Problemas de estado plano
4.4 Elementos da família de Lagrange
A família dos e le me ntos lagrange anos é assim de nominada porque as funçõe s de inte rpolação de sse s e le me ntos pode m se r facilme nte ge radas por produtos de polinômios de Lagrange . Polinômios de Lagrange de prime iro grau pode m se r obtidos com o uso das coorde nadas dos pontos notáve is ξ0 = −1 e ξ1 = 1 no
e ixo ξ, como indicado a se guir:
O polinômio de Lagrange Lξi(ξ) te m a proprie dade
de vale r 1 na coorde nada ξi e 0 nas coorde nadas ξj,
(4.107)
(4.108)
FIGURA 4.9 Polinômio de Lagrange Lξ0(ξ) para 2 pontos.
Analogame nte , polinômios de prime iro grau de Lagrange Lη0(η) e Lη1(η) pode m se r ge rados com o uso
das coorde nadas dos pontos notáve is η0 = −1 e η1 = 1 no
e ixo η como indicado a se guir:
(4.109)
(4.110)
(4.111)
de inte rpolação, també m de nominadas de funçõe s de forma, para e le me ntos finitos pode se r por me io de produtos de polinômios lagrange anos. A função de inte rpolação N1(ξ,η) no plano paramé trico para o
e le me nto quadriláte ro re pre se ntado na Figura 4.5 pode se r obtida por:
Analogame nte , as de mais funçõe s Ni(ξ,η),
(4.113)
(4.114)
(4.115)
(4.112)
Obse rve que as funçõe s de inte rpolação do e le me nto de 4 nós da família de
Lagrange são idê nticas às funçõe s de inte rpolação do e le me nto de 4 nós da família Serendipity dadas e m (4.58). Os e le me ntos são, portanto, iguais e isoparamé tricos.
Os polinômios de Lagrange do se gundo grau aqui de nominados de Lξ0(ξ), Lξ1(ξ) e Lξ2(ξ) são ge rados com
o uso das coorde nadas notáve is ξ0 = −1, ξ1 = 0 e ξ2 = 1
no e ixo ξ como indicado a se guir:
O polinômio de Lagrange Lξi(ξ) te m a proprie dade
de vale r 1 na coorde nada ξi e 0 nas coorde nadas ξj,
(4.116)
(4.117)
FIGURA 4.10 Polinômio lagrangeano Lξ0(ξ) para 3 pontos.
Analogame nte , polinômios de Lagrange Lη0(η), Lη1(η)
e Lη2(η) pode m se r ge rados com o uso das
coorde nadas dos pontos notáve is η0 = −1z, η1 = 0 e η2 = 1
(4.118)
Proce de ndo de mane ira análoga àque la utilizada com polinômios de Lagrange de prime iro grau, funçõe s de inte rpolação Ni(ξ,η) no plano paramé trico pode m
se r ge radas para o e le me nto “quadriláte ro” de 9 nós. O e le me nto pode mode lar lados curvos. O e le me nto possui 8 nós no contorno, se ndo 4 nos “vé rtice s” do “quadriláte ro” e 4 sobre os “lados” e um nó ce ntral como indicado na Figura 4.11. O nó ce ntral é ne ce ssário porque as funçõe s Ni(ξ,η) vale m ze ro e m ξ = 0 e η = 0.
(4.119)
FIGURA 4.11 Mapeamento do ponto P(ξ,η) do quadrilátero no plano paramétrico no ponto P(x, y) do “quadrilátero” de lados curvos no plano cartesiano.
A função de forma N1(ξ,η) no plano paramé trico pode
se r obtida por:
A função N1(ξ,η) que vale 1 no nó 1 e 0 nos de mais
(4.120)
(4.121)
FIGURA 4.12 Função de interpolação N1(ξ,η) do
elemento lagrangeano de 9 nós.
Analogame nte , as de mais funçõe s Ni(ξ,η), i = 2, ..., 9,
(4.122)
(4.123)
(4.124)
(4.125)
(4.126)
(4.127)
Uma ve z de finidas as funçõe s de inte rpolação Ni(ξ,η),a formulação dos e le me ntos de 4 ou 9 nós se gue
o me smo padrão do e le me nto isoparamé trico da família Serendipity. Se ndo nnos , o núme ro de nós do e le me nto, pode -se e scre ve r:
(4.128)
(4.129)
(4.130)
(4.131)
e ,
onde , xi e yi são as coorde nadas nodais do nó i
re lativas aos e ixos horizontal x e ve rtical y, re spe ctivame nte ; e ui e υi são os de slocame ntos nodais
do nó i re lativos aos e ixos x e y, re spe ctivame nte . A e xpre ssão (4.129) pode se r re e scrita como:
Onde a matriz N(ξ,η) te m a forma com nnos se ndo o núme ro de nós do e le me nto.
(4.132)
(4.133)
Usando a matriz jacobiana J(ξ,η) já utilizada nos e le me ntos da família Serendipity,
e , ge ne ralizando para um e le me nto de nnos nós, obté m-se :
(4.134)
(4.135)
(4.136)
ou, matricialme nte ,
onde os subscritos ξ e η significam a de rivada e m re lação a ξ e η, re spe ctivame nte .
Sucintame nte , a e xpre ssão (4.135) pode se r re e scrita como:
Como já visto ante riorme nte , a inve rsa da matriz jacobiana Γ(ξ,η) que como J(ξ,η) te m dime nsão 2x2, é obtida da ope ração:
(4.137)
(4.138)
(4.139)
transforma de rivadas paramé tricas de uma função e m de rivadas carte sianas da me sma função. Se ndo assim, pode -se e scre ve r:
ou, sucintame nte ,
Onde , u,c é o ve tor que conté m as de rivadas
carte sianas das compone nte s de de slocame ntos u e υ, u,p o ve tor que conté m as de rivadas paramé tricas das
compone nte s de de slocame ntos u e υ e Γu a matriz 4x4 que transforma de rivadas paramé tricas dos de slocame ntos e m de rivadas carte sianas dos de slocame ntos.
(4.140)
(4.141)
(4.142)
(4.143)
onde , DNd(ξ,η) é uma matriz que conté m as de rivadas das funçõe s de inte rpolação e m re lação às coorde nadas paramé tricas com o se guinte aspe cto:
Em analogia a (4.102) a matriz B de compatibilidade cine mática pode se r e scrita como:
Como já visto ante riorme nte , o de te rminante da matriz jacobiana é o fator de e scala que transforma a áre a e le me ntar dξdη no quadrado paramé trico e m áre a e le me ntar corre sponde nte no quadriláte ro do plano carte siano dA, como indicado a se guir.
A partir da matriz B e da e xpre ssão (4.143) pode -se obte r a matriz de rigide z como nos ite ns ante riore s. A e xpre ssão para a inte gral numé rica també m é análoga
(4.144)
(4.145)
às que foram obtidas para o e le me nto “Se re ndipidy”:
4.4.1 Condensação Da Matriz De Rigidez
Os e le me ntos da família Serendipity e lagrange ana de 4 nós com funçõe s de inte rpolação formadas por polinômios biline are s (produto de 2 funçõe s line are s) são idê nticos. Todavia, o e le me nto lagrange ano cujas funçõe s de inte rpolação são formadas por produtos de polinômios quadráticos ge ra um e le me nto de 9 nós dife re nte do e le me nto Serendipity de 8 nós. O e le me nto lagrange ano de 9 nós pode , poré m, se r transformado num e le me nto de 8 nós com a e liminação do nó 9 inte rno. Usando o índice c para indicar os 8 nós do contorno e o índice i para indicar o nó inte rno 9, as e quaçõe s de e quilíbrio do e le me nto pode m se r e scritas como:Explicitando dina se gunda e quação e m (4.147),
(4.146)
(4.147)
(4.148)
(4.144)
A substituição de (4.148) na prime ira e quação e m (4.147), forne ce :
ou, sucintame nte ,
Onde , Kr é a matriz de rigide z re duzida e fr o ve tor das cargas nodais re duzidas, onde os graus de libe rdade re fe re nte s ao nó 9 foram e xcluídos.
A té cnica de conde nsação re duz o núme ro total de nós do e le me nto lagrange ano “quadrático” para 8, mas não o torna igual ao e le me nto Serendipity de 8 nós.