2º Semestre 2007 / 2008
Cálculo II
0. Espaço
ℜ
n- Revisões de lógica (noções básicas)
Definição: Uma proposição é uma afirmação que ou é verdadeira ou é falsa.
Definição: A proposição A implica a proposição B (simbolicamente, ) se B for verdadeira sempre que A o seja.
B A⇒
1
Diagrama de Venn (intuição gráfica da definição anterior):
Definição: Se A e B forem proposições tais que e também , então A é
equivalente a B (simbolicamente
B
A⇒ B⇒ A
B A⇔ ).
Resultado: se e só se (reproduzir o resultado num diagrama de Venn para obter a intuição gráfica).
B
A⇒ ~B⇒~ A
Definição: B é condição necessária para A se A⇒B. Definição: A é condição suficiente para B se A⇒B. Operadores lógicos:
∨ : significa “ou”, A∨ é verdadeira. i.e., “A ou B” é verdadeira, se A ou B forem B verdadeiras, ou ambas.
∧ : significa “e”, A∧ é verdadeira, i.e., “A e B” é verdadeira, se quer A quer B forem B verdadeiras.
Resultados: ~(A∨B)é verdadeira se e só se ~ A∧~B for verdadeira. )
(
~ A∧B é verdadeira se e só se ~ A∨~B for verdadeira.
A B A ∧ B A ∨ B A ⇒ B A ⇔ B ~B ⇒ ~A ~A ∨ B F F F F V V V V F V F V V F V V V F F V F F F F V V V V V V V V 1 Note-se que
"Se A então B" só é falsa se o antecedente for verdadeiro e o consequente falso. Isto significa que a condição continua a ser verdadeira se o consequente for verdadeiro e o antecedente falso.
Ω - Universo No diagrama: B A⊂ , logo A⇒B. B A
- Noção de norma e distância. Breves noções topológicas em
ℜ
n.
Definição: A norma de um vector x designa-se por e possui as seguintes propriedades:
|| || x
i) ||x||>0 se x≠0, e ||x||=0 se x=0 ii) ||λx||=|λ|.||x||, λ∈ℜ;
iii)||x+ y||≤||x||+|| y|| (desigualdade triangular).
Definição: Uma função d:X×X →
[
0;∞)
é uma distância (métrica) se possuir as seguintes propriedades:i) y∀x,y∈X d(x,y)>0sex≠ y e d(x,y)=0 se x=
ii) ∀x,y∈X d(x,y)=d(y,x) (reflexibilidade) iii) ∀x,y,z∈X d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z) (desigualdade triangular).
Assim, um espaço munido de uma distância (métrica) chama-se espaço métrico.
Teoria dos Conjuntos (definições)
Definição: Um conjunto é uma colecção de elementos.
Definição: Conjunto A está contido em B (i.e. A⊂ ) se B x∈A⇒x∈B, ∀x.
Definição: A intersecção dos conjuntos A e B (i.e. A∩ ) é o conjunto: B .
{
x:x∈Ae x∈B}
Definição: A reunião dos conjuntos A e B (i.e. A∪ ) é o conjunto: B .
{
x:x∈Aou x∈B}
Definição: Conjunto complementar de B (i.e. A \ B ou A - B) relativamente a A é o conjunto:
{
x:x∈Ae x∉B}
.Nota: Se , então o complementar do conjunto B relativamente a A é , também denotado por
Ω = A B \ Ω B.
Definição: O produto cartesiano dos conjuntos A e B (i.e. A× ) é o conjunto: B .
{
(x,y):x∈Ae y∈B}
y 2 1 0 x Produto cartesiano Exemplo 1: A={
x∈ℜ:1≤x≤2}
e B= y{
∈ℜ}
(gráfico)Exemplo 2: descrição extensiva
{
branco preto amarelo}
A= , ,
{
caneta lápis borracha}
B= , , Logo, ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = × ) , ( ); , ( ); , ( ); , ( ); , ( ); , ( ); , ( ); , ( ); , ( borracha amarelo lápis amarelo caneta amarelo borracha preto lápis preto caneta preto borracha branco lápis branco caneta branco B A
Def.: O número real b é um majorante do conjunto S sse qualquer elemento de S for menor ou igual que b (∀x∈ ,S x≤b). S diz-se majorado sse possuir majorante.
Nota: Se considerarmos o caso de um intervalo ilimitado à direita, então este conjunto não tem majorante. Neste caso escrevemos: majorante =
{ }
0/ = conjunto vazio. Def.: O número real b é um minorante do conjunto S sse qualquer elemento de S for maior ou igual que b (∀x∈ ,S x≥b). S diz-se minorado sse possuir minorante.- S diz-se limitado se for majorado e minorado.
Def.: O Máximo de um conjunto S ⊆ℜé o elemento pertencente a S que é majorante. Exemplos: S =
[ ]
0;1 →maxS =1[ [
0;1 →max ={ }
0/= S
S (não existe máximo).
Def.: O Mínimo de um conjunto S ⊆ℜé o elemento pertencente a S que é minorante.
Def.: O Supremo de um conjunto S ⊆ℜ(i.e. Sup S) é o menor dos seus majorantes. Nota: Sup S = s 1) ∀x∈S,x≤s;
2) ∀ε >0,∃x∈S:x≥s−ε.
Def.: O Ínfimo de um conjunto S ⊆ℜ(i.e. Inf S) é o maior dos seus minorantes.
Def.: Bola aberta de centro c e raio r é o conjunto:
{
x d x c r} {
x x c r}
c
Br( )= : ( , )< = :| − |<
Def.: Vizinhança no ponto c é qualquer subconjunto de ℜ que contenha uma bola de centro c.
Def.: O ponto a é um ponto interior de S se existir alguma bola de centro a contida em
S, i.e. ∃r >0:Br(a)⊂S.
Def.: O ponto a é um ponto exterior de S se for um ponto interior do complementar de S, i.e. ∃r >0:Br(a)∩S =0/ .
Def.: O ponto a é ponto fronteiro de S se não for interior nem exterior, isto é, qualquer bola de centro a tem pontos comuns com S e com o complementar de S: [C(S)].
Analiticamente, ∀r >0, Br(a)∩S ≠0/ ∧Br(a)∩C(S)≠0/ ef
D .: Interior de S é o conjunto formado por todos os pontos interiores de S. ef
S: Int D .: Exterior de S é o conjunto formado por todos os pontos exteriores de S: Ext S.
ef
D .: Fronteira de S é o conjunto formado por todos os pontos fronteiros de S: Fr S. ef
D .: Fecho ou aderência de S é a reunião de S com a fronteira de S: S =S∪FrS.
conjunto S diz-se aberto se coincidir com o seu interior, i.e., S = int S
Ponto aderente é o ponto que pertence ao fecho de um conjunto. O
O conjunto S diz-se fechado se coincidir com o seu fecho, i.e., S = ∪FrS. ef
S S =
D .: um ponto a é ponto de acumulação de S, se toda a bola de centro a contém pelo menos um ponto de S distinto de a.
Analiticamente, ∀r>0, Br(a)∩
( { })
S− a ≠0/. efD .: Conjunto derivado de S é o conjunto dos pontos de acumulação de S.
Um ponto a pertencente a S é um ponto isolado se existir alguma bola de centro
a que só tenha em comum com S o próprio elemento a, i.e. ∃r>0:Br(a)∩S =
{ }
a . Def.: Conjunto S é limitado se ∃ ∈ ℜb :||x||≤b,∀ ∈x S. Intuitivamente podemosX é um conjunto Convexo
dizer que S é limitado se conseguirm hança que contenha todo o
espaço S. os determinar uma vizin
- sse ∀x,y∈X então λ.x+ −(1 λ).y∈X, paraλ∈
[ ]
0;1 - X é um conjunto Conexo se conseguirmos unir qualquer par de pontos pertencentes ao espaço X através de uma linha/curva toda ela contida no conjunto em questão. Um conjunto é conexo, se não for desconexo. Um conjunto S é desconexo se:0 0 : , = ∪ ∧ ∩ = /∧ ∩ = / ∃A B S A B A B A B . Exemplos:
Conjunto convexo – a definição x
y
X
X
Conjunto conexo, mas não s convexo – para certos valore de λ obtemos pontos fora do espaço X.
verifica-se para qualquer par de pontos (x,y) no espaço X, e qualquer valor deλ∈
[ ]
0;1 .n
a função
1. Funções de
ℜ
em
ℜ
m- Limite de um
Definição:(limite de uma função) Seja, f :D⊆ℜn →ℜm b x f( )= lim a x→ , sse, ∀δ > ,∃ε(δ)>0:||x−a||<ε ⇒|| f(x)−b||<δ tuição gráfica,
aso em que a definição falha (função descontínua)
É claro que a definição não vai ser respeitada! Para δ suficientemente pequenos não con 0 In f(x) δ + b C
seguimos encontrar nenhum ε tal que||x−a||<ε ⇒|| f(x)−b||<δ. Nota: ldade de Cauchy-Schwarz: ||v.w|| ||v||.||w|| Desigua ≤ Desigualdade triangular: ||v+w||≤||v||+||w||. b a δ − b x a+ε ε − a f(x) δ + b b δ − b a x a +ε ε − a
- Continuidade
eja a ponto de acumulação do domínio (D) da função f :D⊆ℜn →ℜm. Então a S
função é contínua no ponto a se limf(x) f(a)
a
x→ = .
A função f é contínua no ponto a se:∀ >δ 0,∃ >ε 0:||x−a||<ε ⇒|| f(x)− f(a)||<δ e
ote-se que em pontos isolados a função é contínua.
função é contínua se for contínua em todos os pontos do seu domínio.
lgumas propriedades das funções contínuas:
• f :ℜn →ℜm (m > 1)é contínua num ponto a, sse as funções coordenadas
• ção • . D x∈ N A A ℜ → ℜn f :1 , O quociente, ℜ → ℜn f :2 ,… ℜn →ℜ m
f : forem contínuas no ponto a. produto, soma / subtracção de funções contínuas é uma fun contínua no seu domínio.
Função composta fοgé contínua em a se g for contínua em a e f for contínua em g(a).
2. Derivação em
nDerivadas Parciais
ef
ℜ
-
D .: Seja a=
(
a ,a ,..,a)
um ponto interior do domínio da função f :D⊆ℜn →ℜ.n
2 1
erivada parcial
Chama-se d no ponto a em relação a xi, ao limite (quando existe):
, lim 1 1 1 1 1 1 0 h n i i i n i i i h + − + − → ) ,..., , , ,..., ( ) ,..., , , ,..., (a a a h a a f a a a a a f + − e costuma designar-se por (a), f' (a),(D f)(a). x f i i x x i ∂ ∂
Def.: Gradiente da função ( f∇ ) no ponto a é dado por:
⎟⎟ ⎠ ⎜⎜ ⎝∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ ( ) ( ), ( ), ( ),..., ( ), 3 2 1 a x f a x f a x f a x f a f n ⎞ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ .
onsidere agora uma função vectorial: f :ℜn →ℜm.
C
(
) (
)
(
)
(
f x x x f x x x)
f = 1 1, 2,..., n , 2 1, 2,..., n ,..., fm x1,x2,...,xn todas as suas derivas parciais (no ponto a), temos de deri
, neste caso para obtermos var a matriz Jacobiana, i.e.:
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∇ ∇ = ) ( ... ) ( ) ( ... ... ... ... ) ( ... ) ( ) ( ) ( ... ) ( 2 1 1 2 1 1 1 1 a x f a x f a x f a x a x a x a f a f J n m m m n m ⎤ ⎡∂f ∂f ∂f
ota: J só será uma matriz quadrada se m = n.
triz Jacobiana (rever Álgebra linear, concei
N
|
| J representa o determinante da ma to de determinante).
- Diferenciabilidade
ef
D .: Considere f :D⊆ℜn →ℜ e seja a um
a quando nalguma vizinhança do ponto ... ) ).( ( ) ).(x a f ' a x a a − + − +
ponto interior do domínio de f.
a a função se pode ||) (|| ) ).( ( ' a x a x a f − +σ − , f é diferenciável em representar como: ( ) ( ) (x f a f ' f = + x1 1 1 x21 2 2 xn1 n n onde, + 0 ) ( lim 0 = → ρ ρ σ ρ ; ρ =||x−a||. { sto Re a x a f a f x) ( ) ( ).( ) ( ) ( f = +∇ − +σ ρ aso de f :D⊆ℜ→ℜ ) ( )+σ ρ aso de f :D⊆ℜn →ℜm ) ( C { sto Re x a x f a) '( ).( ( + −a f x f( )= C { {f(x)= f(a)+{Ja (.x−a)+{ 1 1 1 1 × × × × × m m n n m m ρ σ 3 2 1 epresentando matricialmente: R ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ) ( ... ) ( ) ( ... . ) ( ... ) ( ) ( .... .... ... ... ) ( ... ) ( ) ( ) ( ... ) ( ) ( ) ( ... ) ( ) ( 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 ρ σ ρ σ ρ σ m n n n m m m n m m x a a x a x a x f a x f a x f a x a x a x a f a f a f x f x f x f ⎡∂f ∂f ∂f ⎤ . eorema
T : Função vectorial f :D⊆ℜn →ℜm é diferenciável em a sse cada uma
otas:
r da função f são contínuas sse a função é de classe C . r
em
• arciais contínuas até à ordem r, em todos os
eorema
das componentes for diferenciáve eml a. N
• As derivadas de ordem
• Se f é C , as derivadas de ordem r, tal que derivadas o mesmo nº de vezesr
ordem a cada variável, são iguais. f é C em S se admite derivadas pr
pontos de S.
T : Se ∃ derivadas parciais de 1ª ordem no ponto a, e se (n-1) dessas derivadas forem contínuas no ponto a, então a função é diferenciável no ponto.
a a+1 erro Diferencial f(a) x f(x)
- Derivada Direccional
• f' (a,b)= J (a,b).u, em que u é um vector coluna.
f u u, ) ( 1 2 • dx df
: derivada dirigida segundo o vector (1; 0).
Propriedades do vector gradiente:
o Seja f :D⊆ℜn →ℜ uma função diferenciável no ponto a. A derivada •
dirigi onto a atinge o seu maior valor na direcção do vector gradiente. da da função f no p || || f f u = ∇ . ∇
Prova: fu(a) ∇f(a).u.cosθ , em que θ é o ângulo formado pelo adiente e o vector u. Assim, f'(a)at
). ( ua f = ∇ = '
vector gr u inge o valor máximo quandocosθ
=1, ou seja, θ = 0, o que implica que u tem ma direcção e sentido que o vector gradiente, i.e.,
a mes . f f u u ∇ ∇ =
Direcção em que a função não varia (ao longo de cada curva de nível) é aquela o
em que u é perpendicular ao vector gradiente. O vector gradiente é perpendicular às curvas de nível. – Ver pg. 60, Cesaltina Pires, “Cálculo para
Economistas”.
Prova: f(a).u= ∇f(a).u.cosθ . Assim, a função f não tem r variação quando
) (
' a
fu =∇
qualque cosθ=0, ou seja,
•
θ = 90º, o que implica que u tem de
ser perpendicular ao vector gradiente. Assim, o vector gradiente é perpendicular às curvas de nível. v vers v v v v ver v || ||. || || ⇔ =
= , a função do versor é transformar um vector, mantendo a sua direcção e sentido, mas norm
s
- Equação do plano angente e da recta normal (perpendicular) ao gráfico
Equação do plano tangente no ponto
Equação do plano angente e da recta normal (perpendicular) ao gráfico
Equação do plano tangente no ponto
t
t
de uma função
D⊆ℜ2 →ℜ.
de uma função
D⊆ℜ2 →ℜ.
(
a, af( ))
: z= f( )
a +∇f(a).(x−a), em que a fConsidere o plano α com a seguinte forma (canónica): ax+by+cz+d =0, então p
unção f é diferenciável no ponto a.
odemos dizer que o vector perpendicular / normal ao plano n r
(
a b c)
n= , ,
→
, que passa no ponto p.
o ponto p é o vecto
Prova: Comecemos por encontrar 3 pontos pertences ao plano cz = -d
α. Por exemplo, os pontos que intersectam cada um dos eixos.
Intersecção com o eixo Oz: x = y = 0. Logo, z = -d/c ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ − = c P 0,0, ⇔ ⎛ d⎞
Intersecção com o eixo Oy: x = z = 0. Logo, by = -d⇔ y = -d/b ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ − = 0, ,0 b Q ⎛ d ⎞
Intersecção com o eixo Ox: y = z = 0. Logo, ax = -d⇔ ⎟ ⎠ ⎜ ⎝− = ,0,0 a R x = -d/a ⎛ d ⎞ Vectores do plano: ⎟ ⎠ ⎜ ⎝− = ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ − =⎛0, , ⎞ ⎛ ,0⎞ b a QR c d b d PQ d,d . PQ u c c b b a PQ n ⎟+ × = ⊥ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− × + × = 0 0 logo . d d QR u c b b a a QR n ⎟+ × + × = ⊥ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− × = 0 0 logo .
vector nr=
(
a,b,c)
é perpendicular ao plano de equação dd
, ficando assim demonstrado que o 0
= +by+cz+ d
ax .
tuição gráfica:
recta normal ao plano α que passa no ponto p será: In Vector normal ou ano, p
α
perpendicular ao pl no ponto p. A c b a 3 2 1 = y p = z p p x− − − , em que p ,p ,p , são as coordenadas do ponto p.ldades na próxima secção “Rectas no espaço
(
)
o racional por detrás destas igua
3 2 1
Recorde ”.
Rectas no espaço
Dados um ponto A de uma recta e um vector director u, a recta define-se pela equação:
= +A ku k∈ ℜ
P . ,
em que P representa um
torial da recta que passa no ponto A e tem a d
(
)
ponto qualquer da recta. Num referencial do espaço, a equação vec irecção do vector u é:
(
, ,)
= x ,y ,z +k(
u1,u2,u3)
, k∈ℜ.A equação vectorial de uma recta definida por dois pontos A e B obtém-se através z y x A A A da igualdade: ℜ ∈ + = A k AB k P . ,
o lado, as equações que relacionam directamente as três coordenadas de
a nula, i.e. se a Por outr
cada ponto da recta são equações cartesianas. Para definir uma recta num referencial do espaço são necessárias duas equações de primeiro grau que relacionem as três coordenadas, uma vez que uma recta é uma intersecção de dois planos.
Se os vectores directores da recta não têm nenhuma coordenad
recta não for paralela a nenhum dos planos coordenados, as equações cartesianas da recta que passa pelo ponto A = (xA, yA, zA) e tem a direcção de u = (u1, u2, u3) obtêm-se
através das igualdades:
3 2 1 u u u A A A = y y = z z x x− − − . estas igualdades? Como chegar a
(
, ,) (
, ,) (
, ,)
, . Partindo da equação vectorial da recta: x y z = xA yA zA +k u1 u2 u3 k∈ ℜ Esta pode ser reescrita como:3 2 1 3 2 1 3 2 1 . . . u z z u y y u x x k u z z k u y y k u x u k z z u k y y u k x x A A A A A A A A A − = − = − ⇒ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ = − = − = − ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + = + = c.q.d. x ⎧
Quando alguma das coordenadas de u é igual a zero, isto significa que a recta é paralela a um dos planos coordenados e por isso os seus pontos têm umas das coordenadas constante. Por exemplo, se u1 = 0, as equações cartesianas seriam:
3 2 u z z y y x x= ∧ − A = − A . u A
Mais uma vez, para chegarmos a este resultado basta partirmos da equação vectorial da recta, fazer o desdobramento num sistema de 3 equações e resolver em ordem a k.
- Derivada da função composta
( ( ))
( ) ) (a J g a J a Jfog f g Matricialmente: = × Regra da cadeia:( )
{ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = = t g g y y f t g g x x f df dw dt dw t g f 2 2 1 1 1 '( ) . . . . . ο , em que x=g1 e y =g2. Esquema em árvore: x g t 1 f w t g2 y- Funções Homogéneas e Teorema de Euler
Definição: é homogénea de grau α se e
. ℜ → ℜ ⊆ n D f : D ∈
(
f x)
x D t x t f(. )= α. ( ) ∀ ∈ x t t∈ℜ: .Se t>0 a função é positivamente homogénea de grau α.
Definição: , funções vectoriais são homogéneas de grau α se cada uma das suas componentes for de grau α (todas as componentes têm de ter o mesmo grau).
m n
D
f : ⊆ℜ →ℜ
Se f tem grau α de homogeneidade e é diferenciável, e as suas derivadas parciais existem e são diferenciáveis, então o grau de homogeneidade das derivadas parciais de f é de (α – 1).
Teorema de Euler: Se diferenciável e positiva homogénea de grau α, então satisfaz o seguinte identidade:
) ,... (x1 xn f ) ,..., , ( . . ... . . 1 2 2 2 1 1 n n n f x x x x f x x f x x f x =α ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ e reciprocamente.
3. Fórmula de Taylor
- Teorema dos acréscimos finitos
[ ]
a b ⊆ℜ→ℜf : ; , f contínua e diferenciável no interior daquele intervalo, então ) ( ) ( ) ( ) ).( ( ) ( ) ( : ) , (a b f b c ' f' c a b a f b f a b c f a f = − − ⇔ − = − ∈ ∃ .
Intuição gráfica do Teorema dos Acréscimos Finitos:
f(x) f(c)
f(a) f(b)
a b c x
Generalizando para funções vectoriais - Se diferenciável, com D
aberto e convexo, então dados a e b, .
m n D f : ⊆ℜ →ℜ 1 43 42 1 1 ) ( ) ( : ) × ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∇ ∇ = − m a f b f b 3 2 1 43 42 1 1 1 ) (. ) ( ... ) ( , ( × × − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ∈ ∃ n n m m m a b c f c f a c
- Fórmula de Taylor
f Df : ⊆ℜn →ℜ, de classe Ck+1, numa vizinhança de a que contém a + u, então
+ + + ) ( '' a + . ( ) ! 1 ... . ! 2 1 ) f a k f a k u u + = + ) ( ) ( (a u f a f' f u R, em que R é o resto. ) . ( . )! 1 ( 1 f 1 a u k R k u +θ +
= + = Resto, com 0<θ <1 e onde é a derivada de ordem i,
segundo a direcção do vector u.
i u f Caso f :ℜ2 →ℜ 2 2 1 1 '( ) . .u u f u u f a f a a u ∂ ∂ + ∂ ∂ = , em que ui =(xi −ai) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 ''( ) . 2. . . .u u f u u u u f u u f a f a a u ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = , em que e . 2 ) ( i i i x a u = − ) ).( ( . 2 1 1 2 2 1u x a x a u = − −
4. Teorema da Função Inversa e Teorema da Função
Implícita
Teorema da Função Inversa: Seja f :D⊆ℜn →ℜne a ∈intDtais que: o f é de classe C1 na vizinhança de a;
o |Jf(a) |≠0
Então, existe uma função f -1 de classe C1 definida na vizinhança de a tal que , para todo o x na vizinhança de a.
x x f f−1( ( ))= f(x) f -1(f(x))= x a f(a)
Se f :ℜ→ℜ, contínua e de classe C1 em [a, b] com f'(x)≠0,∀x∈
( )
a,b ⇒ f é umabijecção de [a; b] em [α; β] = f([a,b]) e existe g = f -1 (e g é C1) tal que:
'( f
g (x))= f
(
'(x))
−1.A derivada da função inversa avaliada no ponto f(x) é igual ao inverso da derivada da função no ponto x.
Uma função bijectiva, correspondência biunívoca ou bijecção, é uma função
injectiva e sobrejectiva.
Def. (fc. sobrejectiva): Uma aplicação diz-se sobrejectiva sse o seu contradomínio, f(A) é igual a B (e não a uma parte restrita deste conjunto); de outro modo: sse para cada existe pelo menos um
B A f : → A x B y∈ ∈ tal que f(x)= y.
Def. (fc. injectiva): Diz-se que é injectiva sse, para quaisquer , a condição B A f : → ) y A y x, ∈ x≠ y⇒ f(x)≠ f( A x∈
; o que equivale a dizer que, para cada existe quando muito um tal que
B
y∈ f(x)= y.
Teorema da Função Implícita
Se: a) com e for de classe C1 num domínio aberto com valores em ; ) , ( yx F m ℜ × n x∈ℜ m ℜ n y∈ℜ n D⊆ℜ
b)(x0,y0)∈D for solução de F(x,y)=0 e
c)| | 0 ) , ( 0 0 ≠ y x y F J ,
Então existem vizinhanças e e uma função
de classe C1: n x V( 0) ⊆ℜ 0 y m y V( 0)⊆ℜ ) ( ) ( :V x0 V y0 f → f(x0)= e )F(x,f(x))≡0,∀x∈V(x0 . Matricialmente, obtemos a seguinte relação:
( )
xFF y f
x
J
J
5. Optimização
- Formas Quadráticas
{ xA x q n n×= '
,
A é matriz simétrica (rever conceitos matriciais de Álgebra Linear).¾ Método dos Valores Próprios
Utilização do polinómio característico | − | =0 43 42 1 tico Caracterís Polinómio A I λ o ∀i,λi >0 Definida Positiva o ∀i,λi ≥0 S-D Positiva o ∀i,λi ≤0 S-D Negativa o ∀i,λi <0 Definida Negativa o ∃i0,i1 :λi0 >0∧λi1 <0 Indefinida. Exemplo: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 4 2 2 1 A = ⇔
(
−)(
−)
− = ⇔ − = ⇔ − − − − = − 0 1. 4 4 0 5 0 4 2 2 1 2 λ λ λ λ λ λ λI A(
−)
= ⇔[
= ∨ =]
⇒ ⇔λ λ 5 0 λ 0 λ 5 S-D Positiva.¾ Método dos Menores Principais
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = × ... ... ... ... ... 22 21 12 11 a a a a An m o A1 >0, A2 >0,..., An >0 Definida Positiva o ímpar. é n se 0 par é n se 0 ,... 0 , 0 , 0 2 3 1 < > > > < n n A A A A A Definida Negativa o A1 >0, A2 <0 Indefinida
o Ai =0, então se todos os menores de ordem k2 forem não negativos, será S-D positiva; se todos os menores de ordem k tiverem o mesmo sinal que (-1)k ou forem nulos então será S-D negativa.
Função Convexa
f definida num convexo S é convexa sse f
(
λx+(1−λ).x')
≤λf(x)+(1−λ).f(x') . , ), 1 , 0 ( ∀x x'∈S ∈ ∀λ e estritamente convexa se em estrita desigualdade,(Exemplificar graficamente)
Teorema: Seja f C2 definida em S convexo. f é convexa sse for semidefinida positiva para todos os pontos do interior do conjunto S. Se for definida positiva, i.e. >0, seja qual for u ≠ 0, para todos os pontos do interior de S, então a função é estritamente convexa. f du2 f du2 f du2 Função Quase-Convexa
f(x) definida num convexo S, é quase-convexa sse ∀x,x'∈Se ∀λ∈
( )
0;1 : ) ( ) ) 1 ( ( ) ( ) (x f x' f x x' f xf ≥ ⇒ λ + −λ ≤ , se em desigualdade estrita, então a função será estritamente quase-convexa.
{
( ); ( )}
min ) ) 1 ( ( x x' f x f x' f λ + −λ ≤Análise da quase-convexidade / quase-concavidade
⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∇ ∇ = H f f B 0T , ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 22 21 2 12 11 1 2 1 0 f f f f f f f f B i) 0 0, 2 0 11 1 1 1 = < B > f f f B ímpar n se , 0 par n se , 0 < > n n B B Quase-côncava ii) B1 <0,..., Bn <0⇒Quase-Convexa.
- Optimização Livre
- Condições de Primeira Ordem (CPO): ∇f =
[
0 ... 0]
Condições Necessárias ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ∂ ∂ = ∂ ∂ 0 ) , ( 0 ) , ( * * * * y x y f y x x fVer Teorema 7.7 e Teorema 7.8 (“Condições suficientes para extremos locais”) - pg. 169 e 170, “Cálculo para Economistas”.
H Definida Positiva => Mínimo local H Definida Negativa => Máximo local H Indefinida => Ponto de sela
Notas: Nada se conclui quando a forma é semidefinida
Direcção singular: direcção segundo a qual o 2º diferencial é nulo. Quando efectuamos uma análise local, consideramos extremo o ponto que em toda a sua vizinhança se verifique todos os sinais > 0 (mínimo) ou todos < 0 (máximo).
- Optimização Condicionada
Formalização do problema: { } e) egatividad s de não-n (restriçõe x x b x x g a s x x f Min Max x x 0 , ) , ( . ) , ( / 2 1 2 1 2 1 ,2 1 ≥ = Lagrangeana {[
( , )]
) , ( 1 2 . 2 1 x b g x x x f L Lagrange M − + = λCPO (Condições necessárias):
⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ 0 0 0 2 1 λ L x L x L
Condições suficientes (Hessiana orlada):
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 . 0 x L x x L x g x x L x L x g x g x g H o m, número de restrições;
o se os menores principais de H , começando em H2m+1 , forem de sinal (-1)m, o diferencial de 2ª ordem s.a restrições é definido positivo => Mínimo.
o se os menores principais de H , começando em H2m+1 , forem alternando, sendo o sinal de H2m+1 igual ao de (-1)m+1 => Máximo.
Nota: interpretação do multiplicador de Lagrange - λ - dá a variação do valor da função objectivo no óptimo perante uma alteração do parâmetro b na restrição.
- Optimização Não-linear
Exemplo: { } ) gatividade de não-ne (condições x x b x x g a s x x f Max x x 0 , ) , ( . ) , ( 2 1 2 1 2 1 ,2 1 ≥ ≤[
( , )]
) , (x1 x2 b g x1 x2 f L= +λ −- restrições em desigualdade, sendo necessário verificar se no óptimo as restrições são activas ou não. CPO ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ≥ ≥ = ∂ ∂ = ≥ ≤ = ∂ ∂ = ≥ ≤ = ∂ ∂ 0 , 0 , 0 0 , 0 , 0 0 , 0 , 0 ' ' 2 ' ' 2 1 ' ' 1 2 2 1 1 λ λ λ Lλ Lλ L x L y L x L x L x L x L x x x x Condições de complementaridade
- Ver Teorema 9.1 (suficiência das condições K-T) - pg. 213/ 214, “Cálculo para Economistas”.
- Ver Teorema 9.3 (necessidade das condições de K-T) - pg. 218 “Cálculo para Economistas”.
- Ver Teorema 9.4 (necessidade e suficiência) – pg. 219, 220: Sob determinadas condições, para funções objectivo quase-côncavas e restrições quase-convexas , as condições de K-T para o problema de maximização sujeita a restrições do tipo ≤ são necessárias e suficientes.
6. Séries
Soma dos n termos de uma sucessão an com razão r:
r r a Sn n − − = 1 1 1 com -1 < r < 1.
Diz-se que a sucessão an é somável sse for convergente (em R) a sucessão sn,
das suas somas parciais; nesta hipótese, chama-se soma dos termos da sucessão an ao
limite de sn e, designando-o por s, pode escrever-se:
s a
a
a1 + 2 +... n +...= .
Na realidade, em vez de se dizer que a sucessão an é somável é costume dizer-se
que a série é convergente; quando sn não converge (em R) diz-se que a mesma série é
divergente.
Teorema da necessidade: Se a série
∑
an é convergente, an é um infinitésimo: an → 0.No entanto o facto de an → 0 não implica que a série em causa seja convergente.
Por exemplo, considere a série harmónica
∑
n 1, sendo claro que 1/n → 0. Calculando 2 1 2 1 ... 2 1 2 1 ... 2 1 1 1 2 − = + + + + + ≥ + + = 4 43 4 42 1 q q q q q q q q s
s , o que significa que a
partir de qualquer ordem, podem obter-se diferenças s2q −sqsuperiores a 0,5 o que permite concluir que a série harmónica é divergente, apesar de 1/n → 0.
Teorema (Critério geral da comparação): Suponha-se que, para todo, o n∈N, se tem então n n b a ≤ ≤ 0 ,
i) se
∑
bn é convergente,∑
an é também convergente; ii) se∑
an é divergente,∑
bn é também divergente.Teorema (Critério de Leibnitz): Se an é uma sucessão decrescente de termos
positivos, a série
∑
∞ = + − 1 1 ) 1 ( n n n a converge sse an → 0.Diz-se que a série é absolutamente convergente sse for convergente a série
