 1

(15)

2.4MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 15

Ao final do algoritmo, se k < kmáximo então x0 contém a raiz encontrada de f(x) e y contém o valor de f(x0), senão o número máximo de iterações foi atingido sem convergência, devendo-se modificar a estimativa inicial, x0, ou trocar de função g(x).

A função g(x) deve ser escolhida de acordo com o método:

1) Método das Substituições Sucessivas: g(x) é escolhida pelo usuário tomando o cuidado em assegurar que g x( ) 1 em todo o intervalo de busca da raiz;

2) Método de Newton-Raphson com derivada analítica: ( ) ( )

( ) f x g x x f x    ;

3) Método de Newton-Raphson com derivada numérica: ( ) ( )

( ) ( ) f x g x x f x f x         _    . Newton-Raphson modificado

Uma modificação simples no método de Newton é considerar constante a derivada da função f(x) durante todo, ou parte, do processo iterativo:

( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) k k k m f x x x f x  _ _  , k = 0, 1, 2, ...

onde m  k. Se m = 0, todas as retas que interceptam a função f(x) nos pontos das iterações são paralelas.

x

0

x

*

x

f(x)

x

1

Esta modificação tem a vantagem de calcular um número menor de derivadas da função, mas apresenta uma menor taxa de convergência.

A extensão do método de Newton ao caso multivariável implica na substituição da derivada da função f(x) pela matriz das derivadas parciais de F(x) com respeito a x,

(16)

denominada de matriz Jacobiana, J(x). Assim, o método de Newton-Raphson apresenta a seguinte forma:



( ( ))



1 ( ( )) ) ( ) 1 (k k k k x F x J x x     , k  0 1 2, , , onde j k i k ij x x F x J   ( ) ) ( ) ( ) ( 

. A solução do sistema linear resultante pode ser resolvido tanto por métodos diretos como por métodos iterativos.

Uma modificação no método de Newton-Raphson é manter a matriz Jacobiana fixa por um determinado número de iterações:



( ( ))



1 ( ( )) ) ( ) 1 (k k m k x F x J x x     , k  0 1 2, , ,

onde . O parâmetro , que depende da iteração, é usado para compensar o

fato da matriz Jacobiana ser mantida fixa por algumas iterações. Obviamente,  = 1 quando m = k.

e 0 1

mk   

Caso não se tenha disponível a expressão analítica da matriz Jacobiana, esta pode ser obtida numericamente por perturbações em F(x):

j k i j j k i k ij x F e x F x J   ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (   

onde ej é o j-ésimo vetor unitário (vetor com valor 1 na posição j e zero nas demais) e j é a

perturbação na variável x(kj ), por exemplo, j = abs ou max(| |, ,100 )

) (     abs k j j   x ,

onde abs é a tolerância absoluta para x e  é a precisão da máquina. A maneira usual de construir esta matriz é o preenchimento coluna a coluna, ou seja, ao perturbar a variável j,

calcula-se o vetor das funções e monta-se a coluna j da matriz. Por outro lado,

existem vários softwares disponíveis para obtenção analítica da matriz, tanto por diferenciação simbólica (MAPLE, MATHCAD, MAXIMA, etc.) quanto por diferenciação automática que aplica a regra da cadeia (ADIFOR, ADOL-C, etc.).

) (x(k) _je_j F 

A extensão do método da continuação para sistemas de equações algébricas segue o mesmo caminho do método de Newton-Raphson.

Lista de exercícios

1) O modelo estacionário do estágio i de uma coluna de absorção de prato, na qual ocorre uma reação química irreversível na fase líquida, é descrito pelas equações de balanço de massa abaixo:

2

1 1 para 1, 2, ,

i i i i i

L x _  V y_       L x V y H k x i  N (N: número total de pratos) L: vazão molar da fase líquida;

V: vazão molar da fase gás;

H: número de moles da fase líquida no prato i; k: constante de velocidade da reação [tempo-1];

(17)

2.4MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 17

yi : fração molar na fase gás.

A relação de equilíbrio entre as fases é dada pela expressão: 1 i i i m x y x      .

Utilizando os seguintes valores das varáveis e de parâmetros: L = 40 kmol/h; V = 60 kmol/h; H = 20 kmol; k = ½ h-1, m = 0,75 ,  = 0,05, N = 6; y0 = 0,254237 e x7 = 0 , as equações do modelo transformam-se em:

2 1 1 2 2 0 para 1, 2, 3, 4, 5, 6 3 3 6 i i i i i x y_ x y  x_ i  _    _     onde ₀ 0, 25 ; ₇ 0 e 0, 75 para 1, 2, 3, 4, 5, 6 1 0, 05 i i i x y x y i x        .

Para resolver este sistema, adotam-se inicialmente os valores iniciais que constituem a solução do problema linear:

(0) (0) (0) (0) 1 1 2 2 0 para 1, 2, 3, 4, 5, 6 3 yi xi 3 yi xi i    _   _     onde y0(0) 0, 254327 ; x7(0)0 e yi(0) 0, 75xi(0) para i1, 2, 3, 4, 5, 6

Este sistema por ser linear e tri-diagonal pode ser resolvido recursivamente resultando nos valores: (0) 1 (0) 2 (0) 3 (0) 4 (0) 5 (0) 6 0,168157 0, 082744 0, 040037 0, 018684 0, 008007 0, 002669 x x x x x x                                _ _  _{ } _  

1a) Explique sucintamente como estes valores foram determinados;

1b) Para resolver o problema aplicou-se o método de Newton-Raphson ao sistema original, indique abaixo como seria este procedimento indicando claramente a matriz Jacobiana correspondente;

1c) Como pode ser aproveitada a estrutura tri-diagonal da matriz Jacobiana no método iterativo desenvolvido?

1d) Na Tabela a seguir apresentam-se os valores obtidos nas 3 primeiras iterações do procedimento implementado em computador. Comente estes resultados!

xi Chute Inicial Iteração 1 Iteração 2 Iteração 3

x1 0,168157 0,162553 0,162543 0,162543 x2 0,082744 0,078082 0,078072 0,078072 x3 0,040037 0,037362 0,037356 0,037356 x4 0,018684 0,017350 0,017347 0,017347 x5 0,008007 0,007422 0,007420 0,007420 x6 0,002669 0,002472 0,002472 0,002472

(18)

2) O método de Gauss-Jacobi consiste em resolver de forma iterativa o sistema linear de equações: na forma: 1 para 1, 2, , n ij j i j a x b i n    



 1 ( ) ( ) 1 1 ( 1) para 1, 2, , k n r r i ij j ij j j j k r k ik b a x a x x i n a         





  . Sendo x( )jr é o valor da variável xj na

iteração r. Este procedimento tem a convergência garantida se:

1 n j a a j k  



ij 1 para 1, 2, , ik i n    11 16 .

Baseado nestas informações descreva claramente um procedimento iterativo, inequivocamente convergente, resultante da aplicação do método de Gauss-Jacobi ao sistema linear abaixo: 1 2 3 2 3 1 2 3 2 4 2 3 4 2 x x x x x x x x        _{ } _        

3) Resolva o sistema linear abaixo:

1 2 3 4 5 6 7 3 2 0 0 0 0 0 1 3 4 1 0 0 0 0 2 0 1 2 1 0 0 0 3 0 0 4 6 2 0 0 0 0 0 0 2 6 4 0 3 0 0 0 0 1 2 1 2 0 0 0 0 0 3 4 1 x x x x x x x         _                  _{ }      _       _{ }    _                              4) Resolva a equação de diferenças:

2 4 1 para 1, 2, 3, , com 1 0 e 2 1

i i i n

u_   i u_  u i i  n u  u _  .

Resolva para n = 4, 5 e 6.

5) O modelo estacionário do estágio i de uma coluna de absorção de prato é descrito pela equação de balanço de massa:

1 1 para 1, 2, ,

i i i i

L x _  V y_    L x V y i  N (N: número total de pratos)

L: vazão molar da fase líquida; V: vazão molar da fase gás;

xi : fração molar na fase líquida;

(19)

BIBLIOGRAFIA 19

Sabendo-se que a relação de equilíbrio entre as fase é linear e dada pela expressão:

yi = m . xi, sugira um procedimento iterativo para resolver este sistema conhecendo-se: L, V, m , y0 e xN+1. Para ilustrar seu procedimento adote: L = 40; V = 65; m = 0,72; N = 6; y0 = 0,25 e x7 =0.

Avalie o que ocorre com as composições de saída [x1 e yN] quando N tende a infinito.

Bibliografia

 Cálculo Numérico: Características Matemáticas e Computacionais dos Métodos Numéricos - D. Sperandio, J.T. Mendes e L.H.M. Silva - Pearson-Prentice Hall, 2003.  Matrix Analysis and Applied Linear Algebra - C.D. Meyer, SIAM, 2000.

 Matrix Computations - G. H. Golub e C. F. Van Loan - Johns Hopkins, 1996.

 Álgebra Linear a Aplicações - C.A. Callioli, H.H. Domingues e R.C.F. Costa - Atual Editora, 6ª ed., 1989.