Metodo Dos Elementos Finitos Em - Luiz Eloy

Método Dos Elementos

Finitos em Análise de

Estruturas

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Folha de rosto

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Capítulo 2. Fundame ntos mate máticos 2.1 Aproximação De Funções

2.2 Integração Numérica

2.3 Representação Paramétrica De Um Quadrilátero

Capítulo 3. A e volução do mé todo dos de slocame ntos 3.1 Método Básico

3.2 Método Clássico

3.3 Método Da Análise Matricial 3.4 Método De Castigliano

3.5 Princípio Dos Deslocamentos Virtuais 3.6 Método Da Mínima Energia Potencial Total 3.7 Método De Rayleigh-Ritz

3.8 O MEF Para Vigas

3.9 O Método Dos Resíduos Ponderados De Galerkin 3.10 Generalização Do MEF

Capítulo 4. Proble mas de e stado plano 4.1 Introdução

4.4 Elementos Da Família De Lagrange 4.5 Exemplos De Problemas De Estado Plano

Capítulo 5. Sólidos de re volução ou axissimé tricos 5.1 Introdução

5.2 Elemento Da Família Serendipity De 4 Nós

5.3 Exemplo De Sólido De Revolução, Placa Circular Vazada

Capítulo 6. Sólidos tridime nsionais 6.1 Introdução

6.2 Elemento Tetraedro 6.3 Elemento Hexaedro

6.4 Exemplo De Barra Tracionada Modelada Com Sólido Tridimensional, Elemento Hexaedro

Capítulo 7. Placas à fle xão 7.1 Introdução

7.2 Teorias De Placa À Flexão

7.3 Elemento Retangular De Placas À Flexão Pela Teoria De Kirchhoff

7.5 Exemplos De Placa À Flexão

Capítulo 8. Análise de e stabilidade 8.1 Introdução

8.2 Obtenção Da Carga Crítica Em Pilares Via Solução Das Equações Diferenciais

8.3 Método Aproximado De Rayleigh-Ritz Para Cálculo Da Carga Crítica Em Pilares

8.4 MEF Para O Cálculo Da Carga Crítica Em Pilares 8.5 MEF Para Cálculo Da Carga Crítica Em Placa À Flexão 8.6 Exemplos De Análise De Estabilidade Por Elementos Finitos

Capítulo 9. Análise dinâmica de e struturas 9.1 Introdução

9.2 Equação De Equilíbrio Em Análise Dinâmica 9.3 Matriz De Massa Do Elemento De Viga 9.4 Matriz De Massa Do Elemento Triangular CST

9.5 Matriz De Massa Do Elemento Serendipity Quadrilateral De 4 Nós

9.6 Frequências E Modos De Vibração Naturais 9.7 Matrizes De Amortecimento

9.8 Análise Modal De Estruturas Para Vibrações Forçadas 9.9 Análise Dinâmica Por Algoritmo De Integração Direta 9.10 Exemplos De Análise De Vibrações Livres

Capítulo 10. Análise com comportame nto não line ar do mate rial

10.1 Sistema De Equações De Equilíbrio Não Linear 10.2 Solução De Sistemas De Equações Não Lineares 10.3 Exemplo De Aplicação Em Treliça

10.4 Análise Não Linear Detalhada Da Treliça 10.5 Análise Não Linear Alternativa

10.6 Exemplo De Análise Não Linear Da Treliça Com A Formulação Do Item 10.6

Índice de figuras

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© 2011, Else vie r Editora Ltda.

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Se rviço de Ate ndime nto ao Clie nte 0800-0265340

sac@e lse vie r.com.br ISBN 978-85-352-3929-4

ISBN (ve rsão e le trônica): 978-85-352-6655-9 Nota: Muito ze lo e té cnica foram e mpre gados na e dição de sta obra. No e ntanto, pode m ocorre r e rros de digitação, impre ssão ou dúvida conce itual. Em

qualque r das hipóte se s, solicitamos a comunicação ao nosso Se rviço de Ate ndime nto ao Clie nte , para que possamos e sclare ce r ou e ncaminhar a que stão. Ne m a e ditora ne m o autor assume m qualque r re sponsabilidade por e ve ntuais danos ou pe rdas a pe ssoas ou be ns, originados do uso de sta publicação. CIP-Brasil. Catalogação-na-fonte

Sindicato Nacional dos Editore s de Livros, RJ

V495m Vaz, Luiz Eloy

Mé todo dos e le me ntos finitos e m análise de e struturas /

Luiz Eloy Vaz. – Rio de Jane iro: Else vie r, 2011.

ISBN 978-85-352-3929-4

1. Mé todo dos e le me ntos finitos. 2. Te oria das e struturas.

10-5751 CDD: 620.0015 CDU: 62

Agradecimentos

Aos me us pais, Milton e Alice , pe lo amor e carinho. A e le s, o me u re conhe cime nto pe lo e xe mplo, pe la firme orie ntação e por não te re m poupado e sforços para me proporcionar uma boa formação.

À minha e sposa Re gina, e nge nhe ira como e u, que e m importante s mome ntos da minha vida profissional não he sitou e m sacrificar te mporariame nte se us e studos e sua carre ira para me acompanhar no doutorado na Ale manha e no pós-doutorado no País de Gale s. Se m sua ge ne rosidade e apoio e ste livro não e xistiria. A e la, minha gratidão e amor.

Aos me us me stre s da graduação e pós-graduação. Na graduação da UFRJ, me stre s como os profe ssore s José Luiz Cardoso, Ignacio de Loyola Be ne dicto Ottoni e Be njamin Ernani Dias de spe rtaram me u inte re sse pe la análise e pe lo proje to de e struturas. No me strado da Coppe /UFRJ, os profe ssore s Fe rnando Luis Lobo Carne iro e Fe rnando Ve nâncio Filho aguçaram me u inte re sse pe la pe squisa. Me u agrade cime nto e spe cial ao profe ssor Ve nâncio que me iniciou no Mé todo dos

Ele me ntos Finitos e abriu me us olhos para a sua e norme pote ncialidade . Aos profe ssore s José Olive ira Pe dro, John Argyris e Erne st Hinton, que me re ce be ram, re spe ctivame nte , para um e stágio no Laboratório Nacional de Enge nharia Civil de Lisboa, para o doutorado na Unive rsidade de Stuttgart e para o pós-doutorado na Unive rsidade de Wale s e m Swanse a, minha profunda gratidão. Ele s foram fundame ntais para o me u amadure cime nto acadê mico. Um e spe cial carinho e u guardo pe lo profe ssor Kaspar Willam, da Unive rsidade de Stuttgart, pe la de dicada orie ntação e apoio durante a minha te se de doutorado. Hoje , o profe ssor Kaspar Willam é profe ssor na Unive rsidade de Boulde r, no Colorado.

Aos me us cole gas e parce iros e m co-orie ntaçõe s e proje tos de pe squisa. De vido à varie dade dos te mas de me u inte re sse e por te r trabalhado e m trê s importante s unive rsidade s, como a PUC-RJ, a UFRJ e a UFF, e le s são nume rosos e de pe rfil dive rsificado. Não posso de ixar de citar os profe ssore s Eurípe de s do Amaral Vargas Jr., Luiz Fe rnando Martha, Marta de Sousa Lima Ve lasco e Giuse ppe Guimarãe s Barbosa, da PUC-Rio, os profe ssore s Se rgio Hampshire , Claudia Eboli e José He rskovits, da UFRJ, a profe ssora Silvana Maria Bastos Afonso, da UFPE, e , mais re ce nte me nte , o Profe ssor Emil Sanche s, da UFF. Ele s ajudaram a ampliar me us horizonte s ao de spe rtar me u inte re sse por novos te mas de pe squisa.

Ao Ivan Me ne ze s, coorde nador de proje tos do Te cgraf PUC-Rio e me u e x-orie ntando de me strado.

Sua cuidadosa le itura dos manuscritos e valiosas suge stõe s o tornam praticame nte um coautor do livro.

Ao Paul Ante zana, pe la compe te nte colaboração na e dição do te xto.

Aos me us alunos de graduação e pós-graduação e me us orie ntandos de me strado e doutorado. Ele s foram o grande ince ntivo para me u contínuo apre ndizado e cre scime nto acadê mico. Suas dúvidas e que stioname ntos me forçaram a compre e nde r os conce itos com mais profundidade e clare za e a procurar um ape rfe içoame nto didático.

A todos os re fe ridos e a muitos outros que não foram citados, me u since ro “muito obrigado”. Espe ro que e ste livro e ste ja à altura da valiosa contribuição de todos.

À e ditora Else vie r, e spe cialme nte a André Ge rhard Wolff e Vane ssa Vilas Bôas Hugue nin, pe la confiança de positada no me u trabalho e pe la oportunidade de publicar e sta obra.

Prefácio

Este livro surgiu das notas de aulas que pre pare i para a disciplina Método dos Elementos Finitos que ve m se ndo ministrada por mim há ce rca de 10 anos para alunos de graduação da e spe cialidade de e struturas do curso de Enge nharia Civil da Escola Polité cnica da UFRJ.

Ao se r indicado para le cionar a disciplina me de pare i com a dificuldade de e scolhe r um livro-te xto. Os mate riais disponíve is propunham-se a se r uma e xce le nte fonte de consulta para que m já conhe cia o mé todo, mas não uma fe rrame nta para iniciar um aluno de Enge nharia que se inte re ssasse pe lo te ma. Algumas ve ze s, e le s usavam conhe cime ntos mate máticos que não e ram do domínio dos alunos de graduação — como cálculo variacional — para apre se ntar o te ma; outras ve ze s, por se re m muito e xte nsos e de talhados, dificultavam a compre e nsão da e ssê ncia do mé todo.

Esta obra te m a inte nção de forne ce r ao le itor, se ja e le um aluno de graduação, de pós-graduação ou um e nge nhe iro e m um prime iro contato com o assunto, um

te xto compre e nsíve l para aque le s que tive ram uma formação básica na áre a de análise de e struturas. Por formação básica ne ssa áre a conside ro conhe cime ntos e m análise de e struturas hipe re státicas, re sistê ncia dos mate riais e fundame ntos da te oria da e lasticidade . Alguns conhe cime ntos mate máticos que são tratados nos cursos básicos de Enge nharia, mas, e m ge ral, não com a profundidade ne ce ssária ao e studo do mé todo, como inte gração numé rica, são re vistos no início do livro.

Estou conve ncido de que a vasta difusão do uso de computadore s nos proje tos de Enge nharia e a grande disponibilidade de programas come rciais para análise de e struturas pe lo Método dos Elementos Finitos tornam o e nsino do mé todo nos cursos de graduação indispe nsáve l. Este livro pre te nde se r uma e strada me nos sinuosa e íngre me para todos aque le s que pre te ndam e ntrar no unive rso dos e le me ntos finitos.

C A P Í T U L O 1

Introdução

O Mé todo dos Ele me ntos Finitos (MEF) para a análise de e struturas ganhou proje ção inte rnacional a partir de me ados dos anos cinque nta do sé culo XX com os trabalhos inde pe nde nte s e quase simultâne os do profe ssor John Argyris, que trabalhava no Impe rial Colle ge e m Londre s, e de um grupo de e nge nhe iros da Boe ing lide rados pe lo profe ssor Ray W. Clough.

No e ntanto, um trabalho sobre o proble ma de torção de Saint-Ve nant do mate mático ale mão Richard Courant, publicado e m 1943, é conside rado até hoje o pione iro do mé todo. Na é poca e m que foi publicado, e sse trabalho não te ve , todavia, grande re pe rcussão. Talve z e sse fato possa se r atribuído ao pouco ape lo dos mé todos numé ricos e m um mome nto e m que a indústria de computadore s e stava e m fase e mbrionária.

Não se pode , contudo, falar do de se nvolvime nto e da divulgação do mé todo se m citar o prof. O. C. Zie nkie wicz que trabalhou de sde 1961 no campus de Swanse a da Unive rsidade do País de Gale s, no Re ino Unido. Se u livro publicado e m 1967, intitulado “The

Finite Ele me nt Me thods for Engine e ring” ficou conhe cido no me io acadê mico como “The Book”. O livro criou uma le gião de se guidore s do mé todo e m todo o mundo.

No Brasil, a prime ira te se sobre o MEF foi de fe ndida na Coppe -UFRJ, e m 1970. Ela foi apre se ntada pe lo e nge nhe iro Alce bíade s Vasconce los e foi de se nvolvida e m parte no Laboratório de Enge nharia Civil de Lisboa. Alce bíade s de se nvolve u um programa para a análise de e struturas de e stado plano com o uso do e le me nto triangular CST, re solve u alguns proble mas a cuja solução se che ga por me io da Te oria da Elasticidade e comparou os re sultados obtidos pe lo programa com os forne cidos pe la Te oria da Elasticidade . O prime iro curso sobre o mé todo foi ministrado també m na Coppe -UFRJ pe lo profe ssor Fe rnando Ve nâncio Filho e m 1971.

O MEF foi um de se nvolvime nto natural da formulação e m de slocame ntos da análise matricial de e struturas re ticuladas impulsionado pe lo cre scime nto do uso de computadore s nas unive rsidade s, ce ntros de pe squisa e na grande indústria. A se me lhança e ntre os dois mé todos consiste no uso comum dos conce itos de matriz de rigide z de e le me nto, montage m (assembly, e m inglê s) da matriz de rigide z da e strutura a partir da contribuição das matrize s de rigide z dos e le me ntos e do conce ito de cargas e quivale nte s nodais. O MEF distingue -se do se u pre cursor pe la sua maior ge ne ralidade e por suas raíze s nos mé todos de e ne rgia e nos mé todos aproximados. A análise matricial de

e struturas re ticuladas siste matizou o mé todo clássico dos de slocame ntos e unificou a me todologia para a análise de dife re nte s tipos de e struturas re ticuladas, tais como tre liças planas e e spaciais, vigas e gre lhas e pórticos planos e e spaciais. O MEF, poré m, foi be m mais alé m, e le pode se r usado para se formular tanto proble mas de análise de e struturas re ticuladas, como també m de e struturas contínuas bi e tridime nsionais. Sua ge ne ralidade não parou por aí, sua aplicação, que se iniciou e m análise e stática de e struturas de comportame nto line ar e lástico, foi e ste ndida à análise e stática de e struturas com não line aridade física e ge omé trica e à análise dinâmica de e struturas. Ele també m saiu da e sfe ra da análise de e struturas e pe ne trou e m outras áre as, como a e nge nharia ge oté cnica, a inte ração fluido-me cânica e as análise s de fluxo té rmico e hidráulico.

Na áre a de análise de e struturas, a formulação do MEF pode se r fe ita a partir do Princípio da Mínima Ene rgia Pote ncial Total, do Mé todo de Re síduos Ponde rados ou do Princípio dos De slocame ntos Virtuais. Ele usa os conce itos de “discre tização” do contínuo e de “matriz de inte rpolação” que forne ce os de slocame ntos e m um ponto no inte rior do e le me nto e m função de se us de slocame ntos nodais. O te rmo discre tização se re fe re a um mode lo com um núme ro finito (discrete, e m inglê s) de incógnitas (de slocame ntos nos nós do mode lo) para a análise de me ios contínuos e m contraposição a uma análise com um núme ro infinito de variáve is como as fe itas pe la Te oria da

Elasticidade que usam funçõe s contínuas, ou se ja, com infinitas incógnitas como solução.

Hoje e m dia, e xiste m inúme ros programas come rciais altame nte sofisticados que faze m os mais dive rsos tipos de análise pe lo Mé todo dos Ele me ntos Finitos, tais como o SAP, o Ansys, o Abaqus, o Nastran e tc. No De partame nto de Me cânica Aplicada e Estruturas da Escola Polité cnica da UFRJ, e stá e m de se nvolvime nto o siste ma Salt sob a coorde nação do profe ssor Silvio de Souza Lima. O programa te m sido largame nte utilizado na e laboração de dive rsos trabalhos de fim de curso de alunos do de partame nto. No Te cgraf, na PUC-Rio, há o siste ma Mtool com ge rador automático de malhas.

Em minha opinião, a difusão do uso do MEF nas e mpre sas e unive rsidade s tornou obrigatória a introdução de um curso sobre o mé todo nas disciplinas de graduação e m e nge nharias civil, me cânica, naval e ae ronáutica.

Este livro te m como obje tivo se rvir de base para a disciplina “Introdução ao Mé todo dos Ele me ntos Finitos” que se ria ministrada e m um curso de graduação e m Enge nharia Civil na ê nfase de Estruturas. O mate rial é ade quado para um curso de 16 se manas com 3 horas se manais.

O Capítulo 2 faz uma re visão aprofundada de alguns fundame ntos mate máticos já vistos no ciclo básico de Enge nharia ne ce ssários ao longo do curso, como inte gração numé rica.

De slocame ntos, de sde as formulaçõe s clássicas para e struturas re ticuladas até o MEF, visto como uma e volução do Mé todo de Rayle igh-Ritz.

O Capítulo 4 trata das formulaçõe s do mé todo para a análise de e struturas planas, apre se ntando as formulaçõe s do e le me nto CST, de e le me ntos das famílias Se re ndipity e de Lagrange .

O Capítulo 5 apre se nta formulaçõe s do mé todo para análise de sólidos axissimé tricos ou sólidos de re volução, mostrando as formulaçõe s de alguns e le me ntos, como o Triangular de trê s nós e e le me ntos da família Se re ndipity.

O Capítulo 6 aborda formulaçõe s do mé todo para análise de sólidos tridime nsionais, de se nvolve ndo as formulaçõe s de alguns e le me ntos, como o e le me nto te trae dro e o he xae dro.

No Capítulo 7, são e studados e le me ntos para a análise de placas à fle xão, como o e le me nto re tangular, base ado na Te oria de Kirchhoff, próprio para a análise de placas de lgadas e os e le me ntos da família Se re ndipity, base ados na Te oria de Mindlin e apropriados à análise de placas e spe ssas.

O Capítulo 8 trata do proble ma do cálculo do fator de carga crítica e m e struturas. Formulaçõe s da matriz de rigide z ge omé trica são apre se ntadas para e struturas de pórticos planos e de placas, assim como e xe mplos numé ricos.

O Capítulo 9 conte mpla o e studo de análise dinâmica e m e struturas. É apre se ntada a formulação para se obte r as fre quê ncias e os modos próprios de e struturas

e m vibraçõe s livre s a partir da matriz de rigide z e da matriz de massa consiste nte para alguns e le me ntos finitos. A obte nção da matriz de amorte cime nto també m é tratada. Finalme nte , são e studadas a análise modal e a análise por algoritmo de inte gração dire ta de Ne wmark de e struturas subme tidas a vibraçõe s forçadas. Exe mplos re fe re nte s a todos os ite ns são apre se ntados.

O Capítulo 10 aborda a análise de e struturas com comportame nto não line ar do mate rial. O conce ito de matriz de rigide z tange nte é apre se ntado e um e xe mplo é re solvido com o uso do Mé todo de Ne wton-Raphson.

Espe ro com e sse te xto facilitar o apre ndizado de sse apaixonante e re volucionário te ma que é o Mé todo dos Ele me ntos Finitos.

Prof. Luiz Eloy Vaz

Profe ssor titular e m Análise de Estruturas pe la UFRJ até 2008

C A P Í T U L O 3

A evolução do método dos

deslocamentos

O Mé todo dos Ele me ntos Finitos (MEF) tratado ne ste livro pe rte nce à família do Mé todo dos De slocame ntos ou Mé todo da Rigide z onde de slocame ntos são e scolhidos como incógnitas. Todos os me mbros de ssa família se caracte rizam por te r como e quação fundame ntal a e quação de e quilíbrio cujas incógnitas são de slocame ntos ge ne ralizados. Ente nde m-se aqui por de slocame ntos ge ne ralizados, grande zas cine máticas, tais como, de slocame ntos line are s, rotaçõe s e tc.

Os me mbros de ssa família formam uma árvore ge ne alógica, com novos mé todos ge rados a partir dos mé todos mais antigos. De ce rta mane ira, a e volução do mé todo ao longo do te mpo se gue as le is da e volução de Darwin, com mutação e se le ção. Os novos me mbros da família de sse s mé todos he rdam as caracte rísticas de se us ante ce ssore s, mas sofre m pe que nas mudanças que só são be m suce didas se fore m be m adaptadas às condiçõe s e xiste nte s. Um

e xe mplo disso é que a Análise Matricial de Estruturas (AME) e o MEF só tive ram larga ace itação quando os computadore s atingiram uma fase de e le vado grau de de se nvolvime nto, ape sar de e ste último te r surgido ante s de ssa fase .

Este capítulo procura mostrar como se de u a e volução do Mé todo dos De slocame ntos, de sde as prime iras formulaçõe s até o MEF. É surpre e nde nte ve rificar como as mudanças conce ituais são pe que nas e m comparação ao e norme cre scime nto do pote ncial do mé todo.

3.1 Método básico

A análise de e struturas usa trê s e quaçõe s básicas, nome adame nte e quaçõe s de compatibilidade , de e quilíbrio e constitutivas, també m chamadas de re lação te nsão-de formação. O mé todo dos de slocame ntos caracte riza-se por usar a e quação de e quilíbrio como e quação fundame ntal, ou se ja, aque la de onde são obtidas as incógnitas primárias do proble ma, a partir das quais, todas as outras re spostas se rão obtidas. As incógnitas primárias são os de slocame ntos por me io dos quais é possíve l obte r de formaçõe s, te nsõe s, re sultante s de te nsõe s e tc.

O mé todo básico da família do mé todo dos de slocame ntos consiste e m manipular as trê s e quaçõe s básicas da análise de e struturas de modo a colocar todas as informaçõe s disponíve is nas e quaçõe s

de e quilíbrio com de slocame ntos livre s como incógnitas. O núme ro de de slocame ntos livre s é chamado de grau de libe rdade da e strutura.

Ne ste ite m e e m outros que se gue m, a e strutura apre se ntada na Figura 3.1 é utilizada para ilustrar a re solução do mé todo. Trata-se de uma tre liça plana simple s com quatro barras e dois graus de libe rdade , os de slocame ntos horizontal e ve rtical do nó C.

FIGURA 3.1 Treliça com 2 graus de liberdade.

(3.1)

grande zas cine máticas, ne sse caso os de slocame ntos nodais livre s d1 e d2 na dire ção horizontal e ve rtical com

alongame ntos/e ncurtame ntos δi das barras i. Os

de slocame ntos são supostos positivos com os se ntidos indicados na Figura 3.1. Os alongame ntos se rão conside rados positivos e os e ncurtame ntos ne gativos. As e xpre ssõe s para osδi das quatro barras são obtidas

proje tando-se os de slocame ntos nodais nas dire çõe s das barras, assim:

A se gunda e quação de compatibilidade re laciona os alongame ntos/e ncurtame ntos das barrasδi com as

de formaçõe s longitudinais εi. Da re sistê ncia dos

(3.2)

(3.3)

Como os comprime ntos das barras são:

(3.6)

(3.4)

(3.5)

Para e fe ito de simplificação, a le i constitutiva

usada ne sse trabalho se rá a le i de Hooke , Assim, para cada barra, i vale :

Ou, e m te rmos de e sforços normais Ni,

Onde E é o módulo de e lasticidade do mate rial, A, a áre a de se ção transve rsal (as duas grande zas

(3.7)

supostas constante s para todas as barras), Ni o e sforço

normal e Li o comprime nto da barra i.

Substituindo-se para cada barra i, δi dado e m (3.1) e m

(3.6), obté m-se :

As e quaçõe s de e quilíbrio são obtidas para as dire çõe s horizontal e ve rtical no nó C. Os se ntidos das forças axiais Ni que atuam nas barras i, são admitidos a

princípio como de tração. Para se e scre ve r as e quaçõe s de e quilíbrio, vale m, no e ntanto, os se ntidos indicados na Figura 3.2.

(3.8)

FIGURA 3.2 Equilíbrio do nó C.

As e quaçõe s de e quilíbrio são: Na dire ção horizontal:

(3.9)

(3.10)

(3.11)

Substituindo-se as e xpre ssõe s (3.7) e m (3.9) e manipulando-as, obté m-se :

A e xpre ssão (3.10) é a e quação

fundame ntal do mé todo dos de slocame ntos para a análise da tre liça plana da Figura 3.1. Matricialme nte , e la pode se r re e scrita como:

(3.12)

(3.13)

(3.14)

Com os de slocame ntos d1 e d2 é possíve l obte r agora

todas as re spostas da e strutura e m te rmos de alongame nto/e ncurtame nto, na e xpre ssão (3.1), de formaçõe s, e m (3.4), te nsõe s, e m (3.5), e e sforços normais Ni, e m (3.7). Tais valore s e stão indicados a

(3.15)

(3.16)

3.2 Método clássico

O mé todo clássico é e sse ncialme nte o me smo que o mé todo básico. Sua contribuição foi no se ntido de siste matizar, ou se ja, organizar, ou ainda criar uma me todologia que possa se r aplicada da me sma forma a todas as e struturas.

O mé todo usa os conce itos de e stados auxiliare s e de supe rposição de e fe itos. Inicialme nte , de ve m-se ide ntificar os graus de libe rdade da e strutura. Em se guida, um e stado auxiliar j é criado para cada grau de libe rdade impondo-se um valor unitário para o grau de libe rdade dj, e nquanto os outros são mantidos nulos.

Re sultante s das forças inte rnas re siste nte s que atuam nas barras apare ce m nas dire çõe s dos graus de libe rdade . A força inte rna na dire ção i de vido ao de slocame nto unitário na dire ção do grau de libe rdade dj é chamada de coe ficie nte de rigide z kij. Alé m disso,

um e stado auxiliar 0 é criado para as cargas atuante s com todos os graus de libe rdade mantidos fixos. As forças re sultante s que atuam nos nós na dire ção do grau de libe rdade dj ne sse e stado são de nominadas

cargas nodais fj.

Como os e stados auxiliare s não são autoe quilibrados o e quilíbrio é conse guido com a supe rposição de e fe itos. Assim, somando-se os produtos das forças inte rnas re sultante s (nas dire çõe s dos graus de libe rdade ) corre sponde nte s a cada e stado auxiliar j por dj, a soma de ve se r igual às forças aplicadas (nas

dire çõe s dos graus de libe rdade ) no e stado auxiliar 0. Em te rmos físicos, isso significa que os de slocame ntos que surge m na dire ção dos graus de libe rdade dj

de ve m se r tais que as forças inte rnas e quilibre m as forças aplicadas.

A aplicação das ide ias de scritas no e xe mplo do ite m 3.1 ajuda a e sclare ce r o mé todo.

FIGURA 3.3 Termos k11 e k21 da matriz de rigidez da

treliça.

FIGURA 3.4 Termos k21 e k22 da matriz de rigidez da

treliça.

Para se obte r os coe ficie nte s kij (força inte rna

re sultante na dire ção i de vida a um de slocame nto unitário na dire ção j) proce de -se da se guinte mane ira:

inicialme nte , calculam-se os

alongame ntos/e ncurtame ntos das barras dij

(alongame nto/e ncurtame nto na barra i de vido a um de slocame nto unitário na dire ção do grau de libe rdade dj) de forma análoga ao que foi fe ito para se obte r os

(3.17)

(3.18)

alongame ntos/e ncurtame ntos e m (3.1). Para o e stado auxiliar 1.

(3.19)

(3.20)

Utilizando-se a re lação constitutiva é possíve l calcular os e sforços normais nas barras Nij (e sforço

normal na barra i de vido a um de slocame nto unitário na dire ção do grau de libe rdade dj) com uma e xpre ssão análoga a (3.6).

Assim:

Para o e stado auxiliar 1.

(3.21)

(3.22)

Os coe ficie nte s de rigide z kij (e sforço na dire ção i

para um de slocame nto unitário na dire ção j) são calculados utilizando-se as e quaçõe s de e quilíbrio no nó C. Assim, das e quaçõe s de e quilíbrio na dire ção horizontal e ve rtical da Figura 3.5, da corre sponde nte a d1 = 1 obté m-se , re spe ctivame nte , os coe ficie nte s k11 e

k21.

Para o e stado auxiliar 1, Figura 3.5a.

(3.23)

(3.24)

O e stado auxiliar 0, forne ce :

FIGURA 3.5 Forças no nó C para d1 = 1 e d2 = 1.

A supe rposição de e fe itos, que de ve garantir o e quilíbrio das forças re siste nte s e aplicadas, pode agora se r e scrita como:

(3.25)

(3.26)

ou com os valore s da e strutura se ndo analisada:

A e xpre ssão (3.26) é idê ntica à e xpre ssão

(3.11), como não pode ria de ixar de se r. De sse modo, as re spostas das e struturas obtidas pe lo mé todo básico dadas pe las e xpre ssõe s de (3.12) a (3.16) se rão as me smas.

3.3 Método da análise matricial

3.3.1 Formulação Da Análise

Matricial

A análise matricial de e struturas re ticuladas siste matizou as ope raçõe s mate máticas da análise de e struturas faze ndo uso da álge bra matricial que ope ra com ve tore s e matrize s. Ela introduziu dive rsos conce itos novos na análise de e struturas. Toda a siste matização se base ia na ide ia de siste ma local e siste ma global de coorde nadas. Com e sse conce ito de finido, é possíve l e stabe le ce r matrize s de rigide z de

e le me nto nos siste mas local e global, assim como ve tore s de forças nodais de e le me nto nos siste mas local e global. A partir das contribuiçõe s das matrize s de rigide z e dos ve tore s de forças nodais de e le me nto no siste ma global, pode -se montar a matriz de rigide z be m como o ve tor de forças nodais da e strutura. De slocame ntos nodais també m são de finidos nos siste mas local e global. Uma e quação de e quilíbrio da e strutura no siste ma global forne ce os de slocame ntos nodais. Uma ve z obtidos os de slocame ntos nodais da e strutura, as forças atuante s nas e xtre midade s dos e le me ntos pode m se r de te rminadas.

O siste ma local de coorde nada é de finido quando se e scolhe os nós inicial e final do e le me nto. Na Figura 3.6, os nós 1 e 2 são, re spe ctivame nte , o nó inicial e o nó final do e le me nto ou barra. O e ixo x local fica e ntão de finido na dire ção da barra e com se ntido positivo de 1 para 2. O e ixo y é pe rpe ndicular a x, com o ve tor do se ntido positivo faze ndo 90 graus a partir de x no se ntido anti-horário. O siste ma global dado pe los e ixos X e Y é de finido usualme nte da se guinte mane ira: X te m dire ção horizontal e se ntido positivo da e sque rda para a dire ita, e Y te m dire ção ve rtical e se ntido positivo de baixo para cima. O siste ma global não é obrigatoriame nte o de finido ante riorme nte , pode ndo se r e scolhido outro que se ja mais conve nie nte .

FIGURA 3.6 Graus de liberdade no sistema global e local.

A e strutura de tre liça plana tratada até aqui te m dois graus de libe rdade por nó. Ao nó 1 são associados os de slocame ntos 1 e 2 e ao nó 2, os de slocame ntos 3 e 4. A Figura 3.6 indica os se ntidos positivos dos 4 compone nte s do ve tor de de slocame ntos dl, no siste ma

local, e dg, no siste ma global. O ângulo a de fine a

rotação do e ixo da barra e m re lação ao siste ma global. Associados aos ve tore s de de slocame ntos, são criados també m os ve tore s de forças nodais fl, no siste ma

local, e fg, no siste ma global.

(3.27)

(3.28)

(3.29)

(3.30)

siste ma local dl e global dg pode m se r re lacionados pe la

matriz de rotação R, como indicado a se guir:

Ou, sucintame nte :

Como o trabalho é um e scalar que inde pe nde do siste ma de coorde nadas, e le de ve se r o me smo nos siste mas local e global.

(3.33)

(3.31)

(3.32)

As e xpre ssõe s (3.28) e ((3.32)) formam o princípio da contragradiê ncia que pode se r e nunciado como: “Se uma matriz transforma de slocame ntos globais e m locais, sua transposta transforma forças locais e m globais.”

A matriz de rigide z do e le me nto de tre liça plana no siste ma local para o e le me nto m, Kl,m é dada e m (3.33).

Ela é obtida da de finição dos coe ficie nte s de rigide z kl,m(ij). O coe ficie nte kl,m(ij) significa a força na dire ção do

de slocame nto local i para um de slocame nto unitário aplicado na dire ção do de slocame nto local j, mante ndo os outros de slocame ntos locais nulos.

Onde Em é o módulo de e lasticidade do mate rial, Am a

(3.34)

(3.35)

(3.36)

m. A e quação de e quilíbrio da barra que re laciona de slocame ntos, forças e a matriz de rigide z no siste ma local de coorde nadas é dada por:

Ou, sucintame nte :

A matriz de rigide z do e le me nto m no siste ma global de coorde nadas pode se r obtida como e xplicado a se guir. Substituindo-se (3.28) e m ((3.35)), obté m-se :

Pré -multiplicando-se ambos os lados de (3.36) por , che ga-se a:

(3.37)

(3.38)

(3.39)

(3.40)

Usando (3.32), obté m-se :

Onde ,

A partir da matriz de rigide z e das forças nodais de cada e le me nto k no siste ma global é fe ita e ntão a montage m da matriz de rigide z K e das forças nodais f globais da e strutura e m função da cone xão e ntre os e le me ntos (incidê ncia), obte ndo-se a e quação de e quilíbrio global da e strutura.

Se ndo d os de slocame ntos da e strutura no siste ma global de coorde nadas.

Uma ve z obtido d, é possíve l calcular os de slocame ntos nodais de cada e le me nto no siste ma global e girar e sse s de slocame ntos para o siste ma local via (3.28) e calcular as forças de e xtre midade

finais e m cada e le me nto no siste ma local via (3.35).

3.3.2 Aplicação Da Análise Matricial

A aplicação das ide ias de scritas no e xe mplo do ite m 3.1 ajuda a e sclare ce r o mé todo.

A tre liça plana e studada ne sse ite m é re produzida mais uma ve z na Figura 3.7.

FIGURA 3.7 Treliça plana com 2 graus de liberdade.

O se ntido positivo do e ixo local x das barras é de finido como: Barra 1: do nó A para o nó C; Barra 2: do nó B para o nó C; Barra 3: do nó D para o nó C; Barra 4: do nó E para o nó C (Figura 3.8).

FIGURA 3.8 Sistemas de coordenadas locais das barras.

Os comprime ntos Lm da barra m são: ,

e .

(3.41)

Usando a e xpre ssão (3.39) para se obte r as

(3.42)

somando ape nas os te rmos re fe re nte s às duas últimas linhas e colunas de cada matriz (isso se e xplica porque os nós iniciais de todas as barras e stão vinculados e , portanto se us de slocame ntos são nulos), obté m-se a matriz de rigide z da e strutura no siste ma global K re lativa aos dois graus de libe rdade do nó C, dada e m (3.42). A e quação de e quilíbrio da e strutura é a me sma já obtida e m (3.26), o que conduz aos me smos re sultados.

3.4 Método de Castigliano

O Mé todo de Castigliano é assim chamdo e m home nage m ao se gundo te ore ma de Carlo Albe rto Castigliano, que , e m 1873, de monstrou que a de rivada da e ne rgia de de formação de uma e strutura e m re lação ao de slocame nto di é igual a força e xte rna da

para e struturas com comportame nto line ar e lástico, mas e la é válida també m para mate riais e lásticos não line are s. Ne sse ite m, a de monstração se rá e ste ndida a e struturas de mate rial e lástico não line ar.

Esse te ore ma re pre se ntou um importante passo no de se nvolvime nto da análise de e struturas porque e le mostrou um novo caminho, base ado e m te ore mas de e ne rgia, para se formular um mé todo para análise de e struturas. Esse caminho le vou ao MEF.

3.4.1 Energia De Deformação

Para e fe ito de simplificação, a apre se ntação do Se gundo Te ore ma de Castigliano se rá fe ita aqui para o caso particular de uma e strutura de tre liça. Ne sse tipo de e strutura, some nte uma compone nte de de formação e de te nsão atua no e le me nto de barra, nome adame nte , a de formação e a te nsão normal longitudinal, ou se ja, trata-se de um proble ma unidime nsional para e fe ito da re lação te nsão x de formação. Se ja a re lação te nsão x de formação apre se ntada na Figura 3.9. A solicitação e xte rna le vou a te nsão atuante até o valor final que corre sponde à de formação final na barra m da tre liça.

(3.43)

FIGURA 3.9 Energia de deformação específica U₀ da barra m.

A e ne rgia de de formação e spe cífica na barra m é de finida como:

O adje tivo “e spe cífica” de ve -se ao fato de se r, e m te rmos de unidade s, trabalho por unidade de volume .

(3.44)

(3.45)

(3.46)

A e ne rgia de de formação da barra m, um, é obtida

inte grando-se no volume da barra.

Para se obte r a e ne rgia de de formação U re lativa a toda a tre liça, somam-se os Um de todas as barras, de 1

a nb, onde nb é o núme ro de barras da e strutura.

Onde é a de formação final da barra m. Como a de formação final da barra, de pe nde do alongame nto/e ncurtame nto longitudinal final da barra

, como e xpre sso e m (3.2), que , por sua ve z, de pe nde dos de slocame ntos nodais finais das e xtre midade s da barra no siste ma global de coorde nadas como e xe mplificado e m (3.4), a e xpre ssão (3.45) pode se r re e scrita como:

(3.47)

Onde n é o núme ro de graus de libe rdade da e strutura de tre liça.

A e ne rgia de de formação da e strutura corre sponde fisicame nte à e ne rgia armaze nada na e strutura quando e la se de forma, caso não haja pe rda de e ne rgia, ou se ja, para um siste ma conse rvativo. Essa e ne rgia é re sponsáve l pe la volta da e strutura a sua configuração inicial, ante s da aplicação das cargas, quando e stas são re tiradas da e strutura.

3.4.2 Trabalho Externo

O trabalho e xte rno total W e m uma e strutura de tre liça plana pode se r obtido somando-se os trabalhos e xte rnos Wi re fe re nte s aos graus de libe rdade i da

e strutura.

Onde n, como ante riorme nte , é o núme ro

de graus de libe rdade da e strutura. A Figura 3.10 e sclare ce .

FIGURA 3.10 Trabalho externo associado ao grau de liberdade i.

3.4.3 Segundo Teorema De Castigliano

Substituindo doravante a notação do de slocame nto final por d para e fe ito de simplificação, a e ne rgia de de formação (3.46) e o trabalho e xte rno (3.47) e m uma e strutura de tre liça plana, como visto nos ite ns 3.4.1 e 3.4.2, pode m se r e scritos como uma função do ve tor dos de slocame ntos nodais finais da e strutura no siste ma global de coorde nadas d com n compone nte s.

Expandindo-se W(d) e m sé rie de Taylor até o te rmo de prime ira orde m, é possíve l e xpre ssar o incre me nto

(3.48)

(3.50)

(3.49)

(3.51)

de W(d) como:

Proce de ndo-se da me sma mane ira para U(d), obté m-se :

Pe lo princípio da conse rvação de e ne rgia

e m siste mas conse rvativos, todo trabalho e xte rno re alizado é armaze nado na e strutura e m te rmos de e ne rgia de de formação. Assim, o incre me nto de trabalho e xte rno é igual ao incre me nto de e ne rgia de

(3.53)

(3.54)

(3.55)

(3.52)

de formação, logo: Ou se ja,

Ou, ainda, para uma variação arbitrária δd,

O te ore ma da inte gral de Ne wton diz que :

(3.57)

(3.58)

(3.56)

Onde , como foi re de finido no início de sse

ite m, di e m (3.56) é o valor final da variáve l

de slocame nto nodal ui e fi é a força final associada ao

de slocame nto di.

Com o uso de (3.54) e (3.56), obté m-se finalme nte a e xpre ssão do Se gundo Te ore ma de Castigliano:

Ou, grupando-se todas as e quaçõe s (3.59) corre sponde nte s aos n graus de libe rdade e m uma só e quação:

Obse rva-se que o te rmo à e sque rda da e xpre ssão (3.58) corre sponde ao ve tor das forças inte rnas re siste nte s, doravante de nominado fr(d), e o te rmo à

dire ita, corre sponde ao ve tor das forças solicitante s, doravante de nominado fs.

(3.59)

(3.60)

A e xpre ssão (3.59) forne ce um mé todo de análise de e struturas de nominado Mé todo de Castigliano. A e xpre ssão forne ce n e quaçõe s que pe rmite m obte r as n incógnitas do proble ma, ou se ja, os n de slocame ntos nodais di, i = 1, ..., n. Se a e strutura tive r um

comportame nto line ar, as e quaçõe s (3.59) forne ce m um siste ma de n e quaçõe s algé bricas line are s, caso o comportame nto se ja não line ar, n e quaçõe s não line are s são obtidas. O siste ma de n e quaçõe s não line are s pode se r re solvido, por e xe mplo, pe lo mé todo de Ne wton-Raphson para se obte r as n incógnitas do proble ma, ou se ja, os n de slocame ntos nodais di, i = 1,

..., n.

A aplicação do mé todo na análise da tre liça plana da Figura 3.1 ajuda a e sclare ce r as e xpre ssõe s de scritas ante riorme nte .

3.4.4 Aplicação Do Método De

Castigliano

A le i de Hooke para mate riais line ar-e lásticos pe rmite e scre ve r:

(3.61)

(3.62)

e scrita e m função da de formação final da barra m. Empre gando-se novame nte a notação para re pre se ntar o valor final da grande za εm, che ga-se a:

A e ne rgia de de formação Um para a barra m

vale :

Usando as e quaçõe s de compatibilidade

para a tre liça da Figura 3.1 de scritas e m (3.1) e abandonando mais uma ve z, para e fe ito de simplificação, o sobre scrito – para re pre se ntar valore s finais das variáve is, obté m-se :

(3.63)

(3.64)

(3.65)

E as e xpre ssõe s dos comprime ntos das barras dadas e m (3.3), pode m-se e scre ve r:

(3.66)

(3.67)

(3.68)

(3.69)

(3.70)

Usando-se (3.46) para se obte r a e ne rgia de de formação total da e strutura, obté m-se :

Aplicando-se agora a e xpre ssão (3.57) do Se gundo Te ore ma de Castigliano, obté m-se :

(3.71)

Que é idê ntica a (3.26).

3.5 Princípio dos deslocamentos

virtuais

3.5.1 Incrementos Da Energia De

Deformação

O princípio dos trabalhos virtuais se rá de monstrado ne ste ite m para e struturas de tre liça. Uma barra de tre liça m é carre gada até que a de formação final se ja atingida como indicado na Figura 3.11. A te nsão atuante corre sponde nte é ( ). A e ne rgia de de formação e spe cífica produzida na barra é . Imagine agora que um incre me nto de te nsão δσm se ja

aplicado à barra a partir de . Um incre me nto de de formação δεm corre sponde nte ocorre na barra.

(3.72)

FIGURA 3.11 Incremento de energia de deformação específica DU0,m da barra m.

O incre me nto total da e ne rgia de de formação e spe cífica Δ corre sponde nte à aplicação de δσm

pode se r e scrito como:

(3.75)

(3.76)

(3.73)

(3.74)

onde

Os te rmos e são de nominados incre me nto de prime ira e de se gunda orde m de , re spe ctivame nte . O te rmo de prime ira orde m corre sponde à áre a do re tângulo ve rtical hachurado re pre se ntado na Figura 3.11. O te rmo de se gunda orde m corre sponde à áre a do triângulo maior na me sma figura. A áre a e m cinza corre sponde ao e rro come tido no cálculo do incre me nto total erro .

Como a e ne rgia de de formação da barra m da tre liça Um é obtida pe la inte gração no volume da barra da

(3.79)

(3.80)

(3.77)

(3.78)

Logo, ou onde

A e ne rgia de de formação de toda e strutura com m barras pode se r obtida somando-se a e ne rgia de de formação de todas as barras, assim:

(3.84)

(3.85)

(3.81)

(3.82)

(3.83)

Logo, ou onde

As e xpre ssõe s (3.84) e (3.85) pode m se r ge ne ralizadas para o caso e m que há várias compone nte s de te nsão, por e xe mplo, σx, σy e τxy, e de

(3.86)

(3.87)

e le me nto infinite simal do e le me nto m da e strutura com n e le me ntos. Ne sse caso pode -se e scre ve r:

Onde σm, δσm e δεm re pre se ntam, re spe ctivame nte , os

ve tore s das compone nte s de te nsão atuante s, dos incre me ntos das compone nte s de te nsão atuante s e dos incre me ntos das compone nte s de de formação no e le me nto m.

3.5.2 Incrementos Do Trabalho Externo

Os incre me ntos do trabalho e xte rno pode m se r obtidos pe lo raciocínio análogo ao de se nvolvido no ite m ante rior para a e ne rgia de de formação.

Uma força é aplicada e m um dado grau de libe rdade i até produzir um de slocame nto final como re pre se ntado na Figura 3.12. A força atuante corre sponde nte à é . O trabalho e xte rno

produzido corre sponde nte ao grau de libe rdade i é Wi.

Imagine agora que um incre me nto de força δfi é

aplicado à força . Um incre me nto de de slocame nto δdi ocorre no grau de libe rdade corre sponde nte .

FIGURA 3.12 Incremento de trabalho externo DWi.

O incre me nto total do trabalho e xte rno ΔWi

corre sponde nte à aplicação de δfi no grau de libe rdade

(3.89)

(3.91)

(3.88)

(3.90)

ou onde

Os te rmos e são de nominados re spe ctivame nte incre me nto de prime ira e de se gunda orde m de Wi. O te rmo de prime ira orde m corre sponde

à áre a do re tângulo ve rtical hachurado re pre se ntado na Figura 3.12. O te rmo de se gunda orde m corre sponde à áre a do triângulo maior na me sma figura. A áre a e m cinza corre sponde ao e rro come tido no cálculo do incre me nto total erroWi.

(3.96)

(3.92)

(3.93)

(3.94)

(3.95)

com n graus de libe rdade pode se r obtido somando-se o trabalho e xte rno de todos os graus de libe rdade , assim:

Logo,

ou, ainda,

onde ,

(3.98)

(3.97)

usando-se ve tore s:

Onde , δd e δf re pre se ntam, re spe ctivame nte , os ve tore s das forças solicitante s nodais finais, dos incre me ntos dos de slocame ntos nodais e dos incre me ntos das forças nodais.

3.5.3 Formulação Do Princípio Dos

Deslocamentos Virtuais

O princípio dos de slocame ntos virtuais base ia-se no princípio de conse rvação de e ne rgia. Se u e nunciado é o se guinte : “Para toda e strutura, o incre me nto de prime ira orde m da e ne rgia de de formação é igual ao incre me nto de prime ira orde m do trabalho e xte rno.” A aplicação do princípio não se limita a siste mas conse rvativos. Mate maticame nte , e le pode se r e xpre sso por:

(3.100)

(3.99)

Para o caso ge ral e m que há várias compone nte s de te nsão e de formação atuando e m um e le me nto infinite simal de um e le me nto m de uma e strutura com n e le me ntos, a e xpre ssão (3.99) pode se r e scrita como:

As grande zas δεm e δd e m (3.100) são cine máticas,

virtuais e compatíve is e nquanto que as grande zas e são ditas e státicas, re ais e e m e quilíbrio. O te rmo virtual é sinônimo de pote ncial, ou se ja, pode vir a aconte ce r, não re al. As grande zas δεm e δd e stão

re lacionadas por e quaçõe s de compatibilidade já que as compone nte s de δd produze m as compone nte s de δεm. As grande zas re ais e e stão re lacionadas por

e quaçõe s de e quilíbrio já que as te nsõe s re ais são produzidas pe las forças re ais .

3.5.4 Exemplo Da Aplicação Do Princípio

Dos Deslocamentos Virtuais

Inicialme nte se rão de duzidas as e quaçõe s de compatibilidade e ntre as de formaçõe s virtuais δεm das

(3.101)

barras m e os de slocame ntos virtuais nodais δdi dos

graus de libe rdade i.

As e xpre ssõe s são análogas às e xpre ssõe s (3.4), substituindo-se as grande zas re ais por grande zas virtuais.

As te nsõe s re ais são e xpre ssas e m

função dos de slocame ntos re ais. Elas pode m se r obtidas por me io de novas e xpre ssõe s (3.4) multiplicadas pe lo modo de e lasticidade E para transformar de formação e m te nsão pe la le i de Hooke .

(3.102)

(3.103)

Substituindo (3.101) e (3.102) na e xpre ssão

(3.100) e inte grando-se no volume de cada barra, ou se ja, multiplicando-se por A Lm, pois as te nsõe s são

constante s no volume de cada barra m, e conside rando que o te rmo à dire ita e m (3.100) vale P δd1, che ga-se a:

Como δd1 e δd2 são arbitrários, de ve -se

(3.105)

(3.104)

(3.106)

Ou, matricialme nte ,

que é , de novo, a me sma e xpre ssão (3.26)

que conduz aos me smos re sultados ante riore s e m te rmos de de slocame ntos nodais di nos graus de

libe rdade i e de me smos alongame ntos/e ncurtame ntos δm, de formaçõe s εm, te nsõe s σm e e sforços normais Nm

nas barras m conforme obtido no ite m 3.1.

3.6 Método da mínima energia

potencial total

(3.107)

(3.108)

A e ne rgia pote ncial total Π(d) é de finida para siste mas conse rvativos como:

Onde U(d) é a e ne rgia de de formação da e strutura, como de finido e m (3.44) e (3.46), e Wp(d) é o trabalho

pote ncial das forças e xte rnas, dado por:

Novame nte , os sobre scritos –, utilizados para re pre se ntar valore s finais das variáve is são re tirados para e fe ito de simplificação. Em siste mas conse rvativos, U(d) é a e ne rgia que traz a e strutura de volta à configuração inicial caso as forças e xte rnas se jam re tiradas da e strutura. Wp(d) é o trabalho

pote ncial, ou se ja, aque le que se ria re alizado caso a e strutura voltasse a sua configuração inicial e as cargas pe rmane ce sse m atuando sobre e la. Assim, Π(d) é a e ne rgia total ne ce ssária para traze r de volta a e strutura a sua configuração inicial com as cargas atuando sobre e la.

3.6.2 O Princípio Da Mínima Energia

Potencial Total

(3.109)

(3.110)

O princípio da mínima e ne rgia pote ncial total e nuncia que os de slocame ntos d de uma e strutura e m e quilíbrio e stáve l tornam mínima a e ne rgia pote ncial total da e strutura. Em outras palavras, uma e strutura que e stá e m e quilíbrio e stáve l se de formou de modo a gastar o mínimo de e ne rgia pote ncial total. Mate maticame nte , a condição de prime ira orde m de mínimo de uma função é dada por:

Ao combinar as e xpre ssõe s (3.58), (3.59), (3.107) e (3.109) pode -se e scre ve r:

Obse rve que a e xpre ssão (3.110) é

idê ntica à e xpre ssão (3.59). Isso significa que os de slocame ntos da e strutura e m e quilíbrio e stáve l d satisfaze m a e quação de e quilíbrio (3.59) e minimizam a e ne rgia pote ncial total. Quando se usa a e xpre ssão (3.110) para obte r os de slocame ntos d da e strutura, diz-se que a e strutura foi calculada pe lo mé todo da mínima e ne rgia pote ncial total.

(3.111)

(3.112)

3.6.3 Aplicação Do Princípio Da Mínima

Energia Potencial Total

A e ne rgia de de formação total da e strutura foi obtida no ite m 3.4.4, (vide e xpre ssão (3.68)), ou se ja:

A e ne rgia pote ncial total é dada por:

Aplicando o princípio da mínima e ne rgia pote ncial total, obté m-se :

(3.113)

As e xpre ssõe s (3.112) e (3.113) são,

re spe ctivame nte , idê nticas às e xpre ssõe s (3.67) e (3.68) e conduze m à me sma solução e m te rmos de de slocame ntos d1 e d2, be m como de

alongame ntos/e ncurtame ntos, de formaçõe s, te nsõe s e e sforços normais que de pe nde m de d1 e d2.

3.7 Método de Rayleigh-Ritz

O mé todo de Rayle igh-Ritz re pre se ntou um grande passo na e volução do mé todo dos de slocame ntos, pois contribuiu de cisivame nte para o apare cime nto do MEF. O mé todo de Rayle igh-Ritz é , na e ssê ncia, o mé todo do princípio da mínima e ne rgia pote ncial total, mas, a pe que na modificação introduzida ne sse último pe rmitiu um grande avanço. Para uma me lhor compre e nsão do mé todo, o e xe mplo da tre liça usado até aqui vai se r substituído por um novo e xe mplo de análise de uma viga e m balanço re pre se ntada na Figura 3.13.

(3.114)

FIGURA 3.13 Viga em balanço de inércia variável.

Para faze r a análise da viga da Figura 3.13 pe lo mé todo do princípio da mínima e ne rgia pote ncial total é pre ciso, inicialme nte , obte r a e xpre ssão para a e ne rgia de de formação de uma viga. A viga, supostame nte , de ve satisfaze r a hipóte se de Be rnoulli (1705), a qual conside ra que “se çõe s transve rsais re tas pe rmane ce m planas e normais à tange nte ao e ixo fle tido da viga”. O de slocame nto ve rtical do e ixo da viga ao longo do comprime nto é de scrito pe la função ν(x). Da re sistê ncia dos mate riais, sabe -se que a de formação longitudinal ε(x,y) no ponto da se ção x e cota y é dada por:

(3.115)

(3.117)

(3.116)

(3.118)

A e ne rgia de de formação e spe cífica de um mate rial line ar e lástico com módulo de e lasticidade E, é dada por:

Para um ponto da se ção x e cota y da viga à fle xão:

A e ne rgia de de formação da viga pode se r obtida por:

(3.119)

(3.120)

(3.121)

onde L é o comprime nto da viga e I o mome nto de iné rcia da se ção da viga, dado por:

Como no e xe mplo e m e studo, a iné rcia da se ção varia ao longo do comprime nto, a e ne rgia pote ncial total da viga pode se r obtida por:

Obse rvando a e xpre ssão (3.121), ve

rifica-se que a e ne rgia pote ncial total da viga Π é função da função que de scre ve a de formação do e ixo da viga ν(x), ainda de sconhe cida. Uma função de função é de nominada um funcional. Esse proble ma dife re radicalme nte do proble ma re solvido no ite m 3.6.3, quando a e strutura a se r re solvida e ra uma tre liça e Π, dado e m (3.111), e ra uma função das variáve is d1 e d2.

Do ponto de vista mate mático o proble ma ante rior da tre liça e ra um proble ma de minimização de uma

(3.122)

função de duas variáve is. O proble ma da viga é um proble ma de minimização de um funcional da função ν(x). Trata-se agora de e ncontrar a função ν(x) e não mais ape nas as variáve is d1 e d2 que minimizam Π.

Esse é um proble ma clássico de cálculo variacional, e sua solução e stá fora do e scopo de ste livro.

Como e ntão re solve r o proble ma da viga à fle xão? É aqui que surge a ide ia básica do mé todo de Rayle igh-Ritz: a função ν(x) que re pre se nta a e lástica da viga é de scrita por uma função aproximadora.

As funçõe s aproximadoras de ve m satisfaze r as se guinte s condiçõe s:

a) De ve m se r funçõe s polinomiais ou

trigonomé tricas que satisfaçam às condiçõe s de contorno e m de slocame nto da viga.

b) De ve m te r de rivadas contínuas até a orde m n-1, se ndo n a maior orde m de de rivação da função no funcional Π (no caso n = 2).

c) De ve m se r de finidas e m todo o domínio do proble ma.

A solução “e xata” para o de slocame nto d na e xtre midade livre da viga da Figura 3.13 é 1875.

Primeira tentativa:

A prime ira função aproximadora adotada é um polinômio de se gundo grau.

(3.123)

(3.124)

(3.125)

(3.126)

Vale obse rvar que a função satisfaz às condiçõe s de contorno e m de slocame nto do proble ma:

Substituindo

na e xpre ssão (3.121), e inte grando-se , che ga-se a:

Vale obse rvar que agora Π é uma função do parâme tro α1 e não mais da função ν(x). Isso significa

que o proble ma a se r re solvido é um proble ma de mínimo de função e não mais de mínimo de um funcional. Essa é a contribuição do mé todo aproximado de Rayle igh-Ritz.

Aplicando-se agora o princípio da mínima e ne rgia pote ncial total, o qual afirma que a configuração de formada minimiza a e ne rgia pote ncial total de uma

(3.127)

(3.128)

(3.129)

(3.130)

(3.131)

e strutura e m e quilíbrio e stáve l, obté m-se :

logo

e , portanto,

Obse rva-se que o e rro no cálculo de d e m re lação à solução e xata é muito grande :

(3.132)

(3.133)

Assim, no tre cho (a),

A Figura 3.14 compara os mome ntos da

solução aproximada e da solução corre ta (viga isostática). Os mome ntos são constante s ao longo de x nos dois tre chos porque ν(x) é uma função do se gundo grau.

FIGURA 3.14 Diagrama de momentos na viga associado a ν(x) definido em (3.128).

Observação: a solução é ruim tanto e m te rmos de de slocame ntos quanto e m te rmos de mome ntos. A aproximação dos mome ntos é ainda pior porque e la é

(3.134)

(3.135)

obtida de de rivadas de funçõe s aproximadoras. Segunda tentativa:

No proble ma e studado a solução é muito simple s porque a viga é isostática. No caso de uma viga altame nte hipe re stática de vários vãos com iné rcias dife re nte e m cada vão e cargas distribuídas, a solução não é trivial e não e stará disponíve l para se sabe r se a solução aproximada é boa ou não. Ne sse caso, o proce dime nto a se guir é usar uma função aproximadora mais “rica” e ve rificar a mudança na re sposta. Quando, ao se re finar a solução, a re sposta não me lhora significativame nte , a solução ante rior já pode se r conside rada boa.

Na se gunda te ntativa, a função aproximadora é um polinômio do te rce iro grau dado por:

Vale obse rvar que a função satisfaz às condiçõe s de contorno e m de slocame nto (3.123) e rotação (3.124).

Substituindo

(3.137)

(3.138)

(3.139)

(3.140)

(3.136)

Vale obse rvar que P agora é uma função

dos parâme tros α1 e α2. Aplicando-se o princípio da

mínima e ne rgia pote ncial total, obté m-se :

Que forne ce ,

(3.142)

(3.141)

(3.143)

(3.144)

(3.145)

Usando-se (3.131), che ga-se a:

A comparação e ntre os mome ntos da

solução aproximada e da solução e xata (viga isostática) e stá apre se ntada na Figura 3.15.

FIGURA 3.15 Diagrama de momentos na viga associado a ν(x) definido em (3.140).

Observações:

1) A solução me lhorou significativame nte e m te rmos de de slocame ntos, mas continua ruim e m te rmos de mome ntos. Não é coincidê ncia que o de slocame nto na e xtre midade livre se ja infe rior ao da solução e xata, pois a aproximação torna a e strutura mais rígida.

2) O proble ma na de scontinuidade no diagrama de mome ntos na solução aproximada continua. A de scontinuidade aconte ce porque ν(x) e , conse que nte me nte , sua se gunda de rivada, é contínua no domínio e nquanto que a rigide z EI é de scontínua e m x = 5.

3) O proble ma ide ntificado re ve la uma limitação do mé todo de Rayle igh-Ritz que é o de trabalhar com ape nas uma função contínua no domínio. Para se supe rar o proble ma é pre ciso usar duas funçõe s, uma no tre cho (a) e outra no tre cho (b), impondo condiçõe s de continuidade e m x = 5

(3.146)

(3.147)

(3.148)

(3.149)

para ν(x) e para sua prime ira de rivada e m re lação a x, mas, libe rando a curvatura para se r de scontínua.

Terceira tentativa:

Se rão usadas duas funçõe s cúbicas aproximadoras, uma para o tre cho (a) e outra para o tre cho (b):

Vale obse rvar que a função νa(x) satisfaz

às condiçõe s de contorno e m de slocame nto de finidas e m (3.123) e (3.124). Alé m disso, se rão impostas as se guinte s condiçõe s de continuidade e m x = 5.

Essas duas condiçõe s pe rmite m re duzir o núme ro de parâme tros incógnitos de 6 para 4. Os parâme tros α5 e

α6, por e xe mplo, pode m se r e scritos e m função dos