Problemas de estado plano
4.3 Elementos da família
Serendipity
Um e le me nto finito é dito isoparamé trico quando as me smas funçõe s de inte rpolação são usadas para inte rpolar não ape nas grande zas cine máticas (de slocame ntos), como é usual nos e le me ntos conve ncionais, mas també m as grande zas
ge omé tricas (no caso coorde nadas). A família de sse s e le me ntos é chamada de família Serendipity, uma re fe rê ncia ao conto pe rsa infantil Os três príncipes de Serendip. Esta história conta as ave nturas de trê s príncipe s do Ce ilão, atual Sri Lanka, que viviam faze ndo de scobe rtas ine spe radas, cujos re sultados e le s não e stavam procurando re alme nte . Graças à sua capacidade de obse rvação e sagacidade , de scobriam “acide ntalme nte ” a solução para dile mas impe nsados. Essa caracte rística tornava-os e spe ciais e importante s, não ape nas por te re m um dom e spe cial, mas por te re m a me nte abe rta para as múltiplas possibilidade s.
Como se rá visto mais adiante , para um e le me nto quadrilate ral como o re pre se ntado na Figura 4.4, os campos que de scre ve m as coorde nadas carte sianas de ve m se r polinômios de 4 te rmos e m coorde nadas paramé tricas para cada coorde nada.
(4.45)
FIGURA 4.4 Elemento isoparamétrico de 4 nós da família Serendipity.
Assim, os polinômios paramé tricos são:
(4.46)
(4.47)
ou, sucintame nte ,
A e scolha de polinômios de 4 te rmos com 8 coe ficie nte s incógnitos ai pode agora se r justificada
(4.48)
(4.49)
que pode m se r re e scritas pe la e xpre ssão (4.46).
(4.50)
(4.51)
(4.52)
(4.53)
(4.54)
ouonde o ve tor d conté m os de slocame ntos nodais. Substituindo a e xpre ssão (4.51) e m (4.47), obté m-se :
ou, ainda,
se ndo,
(4.56)
(4.57)
(4.55)
Obse rvando-se as e quaçõe s (4.55) e (4.53) é possíve l e scre ve r:
Analogame nte , as coorde nadas x(ξ,η) e y(ξ,η) pode m se r e scritas e m função das coorde nadas nodais, ou se ja:
onde , xi e yi são as coorde nadas nodais e ui e υi são
os de slocame ntos nodais re lativos aos e ixos x e y, re spe ctivame nte .
(4.58)
As funçõe s de inte rpolação Ni(ξ,η) são dadas por:
As e xpre ssõe s (4.57) pe rmite m mape ar um ponto P(ξ, η) do quadrado re pre se ntado no plano paramé trico para um ponto P(x, y) no quadriláte ro re pre se ntado no plano carte siano como indicado na Figura 4.4.
A Figura 4.5 apre se nta a re pre se ntação ge omé trica da função de inte rpolação N1(ξ, η). As outras funçõe s
de inte rpolação Ni(ξ, η) são análogas a N1(ξ, η), ou se ja,
(4.59)
FIGURA 4.5 Função de interpolação N1(x, y).
Se ja uma função ϕ(x,y). Se x e y fore m de finidos conforme as e xpre ssõe s (4.56), a re lação e ntre as de rivadas de ϕ quanto às coorde nadas carte sianas e as de rivadas de ϕ no tocante às coorde nadas paramé tricas é dada pe la re gra da cade ia:
(4.60)
(4.61)
ou, matricialme nte ,
Pode -se de finir agora a matriz jacobiana J(ξ, η) como:
(4.62)
(4.63)
(4.64)
(4.65)
ou, matricialme nte ,
onde os subscritos ξ e η significam, re spe ctivame nte , a de rivada e m re lação a ξ e η.
Sucintame nte , (4.63) pode se r re e scrita como:
Obse rvando (4.60), pode -se de duzir que a inve rsa da matriz jacobiana Γ(ξ,η), dada por,
(4.66)
(4.67)
transforma de rivadas paramé tricas de ϕ e m de rivadas carte sianas de ϕ. Se ndo assim, pode -se e scre ve r:
obse rva-se que as submatrize s e m (4.66) te m dime nsão 2 × 2. Sucintame nte , a e xpre ssão (4.66) pode se r e scrita como:
onde , u,c é o ve tor que conté m as de rivadas
carte sianas das compone nte s de de slocame ntos u e υ, u,p o ve tor que conté m as de rivadas paramé tricas das
compone nte s de de slocame ntos u e υ e Γu a matriz que transforma de rivadas paramé tricas dos de slocame ntos e m de rivadas carte sianas dos de slocame ntos.
(4.71)
(4.68)
(4.69)
(4.70)
ou, sucintame nte :
se ndo d o ve tor dos de slocame ntos nodais.
Foi mostrado no Capítulo 2 que o de te rminante da matriz jacobiana é o fator de e scala que transforma a áre a e le me ntar dξdη no quadrado paramé trico e m áre a e le me ntar corre sponde nte no quadriláte ro do plano carte siano dA, como indicado a se guir.
Como visto ante riorme nte , a matriz de rigide z de um e le me nto finito qualque r pode se r obtida por:
(4.72)
(4.73)
(4.74)
onde B é a matriz de compatibilidade cine mática que transforma de slocame ntos nodais e m de formaçõe s no inte rior do e le me nto. As compone nte s do ve tor de de formaçõe s pode m se r e scritas e m função do ve tor que conté m as de rivadas dos de slocame ntos u(x, y) e v(x, y) e m re lação as coorde nadas x e y, ou se ja:
ou, sucintame nte ,
Usando-se agora (4.67) e (4.69), a e xpre ssão (4.73) pode se r re e scrita como:
O que pe rmite concluir que a e xpre ssão para a matriz de compatibilidade cine mática B(ξ,η), para o
(4.75)
(4.76)
e le me nto e m que stão, vale ,
e a matriz de rigide z pode se r dada por:
se ndo t a e spe ssura do e le me nto. Caso t
varie no inte rior do e le me nto, e le pode se r inte rpolado de forma análoga aos de slocame ntos e incorporado à inte gral A inte gração da matriz de rigide z é fe ita no plano paramé trico por inte gração numé rica porque , para o e le me nto isoparamé trico, as funçõe s e m que stão e stão de finidas ne sse e spaço.
A inte gração da matriz de rigide z é fe ita por inte gração numé rica pe lo mé todo de Gauss. Se fore m usados ng pontos de Gauss com coorde nadas paramé tricas e e pe sos de inte gração e
(4.76)
Caso a e spe ssura t varie no inte rior do e le me nto, e la pode se r inte rpolada de forma
análoga aos de slocame ntos e incorporada ao somatório que e fe tua a inte gração numé rica. O e le me nto finito isoparamé trico quadrilate ral pode te r lados curvos quando possui 8 nós, se ndo 4 nos “vé rtice s” do quadriláte ro e 4 sobre os “lados” como indicado na Figura 4.6. Isso aconte ce porque o mape ame nto do quadriláte ro de 8 nós no plano paramé trico se torna um “quadriláte ro” de lados curvos no plano carte siano como se rá mostrado adiante .
FIGURA 4.6 Elemento isoparamétrico de 8 nós da família Serendipity.
Para e sse e le me nto de 8 nós, os polinômios paramé tricos de ve m te r 8 te rmos para de scre ve r o campo de de slocame nto u(ξ, η) e 8 te rmos para de scre ve r o campo de de slocame nto υ(ξ, η). Obse rvando o triângulo de Pascal que re pre se nta os te rmos de um polinômio no plano ξ,η como indicado na Figura 4.4, pode m-se e scolhe r os se guinte s 8 te rmos para os dois campos de de slocame nto conforme indicado na Equação (4.78).
FIGURA 4.7 Triângulo da Pascal e termos do polinômio completo p(ξ, η).
A e scolha dos 6 prime iros te rmos do polinômio é obvia, pois e le s formam um polinômio de se gundo grau comple to. Para comple tar os 8 te rmos, é pre ciso e scolhe r mais 2 te rmos do te rce iro grau. A justificativa
(4.78)
(4.79)
para a e scolha dos 2 te rmos ξ2η e ξη2 pode se r dada pe lo fato de se re m simé tricos e mais ne utros dos que os te rmos ξ3 e η3 e por conte re m as duas variáve is ξ e
η. A re pre se ntação matricial forne ce :
ou, sucintame nte ,
A e scolha de polinômios de 8 te rmos com 16 coe ficie nte s incógnitos ai pode agora se r justificada
(4.81)
que pode m se r re e scritas usando-se a e xpre ssão (4.79), como:
(4.82)
(4.83)
(4.84)
(4.85)
ou, sucintame nte ,
ou
Onde o ve tor d é o ve tor dos de slocame ntos nodais. Substituindo a e xpre ssão (4.84) e m (4.80), obté m-se :
(4.89)
(4.86)
(4.87)
(4.88)
Ou, ainda, se ndo A matriz N(ξ,η) te m a forma:Obse rvando as e quaçõe s (4.87) e (4.88) é possíve l e scre ve r:
(4.90)
(4.91)
Analogame nte , as coorde nadas x(ξ, η) e y(ξ, η) pode m se r e scritas e m função das coorde nadas nodais, ou se ja:
onde , xi e yi são as coorde nadas nodais e ui e υi são
os de slocame ntos nodais re lativos aos e ixos x e y, re spe ctivame nte .
As e xpre ssõe s (4.90) pe rmite m mape ar um ponto P(ξ,η) do quadrado re pre se ntado no plano paramé trico para um ponto P(x,y) no “quadriláte ro” re pre se ntado no plano carte siano como indicado na Figura 4.6.
Na Figura 4.8, a re pre se ntação ge omé trica da função de inte rpolação N1(ξ,η) para o e le me nto de 8 nós é apre se ntada como uma combinação da função de inte rpolação N1(ξ,η)do e le me nto de 4 nós (prime iro
te rmo da e xpre ssão de N1(ξ,η) para 8 nós) e das
funçõe s N5 (ξ,η) e N8(ξ,η). As outras funçõe s de
inte rpolação Ni(ξ,η) são análogas a N1(ξ,η), ou se ja, e las
FIGURA 4.8 Funções de interpolação N1(ξ, η), N5(ξ, η) e N8(ξ, η) do elemento isoparamétrico de 8 nós.
A matriz jacobiana de finida na e xpre ssão (4.61) vale agora:
(4.92)
(4.93)
(4.94)
ou, matricialme nte ,
onde os subscritos ξ e η significam a de rivada e m re lação a ξ e η, re spe ctivame nte .
Sucintame nte , (4.93) pode se r re e scrita como:
(4.95)
(4.96)
(4.97)
(4.98)
e as de rivadas carte sianas dos de slocame ntos por:
Obse rve que as submatrize s e m (4.96) te m
dime nsão 2 × 2. Sucintame nte , (4.96) pode se r e scrita como:
As e xpre ssõe s (4.90) pe rmite m e scre ve r:
(4.100)
(4.99)
(4.101)
e , o ve tor d,
Como já visto ante riorme nte , o de te rminante da matriz jacobiana é o fator de e scala que transforma a áre a e le me ntar dξdη no quadrado paramé trico e m áre a e le me ntar corre sponde nte no quadriláte ro do plano carte siano dA, como indicado a se guir.
(4.102)
(4.103)
(4.104)
A matriz de compatibilidade cine mática é agora dada por:
E a matriz de rigide z:
se ndo t a e spe ssura do e le me nto. A
inte gração da matriz de rigide z é fe ita no plano paramé trico por inte gração numé rica pe lo Mé todo de Gauss. Se fore m usados ng pontos de Gauss com coorde nadas paramé tricas e e pe sos de inte gração e , a e xpre ssão (4.103) pode se r re e scrita como: