Segundo Exercício Programa MAP3121 Para Engenharias de Produção, Petróleo, Ambiental e Naval Entrega: até 22 de Junho de 2017

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Modelos de Competi¸c˜

ao e Preda¸c˜

ao

Segundo Exerc´ıcio Programa MAP3121

Para Engenharias de Produ¸c˜

ao, Petr´

oleo, Ambiental e Naval

Entrega: at´

e 22 de Junho de 2017

1 Introdu¸

c˜

ao

Nesta segunda tarefa vamos considerar a modelagem de competi¸cão entre diferentes espécies. Para o crescimento e sobrevivência das espécies são necessários recursos naturais dos quais elas dependem e se alimentam. Quando diferentes espécies convivem e se nutrem de mesmos recursos, elas naturalmente estarão competindo por estes, que normalmente são limitados. Essa competi¸cão pode até vir a causar a extin¸cão de uma das popula¸cões competidoras, ou pelo menos afetar significativamente sua dinâmica populacional. No meio ambiente podem também existir espécies que se nutrem de outras. Estas são espécies predadoras e suas v´ıtimas são as suas presas. Estes modelos de competi¸cão encontram aplica¸cões em diversas áreas. Por exemplo, podemos ver empresas e fornecedores como espécies, que se nutrem de clientes que demandam seus produtos. As empresas competem pelos clientes. Em agricultura, a existência de pragas que atacam planta¸cões é de grande importância. Os efeitos podem ser modelados através da convivência entre presas e predadores. Uma das áreas em que tais modelos têm ampla aplica¸cão é em meio Ambiente e Ecologia1_.

O modelo log´ıstico

Vamos inicialmente considerar uma espécie isolada, vivendo em ambiente que lhe fornece os recursos naturais de que necessita. O modelo exponencial de crescimento, uma primeira aproxima¸cão normalmente utilizada, não é muito realista, pois pressupõe que uma popula¸cão se multiplique indefinidamente à mesma taxa, independentemente dos recursos naturais dispon´ıveis. O modelo log´ıstico, leva em considera¸cão a limita¸cão de recursos naturais, considerando uma taxa de crescimento que irá depender de como a popula¸cão evolui. O crescimento é modelado pela equa¸cão:

x0(t) = λx(t)(1 − x(t) M ) ,

onde M é um valor positivo de satura¸cão da popula¸cão. Se x(t) é pequeno então x0(t) ≈ λx(t), ou seja o crescimento é aproximadamente exponencial. Conforme o valor de x(t) se aproxima de M a velocidade de crescimento diminui, com a popula¸cão tendendo a um valor de equil´ıbrio. Para esta equa¸cão, é poss´ıvel encontrar uma forma anal´ıtica para a solu¸cão, dada por

x(t) = M

1 + (M_x

0 − 1)e

−λt ,

onde x0é o tamanho inicial da popula¸cão em t = 0. Verifique que x(t) é solu¸cão da equa¸cão diferencial,

que sua derivada é máxima quando x(t) = M/2 e que o tamanho da popula¸cão tende ao valor de equil´ıbrio M com o passar do tempo.

Competi¸

c˜

ao entre duas esp´

ecies

Sejam duas esp´ecies N1 e N2, as quais apresentam crescimento log´ıstico na ausˆencia da outra.

Vamos agora modelar o fato de que elas competem pelos recursos naturais. Ou seja, a presen¸ca de elementos de uma esp´ecie causa um decr´escimo na taxa de crescimento da outra. Para parametrizar esse

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efeito, introduzimos um par de coeficientes de competi¸c˜ao α12 e α21, que descrevem o efeito da esp´ecie

2 sobre a espécie 1 e da espécie 1 sobre a espécie 2, respectivamente. Assim teremos o sistema dN1(t) dt = λ1N1(t) 1 − N1(t) M1 − α12N1(t)N2(t) dN2(t) dt = λ2N2(t) 1 − N2(t) M2 − α21N1(t)N2(t)

onde M1 e M2 são os valores de satura¸cão das popula¸cões das respectivas espécies e os coeficientes de

competi¸c˜ao s˜ao valores positivos.

O modelo tem um ponto de equil´ıbrio quando ambas as popula¸cões se estabilizam. Isso ocorre quando N1= N2= 0, ou seja na ausência das duas espécies, ou quando simultaneamente N1= M1(1 − α_λ12

1)N2

e N2 = M2(1 − α_λ21

2 )N1. Cada uma destas equa¸c˜oes define uma reta no plano N1,N2. Caso elas se

interceptem no primeiro quadrante (ou seja, onde as popula¸cões são positivas e o modelo faz sentido) existirá um ponto de equil´ıbrio além da origem. Procure avaliar em que situa¸cões (em fun¸cão dos parâmetros α e λ) este equil´ıbrio é estável ou não. Além destes haverá mais um ponto de equil´ıbrio em cada eixo, correspondendo a situa¸cões em que uma das espécies não está presente e a outra atingiu o valor de satura¸cão. Procure determinar em fun¸cão dos parâmetros α e λ quando as duas espécies irão sobreviver, e quando uma delas tende à extin¸cão.

Modelo Presa-Predador

Vamos considerar agora um ambiente em que convivam duas espécies, uma que se alimenta dos recursos naturais (digamos, uma popula¸cão de coelhos) e uma segunda espécie que se nutre basicamente da primeira espécie (digamos, uma turma de raposas que se alimenta dos coelhos). O clássico modelo presa-predador, conhecido como modelo de Lotka-Volterra, considera recursos ilimitados, ou seja, na ausência do predador, a popula¸cão de suas presas apresentaria crescimento exponencial.

As equa¸c˜oes s˜ao dadas por:

x0(t) = λx(t) − αx(t)y(t) y0(t) = βx(t)y(t) − γy(t)

onde x(t) representa os coelhos e y(t) as raposas, e os parâmetros aparecendo nas equa¸cões são todos constantes e positivos.

Neste caso, se inicialmente houver membros das duas espécies no ambiente, o tamanho das respectivas popula¸cões irá variar periodicamente no tempo. Isto significa que o retrato de fase será composto por ´

orbitas peri´odicas, como ilustrado na figura abaixo.

(3)

Quando inserimos nas equa¸cões a limita¸cão de recursos naturais, na ausência de raposas, os coelhos terão crescimento dado pela equa¸cão log´ıstica. Observe que, como antes, na ausência de coelhos as raposas virão a morrer de fome. O modelo é dado pelas equa¸cões:

x0(t) = λx(t)(1 − x(t)/M ) − αx(t)y(t) y0(t) = βx(t)y(t) − γy(t)

onde os parâmetros são positivos e M é o valor de satura¸cão da popula¸cão de coelhos. Neste modelo já não teremos órbitas periódicas. Procure analisar a equa¸cão e encontrar quais são as situa¸cões de equil´ıbrio (onde as popula¸cões irão se estabilizar, com ambas as derivadas nulas). Veja que mais informa¸cões você consegue obter só de analisar os sinais das derivadas em fun¸cão do tamanho das popula¸cões.

Esse modelo pode ser expandido para uma competi¸cão entre várias espécies ou para a situa¸cão de coexistência de um predador que atinge mais de uma espécie de presas, mas sua aplica¸cão não se limita apenas a esse tipo de competi¸cão de popula¸cões. Alguns estudos utilizam uma versão adaptada desse modelo para análise de mercado, por exemplo, para estudar a concorrência entre dois produtos ou a concorrência de duas empresas de telefonia, entre outros.

O modelo 2 presas - 1 predador

Vamos considerar agora que mais uma espécie conviva com os coelhos e as raposas, digamos uma po-pula¸cão de lebres que também se alimente apenas dos recursos naturais. Ou seja, coelhos e lebres estarão competindo pelos mesmos recursos. Por outro lado, as raposas poderão se alimentar tanto de coelhos como de lebres. A equa¸cão do modelo pode ser posta na forma:

x0(t) = x(t)(B1− A1,1x(t) − A1,2y(t) − A1,3z(t))

y0(t) = y(t)(B2− A2,1x(t) − A2,2y(t) − A2,3z(t))

z0(t) = z(t)(B3− A3,1x(t) − A3,2y(t))

onde x(t) representa os coelhos, y(t) as lebres e z(t) as raposas. Nesta forma os coeficientes Bi e Ai,j

s˜ao positivos para i = 1 e i = 2, enquanto para i = 3 s˜ao negativos.

Note que o modelo acima engloba todos os modelos já apresentados. Na ausência de raposas, temos um modelo de competi¸cão entre lebres e coelhos. Na ausência de lebres ou coelhos, temos o modelo presa-predador visto na se¸cão anterior. Tanto as lebres como as raposas experimentam crescimento do tipo log´ıstico na ausência das outras espécies. Procure interpretar o papel de cada termo nas equa¸cões. Veremos que a dinâmica deste modelo pode ser bastante complexa.

2 Sua Tarefa

Vamos considerar os seguintes parˆametros para o modelo com duas presas e um predador.

B =   1 1 −1  , A =   0.0010 0.0010 0.0150 0.0015 0.0010 0.0010 −α −0.0005 0.0000   com 0.001 ≤ α ≤ 0.0055.

Com esta escolha de parâmetros temos que os coelhos irão levar vantagem sobre as lebres quando há poucas raposas. No entanto, as raposas se nutrem melhor de coelhos que de lebres ... O objetivo desse exerc´ıcio computacional é estudar esse modelo de competi¸cão fazendo varia¸cões nos parâmetros do modelo. Para tanto você irá usar o método de Runge-Kutta Fehlberg, descrito nas próximas se¸cões.

• Analise o comportamento do retrato de fase do modelo com rela¸cão ao parâmetro α, escolhendo os valores 0.001, 0.002, 0.0033, 0.0036, 0.005 e 0.0055. Inicie com 500 coelhos, 500 lebres e 10 raposas. Nos dois primeiros casos, use tf = 100, nos dois seguintes tf = 500 e nos dois últimos tf = 2000.

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• Para cada caso você deve fazer gráficos do retrato de fase (ou seja um gráfico cujos eixos são o número de coelhos, lebres e raposas e cada ponto do gráfico se refere a um instante de tempo da integra¸cão). Para melhor visualiza¸cão, plote também gráficos 2D (coelhos x lebres, coelhos x raposas, lebres x raposas). Fa¸ca também um gráfico mostrando simultaneamente o tamanho de cada popula¸cão ao longo do tempo.

• Teste a sensibilidade em rela¸cão aos valores iniciais quando α = 0.005, executando o modelo até tf = 400 iniciando com 37 coelhos,75 lebres e 137 raposas. Imprima o número de raposas, lebres e

coelhos no instante final. Repita o mesmo experimento, trocando apenas o número inicial de lebres de 75 para 74. Compare os valores finais e a evolu¸cão das três popula¸cões nos dois casos.

• Seu relatório deve conter primeiramente os testes solicitados ao final da descri¸cão do método numérico a ser empregado. Depois apresente as análises e gráficos solicitados, discutindo os re-sultados obtidos. Você pode também acrescentar as análises sobre o modelo de competi¸cão e presa-predador.

• O exerc´ıcio deve ser feito em Python 3.x (o mesmo usado nos cursos de MAC, veja mais detalhes em https://panda.ime.usp.br/panda/python). O programa deve ser devidamente comentado e bem estruturado.

• O exerc´ıcio deve ser feito em duplas, sempre com um colega da mesma Engenharia, n˜ao necessari-amente da mesma turma.

• Apenas um aluno da dupla, o primeiro em ordem alfab´etica, deve entregar o exerc´ıcio, destacando no relat´orio e no programa o nome de ambos os alunos.

• A entrega deve conter o relatório (em .pdf), contendo a análise do problema estudado, e o código usado para as simula¸cões computacionais (arquivos .py). A entrega deve ser feita em um arquivo compactado único.

3 O M´

etodo de Runge-Kutta Fehlberg

Introdu¸

c˜

ao

Vamos aqui apresentar o método de Runge-Kutta Fehlberg, para solu¸cão de (sistemas de) equa¸cões diferenciais ordinárias de primeira ordem, a partir dos valores iniciais das solu¸cões. Em uma equa¸cão diferencial (ou sistema de equa¸cões) procura-se determinar uma fun¸cão X(t) satisfazendo uma rela¸cão do tipo:

X0(t) = F (t, X(t)) com X(t0) = X0 (1)

No caso geral X(t) ´e uma fun¸c˜ao definida em algum intervalo real, tomando valores em Rm _{(ou seja,}

X(t) = (X1(t), X2(t), ..., Xm(t)), onde cada Xi(t) é uma fun¸cão real). A fun¸cão F (t, X(t)) é definida

em Rm+1 _{e assume valores em R}m_{. Caso F seja s´}_{o uma fun¸}_c˜_{ao de X ∈ R}m _{(ou seja, n˜}_{ao dependendo}

explicitamente de t) temos um sistema autˆonomo.

O método que apresentaremos a seguir é uma varia¸cão do método clássico de Runge-Kutta de quarta ordem, de forma a incorporar uma técnica de controle do passo temporal visando atingir uma dada precisão. Assim, em regiões onde a solu¸cão apresenta varia¸cões rápidas (com fortes gradientes), faz-se necessário o uso de um espa¸camento temporal menor, de forma a conseguir uma boa aproxima¸cão para a solu¸cão, enquanto que em regiões em que a solu¸cão varia suavemente, podem ser usados espa¸camentos maiores, levando a um método computacionalmente mais eficiente.

Preliminares

Apresentamos aqui brevemente o Método de Euler, que em breve será apresentado em sala de aula no curso. O descrevemos aqui, apenas para facilitar sua compreensão de outros métodos.

Considerando o polinˆomio de Taylor da fun¸c˜ao x(t) obtemos: x(t + h) = x(t) + x0(t)h + x00(˜t)h2/2

onde ˜t se encontra entre t e t + h. Desta express˜ao temos: x(t + h) − x(t)

h = x

(5)

Se agora impusermos que x(t) é solu¸cão da equa¸cão diferencial (1) obtemos que: x(t + h) − x(t)

h = f (t, x(t)) + x

00_(˜_t)h/2

O método de Euler irá empregar a aproxima¸cão x(t + h) − x(t)

h = f (t, x(t))

sendo o erro cometido proporcional a h. Partindo do instante inicial t0, onde conhecemos o valor inicial

x0da solu¸c˜ao, calcularemos sucessivamente as aproxima¸c˜oes

xi+1= xi+ hf (ti, xi)

onde ti = t0+ ih, e xi é a aproxima¸cão de x(ti). Calculamos a solu¸cão até um instante final tf em

n passos, onde nh = tf − t0. Por exemplo, na equa¸c˜ao x0(t) = x(t) com x(0) = 1, temos a sequˆencia

xi+1= xi+ hxi= (1 + h)xi. Se tomamos tf = 1 e h = 1/n obtemos a aproxima¸c˜ao para o valor de x(1):

xn = (1 + h)xn−1= (1 + h)nx0= (1 + 1/n)n.

Sabemos que a solu¸cão da equa¸cão é x(t) = et _{e portanto x(1) = e. Vocˆ}_{es j´}_{a viram em c´}_{alculo que}

limn→∞(1 + 1/n)n = e. Assim, a aproxima¸cão obtida pelo método de Euler para o valor da solu¸cão no

instante 1 converge para o valor exato se fizermos o espa¸camento h = 1/n entre dois instantes consecutivos tender a zero. Resumindo, se desejamos aproximar a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial (1) no intervalo de tempo [t0, tf], subdividimos este intervalo em n partes de comprimento h = (tf− t0)/n e aproximamos

a solu¸c˜ao em cada instante ti= t0+ ih, i = 0, ..., n, a partir de seu valor inicial x0, computando:

xi+1= xi+ hf (ti, xi), i = 0, ..., n − 1.

O método de Euler é bastante simples e fácil de implementar, porém apresenta uma convergência lenta, com o erro da ordem de h. Há métodos para solu¸cão de equa¸cões diferenciais que convergem muito mais rapidamente. Um método clássico, muito utilizado, é o método de Runge-Kutta de quarta ordem (com erro da ordem de h4_{). Neste m´}_{etodo cada passo no tempo ´}_{e calculado da seguinte forma}

(com a mesma nota¸cão usada no método de Euler), em 4 estágios:

xi+1 = xi+ (k1+ 2k2+ 2k3+ k4)/6, onde

k1 = hf (ti, xi)

k2 = hf (ti+ 0.5h, xi+ 0.5k1)

k3 = hf (ti+ 0.5h, xi+ 0.5k2)

k4 = hf (ti+ h, xi+ k3)

Veja que cada passo no tempo requer 4 avalia¸cões da fun¸cão f , uma em cada estágio. Você encontra no livro texto do curso (e verá também em sala de aula) uma descri¸cão mais detalhada sobre métodos de Runge-Kutta, incluindo uma dedu¸cão de um método de ordem 2. A deriva¸cão do método acima é obtida de maneira análoga, sendo porém muito mais trabalhosa (e normalmente omitida nos livros didáticos).

Uma t´

ecnica de controle do passo h

Tanto o método de Euler como o método clássico de Runge-Kutta fazem uso de um espa¸camento h, pelo qual se incrementa o valor de t a cada passo, sendo que a precisão atingida irá depender deste valor de h. Iremos agora descrever como variar o valor de h durante uma integra¸cão, de forma a obter-se uma dada precisão de forma eficiente. A técnica que veremos, baseia-se no uso de dois métodos de passo simples com ordens de convergência p e p + 1.

Consideremos dois m´etodos de ordem p e p + 1 que a partir do valor de xi gerem a aproxima¸c˜ao para

x(ti+1) respectivamente como:

xi+1= xi+ hΦ(ti, xi, h) e

˜

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Se x(t) é a solu¸cão da equa¸cão diferencial, o erro local de truncamento dos métodos é dado por: τi+1(h) = x(ti+1) − x(ti) h − Φ(ti, x(ti), h) = O(h p_{) e} ˜ τi+1(h) = x(ti+1) − x(ti) h − ˜Φ(ti, x(ti), h) = O(h p+1_{) .}

Assumindo que a aproxima¸cão xi no instante ti seja praticamente igual à solu¸cão x(ti) obtemos

τi+1(h) = x(ti+1) − xi− hΦ(ti, xi, h) h = x(ti+1) − xi+1 h e analogamente que ˜ τi+1(h) = x(ti+1) − ˜xi+1 h . Assim, τi+1(h) = x(ti+1) − ˜xi+1 h + ˜ xi+1− xi+1 h = ˜τi+1(h) + ˜ xi+1− xi+1 h .

Desprezando o erro local de truncamento ˜τi+1(h) por ser de ordem mais alta, obtemos a aproxima¸c˜ao

para o erro local de truncamento para o m´etodo de ordem p dada por τi+1(h) ≈

˜

xi+1− xi+1

h .

Através desta expressão podemos estimar o erro local de truncamento e verificar se este se encontra dentro da ordem de precisão desejada. Além disso podemos verificar se o espa¸camento h pode ser aumentado ou necessita ser reduzido. Para tanto usamos que τi+1(h) ≈ Khp e estimamos o erro local de truncamento

que ter´ıamos se us´assemos um novo espa¸camento ˜h = αh: τi+1(αh) ≈ K(αh)p ≈ αpτi+1(h) ≈ αp

˜

xi+1− xi+1

h .

Se desejamos que a norma do erro de truncamento ||τi+1(αh)|| seja menor que devemos ter

α ≤

_h

c||˜xi+1− xi+1||

1/p

onde c > 1 ´e um fator de seguran¸ca e empregamos a norma do m´aximo.

O M´

etodo RKF45

Agora estamos em condi¸cão de apresentar o método de Runge-Kutta Fehlberg, que combina métodos de quarta e quinta ordem para o controle do passo. Métodos expl´ıcitos de Runge-Kutta de quinta ordem requerem no m´ınimo 6 estágios, enquanto que se consegue métodos de quarta ordem com 4 estágios (como é o caso do método clássico visto em se¸cão anterior). Assim, para aplicarmos os métodos de quarta e quinta ordem para gerarmos as novas aproxima¸cões a partir de xi teremos potencialmente que

avaliar até 10 estágios, a menos que os métodos compartilhem alguns destes. Este é exatamente o caso do método de Fehlberg, em que o cálculo dos dois métodos irá requerer apenas 6 estágios, uma vez que o método de quarta ordem a ser utilizado compartilha dos mesmos estágios requeridos no método de sexta ordem. Descrevemos abaixo os seis estágios requeridos pelos métodos:

k1 = hF (ti, xi) k2 = hF (ti+ h/4, xi+ 1 4 k1) k3 = hF (ti+ 3h/8, xi+ 3 32 k1+ 9 32 k2) k4 = hF (ti+ 12h/13, xi+ 1932 2197 k1− 7200 2197 k2+ 7296 2197 k3) k5 = hF (ti+ h, xi+ 439 216 k1− 8 k2+ 3680 513 k3− 845 4104 k4) k6 = hF (ti+ h/2, xi− 8 27 k1+ 2 k2− 3544 2565 k3+ 1859 4104 k4− 11 40 k5)

(7)

O método de quarta ordem é dado por xi+1 = xi+ 25 216 k1+ 1408 2565 k3+ 2197 4104 k4− 1 5 k5 enquanto que o de ordem 5 é obtido como

˜ xi+1= xi+ 16 135 k1+ 6656 12825 k3+ 28561 56430 k4− 9 50 k5+ 2 55 k6 .

O m´etodo ent˜ao funciona da seguinte forma: a partir do valor inicial x0e de um h inicial, calcula-se as

aproxima¸c˜oes xi+1 e ˜xi+1 dadas respectivamente pelos esquemas de quarta e quinta ordem. Em fun¸c˜ao

destes dois valores e de h estima-se o erro local de truncamento τi+1(h) como descrito na se¸c˜ao anterior.

Caso este valor seja menor que o valor de xi+1´e aceito como nova aproxima¸c˜ao no instante ti+1 = ti+ h

e atualiza-se o valor de h para αh (ou seja, multiplica-se h por α), onde α ´e calculado como descrito ao final da se¸c˜ao anterior, empregando um fator de seguran¸ca c = 2. No caso de τi+1(h) ser maior que

o valor de xi+1 é rejeitado, com h sendo atualizado da mesma forma, após o que se refaz os cálculos

das aproxima¸cões xi+1 e ˜xi+1. Uma vez que xi+1 tenha sido aceito procede-se ao cálculo da solu¸cão no

próximo passo, usando-se o mesmo procedimento. A integra¸cão termina ao atingir-se o instante final desejado. Para garantir que se chegue exatamente no instante final tf - sem ultrapassá-lo - pode-se

limitar o valor de h a cada passo pelo tanto que falta para tf, fazendo com que h seja no m´aximo igual a

tf − ti. Além disso, é conveniente que h não seja escolhido nem grande, nem pequeno demais. Ou seja,

adicionalmente impomos que hmin≤ h ≤ hmax, onde hmin e hmax s˜ao dois parˆametros a ser escolhidos

pelo usu´ario (dependem das escalas temporais que temos). No seu programa utilize hmin = 0.001 e

hmax= 1.0.

Implementa¸

c˜

ao e alguns testes

Você deve implementar o método de Runge-Kutta Fehlberg (RKF45) descrito na se¸cão anterior, empre-gando a técnica de controle do passo. Sua implementa¸cão deve contemplar o fato de que a fun¸cão F (t, X) descrevendo a equa¸cão diferencial possa assumir valores em Rm_{, onde m ser´}_{a uma vari´}_{avel. Os testes e}

o problema que você resolverá depois na aplica¸cão do método envolverão diferentes valores da dimensão n. Uma forma de você escrever a fun¸cão de maneira razoavelmente geral é passar como argumentos o valor de m (que será usado no dimensionamento do vetor X) e uma variável caso. Dependendo do valor de caso, calcule então a fun¸cão espec´ıfica requerida em cada teste e / ou aplica¸cão.

Teste 1 - considere a equa¸c˜ao diferencial com F : R2 _{→ R dada por F (t, x) = 1 + (x − t)}2_{. Integre-a}

a partir do valor inicial x(1.05) = −18.95 at´e o tempo final tf = 3 pelo m´etodo RKF45 com = 10−5.

Use para iniciar h = 0.1. A cada passo imprima o valor de h empregado e o valor da solu¸cão. Imprima também o erro em rela¸cão à solu¸cão exata desta equa¸cão dada por x(t) = t + 1/(1 − t).

Teste 2 - considere a equa¸c˜ao diferencial autˆonoma com F (t, X) = AX, com X ∈ R4_{, onde}

A =     −2 −1 −1 −2 1 −2 2 −1 −1 −2 −2 −1 2 −1 1 −2    

Integre-a a partir de X(0) = (1, 1, 1, −1) at´e tf = 2, usando h = 0.1 inicialmente e = 10−5. A cada

passo imprima o valor de h, ti e ||Xi− ¯X(ti)||, com a norma do máximo. A solu¸cão exata desta equa¸cão

´ e ¯ X(t) =     e−tsin t + e−3tcos 3t e−t_{cos t + e}−3t_{sin 3t}

−e−t_{sin t + e}−3t_{cos 3t}

−e−t_{cos t + e}−3t_{sin 3t}



  

Teste 3 - Considere o sistema autˆonomo com F (t, X) = AX, com X ∈ Rm_{, onde A ´}_{e uma matriz}

tridiagonal m × m, tal que Ai,i = −2, i = 1, .., m, Ai,i+1 = Ai+1,i = 1, i = 1, .., m − 1 e Ai,j = 0

nas posi¸cões restantes. Este exemplo permite que você teste seu código para valores diversos de m. Use como condi¸cão inicial o vetor X(0) com componentes X(0)i = sin(πyi) + sin(mπyi), onde yi =

i/(m + 1), para i = 1, ..., m. A solu¸cão exata deste sistema é dada pelo vetor X(t) cujas componentes são: X(t)i = e−λ1tsin(πyi) + e−λ2tsin(mπyi), i = 1, ..., m, com λ1 = 2(1 − cos(π/(m + 1))) e λ2 =

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2(1 − cos(mπ/(m + 1))). Você deve executar este teste com m = 7, usando h = 0.1 inicialmente e = 10−5. A cada passo imprima o valor de h, ti e ||Xi− X(ti)||, comparando sua solu¸cão com a solu¸cão