O MEF he rdou da análise matricial de e struturas re ticuladas a té cnica de montage m da matriz de rigide z global da e strutura a partir da contribuição das matrize s de rigide z local de cada e le me nto da malha.
Isso foi possíve l porque no mode lo de e le me ntos finitos, assim como na análise matricial de e struturas, a e strutura é re pre se ntada por e le me ntos cone ctados e ntre si por me io de nós. Na análise matricial de e struturas, os e le me ntos são barras com dois nós nas e xtre midade s, no mé todo dos e le me ntos finitos, e le s são polígonos ou polie dros e os nós e stão e m ge ral no contorno (normalme nte nos vé rtice s) dos e le me ntos. As palavras polígono, poliedro e vértice são usadas aqui de forma livre , uma ve z que alguns e le me ntos pode m te r lados curvos ou supe rfície s late rais curvas. Há també m a possibilidade de have r nós no inte rior do e le me nto e m alguns e le me ntos finitos, mas e sse caso també m se adapta be m à té cnica de montage m.
Duas ide ias básicas são utilizadas para a montage m da matriz de rigide z global:
a) Associar a cada nó da e strutura graus de libe rdade que de pe nde m do núme ro do nó.
Em análise de e struturas bidime nsionais, por e xe mplo, cada nó te m dois graus de libe rdade , nome adame nte de slocame nto horizontal (e ixo x) e de slocame nto ve rtical (e ixo y). Ao nó de núme ro i na e strutura são, normalme nte , associados os graus de
libe rdade 2i – 1, na dire ção horizontal, e 2i, na dire ção ve rtical. Para e struturas tridime nsionais e m que cada nó te m trê s graus de libe rdade associados, re spe ctivame nte , aos e ixos x, y e z, os de slocame ntos do nó i são associados aos graus de libe rdade 3i – 2, 3i – 1 e 3i. A Figura 3.22 e sclare ce .
FIGURA 3.22 Graus de liberdade associados ao nó i no triângulo e no tetraedro.
b) Associar a nume ração local dos nós e m cada e le me nto à nume ração global dos nós a níve l global, ou se ja, da e strutura.
A associação da nume ração local dos nós do e le me nto com a nume ração global dos nós da e strutura é fe ita pe la matriz de incidê ncia Inc. A matriz Inc indica como o e le me nto se cone cta com a e strutura.
(3.224)
Supondo-se que o mode lo da e strutura te m ne e le me ntos e que cada e le me nto te m n nós, a matriz de incidê ncia te ria ne colunas e n linhas. Se ja o e le me nto triangular de núme ro m com trê s nós nos vé rtice s do e le me nto com nume ração local 1, 2 e 3 no se ntido anti- horário (no próximo capítulo se rá mostrado porque se nume ram os nós do e le me nto triangular de ssa mane ira). A e scolha de qual se rá o nó 1 é arbitrária, mas, uma ve z de finido, as posiçõe s dos outros dois ficam de te rminadas pe la re gra do se ntido anti-horário. Na malha de e le me ntos finitos da e strutura os nós corre sponde nte s tê m nume ração 10, 12 e 15, por e xe mplo. Para e sse e xe mplo, a coluna m da matriz Inc te ria 10, 12 e 15 na prime ira, se gunda e te rce ira linha, re spe ctivame nte , como indicado a se guir:
A Figura 3.23 ilustra a re lação e ntre as nume raçõe s local e global dos nós do e le me nto.
FIGURA 3.23 Relação entre as numerações local e global dos nós do elemento m.
Com a re gra (a) os graus de libe rdade do e le me nto (local) e global se riam os indicados na Figura 3.24.
FIGURA 3.24 Relação entre os graus de liberdade local e global do elemento m.
Com as re gras (a) e (b) é possíve l agora criar uma e xpre ssão que re laciona os 6 graus de libe rdade no siste ma local com os 6 graus de libe rdade do siste ma global para os 3 nós do e le me nto m que se rão armaze nados na matriz de ponte iros dg cujo e le me nto dgi,m re pre se nta o grau de libe rdade na dire ção global
corre sponde nte ao grau de libe rdade do e le me nto i = 1,..,6 do e le me nto m = 1,...,ne, ou se ja:
(3.225)
(3.226)
Usando os valore s de incidê ncia Incde finidos na coluna m da e xpre ssão (3.224), a e xpre ssão (3.225) passa a armaze nar os se guinte s valore s:
Os valore s corre sponde nte s aos graus de libe rdade globais da e xpre ssão (3.226) são os valore s re pre se ntados na Figura 3.25.
(3.227)
Com os graus de libe rdade do siste ma global armaze nados na matriz dg pode -se proce de r a montage m siste mática da matriz de rigide z global Kg a
partir das contribuiçõe s das matrize s dos e le me ntos no siste ma local Ke como indicado a se guir:
Obse rva-se que , pe la e xpre ssão (3.227), o
te rmo da matriz de rigide z local do e le me nto m da Figura 3.25, por e xe mplo, se rá somado ao te rmo K20,29 da matriz global. Vale notar que e sse me smo
te rmo da matriz de rigide z global pode re ce be r contribuiçõe s de outros e le me ntos da malha e por isso a rigide z global de ve se r acumulada com as contribuiçõe s das matrize s de rigide z do siste ma locais dos e le me ntos.
Analogame nte , o ve tor global de cargas nodais e quivale nte s fg de ve se r acumulado com as
contribuiçõe s dos ve tore s das cargas e quivale nte s nodais que atuam no e le me nto fe pe la e xpre ssão.