TÉCNICAS DE INTERPOLAÇÃO ESPACIAL UTILIZADAS EM REGIONALIZAÇÃO DE DADOS HIDROMETEOROLÓGICOS

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TÉCNICAS DE INTERPOLAÇÃO ESPACIAL UTILIZADAS EM

REGIONALIZAÇÃO DE DADOS HIDROMETEOROLÓGICOS

Marcos Vinicius Andriolo1 & Eloy Kaviski2

RESUMO --- A distribuição espacial e temporal quantitativa da água são subsídios básicos para o desenvolvimento de qualquer projeto de recursos hídricos, porém o tamanho e a quantidade de informações históricas são fatores limitantes aos estudos dos recursos hídricos. A regionalização de dados hidrometeorológicos procura contornar estas dificuldades através da transferência de informações hidrológicas generalizadas para o local em questão.

Entre as inúmeras técnicas existentes para efetuar a regionalização de dados hidrometeorológicos será abordada a utilização de técnicas de interpolação espacial utilizando: a interpolação com funções multiquadráticas, funções splines, método da mínima curvatura, método de interpolação ótima e de Kriging, com a finalidade de transferir para locais sem dados observados as variáveis de pressão, temperatura, umidade relativa, precipitação, evaporação e insolação.

ABSTRACT --- The spatial and temporal distribution of water quantitative is the basic subsidy for the water resources development. However, the size of the time-series information is the limitations factor for supply the water resources research. The regionalized hydrometeorology data solve this problem, though the special interpolation of regionalized hydrologic variables.

The focus in this work is applying the spatial interpolation methods to solve the regional hydrometeorology data. The methods apply in this work are: equations multiquadric, splines function, minimum curvature interpolation, optimal interpolation and kriging techniques. There methods apply to regionalized hydrometeorology variables. There variables are: pressure, temperature, humidity relative, precipitation, evaporation and insolation.

Palavras-Chave: Métodos de interpolação espacial, funções multiquadráticas, funções splines, método da mínima curvatura, método de interpolação Ótimo e de Kriging.

_______________________

1) Engenheiro Civil da Companhia Paranaense de Energia. Curitiba/PR. e-mail: mvandriolo@yahoo.com.br. 2) Professor Adjunto da Universidade Federal do Paraná. Curitiba/PR. e-mail: eloy.dhs@ufpr.br.

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1 - INTRODUÇÃO

Com a crescente preocupação com o impacto ambiental provocado por grandes empreendimentos hidrelétricos, e devido a escassez destes grandes aproveitamentos próximos aos maiores centros consumidores, o aproveitamento de pequenos rios vem se intensificando nos últimos anos através da construção de PCH´s.

As dificuldades freqüentemente encontradas são: a inexistência de dados históricos ou a pequena extensão do período disponível que assim não será representativo das condições hidrológicas do local estudado (Kaviski, 1986).

Com a finalidade de amenizar esta lacuna os métodos de regionalização são ferramentas utilizadas para transferir informações hidrológicas de locais com dados para locais sem dados observados (Kaviski, 1992).

Neste estudo o processo de transferência de informações hidrológicas para locais sem dados observados foi realizado utilizando as técnicas de interpolação multiquadráticas, interpolação com funções splines, interpolação com o método da mínima curvatura, interpolação ótima e interpolação de Kriging, sendo que as variáveis regionalizadas são: pressão, temperatura, umidade relativa, precipitação, evaporação e insolação.

2 - TÉCNICAS DE INTERPOLAÇÃO ESPACIAL

É suposto que as observações h(x1)... h(xn) de uma variável regionalizada h(x) são avaliadas

em função de suas localizações ou características, descritas pelos vetores cartesianos x... xn , sendo

n o número de locais. Em geral, h(xi) pode representar uma quantidade média, com centro em xi;

por exemplo, a vazão média específica de longo período em uma bacia hidrográfica, localizada no centróide da bacia; ou h(xi) pode ser um valor pontual da variável regionalizada; por exemplo, a

precipitação média de longo período, a temperatura média de longo período, etc.; e xi; representa o

local da estação por meios de suas coordenadas. 2.1 - Interpolação ótima

Considerando-se que é empregada a Equação 1 para estimar a variável h(x), a aproximação por interpolação ótima, segundo Morin et al. (1979) é aquela que determina os pesos pela

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minimização da variância dos erros de interpolação, de forma que resulte no seguinte sistema de equações: ) ( ) ( ) ( 1 * i n i i x h x x h

∑

= = λ (1)

( )

xCOV

[

h

( )

x h

( )

x

]

COV

[

h

( )

x h

( )

x_j

]

j n n i j i i , , , 1, , 1 K = =

∑

= λ (2)

Considerando-se que a estrutura de correlação espacial é homogênea e isotrópica, e fazendo-se as devidas substituições, o sistema de equações fazendo-se reduz para:

[

d x x

] [

d x x

]

j n x _i _j _j n i i( ) ( ),( ) ( , ), 1,..., 1 = =

∑

= ρ ρ λ (3)

Para que a estimativa h*(x) não seja tendenciosa, deve-se considerar que a soma dos pesos seja igual a um, resultando:

[

d x x

]

x

[

d x x

]

j n x _i _j _n _j n i i( ) ( ),( ) 1( ) ( , ), 1,..., 1 = = + + =

∑

λ ρ λ ρ (4) 1 ) ( 1 =

∑

= x n i i λ (5) 2.2 - Técnica de Kriging

O objetivo do método de Kriging é encontrar o menor estimador linear não tendencioso para a função linear Z(u). O estimador Pˆ desta função deve ser definido:

a) Linearidade: O estimador Pˆ é formado pela combinação linear dos valores observados Z(ui).

∑

= = n i i iZ u P 1 ) ( ˆ _λ ₍₆₎

b) Não-tendenciosidade: Esta condição requer que o valor esperado do estimador Pˆ seja igual ao valor esperado do valor observado:

] [ ] ˆ [P E P E = (7)

c) Melhor critério: O estimador é considerado ótimo pela estimativa da menor variância, sendo a estimativa das variâncias dada pela média quadrática do erro, definida como:

] ˆ var[ ] ) ˆ [( 2 2 P P P P E − = − = σ (8)

(4)

Para as variáveis aleatórias serem estacionárias de segunda ordem é necessário que as seguintes condições sejam satisfeitas:

E[Z(u)] = m(u) = m (9)

VAR[Z(u)] = σ²(u) = σ² (10)

COV(u1, u2) = COV(u1-u2) = COV(v) (11)

Sendo a equação 9, 10 e 11 a média, a variância e a covariância respectivamente. Em que: v = u1-u2 , e os pontos u1 e u2 independentes da localização e dependentes da diferença entre a sua

localização(distância).

Se o processo satisfizer as restrições das equações 9, 10 e 11 é possível obter a média e a variância para a diferença entre a localização dos pontos.

E[z(u1)- z(u2)] = m(v) (12)

VAR[z(u1)- z(u2)] = 2γ(v) (13)

Sendo que a média (12) e a variância (13) são independentes da atual localização u1 e u2, e

dependentes apenas do vetor das diferenças entre suas localizações.

A equação 13 define o semivariograma, mais especificamente o semivariograma estacionário, definido diretamente pelas diferenças entre as coordenadas. A estacionaridade de segunda ordem implica:

VAR[z(u1)- z(u2)] = VAR[z(u1)] + VAR[z(u2)] - 2COV(u1-u2) (14)

Supondo uma estimativa do processo h(x0) em um ponto qualquer com coordenadas expressas

pelo vetor x0 possa ser representado por uma combinação linear ponderada dos valores observados

h(xj):

∑

= = n j j jh x w x h 1 0) ( ) ( ˆ ₍₁₅₎

Sendo wj o peso correspondente ao ponto xi. Chamando hˆ(x₀) a estimativa de h(x0) fornecida

pela equação 14, a chamada interpolação ótima (Tabios e Salas, 1985) determina os pesos pela minimização da variância do erro de interpolação σ²ε, que é dado por:

(5)

∑

= − = − = n j j jh x w x h x h x h 1 0 0 0 2 _var[ ₍ ₎ ˆ₍ _)] _var[ ₍ _)] ₍ ₎ ε σ (15)

Expandindo a Equação 15, resulta:

∑

= = = + − = n i j i j i n j n j j j h x h x ww h x h x w 1 1 1 0 2 2 _σ ₂ _cov[ ₍ ₎ ₍ _)] _cov[ ₍ ₎ ₍ _)] σε (16)

Sendo σ² a variância do processo h(x0) e cov[h(xi) h(xj)] representa a covariância entre h(xi) e

h(xj). Minimizando a equação anterior com relação aos pesos wj para j=1,...,n estações, resulta:

∑

= = n i j j i i h x h x h x h x w 1 0) ( )] ( cov[ )] ( ) ( cov[ (17)

Considerando a homogeneidade nas variâncias, os termos de covariância da equação anterior podem ser substituídos por:

)] ( ) ( [ )] ( ) ( [ )] ( ) ( cov[ 2 j i j i j i j i h x h x h x h x h x x h =σ σ ρ =σ ρ (18) )] ( ) ( [ )] ( ) ( cov[ 2 ₀ j j i h x h x h x x h =σ ρ (19)

Sendo σ²ρ[h(xi)h(xj)] e σ²ρ[h(x0)h(xj)] coeficientes de correlação espacial. Para estimar estes

coeficientes de correlação, é necessário definir uma função de correlação espacial. Considerando uma estrutura de correlação espacial homogênea e isotrópica, ρ[h(xi)h(xj)] pode ser escrito como

uma função da distância apenas. Então, ρ[h(xi)h(xj)], torna-se ρ[d(xi, xj)], em que d(xi, xj) é a

distância entre os pontos xi e xj.

Assim, várias formas de técnica de Kriging têm sido propostas e aplicadas em estudos hidrológicos. Neste trabalho é descrito o método de Kriging como apresentado por Loaiciga et al. (1988), que avalia os dados espaciais por meio de duas componentes: a de natureza regional e a de variação local. A variável regionalizada h(x) é modelada como a soma do componente de natureza regional m(x), com a componente aleatória e(x):

h(x) = m(x) + ε(x) (20) ) ( ) ( 1 x f x m k u u u

∑

= = β (21)

Os coeficientes βu são constantes, mas desconhecidos, e as funções fu(x) são adotadas e

dependem das coordenada de localização. A componente aleatória é assumida como estacionária de segunda ordem, com média zero e covariância definida em função da distância que separa dois pontos localizados no espaço orientado. Ou seja, que:

(6)

[

]

[

]

∑

= = = = P u ij u u j i j i ij E x x COV h x h x g d d C 1 2 ), ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ε ε σ (22)

Sendo que gu(dij) são adotadas e dependem da distância dij. Os parâmetros σ²u são

desconhecidos e representam a variabilidade da diferença de escalas. Quando h(xi) representa uma

quantidade média à covariância é determinada por:

[

]

(

i j

)

v v ij dv E v u du VV d C i j / ) ( ) ( ) (       =

∫

ε ε (23)

Sendo que Vi e Vj, são os domínios médios, com centros em xi e xj, respectivamente.

Para implementar o método é necessário que os parâmetros β1,..., βk, e as componentes da

variância α1² ,..., αP² , sejam estimados. Loaiciga et al. (1988) sugerem a utilização dos seguintes

meios: i) mínimos quadrados generalizado para a estimativa dos parâmetros β1,..., βk; ii) máxima

verossimilhança das informações totais para o cálculo simultâneo das componentes da variância e dos parâmetros β1,..., βk; iii) máxima verossimilhança restrita para o cálculo das componentes da

variância; e iv) estimativa de mínima invariante quadrática não tendenciosa das componentes da variância.

2.3 Interpolação por superfícies spline

Creutin e Obled (1982) apresentam uma função interpoladora proposta por Duchon em 1976. A função interpoladora spline proposta, satisfaz um critério ótimo de alisamento, sendo única e descrita pela seguinte expressão:

) , ( ) ( 1 * i n i i T x x K x x h

∑

= + + =α β ϕ (24)

Sendo: K(x,xi )= ||x-xi||²ln||x-xi||². Os coeficientes α, β e ϕ , são obtidos pela solução do

seguinte sistema de equações:

Kϕ + αIn + Xβ = h(x) (25)

InTϕ = 0 (26)

XTϕ = 0 (27)

Sendo que K é uma matriz simétrica n X n, cujo elemento (i,j) é igual a k(xi,xj); In é um vetor

(7)

um vetor com n elementos; e 0 é uma matriz nula com dimensão igual ao número de componentes do vetor x.

2.4 Interpolação com funções multiquadráticas

Supõe-se que as observações h(x1),...,h(xn), são avaliadas em função de suas localizações,

descritas pelos vetores cartesianos x1,...,xn, sendo que xi, representa posições no espaço de

coordenadas x, y e z, correspondendo respectivamente a latitude, longitude e altitude, do local da estação meteorológica (Kaviski, 1992).

A função de aproximação h* (x) é escrita como uma combinação linear de n funções multiquadráticas conhecidas fi(x): ) ( ) ( 1 * x f x h i n i i

∑

= = β (28) 2 / 1 2 2 2 2 2 2 ₍ ₎ ₍ ₎ ) ( ) (         ₋ + − + − = z i y i x i i s z z s y y s x x x f (29)

Sendo que sx², sy², sz² representam a variância das latitudes, longitudes e altitudes,

respectivamente, das localizações das estações meteorológicas.

Os coeficientes βi, com i = 1,...,n, são determinados com a condição de que a equação 28 seja

verdadeira para todos os n locais das estações meteorológicas, resultando num sistema de equações lineares.

2.5 Método da mínima curvatura

O método da mínima curvatura (Smith e Wessel,1990) é muito utilizado nas ciências da terra. O método interpola os dados através de uma malha de superfície utilizando derivadas segundas contínuas e minimizando a curvatura total.

Em uma dimensão, o método da mínima curvatura utiliza a função com derivadas segundas contínuas, interpolando os dados com restrição exatamente como a curvatura mínima total é interpolada com splines cúbicas naturais.

Em duas dimensões, o método da mínima curvatura interpola uma spline bicúbica natural, com a mesma oscilação e pontos de inflexão unidimensionais.

(8)

O algoritmo da mínima curvatura é representado pela equação abaixo.

(

)

∫∫

∇

= x dxdy

c 2 2 (30)

A equação 30 representa aproximadamente a curvatura total de z quando |∇z| é pequeno. Minimizando a equação 30 através da equação diferencial obtém-se:

(

∇

)

=

∑

− − ∇ i i i i x x y y f z ( , ) 2 2 _δ ₍₃₁₎

Utilizando as semelhanças z→zi e (x,y)→(xi,yi) obtém-se as condições de contorno:

0 2 2 = ∂ ∂ n z (32) 0 ) (_∇2 ₌ ∂ ∂ z n (33) 0 2 = ∂ ∂ ∂ y x z (34)

Aplicando-se as condições de contorno das equações 32, 33 e 34 e ajustando a escala de soluções com D e q, obtém-se:

∑

− − = ∇ − ∇ ∇ − i i i i I I z T z f x x y y T ) ( ) ( , ) 1 ( 2 2 2 _δ ₍₃₅₎

Sendo Ti o parâmetro de tensão, o índice i indicando a tensão interna, fi representa a relação

entre q/D, sendo D a rigidez e q a tensão vertical normal.

Existem muitas maneiras de resolver as equações 31 e 35. Uma delas consiste em utilizar a combinação linear com funções de Green, construindo uma matriz de equações Gf =d sendo G a matriz com as funções de Green, f o vetor com as incógnitas fi e d o vetor com as restrições

conhecidas z(xi,yi)=zi.

Para resolver as equações 31 e 35 é necessário recorrer ao método numérico, sendo possível expressar as equações 31 e 35 como diferenças finitas e construir uma malha com 12 nós como ilustrado na Figura 1.

(9)

(0,2) (0,1) (1,1) (-1,1) (-2,0) (-1,0) (1,0) (2,0) (-1,1) (0,-1) (-1,-1) (0,-2) (0,0)

Figura 1 - Malha para resolução por diferenças finitas das equações (31) e (35)

Utilizando diferenças finitas de segunda ordem e expandindo em séries de Taylor, estimam-se os valores da superfície interpoladora, e devido a não perfeita convergência do método é necessário associar a resolução um coeficiente de tolerância (erro) ao método.

Na solução do método da mínima curvatura é utilizada a interação por diferenças finitas, sendo z00 (equação 36) referente à coordenada do ponto desejado. Aproximando as derivadas por

diferenças finitas centrada, e assumindo ∆x = 1 e considerando

x y ∆ ∆ = α , é possível resolver numericamente a equação 35, quando a mesma é igual à zero.

(

)

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

[

]

(

)

                    + + + + − + −         + + + + + + + − × + + − + + − = − − − − − − − − − 1 0 01 2 10 10 2 1 1 1 1 11 11 2 2 0 02 4 20 20 1 2 4 2 00 1 4 2 1 1 2 1 6 8 6 z z z z T T a z z z z z z z z T T T z I I I I I α α α α α α α (36)

Sendo a Equação 36 a expressão das diferenças para equações homogêneas.

Para resolver a expressão das diferenças incluindo restrição da malha é necessário utilizar a expansão de Taylor de segunda ordem, sendo necessário introduzir o ponto zk (equação 37) para

calcular o ponto z00 (equação 38).

2 2 2 2 2 2 2 00 2 1 2 1 y z y x z x z y z x z z z_k _k _k _k _k _k _k ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + = ξ η ξ ξ η η (37)

(10)

Multiplicando a equação 37 por um número real bk e normalizando a malha com ∆x e α

anisotrópico, sabendo que ε e αη representam as distâncias fracionadas da malha, é possível encontrar o valor de z00:

(

)

[

(

) (

)

]

{

}

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

_                                              − + + + + × + − + + + + + + + − × + − + − − =

∑

− − − − − − − − − k k I k k I k I k I z b T z b z z z z z z z z z z z z T b T b T z 1 0 10 2 10 10 2 1 1 11 1 1 11 2 2 0 02 4 20 20 1 2 4 00 1 2 2 1 1 1 1 2 α α α α α α (38)

Sendo que no caso particular da mínima curvatura Ti = 0.

É possível resolver as equações 36 e 38 por métodos interativos (ex. Método de Gauss-Seidel), usando um fator de relaxação ω. Sendo 1 <ω<2 tendo como intuito acelerar a convergência. Utilizando este conceito podemos elaborar a equação de convergência:

new ij old ij new ij z z z =(1−ω) +ω (39)

Para uma melhor convergência é necessário limitar o valor de ε :

ξ < − old ij new ij z z máx (40)

3 - APLICAÇÃO DOS MÉTODOS

Apresenta-se um exemplo de aplicação de interpolação utilizando o método da mínima curvatura, entretanto serão apresentados os resultados de todos os cinco métodos descritos neste trabalho.

Supõe-se que as observações h(x1),...,h(x2), das grandezas meteorológicas são avaliadas em

função de suas localizações, descritas pelos seus vetores cartesianos x1,..., x2 , sendo que xi

representa as posições no espaço de coordenadas xi , yi , zi , correspondentes, respectivamente, a

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Considera-se que zoo (equação 36) é a localização da estação meteorológica em que se quer

encontrar os valores das grandezas meteorológicas, e levando em conta a Figura 1 é possível verificar que torna-se necessário construir uma malha com iguais incrementos de dx e dy.

Construindo uma malha com iguais incrementos de dx e dy, e tendo o ponto zoo como centro

desta malha, implementa-se a construção da malha transferindo as grandezas meteorológicas para cada um dos pontos z-2,-2, z-2,-1,..., z2,1,z2,2 excluindo o ponto zoo, já que dispõe-se da altitude no

ponto zoo.

Para calcular a distância normalizada (equação 41) é necessário considerar o vetor z correspondente à altitude e utiliza-se uma função de interpolação (equação 43) para encontrar o valor da altitude para cada um dos pontos zn,n com n = -2,...,2 excluindo o ponto zoo.

] ) ( ) ( ) ( [ ) ( ₂ 2 2 2 2 2 z i y i x i i s z z s y y s x x x f = − + − + − (41) 2 2 2 ) ( ) ( i i i x x y y dist = − + − (42)

∑

= = × = 5 1 5 1 2 2 , ) ( i i i i i n n dist dist x h z (43)

Sendo x a coordenada do ponto zn,n onde se deseja calcular as grandezas meteorológicas e xi

as coordenadas das estações meteorológicas, dist é a distância entre a estação escolhida e a estação meteorológica. Para cada ponto zn,n são necessárias cinco estações meteorológicas. Escolhem-se as

mais próximas do ponto zn,n, e h(xi) é a grandeza meteorológica das estações escolhidas.

Tendo a malha com as coordenadas x, y e z, as grandezas meteorológicas h(xi) são

transferidas para cada ponto zn,n com n = -2,...,2 excluindo o ponto que é calculado pela equação 36.

Para o cálculo das grandezas meteorológicas, utiliza-se a equação 42 para avaliar quais as menores distâncias entre os pontos zn,n com n=-2,...,2 excluindo o ponto zn,n e as estações

meteorológicas e, utiliza-se a equação 43 para o cálculo de cada uma das grandezas meteorológicas. Como os dados “observados” em cada um dos pontos zn,n com n = -2,...,2 e excluindo-se o

(12)

O valor de Ti utilizado na equação 36 foi adotado como sendo Ti = 0.75 de acordo com Smith

e Wessel (1990), e os valores de dx e dy foram adotados como dx = dy.

4 - CRITÉRIOS PARA ANÁLISE DOS RESULTADOS

Neste trabalho consideram-se as estações meteorológicas como sendo formadoras da base de dados das grandezas meteorológicas (pressão, temperatura, umidade relativa, precipitação, evaporação e insolação) e usinas como sendo os locais onde se necessita encontrar estas grandezas meteorológicas.

As “Normais Climatológicas” são obtidas através do cálculo das médias de parâmetros meteorológicos, obedecendo a critérios recomendados pela Organização Meteorológica Mundial (OMM). Essas médias referem-se a períodos padronizados de 30 (trinta) anos, sucessivamente, de 1901 a 1930, 1931 a 1960 e 1961 a 1990.

As grandezas meteorológicas utilizadas neste trabalho são as Normais Climatológicas 1931-1960 (BRASIL, 1992). A figura 2 ilustra a localização das estações meteorológicas que formam as Normais Climatológicas 1931-1960.

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Para analisar os métodos de interpolação, foram consideradas as seguintes etapas: •Define-se um grupo de N estações meteorológicas;

•Destas estações, n são aleatoriamente selecionadas, com n < N/2, formando um grupo que será utilizado para validar o método de interpolação, sendo N o número total de estações;

•Para cada grupo de N-n estações, serão utilizados todos os métodos de interpolação para cada uma das variáveis em estudo;

•Os resultados obtidos por cada um dos métodos de interpolação serão comparados com os valores observados, nos n locais analisados, definindo o melhor método de interpolação para este grupo e parâmetros;

•Repetem-se os 4 primeiros passos para períodos diversos, com o número n diferente em cada tentativa, e com N estações localizadas em regiões geográficas distintas de forma a obter um conjunto de análise contendo o melhor método de interpolação para cada uma destas tentativas;

•O processo é finalizado analisando-se todos os resultados obtidos, com o objetivo de hierarquizar o melhor método de interpolação, para cada um dos parâmetros.

Para analisar cada um dos métodos de interpolação implementados, foram selecionadas aleatoriamente n estações pertencentes as normais climatológicas 1931-1960, sendo estas n estações consideradas como estações meteorológicas, e i = N-n sendo i o número de usinas (estações selecionadas).

Selecionando-se 49 grupos de estações, foi elaborado um programa para efetuar a análise do coeficiente de correlação e da soma dos erros entre os valores das grandezas meteorológicas calculadas por cada um dos métodos descritos no item 2 deste trabalho e os valores observados nestas estações.

O coeficiente de correlação é dado por:

h h h h h h ˆ ˆ , _, ) ˆ , cov( σ σ ρ = (44) Sendo −1≤ρ_h_,_hˆ ≤1

(14)

∑

= − − = n i h h h h y x n h h 1 ˆ ˆ ) )( ( 1 ) ˆ , cov( µ µ (45)

Sendo h o valor observado e hˆ o valor estimado.

Como cada grupo possui i usinas, para elaborar a análise dos coeficientes de correlação de cada grupo foi calculado a média do coeficiente de correlação destas i usinas:

n n i i r

∑

= = 1 ρ ρ (46)

Sendo ρr o coeficiente de correlação de determinado grupo.

Na análise do coeficiente de correlação obtido em cada método utilizou-se a média do coeficiente de correlação nos 49 grupos construídos:

49 49 1

∑

= = r r ρ ρ (47)

Em seguida foi analisada a soma dos erros de cada método, para cada uma das variáveis climatológicas:

(

)

∑∑

= = − = n i i j i j i j r x h x h erro 1 2 , , 12 1 ) ( ˆ ) ( µ (48)

Sendo h(xi,j) o valor da grandeza meteorológica observada, i o número de usinas, j o número

de meses (12 meses), e hˆ(x_i_,_j) o valor da grandeza meteorológica estimada, µi o valor médio anual

da grandeza meteorológica observada para cada uma das i estações. O erro para cada um dos 49 grupos foi calculado por:

49 49 1

∑

= = r r erro erro (49)

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5 - RESULTADOS OBTIDOS

No equacionamento matemático dos métodos de interpolação ótima e de Kriging necessita-se da matriz de correlações e variâncias dos dados, deve-se considerar que as normais climatológicas (1931-1960) (BRASIL, 1992), não possuem informação sobre a matriz de correlações e variâncias. Portanto, os coeficientes de correlação utilizados nestes dois métodos são desconhecidos.

Para resolver este problema foi realizada uma análise do coeficiente de correlação e do erro para os dois métodos.

Para o método de interpolação ótima o coeficiente c foi analisado no intervalo 0,1≤ c ≤ 1,0 discretizados em intervalos de 0,1. Este intervalo foi escolhido de acordo com resultados obtidos por Yevjevich e Karplus (1973).

Sendo c o coeficiente pertencente a seguinte fórmula:

) 1 ( 1 dc + = ρ (50)

Sendo d a distância entre a estação com dados observados e sem dados observados e ρ o coeficiente de correlação.

A tabela 1 apresenta o coeficiente de correlação para o método de interpolação ótima, das seis variáveis analisadas (Pressão, Temperatura, Umidade Relativa, Precipitação, Evaporação e Insolação), para os valores do coeficiente c (equação 50) variando de 0,1 a 1,0, sendo: <r² o melhor (maior) coeficiente de correlação obtido e M.c: o valor do coeficiente c correspondente ao melhor coeficiente de correlação.

Tabela 1 - Análise do coeficiente de correlação do método de interpolação ótimo c Pressão Temperatura Umidade Relativa Precipitação Evaporação Insolação

0,1 0,987 0,974 0,891 0,938 0,912 0,922 0,2 0,986 0,974 0,891 0,937 0,913 0,922 0,3 0,986 0,975 0,891 0,937 0,914 0,921 0,4 0,986 0,974 0,891 0,936 0,914 0,921 0,5 0,986 0,974 0,891 0,935 0,914 0,920 0,6 0,986 0,974 0,891 0,934 0,914 0,920 0,7 0,986 0,973 0,889 0,933 0,914 0,919 0,8 0,986 0,973 0,889 0,932 0,914 0,918 0,9 0,986 0,972 0,889 0,931 0,914 0,918 1,0 0,986 0,972 0,889 0,930 0,914 0,917 < r² 0,987 0,974 0,891 0,938 0,914 0,922 M. c 0,1 0,1 0,1 0,1 0,3 0,1

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A tabela 2 apresenta a soma dos erros para o método de interpolação ótima, das seis variáveis analisadas (Pressão, Temperatura, Umidade Relativa, Precipitação, Evaporação e Insolação), para os valores do coeficiente c (equação 50) variando de 0,1 a 1,0, sendo: <erro a menor soma dos erros obtida e M.c: o valor do coeficiente c correspondente a menor soma dos erros.

Tabela 2 - Soma dos erros do método de interpolação ótimo

c Pressão Temperatura Umidade Relativa Precipitação Evaporação Insolação

0,1 0,94 9,59 14,99 73,79 51,26 20,75 0,2 0,99 9,68 15,00 73,98 50,98 20,74 0,3 1,03 9,77 15,01 74,22 50,77 20,76 0,4 1,08 9,89 15,03 74,48 50,63 20,80 0,5 1,12 10,00 15,04 74,78 50,55 20,85 0,6 1,16 10,12 15,06 75,09 50,50 20,91 0,7 1,20 10,24 15,09 75,41 50,48 20,99 0,8 1,23 10,35 15,11 75,74 50,48 21,06 0,9 1,27 10,47 15,14 76,09 50,51 21,14 1,0 1,29 10,58 15,18 76,45 50,73 21,23 < erro 0,94 9,59 14,99 73,79 50,48 20,74 M, c 0,1 0,1 0,1 0,1 0,7 0,2

Para o método de interpolação de Kriging o coeficiente c foi variado no intervalo 9.2≤ c ≤ 14,5. Este intervalo foi escolhido de acordo com resultados obtidos por Loaiciga et al. (1988).

A tabela 3 apresenta o coeficiente de correlação para o método de interpolação de Kriging, das seis variáveis analisadas (Pressão, Temperatura, Umidade Relativa, Precipitação, Evaporação e Insolação), para os valores do coeficiente c (equação 50) variando de 9,2 a 14,5, sendo: <r² o melhor (maior) coeficiente de correlação obtido e M.c: o valor do coeficiente c correspondente ao melhor coeficiente de correlação.

Tabela 3 - Análise do coeficiente de correlação do método de interpolação de Kriging c Pressão Temperatura Umidade Relativa Precipitação Evaporação Insolação

9,2 0,968 0,916 0,757 0,822 0,813 0,779 9,3 0,969 0,916 0,758 0,821 0,812 0,778 10,5 0,971 0,914 0,759 0,816 0,809 0,766 10,9 0,972 0,913 0,759 0,815 0,807 0,762 11,0 0,972 0,913 0,759 0,814 0,807 0,761 11,5 0,973 0,912 0,759 0,813 0,805 0,756 12,0 0,973 0,912 0,759 0,811 0,804 0,751 12,5 0,974 0,911 0,758 0,809 0,802 0,746 13,0 0,974 0,910 0,758 0,807 0,800 0,741 13,1 0,974 0,910 0,758 0,806 0,800 0,740 14,5 0,975 0,909 0,756 0,801 0,795 0,726 < r² 0,974 0,916 0,759 0,822 0,813 0,779 M, c 14,5 9,2 10,9 9,2 9,2 9,2

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A tabela 4 apresenta a soma dos erros para o método de interpolação de Kriging, das seis variáveis analisadas (Pressão, Temperatura, Umidade Relativa, Precipitação, Evaporação e Insolação), para os valores do coeficiente c (equação 50) variando de 9,2 a 14,5, sendo: <erro a menor soma dos erros obtida e M.c: o valor do coeficiente c correspondente a menor soma dos erros.

Tabela 4: Soma dos erros do método de interpolação de Kriging

c Pressão Temperatura Umidade Relativa Precipitação Evaporação Insolação

9,2 4,21 22,30 21,11 121,7 65,78 29,82 9,3 4,25 22,39 21,08 121,6 65,62 29,83 10,5 4,55 23,16 20,93 121,9 64,81 29,99 10,9 4,64 23,41 20,90 122,1 64,63 30,06 11,0 4,66 23,48 20,89 122,1 64,60 30,08 11,5 4,78 23,81 20,86 122,4 64,45 30,18 12,0 4,88 24,14 20,84 122,8 64,35 30,28 12,5 4,99 24,46 20,83 123,2 64,28 30,40 13,0 5,09 24,78 20,82 123,6 64,25 30,52 13,1 5,11 24,84 20,82 123,7 64,25 30,55 13,5 5,19 25,10 20,83 124,1 64,25 30,65 14,0 5,29 25,39 20,83 124,6 64,27 30,78 14,5 5,38 25,69 20,84 125,1 64,31 30,91 < erro 4,211 22,30 20,82 121,6 64,25 29,82 M, c 9,2 9,2 13,1 9,3 13,5 9,2

Na Figura 3 é apresentado o erro acumulado dos 5 métodos analisados para as grandezas meteorológicas (pressão, temperatura, umidade relativa, precipitação, evaporação e insolação).

Na Figura 4 é apresentado o coeficiente de correlação dos 5 métodos analisados para as grandezas meteorológicas (pressão, temperatura, umidade relativa, precipitação, evaporação e insolação).

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0 1 10 100 1000 10000

Pressão Temperatura Umidade R Precipitação Evaporação Insolação

Tipo de dado S om a do s er ro s

Multiquadrático Mínima Curvatura Spline Ótimo

Kriging

Figura 3 - Análise do erro acumulado para os cinco métodos propostos

Na Figura 3 é possível notar que o método de interpolação ótima apresentou os melhores resultados em todas as grandezas meteorológicas analisadas. Em seguida o método da mínima curvatura mostrou-se superior aos métodos da interpolação com funções multiquadráticas e pela interpolação de Kriging.

Com o método de Kriging não foi possível obter resultados satisfatórios. O erro do método de Kriging é proporcional ao do método multiquadrático. Porém, o tempo de processamento é muito maior (Andriolo e Kaviski, 2005), indicando que é o menos recomendado.

0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

Pressão Temperatura Umidade R Precipitação Evaporação Insolação Tipo de dados C oe fic ie nt e de c or re la çã o

Multiquadrático Mínima Curvatura Spline Ótimo Kriging

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Na Figura 4 é ilustrado o coeficiente de correlação dos 5 métodos analisados neste estudo. Em relação aos erros acumulados o método de interpolação ótima apresentou os melhores resultados em relação ao coeficiente de correlação.

6 - ANÁLISE DOS RESULTADOS

O método de interpolação com funções splines apresentou resultados ruins, isto devido ao fato de as estações meteorológicas terem sido escolhidas de forma aleatória, e em muitas vezes as usinas a serem estimadas pelo método estarem fora da área das estações, fazendo com que a função spline seja extrapolada.

O método da mínima curvatura apresentou bons resultados, possuindo a vantagem de utilizar na regionalização dados das estações meteorológicas mais próximas do local da usina.

De acordo com as análises apresentadas nas Figuras 3 e 4 o método de interpolação que resultou no menor erro e no maior coeficiente de correlação entre os valores h e hˆ , grandeza meteorológica observada e grandeza meteorológica calculada respectivamente, é o método de interpolação ótima.

Deve-se ressaltar que devido a não existência da série temporal não foi possível calcular a matriz de correlação, que resultaria em um valor matematicamente correto para o coeficiente c no método de interpolação ótima. O método de interpolação com funções multiquadráticas é preferível sendo que este método não é dependente da série temporal, e apresenta bons resultados, sendo amplamente recomendado na literatura (Yanalak, 2003).

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