Circuitos Elétricos Circuitos de Segunda Ordem Parte 1

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Circuitos Elétricos

Circuitos de Segunda Ordem – Parte 1

Alessandro L. Koerich

Engenharia de Computação Pontifícia Universidade Católica do Paraná (PUCPR)

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Introdução

• Circuitos que contem dois elementos

armazenadores de energia.

• São chamados de circuitos de segunda ordem,

pois, suas respostas são descritas por equações

diferencias que contem derivadas de 2

o

grau.

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Condição Inicial e Final

• Encontrar os valores iniciais e finais para:

– v, i, dv/dt, di/dt

– v(0), i(0), dv/dt, di/dt, v(∞), i(∞)

• Lembrete

– Usar sempre a convenção de sinais dos elementos passivos para v no capacitor e i no indutor.

– A tensão do capacitor não muda abruptamente – A corrente no indutor não muda abruptamente

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Condição Inicial e Final

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Circuito RLC-Série Sem Fonte

• Analise de um circuito RLC-Série sem fonte → resposta natural

0 = 1 = (0) =

• Aplicando a LTK:

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Circuito RLC-Série Sem Fonte

• Diferenciando em relação a t:

+ + = 0

• Nosso objetivo é resolver a equação diferencial de segunda ordem acima. Para isso precisamos de duas condições iniciais:

( )

ou ( )

• Com as duas condições iniciais podemos resolver a equação diferencial de segunda ordem.

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Circuito RLC-Série Sem Fonte

• Sabemos que dos circuitos de primeira ordem que a solução é da forma exponencial, então, fazendo:

onde A e s são constantes a serem determinadas. Substituindo, temos:

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Circuito RLC-Série Sem Fonte

• como é a solução que assumimos, somente a expressão entre parenteses pode ser zero.

• Esta equação é chamada de equação característica, pois suas raízes controlam a característica de i. As duas raízes são:

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Circuito RLC-Série Sem Fonte

• Uma representação mais compacta das raízes:

2 2

onde:

• As raízes s₁ e s₂ são chamadas de frequencias naturais, medidas em Nepers/s (Np/s).

• ω₀ é chamada de frequencia de ressonancia, expressa em rad/s.

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Circuito RLC-Série Sem Fonte

• Podemos expressar a equação da solução em termos de α e ω0 como:

2

• Os dois valores de s indicam que existem duas soluções possiveis para i, ambas da forma:

1 1 2 2

• Uma solução completa necessita de uma combinação linear de i₁ e i₂. Assim, a resposta natural de um circuito RLC-Série é:

1 2

onde as constantes A₁ e A₂ são determinadas a partir dos valores iniciais de i(0) e di(0)/dt.

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Circuito RLC-Série Sem Fonte

• Pode-se observar que existem quatro casos possíveis de combinações para α e ω₀:

1. Se α > ω₀ temos o caso superamortecido.

• As raízes da equação característica do circuito são diferentes e reais.

2. Se α = ω₀ temos o caso criticamente amortecido

• As raízes da equação característica do circuito são iguais e reais.

3. Se α < ω₀temos o caso subamortecido

• As raízes são complexas conjugas.

4. Se α = 0 e ω_d = ω₀ temos o caso sem amortecimento ou

oscilatório puro.

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Circuito RLC-Série Sem Fonte

• Caso superamortecido (α > ω₀).

– α > ω₀ implica > 4 ⁄ . Quando isso acontece, tanto s₁ quanto s₂ são negativas e reais. A resposta é:

= ₁ + ₂

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Circuito RLC-Série Sem Fonte

• Caso criticamente amortecido (α = ω₀).

– quando α = ω₀ implica = 4 ⁄ e:

1 = 2 = − = − ₂

A resposta é:

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Circuito RLC-Série Sem Fonte

• Caso subamortecido (α < ω₀).

– Para α < ω₀ temos < 4 ⁄ e as raízes são:

2 2

onde = −1 e = 2 − que é chamada de frequencia de amortecimento.

– Tanto ω₀ quanto ω_d são frequencias naturais. Enquanto ω₀ é chamada de frequencia natural sem amortecimento, ω_d é chamada frequencia natural amortecida.

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Circuito RLC-Série Sem Fonte

– A resposta natural é:

= ₁ ( ) + ₂ ( )

= ( ₁ + ₂ )

usando as identidades de Euler:

= + = −

temos:

= [ ₁( + ) + ₂( − )]

= [( ₁ + ₂) + ( ₁ − ₂) ]

substituindo as constantes (A₁+A₂) e j(A₁+A₂) por constantes B₁ e B₂ temos:

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Circuito RLC-Série Sem Fonte

substituindo as constantes (A₁+A₂) e j(A₁+A₂) por constantes B₁ e B₂ temos:

= ( ₁ + ₂ )

Com a presença das funções seno e cosseno na resposta, a resposta natural para este caso será exponencialmente amortecida e oscilatória.

A resposta tem uma constante de tempo 1⁄ e um período = 2 ⁄ .

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Circuito RLC-Série Sem Fonte

• Uma vez determinada a corrente i(t), outros valores podem ser encontrados. Por exemplo:

– Tensão no resistor: =

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Circuito RLC-Série Sem Fonte

• Particularidades de um circuito RLC:

1. O comportamento é caracterizado por amortecimento, onde a energia inicial armazenada é gradualmente dissipada devido a presença de R.

• O fator de amortecimento α determina a taxa na qual a resposta é amortecida.

• Se R = 0, então α = 0 e temos um circuito LC com 1⁄ como frequencia natural sem amortecimento.

2. Resposta oscilatória é possivel devido a presença de L e C que permite que a energia seja trocada entre ambos.

3. É dificil diferenciar as formas de onda das respostas superamortecidas e criticamente amortecida.

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Circuito RLC-Paralelo Sem Fonte

• Analise de um circuito RLC-Paralelo sem fonte → resposta natural

0 = ₀ = 1 ( ) (0) =

• Aplicando a LCK no nó superior:

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Circuito RLC-Paralelo Sem Fonte

• Diferenciando em relação a t e dividindo por C, temos:

+ 1 + 1 = 0

• Obtemos a equação característica substituindo a primeira derivada por s e a segunda por s2_:

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Circuito RLC-Paralelo Sem Fonte

• Esta equação é chamada de equação característica, pois suas raízes controlam a característica de i. As duas raízes são:

ou

2 2

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Circuito RLC-Paralelo Sem Fonte

onde:

– ω₀ é chamada de frequencia de ressonancia, expressa em rad/s. – α é o fator de amortecimento

• Novamente, temos quatro soluções possíveis, dependendo da relação entre ω₀ e α.

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Circuito RLC-Paralelo Sem Fonte

• Caso superamortecido (α > ω₀).

– α > ω₀ implica > 4 2 . Quando isso acontece, tanto s₁ quanto s₂ são negativas e reais. A resposta é:

= ₁ + ₂

• Caso criticamente amortecido (α = ω₀).

– α = ω₀ implica = 4 2 . As raízes são reais e iguais:

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Circuito RLC-Paralelo Sem Fonte

• Caso subamortecido (α < ω₀).

– Para α < ω₀ temos < 4 2 e as raízes são complexas:

2 2

onde = −1 e = 2 − que é chamada de frequencia de amortecimento.

– A resposta é:

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Circuito RLC-Paralelo Sem Fonte

– As constantes A₁ e A₂ podem ser determinados a partir das condições iniciais. Necessitamos v(0) e dv(0)/dt. O primeiro obtemos de:

(0) = – Obtemos o segundo termo de:

0 ₊ 0 + (0) = 0 ou (0) = −( 0 + 0)

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Circuito RLC-Paralelo Sem Fonte

• As formas de onda são similares as do circuito RLC-Série.

• Uma vez determinada a tensão v(t), outros valores podem ser encontrados. Por exemplo:

– Corrente no resistor: = ⁄