L´
ogica para Ciˆ
encia da Computa¸c˜
ao I
L´
ogica Matem´
atica
Texto 12
Enunciados Abertos e Enunciados Fechados
Sum´
ario
1 Enunciados atˆomicos abertos e fechados 2
1.1 Observa¸c˜oes . . . 3 1.2 Exerc´ıcios resolvidos . . . 4
2 Enunciados moleculares abertos e fechados 4
2.1 Observa¸c˜oes . . . 7 2.2 Exerc´ıcio resolvido . . . 8
Neste texto, abordamos os conceitos de enunciado aberto e enunciado fechado. Depois de estud´a-lo, vamos ser capazes de:
1
Enunciados atˆ
omicos abertos e fechados
A ocorrˆencia de vari´aveis em um enunciado pode influenciar fortemente a maneira como ele ´e avaliado.
Exemplo 1 Considere os enunciados
2 ´e positivo (1)
e
x ´e positivo (2)
Sabemos que cada um deles pode ser classificado como V ou F , de maneira exclusiva, em um dado contexto. Mas h´a uma diferen¸ca bastante sutil entre os contextos nos quais eles devem ser avaliados.
Para entender esta diferen¸ca vamos considerar que ambos os enunciados foram escritos em um quadro-negro de uma sala de aula, por um professor de Matem´atica, que est´a estudando com seus alunos os n´umeros inteiros (negativos, zero e positivos):
. . . , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
Ap´os escrever os enunciados no quadro, o professor escolheu um aluno estudioso e perguntou:
O enunciado (1) ´e V ou F ?
O aluno estudioso n˜ao teve nenhuma d´uvida em responder: O enunciado (1) ´e V .
Depois de parabeniz´a-lo pela resposta correta, o professor perguntou ao mesmo aluno:
E o enunciado (2), ele ´e V ou F ?
Mesmo sendo estudioso, ´e certo que ao avaliar o enunciado (2) o aluno teve d´uvidas e, muito provavelmente, o melhor que pode fazer foi devolver para o professor uma outra pergunta:
Mas professor..., qual ´e o valor de x?
De fato, o que o aluno perguntou ao professor fazia muito sentido, uma vez que, se o professor respondesse para ele que o valor de x era −2, o aluno deveria responder que o enunciado era F , mas se o professor respondesse que o valor de x era 3, o aluno devereria responder que o enunciado era V .
O Exemplo 1 sugere que, a princ´ıpio, podemos considerar a existˆencia de dois tipos de enunciados:
(a) aqueles que, como (1), s´o possuem ocorrˆencias de constantes e, por esta raz˜ao, podem ser avaliados diretamente, quando conhecemos o contexto no qual eles s˜ao pronunciados;
(b) aqueles que, como (2), possuem ocorrˆencias de ao menos uma vari´avel e, por esta raz˜ao, n˜ao podem ser avaliados diretamente, mesmo que conhe¸camos o contexto no qual eles s˜ao pronunciados.
Baseados nesta distin¸c˜ao, temos a seguinte classifica¸c˜ao dos enunciados atˆomicos:
Seja ϕ um enunciado atˆomico.
(1) Dizemos que ϕ ´e fechado se todas as express˜oes que ocorrem nele s˜ao constantes.
(2) Alternativamente, dizemos que ϕ ´e aberto se pelo menos uma das express˜oes que ocorre nele ´e uma vari´avel.
Exemplo 2 (a) Os enunciados
Augusto ´e tutor de MD
Leonardo e Carolina s˜ao casados 8.589.869.056 ´e perfeito 17.296 e 18.416 s˜ao amigos s˜ao fechados. (b) Os enunciados x ´e tutor de MD Leonardo e y s˜ao casados x e Carolina s˜ao casados y e z s˜ao casados m ´e perfeito x e 18.416 s˜ao amigos 17.296 e y s˜ao amigos x e y s˜ao amigos s˜ao abertos.
1.1
Observa¸
c˜
oes
Observa¸c˜ao 1 Alguns autores n˜ao consideram que enunciados abertos como ela ´e professora , x ´e um n´umero real
s˜ao enunciados. Eles argumentam que estas frases n˜ao podem ser classificadas como V ou F , pois suas avalia¸c˜oes dependem dos valores das vari´aveis que ocorrem nelas. Mas lembremos que, para n´os, um enunciado ´e uma frase que pode ser classificada como V ou F em um dado contexto e que nos contextos em que conhecemos os valores das vari´aveis, frases como estas podem, em princ´ıpio, ser classificadas como V ou F , de maneira exclusiva. Assim, consideramos que elas s˜ao enunciados.
1.2
Exerc´ıcios resolvidos
Exerc´ıcio 1 Determine as constantes e as vari´aveis que ocorrem em cada um dos enunciados.
(i) 2 ´e o menor n´umero primo (ii) ele ´e o meu primo mais novo (iii) 2 e p s˜ao primos entre si (iv) Jo˜ao est´a em casa
(v) X est´a entre (0, 1) e (0, 5)
Exerc´ıcio 2 Classifique cada enunciado do Exerc´ıcio 1 em aberto ou fechado.
Antes de ler as resolu¸c˜oes, tente resolver os exerc´ıcios usando os conceitos estudados.
Resolu¸c˜ao do Exerc´ıcio 1: (i) Constante: 2. Nenhuma vari´avel. (ii) Nenhuma constante. Vari´avel: ele. Pode ser reescrito como x ´e meu primo mais novo. (iii) Constante: 2. Vari´avel: p. (iv) Constante: Jo˜ao. Nenhuma vari´avel. (v) Constantes: (0, 1) e (0, 5). Vari´avel: X. As constantes (0, 1) e (0, 5) s˜ao formadas a partir das outras constantes, 0, 1 e 5, por meio de uma nota¸c˜ao especial.
Resolu¸c˜ao do Exerc´ıcio 2: (i) Fechado, pois ´e atˆomico e n˜ao possui ocorrˆencia de vari´avel. (ii) Aberto, pois ´e atˆomico e possui ocorrˆencia de vari´avel. (iii) Aberto, pois ´e atˆomico e possui ocorrˆencia de vari´avel. (iv) Fechado, pois ´e atˆomico e n˜ao possui ocorrˆencia de vari´avel. (v) Aberto, pois ´e atˆomico e possui ocorrˆencia de vari´avel.
2
Enunciados moleculares abertos e fechados
Com um pouco de cuidado, a classifica¸c˜ao em aberto ou fechado se estende de maneira natural para enunciados moleculares.
Exemplo 3 (a) Os enunciados
Leonardo e Carolina n˜ao s˜ao namorados Jo˜ao ´e inteligente e Jo˜ao ´e pregui¸coso
s˜ao fechados. (b) Os enunciados
Se x est´a noiva, ent˜ao x usa alian¸ca
y vai ao cinema todas as semanas ou y n˜ao ´e cin´efilo Se p ´e primo e p ´e maior do que 2, ent˜ao p ´e ´ımpar
z ´e primo se, e somente se z 6= 1 e z n˜ao possui divisores pr´oprios s˜ao abertos.
Os Exemplos 2 e 3 mostram alguns enunciados atˆomicos e alguns enunciados moleculares cuja classifica¸c˜ao em abertos ou fechados n˜ao apresenta dificuldades. Nestes exemplos, a classifica¸c˜ao dos enunciados como abertos se deve apenas ao fato de que eles possuem ocorrˆencias de vari´aveis. Mas, como veremos a partir de agora, a classifica¸c˜ao de um enunciado molecular como aberto ou fechado ´e um pouco mais sutil e, geralmente, mais dif´ıcil do que simplesmente verificar se ele possui ou n˜ao a ocorrˆencia de vari´aveis.
O principal ponto a ser observado ´e que enunciados abertos — tanto os atˆomicos quanto os moleculares — d˜ao origem a enunciados fechados por dois processos dis-tintos:
– substitui¸c˜ao de uma vari´avel por uma constante; – quantifica¸c˜ao de uma vari´avel.
Vamos, agora, exemplificar cada um destes processos. Nestes exemplos, conside-ramos que os enunciados de conte´udo n˜ao matem´atico se referem a pessoas e que os enunciados de conte´udo matem´atico se referem a n´umeros naturais n˜ao nulos:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, . . .
Sejam ϕ um enunciado, v uma vari´avel que ocorre em ϕ e c uma constante qualquer.
O processo de substituir v por c em ϕ consiste, simplesmente, em escrever a constante c nos lugares aonde ocorre a vari´avel v em ϕ.
Este processo, quando aplicado a enunciados atˆomicos, gera enunciados atˆomicos; e, quando aplicado a enunciados moleculares, gera enunciados moleculares.
Exemplo 4 (a) A partir do enunciado aberto x ´e professora podemos formar os enunciados fechados
Eliane ´e professora K´atia ´e professora Regina ´e professora
e muitas outras, obtidas a partir do enunciado aberto pela substitui¸c˜ao da vari´avel x
por nomes pr´oprios.
(b) A partir do enunciado aberto
n ´e par podemos formar os enunciados fechados
1 ´e par 2 ´e par 3 ´e par
e muitos outros, obtidos a partir do enunciado aberto pela substitui¸c˜ao da vari´avel n
por numerais.
Seja ϕ um enunciado e v uma vari´avel que ocorre em ϕ.
O processo de quantificar v consiste em prefixar ϕ com uma das express˜oes para todo v
ou
existe ao menos um v
usualmente, tendo primeiro encerrado ϕ entre parˆenteses.
Este processo, quando aplicado a enunciados atˆomicos ou a enunciados molecu-lares, gera enunciados moleculares.
Exemplo 5 (a) A partir do enunciado atˆomico aberto n ´e par
podemos formar os enunciados moleculares fechados para todo n (n ´e par)
existe ao menos um n (n ´e par)
obtidos a partir do enunciado aberto pela quantifica¸c˜ao da vari´avel n.
Observe que estes s˜ao os ´unicos enunciados fechados que podem ser obtidos a partir do enunciado dado pela quantifica¸c˜ao da vari´avel.
A diferen¸ca sutil do papel desempenhado por cada vari´avel em enunicados como a ´e divisor de 12
para todo a (a ´e divisor de 12) existe a (a ´e divisor de 12) apresentados no Exemplo 5(a) motiva a seguinte defini¸c˜ao:
Seja ϕ um enunciado molecular.
Dizemos que ϕ ´e fechado se ϕ n˜ao possui ocorrˆencias de vari´aveis ou se todas as vari´aveis que ocorrem em ϕ est˜ao quantificadas.
Mais adiante, vamos estudar mais detalhadamente a forma¸c˜ao e a avalia¸c˜ao de proposi¸c˜oes que possuem ocorrˆencias de quantificadores.
2.1
Observa¸
c˜
oes
Observa¸c˜ao 2 Quando substitu´ımos vari´aveis por constantes, todas as ocorrˆencias da vari´avel devem ser substiu´ıdas pela contante.
Por exemplo, substituindo x por −1 no enunciado molecular aberto x ´e o sim´etrico de 1 e x elevado ao quadrado ´e igual a 1 obtemos o enunciado fechado
−1 ´e o sim´etrico de 1 e −1 elevado ao quadrado ´e igual a 1
Observa¸c˜ao 3 Assim como podemos formar enunciados fechados a partir de enun-ciados abertos pela substitui¸c˜ao de vari´aveis por constantes, tamb´em podemos efe-tuar o processo reverso de substituir constantes por vari´aveis e formar enunciados abertos a partir de enunciados fechados.
Por exemplo, substituindo −1 por x no enunciado fechado
−1 ´e o sim´etrico de 1 e −1 elevado ao quadrado ´e igual a 1 voltamos ao enunciado aberto
x ´e o sim´etrico de 1 e x elevado ao quadrado ´e igual a 1
Observa¸c˜ao 4 Assim como podemos formar enunciados fechados a partir de enun-ciados abertos pela quantifica¸c˜ao de vari´aveis, tamb´em podemos efetuar o processo reverso de desquantificar vari´aveis e formar enunciados abertos a partir de enuncia-dos fechaenuncia-dos.
Por exemplo, desquantificando a vari´avel x no enunciado fechado existe ao menos um x (x ´e real e x2− x − 1 = 0)
obtemos o enunciado aberto
2.2
Exerc´ıcio resolvido
Exerc´ıcio 3 Classificar cada enunciado abaixo como aberto ou fechado. (i) √2 ´e racional
(ii) M ´e uma matriz quadrada (iii) x2+ y2 = z2
(iv) para todos x, y e z: x2+ y2 = z2 (v) existem x e y tais que: x3+ y3 = z3
Antes de ler a resolu¸c˜ao, tente resolver o exerc´ıcio usando os con-ceitos estudados.
Resolu¸c˜ao do Exerc´ıcio 3: (i) Fechado, pois ´e atˆomico e n˜ao possui ocorrˆencia de vari´avel. (ii) Aberto, pois ´e atˆomico e possui ocorrˆencia de vari´avel. (iii) Aberto, pois ´e atˆomico e possui ocorrˆencia de vari´avel. (iv) Fechado, pois todas as ocorrˆencias de vari´aveis est˜ao quantificadas. Pode ser reescrito como para todo x, para todo y e para todo z: x2 + y2 = z2. (v) Aberto, pois a ocorrˆencia da vari´avel z n˜ao est´a
quantificada. Pelo processo de quantifica¸c˜ao da vari´avel z, este enunciado d´a origem a dois outros enunciados fechados: existe x, existe y e existe z tais que: x3+ y3 = z3
e existe x e existe y tais que para todo z: x3+ y3 = z3.
c
2014 M´arcia Cerioli, Renata de Freitas e Petrucio Viana IM-UFRJ, IME-UFF
