UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CENTRO DE EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO DOUTORADO
FUNÇÕES LINEARES NO ENSINO MÉDIO: CONTEXTUALIZAÇÕES E REPRESENTAÇÕES
Maria Betania Sabino Fernandes
João Pessoa – PB 2014
Maria Betania Sabino Fernandes
FUNÇÕES LINEARES NO ENSINO MÉDIO: CONTEXTUALIZAÇÕES E REPRESENTAÇÕES
Tese apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Educação do Centro de Educação da Universidade Federal da Paraíba (PPGE/UFPB) na linha de pesquisa: Processos de Ensino e Aprendizagem, como exigência institucional para a obtenção do grau de Doutora em Educação.
Orientadora: Dra. Rogéria Gaudencio do Rêgo
João Pessoa – PB 2014
MARIA BETANIA SABINO FERNANDES
FUNÇÕES LINEARES NO ENSINO MÉDIO: CONTEXTUALIZAÇÕES E REPRESENTAÇÕES
BANCA EXAMINADORA
_______________________________________________ Profa Dra Rogéria Gaudencio do Rêgo – UFPB
Orientadora
_______________________________________________ Profa Dra Abigail Fregni Lins– UEPB
Examinadora Externa
_______________________________________________ Profa Dra Adelaide Alves Dias – UFPB
Examinadora Interna
_______________________________________________ Prof Dr José Lamartine da Costa Barbosa – UEPB
Examinador Externo
_______________________________________________ Prof Dr José Antonio Novaes da Silva – UFPB
Examinador Interno
João Pessoa – PB 2014
Dedico...
A VOCÊ MÃE! Sem você mãe foi difícil terminar! Foi difícil terminar sem as palavras deânimo, de conforto... sem o teu afago, sem sentir tuas mãos carinhosas em meu rosto... foi difícil terminar sem o teu colo sempre disposto a proporcionar descanso... sem a tua doce presença, sem o teu sorriso acolhedor sem você a me cuidar... Foi difícil terminar sem VOCÊ! Com você aprendi a ser perseverante, lutadora, e ir
em busca dos meus objetivos, mesmo quando estes pareciam distantes... Dedico a você MÃE QUERIDA, exemplo de amor e de mulher
forte e guerreira,
a quem devo tudo que sou.
AGRADECIMENTOS
À Profa. Dra. Rogéria Gaudencio do Rêgo, pelas valiosas orientações ao longo da minha trajetória como pesquisadora. Pela paciência e companheirismo fundamentais para realização deste trabalho. Exemplo de dedicação e competência profissional.
Aos professores Dr. Iran Abreu Mendes, Dra. Adelaide Alves Dias, Dra. Abigail Fregni Lins, Dr. José Lamartine da Costa Barbosa e Dr. José Antonio Novaes da Silva, pela leitura cuidadosa e sugestões decisivas para conclusão do trabalho;
Ao Programa de Pós-Graduação em Educação da UFPB, aos funcionários, professores e coordenadores, pelos momentos de aprendizagem e acolhimento, durante todo o Doutorado;
Às colegas da turma 30 do Doutorado, pelos momentos de experiências compartilhadas e de descontração;
Aos professores participantes do presente estudo, por se disponibilizarem a contribuir com a pesquisa, pela receptividade e disponibilidade, fundamentais para concretização desse estudo;
À minha MÃE (in memorian), grande incentivadora de todos os meus projetos, sempre pronta, com zelo e amor, a me apoiar;
Aos meus queridos filhos Steved, João Pedro, Ramon e Ana Luíza, meu orgulho, pelo apoio, gestos de carinho, colaboração e amor sempre demonstrados;
Aos meus netinhos Bernardo e Leonardo, meus amores, por me fazer sorrir, por me proporcionar bons momentos, quando tantas vezes me senti cansada e sem forças;
Às minhas irmãs queridas: Berenice, Ruth, Rubenice, Reginete, Railda, Rosineide e Rosilene, pela atenção, presença amorosa e principalmente pelo estímulo nos momentos difíceis;
Às minhas noras Luciana e Myrna, pela torcida, compreensão e carinho demonstrados;
A Deus, meu maior agradecimento, pela proteção, conforto e fortalecimento, por me proporcionar a oportunidade de concretizar esse importante momento da minha trajetória profissional.
FERNANDES, Maria Betania Sabino. Funções Lineares no Ensino Médio: contextualizações e representações. 2014. 181 p. Tese (Doutorado) – Universidade Federal da Paraíba, João Pessoa, 2014.
RESUMO
O presente estudo teve como objetivo analisar as concepções e práticas da contextualização e das representações das funções lineares, por professores de Matemática do Ensino Médio. Adotamos os estudos de Gérard Vergnaud, Raymond Duval como centrais em nosso referencial teórico, além de trazermos as contribuições de outros autores. A investigação, de natureza qualitativa, foi norteada por questões que abrangiam elementos essenciais para a construção de conceitos matemáticos, as relações entre a contextualização e representações do conceito de função linear; a natureza das situações propostas quanto à potencialidade para contribuir com a ampliação do significado do conceito de função linear pelos alunos; e o papel do livro didático no trabalho dos professores. O estudo foi realizado a partir de dados coletados por meio de entrevistas; de observações da prática de sala de aula de três professores de Ensino Médio de Escolas Estaduais, localizadas na cidade de Campina Grande, na Paraíba; das anotações dos cadernos de dois alunos dos professores participantes do estudo; e dos livros didáticos por eles utilizados. Por meio das entrevistas levantamos a(s) concepção(ões) dos professores acerca dos elementos necessários à formação dos conceitos matemáticos; e sobre as contribuições das representações e da contextualização para a elaboração do conceito de função linear. A análise dos cadernos dos alunos, e das observações, possibilitou-nos apreciar o trabalho dos professores, na sala de aula, com a contextualização e as representações de uma função linear, e nos livros didáticos avaliamos as possíveis contribuições das propostas neles apresentadas, para o desenvolvimento dos elementos destacados em nossa investigação. Defendemos que as situações e as representações não podem ocorrer de forma isolada, mas compreendem elementos fundamentais na construção de conceitos matemáticos, devendo ser desenvolvidos de forma integrada. A análise das informações referentes aos professores revelaram uma compreensão limitada do que é contextualização; falta de conhecimento sobre a importância de trabalhar com situações potencializadoras do significado de um conceito e de mobilizar simultaneamente mais de um tipo de representação, na construção de um conceito matemático pelo aluno. Os livros didáticos pouco avançam na proposta de trabalho com as representações de uma função linear em uma abordagem contextualizada, na perspectiva que aqui defendemos.
Palavras-chave: Matemática. Ensino. Campos Conceituais. Representações. Contextualização. Significado.
FERNANDES, Maria Betania Sabino. Linear Functions in High School: contextualization and representations. 2014. 181 p. PhD Thesis Federal University of Paraíba, João Pessoa, 2014.
ABSTRACT
The present study has had as its aim to analyze conceptions and practices of contextualization and representations of linear functions, by Mathematics teachers in High School. We have adopted studies from Gérard Vergnaud, Raymond Duval as our theoretical reference center, besides bringing other writers’ contributions as well. The investigation, with qualitative level, was led by questions comprising essential elements for Mathematical concepts constructions, relations between contextualization and representations of linear function concept, the nature of proposed situations as far as potentiality in order to contribute to increase the meaning of the linear function concept by the students, and the role of class books in the job of the teachers. The study was made from data collected through interviews, by observing classroom practice with three teachers at state public High Schools located in the city of Campina Grande, Paraiba state, from notebooks notes of two students of those related teachers participants of the study, and with class books used by them. Along the interviews, we could highlight the teachers’ conceptions about the necessary elements to Mathematical concept formation, and about contributions of the representations and contextualization for elaborating the concept of linear function. The analysis on the students’ notebooks and the observations allowed us have an overview on the teachers’ work, in the classroom, with the contextualization and representations of a linear function, and about the class books, we checked possible contributions of the proposals presented in them, for the developments of elements remarked in our investigation. We can hold that the situations and representations cannot happen in an isolated way, but they imply in fundamental elements in the constructions of mathematical concepts, which must be developed in a integrated way. The analysis of information referent to the teachers revealed an limited comprehension of which can be said as contextualization, lack of knowledge about the importance of working with potentiating situations of the meaning of a concept, and lack of skill to mobilize more than a kind of representation simultaneously, in the construction of a mathematical concept by the student. The class books go further just a little on the proposal of work, with representations of a linear function in a contextualized approach, in the perspective that we come to support here.
Key words: Mathematics. Teaching. Conceptual Fields. Representations. Contextualization . Meaning.
FERNANDES, Maria Betania Sabino. Funciones Lineares en la Enseñanza Secundaria: contextualizaciones y representaciones. 2014. 181 p. Tesis (Doctorado) – Universidade Federal de Paraíba, João Pessoa, 2014.
RESUMEN
El presente estudio tuvo como objetivo analizar las concepciones y prácticas de la contextualización y de las representaciones de las funciones lineares, por profesores de Matemáticas de la Enseñanza Secundaria. Adoptamos los estudios de Gérard Vergnaud, Raymond Duval como centrales en nuestro referencial teórico, además de traer las contribuciones de otros autores. La investigación, de naturaleza cualitativa, fue norteada por cuestiones que alcanzaban elementos esenciales para la construcción de conceptos matemáticos, a relaciones entre la contextualización y representaciones del concepto de función linear; la naturaleza de las situaciones propuestas cuanto a la potencialidad para contribuir para la ampliación del significado del concepto de función linear por los alumnos; y el papel del libro didáctico en el trabajo de los profesores. El estudio fue realizado a partir de datos colectados por medio de entrevistas, de observaciones de la práctica de clase de aula de tres profesores de la Enseñanza Secundaria de Escuelas Estatales, ubicadas en la ciudad de Campina Grande, en Paraíba; de las anotaciones de los cuadernos de dos alumnos de los profesores participantes del estudio; y de los libros didácticos por ellos utilizados. Por medio de las entrevistas levantamos la(s) concepción(es) de los profesores acerca de los elementos necesarios a la formación de los conceptos matemáticos; y sobre las contribuciones de las representaciones y de contextualización para la elaboración del concepto de función linear. El análisis de los cuadernos de los alumnos, y las observaciones, nos posibilitó apreciar el trabajo de los profesores, en aula de clase, con la contextualización y las representaciones de una función linear, y en los libros didácticos, evaluamos las posibles contribuciones de las propuestas en ellos presentadas, para el desarrollo de los elementos destacados en nuestra investigación. Defendemos que las situaciones y las representaciones no pueden ocurrir de forma aislada, pero comprenden elementos fundamentales en la construcción de conceptos matemáticos, debiendo ser desarrollados de forma integrada. El análisis de las informaciones referentes a los profesores revelaron una comprensión limitada de lo que es contextualización; falta de conocimiento sobre la importancia de trabajar con situaciones potenciadoras del significado de un concepto y de movilizar simultáneamente más de un tipo de representación, en la construcción de un concepto matemático por el alumno. Los libros didácticos poco avanzan en la propuesta de trabajo con las representaciones de una función linear en un abordaje contextualizada, en la perspectiva que aquí defendemos.
Palabras-llave: Matemáticas. Enseñanza. Campos Conceptuales. Representaciones. Contextualización. Significado.
SUMÁRIO
RESUMO ……….... i
ABSTRACT ... ii
RESUMEN ... iii
1. O PERCURSO INICIAL DE NOSSA PESQUISA ... 12
1.1 SITUANDO NOSSA TEMÁTICA: O ENSINO DE FUNÇÕES ... 17
1.2 PESQUISAS ENVOLVENDO O ENSINO/APRENDIZAGEM DO CONCEITO DE FUNÇÃO ... 27
1.3 METODOLOGIA ADOTADA NA INVESTIGAÇÃO ... 29
1.4 CRITÉRIOS DE ANÁLISE ... 32
1.5 A ESTRUTURA DO TRABALHO ... 33
2. A TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS: CONTRIBUIÇÕES PARA NOSSA INVESTIGAÇÃO ... 36
2.1. A CONSTRUÇÃO DE CONCEITOS MATEMÁTICOS ... 37
2.1.1 Conceitos e Esquemas ... 39
2.1.2 Invariantes Operatórios ... 43
2.2 CAMPOS CONCEITUAIS ... 47
2.2.1 A definição de Campos Conceituais ... 47
2.2.2 O papel das situações nos Campos Conceituais ... 49
2.3 SIGNIFICADOS E SIGNIFICANTES ... 52
3. A TEORIA DAS REPRESENTAÇÕES DE DUVAL ... 59
3.1 AS REPRESENTAÇÕES E A ELABORAÇÃO DE CONCEITOS MATEMÁTICOS. 59 4. A CONTEXTUALIZAÇÃO E PRODUÇÃO DE SENTIDO ... 73
4.1 A CONTEXTUALIZAÇÃO NOS DOCUMENTOS CURRICULARES OFICIAIS DIRECIONADOS À MATEMÁTICA DO ENSINO MÉDIO ... 73
4.1.1 Considerações sobre a compreensão de contextualização
apresentada nos documentos curriculares oficiais ... 84
4.2 A CONTEXTUALIZAÇÃO NO ENSINO DE MATEMÁTICA ... 87
4.2.1 Contextualização: ampliando o conceito ... 87
4.2.2 Contextualização e construção do significado ... 94
5. O ENSINO DE FUNÇÃO LINEAR: CONTEXTOS E REPRESENTAÇÕES ... 97
5.1 OS PARTICIPANTES DA PESQUISA ... 99
5.2 CONCEITOS, REPRESENTAÇÕES E CONTEXTUALIZAÇÃO: AS CONCEPÇÕES DOS PARTICIPANTES ... 100
5.2.1 Contextualização e Aprendizagem ... 107
5.2.1.1 A experiência com a contextualização ... 107
5.2.2 As representações e a aprendizagem: o que revela a fala dos professores? 118 5.3 OS CONTEXTOS DE ENSINO ... 121
5.3.1 O que revelam os livros e os cadernos dos alunos? ... 129
5.3.1.1 As situações presentes nos livros didáticos ... 132
5.3.1.2 Os registros dos cadernos dos alunos ... 144
5.4 A MOBILIZAÇÃO SIMULTÂNEA DAS REPRESENTAÇÕES ... 151
5.4.1 A mobilização simultânea nos livros didáticos ... 152
5.4.2 A mobilização simultânea nos registros dos cadernos ... 155
5.5 AS SALAS DE AULAS: OS FAZERES DOS PROFESSORES ... 158
CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 165
REFERÊNCIAS ... 172
1. O PERCURSO INICIAL DE NOSSA PESQUISA
Ao propormos investigar determinado fenômeno, é importante destacarmos os motivos que nos impulsionaram a aprofundar nossos conhecimentos sobre ele. Nosso interesse está direcionado às ações dos professores, fruto de suas concepções, ao desenvolverem seu trabalho em sala de aula, entendendo-os como mediadores cuja tarefa central compreende ajudar os alunos a desenvolverem seus esquemas e representações, de modo que possam tornar-se capazes de enfrentar situações cada vez mais complexas (MOREIRA, 2004).
O acompanhamento aos professores como assessora pedagógica da rede Municipal de Campina Grande nos fez perceber que o ensino da Matemática tem apresentado pouco significado para os alunos, que enxerga pouca utilidade prática para aquilo que se aprende. Sabemos que é papel da escola levar os alunos a perceberem as relações existentes entre o conhecimento escolar e o mundo, no entanto, o que se constata é que situações reais não costumam ser discutidas em sala de aula.
As situações apresentadas são muitas vezes artificiais e dificultam o acesso dos alunos ao mundo real. Além disso, não têm funcionado como problemas para os quais os alunos se sintam motivados a buscar uma forma de resolver, o que poderia proporcionar seu desenvolvimento cognitivo. Representam apenas uma tarefa a ser cumprida, simplesmente por ter sido sugerida pelo professor.
Além disso, por percebermos que o termo contextualização tem se apresentado com freqüência nas propostas curriculares nacionais de Matemática e que essa discussão vem influenciando fortemente a prática dos professores, buscamos ampliar a fundamentação teórica para sustentação dessa prática e realizar investigações envolvendo essa temática.
Esta percepção nos impulsionou, em um primeiro momento, a pesquisar sobre a prática de contextualização dos professores, uma vez que compreendemos que os conteúdos apresentados para os alunos em forma de contextos diversos podem efetivamente contribuir para a atribuição de significado para os conceitos estudados.
Assim, a partir da concepção que o ensino da Matemática deve ter como eixo principal situações contextualizadas, considerando que é por meio delas que os alunos irão atribuir significado à aprendizagem de um conceito matemático, em
2005, objetivando o aprofundamento da referida temática defendemos, no Programa de Pós-Graduação da Universidade Federal da Paraíba, o trabalho de dissertação: “Contextualização e o ensino de Matemática: um estudo de caso”.
Através desse estudo pudemos aprofundar nossa compreensão acerca do que significa contextualizar no processo de ensino da Matemática, bem como o papel da contextualização na construção de conceitos matemáticos, e ainda analisar a compreensão dos professores sobre contextualização e o modo como esse processo tem se concretizado na sala de aula.
A pesquisa foi realizada a partir de observações sistêmicas dos processos de ensino e de aprendizagem em sala de aula e de entrevistas, que nos possibilitaram identificar as concepções dos docentes acerca do que significa desenvolver um trabalho contextualizado, além da análise dos cadernos dos alunos, escolhidos como instrumentos para que pudéssemos verificar como os professores contextualizavam os conteúdos ministrados em sala de aula.
Da etapa inicial da pesquisa constatamos concepções pouco claras por parte dos professores sobre contextualização, em seus depoimentos. As considerações apresentadas, ao serem questionados quanto ao que consideram que é “contextualizar”, estão transcritas em seguida:
[...] é pegar o conteúdo da disciplina e aplicar na vida prática do aluno, sair dos livros e trazer o conteúdo para o dia-a-dia para o cotidiano [...] é dizer para que serve a Matemática, onde é que eu utilizo a Matemática...para tornar a aula mais dinâmica, eu tenho que mostrar aplicações... (PROFESSOR 1).
[...] é inserir, é colocar como se fosse parceria, acho que contextualizar é inserir essa parceria, é agregar um conteúdo no outro... (PROFESSOR 2).
A ideia que o primeiro professor tem acerca da contextualização, como sendo um meio de mostrar a aplicabilidade da Matemática, de trazer o conteúdo para o dia a dia, está fortemente atrelada ao aspecto utilitário da disciplina que ministra. O segundo professor associa a contextualização a aspectos pertinentes ao campo da própria Matemática, vislumbrando sua concretização no entrelaçamento entre os conteúdos apresentados na disciplina, ou dela com outras disciplinas do currículo.
Desse estudo surgiram outras inquietações, no sentido de buscar compreender melhor as contribuições da contextualização no fazer pedagógico dos
professores de Matemática e sua contribuição para a aprendizagem dos alunos, visto que, nossa prática de ensino da Matemática, desenvolvida de forma contextualizada, tem apresentado resultados favoráveis nessa direção.
Além disso, os momentos de discussão com o grupo que forma a área de Matemática da escola onde atuávamos, levou-nos a perceber a pouca preocupação de alguns membros da equipe em propor um ensino que possibilite aos alunos atribuir maior significado para o que se ensina na escola. Percebemos, ainda, a preocupação excessiva com apresentações excessivamente formais, baseada na apresentação de definições e exemplos, procedimento que ignora o que há de mais importante no processo de ensino-aprendizagem, que é a compreensão.
Surgiu, a partir daí, a necessidade de ampliarmos nosso estudo anterior, tendo como ideia central para sua realização a análise de dois aspectos fundamentais, a contextualização e as representações, na prática de ensino do professor de Matemática do Ensino Médio. A seleção do trabalho com esse nível de escolaridade se deve ao momento histórico particular que estamos vivenciando, de reestruturações e de demandas de novos paradigmas educacionais.
Nosso foco de discussão se deu em torno do conceito de função, e a opção pela análise da relação contextualização e representações, tendo como referência o tema função, está relacionada à notável relevância desse conceito no ensino da Matemática no nível Médio da Educação Básica, em razão de seu potencial para estabelecer conexões entre diversos conceitos matemáticos e nas aplicações dentro ou fora da Matemática (BRAGA, 2006).
Os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática para o Ensino Médio (PCNEM) destacam que, além de possibilitar conexões internas à própria Matemática, o conceito de função desempenha importante papel para descrever, estudar através da leitura, interpretação e construção de gráficos o comportamento de determinados fenômenos do cotidiano e de outras áreas do conhecimento. Nesse sentido, cabe, portanto, ao ensino da Matemática:
Garantir que o aluno adquira certa flexibilidade para lidar com o conceito de função em situações diversas e, nesse sentido, através de uma variedade de situações problema de Matemática e de outras áreas, o aluno pode ser incentivado a buscar a solução, ajustando seus conhecimentos sobre funções para construir um
modelo para interpretação e investigação em Matemática (BRASIL, 2000, p. 44).
Outra razão que explica o interesse pelo tema está relacionada ao elevado número de pesquisas realizadas envolvendo o processo de ensino e aprendizagem de função, que evidenciam o papel que assume o ensino desse conteúdo (ARDENGHI, 2008). Além de sua importância como eixo articulador de conteúdos, principalmente no Ensino Médio, constitui-se um conteúdo necessário para a aprendizagem de outros conteúdos no ensino superior, nas disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral, estudadas em cursos de Ciências Exatas, Sociais Aplicadas e outros.
Nossa pretensão, ao desenvolver o presente estudo, envolveu responder às seguintes questões:
O trabalho desenvolvido em sala de aula tem favorecido as conexões do conceito de função linear com outros conteúdos matemáticos, com outras áreas de conhecimento e com as aplicações cotidianas?
As situações propostas pelos professores têm potencial para contribuir para a ampliação do significado do conceito de função pelos alunos?
Quais e de que modo as representações relacionadas ao conceito de função linear têm sido exploradas pelos professores em sala de aula? Quais as concepções que os professores têm acerca da
contextualização e representações do conceito de função e a aprendizagem desse conceito?
O livro didático de Matemática tem contribuído com o trabalho pedagógico do professor ao trabalhar com os conceitos matemáticos, em particular com as funções lineares?
A partir das questões apresentadas, realizamos um estudo visando analisar a efetivação da contextualização e das representações na prática de ensino do professor de Matemática do Ensino Médio, no trabalho com o conceito de função e, em razão da amplitude desse conceito, nosso recorte delimitou as funções lineares como foco.
Como recorte teórico – epistemológico, utilizamos como elementos centrais para fundamentar as nossas reflexões acerca do fazer pedagógico dos professores, especialmente a Teoria dos Campos Conceituais de Gérard Vergnaud (1983, 1990, 1996, 1998) por definir elementos essenciais para a formação dos conceitos matemáticos entre os quais o professor deve transitar ao trabalhar o conceito de função linear.
Trazemos, ainda, a Teoria das Representações Semióticas, de Raymond Duval (2003, 2009, 2011, 2012), que discute sobre um dos elementos da tríade apresentada por Vergnaud – as representações. Nessas teorias, encontramos sustentação para responder às questões levantadas.
No processo de ensino e aprendizagem dos conceitos matemáticos as representações e as situações contextualizadas assumem papel relevante, no sentido de contribuir para que os alunos compreendam a Matemática, e atribuam maior significado para os fenômenos estudados, especificamente no que se refere ao conceito de função linear.
A nossa hipótese é a de que os professores, ao desenvolverem atividades que levem o aluno a transitar entre as diferentes representações de uma função linear, associadas a situações contextualizadas, estarão contribuindo para que o aluno construa novos invariantes operatórios1, possibilitando avanços cognitivos e ampliação do significado desse conceito matemático.
Do exposto, defendemos a tese de que considerar as diversas formas de representação e as situações contextualizadas no processo de ensino da Matemática é fundamental para que o aluno compreenda os conceitos desse campo de conhecimento, em particular, o conceito de função.
O presente estudo teve como objetivo analisar as concepções e práticas da contextualização e das representações das funções lineares, por professores de Matemática do Ensino Médio.
Considerando este objetivo geral, estabelecemos alguns objetivos específicos, dentre os quais destacamos:
Identificar as concepções do professor sobre: o conceito de função; a relação entre contextualização e aprendizagem; a relação entre representações e aprendizagem;
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Sobre esse tema trataremos adiante, no Capítulo II, ao abordarmos a teoria dos Campos Conceituais e os conjuntos de elementos responsáveis pela formação dos conceitos.
Analisar as situações didáticas propostas pelos professores nos aspectos da contextualização e das representações dessas situações, quanto à potencialização da formação do conceito de função linear;
Analisar o livro didático adotado pelos professores participantes do estudo, identificando a proposta de desenvolvimento do conteúdo funções lineares, nos aspectos das representações e da contextualização.
É importante ressaltar que o nosso objeto de estudo não esteve relacionado ao fato de verificar, a partir das atividades propostas pelos professores, se efetivamente houve aprendizagem. Procuramos analisar, a partir dos pressupostos teóricos adotados, a proposta de ensino dos professores investigados, quanto às contextualizações utilizadas e as representações exploradas, voltada à formação do conceito de função linear.
1.1 SITUANDO NOSSA TEMÁTICA: O ENSINO DE FUNÇÕES
A Matemática possui um campo de aplicação cada vez mais amplo, seja nos diversos setores de produção, seja em outras áreas de conhecimento, ou na política e nos setores de comércio e de serviços. Nosso cotidiano profissional e pessoal está impregnado de Matemática.
Nesse contexto, a tarefa dos professores dessa disciplina é proporcionar aos alunos, mediante suas ações, um ensino capaz de fazer com que eles adquiram os meios de que necessitam para seu desempenho com eficiência no campo do trabalho e nas relações políticas e sociais.
Isso exige, na construção de estratégias e no enfrentamento de desafios, saber analisar e interpretar criticamente informações complexas, que incluem dados estatísticos e o pensamento de base funcional, por meio do qual são conectadas as variáveis envolvidas em um fenômeno, cujo ensino constitui a temática central de nossa investigação.
Defendemos que o pensamento matemático é um processo que possibilita ampliarmos o entendimento daquilo que nos rodeia e, portanto, o ensino da Matemática deve ter como objetivo favorecer a estruturação do pensamento, visando ao desenvolvimento do raciocínio lógico de todos os alunos.
Além disso, também deve contribuir para que sejamos capazes de utilizar conceitos matemáticos na resolução dos mais diversos problemas e na construção de novos conceitos, sejam eles de natureza puramente matemática ou relacionados a outras áreas do conhecimento ou, ainda, às práticas do cotidiano. Ou seja, devemos garantir ao aluno o equilíbrio entre o desenvolvimento de suas capacidades intelectuais e a aplicação do conhecimento matemático na realidade que o cerca, bem como em outras áreas do conhecimento.
D’Ambrosio2
aponta dois objetivos básicos fundamentais para justificar uma Educação Matemática para todas as pessoas: ser parte da educação geral e, nesse contexto, preparar o indivíduo para a cidadania, servindo de base para aqueles que desejam seguir uma carreira em ciência e tecnologia, ambos igualmente necessários e vinculados. No entanto, o que se observa é que nenhum desses objetivos vem sendo plenamente atingidos pela maioria.
Os objetivos citados se baseiam no grande desafio que é ancorar a prática educativa nos objetivos maiores da educação, que compreendem responder aos anseios do indivíduo e prepará-lo para a vida em sociedade, com qualidade. No mesmo artigo, D’Ambrosio afirma que:
O grande desafio é, portanto, combinar o individual e o social. Não priorizar um sobre o outro, mas tratá-los como dois aspectos do comportamento humano, não excludentes, mas mutuamente essenciais. Talvez esse seja um dos temas mais fascinantes no estudo da condição humana, isto é, conciliar o individual e o social.
A História da Matemática evidencia que os conceitos dessa área de conhecimento foram sendo propostos como respostas às necessidades de cada época, isto é, foram sempre contextualizados, no tempo e no espaço. Segundo D’Ambrosio, a Matemática, cuja importância é inegável, vem sendo ensinada de forma desinteressante e obsoleta, muitas vezes sem nenhuma relação com o que as pessoas vivem.
Essa dissociação certamente justifica, pelo menos parcialmente, o baixo rendimento da maioria dos alunos na disciplina, o que tem demandado discussão e redefinição dos conteúdos a serem ensinados e dos métodos a serem adotados, de
2
Ver artigo POR QUE SE ENSINA MATEMÁTICA? Disciplina à distância, oferecida pela Sociedade Brasileira de Educação Matemática – SBEM.
modo a contribuir para que a aprendizagem matemática responda aos atuais objetivos da educação, em todos os níveis de escolaridade.
Em nosso caso, focamos nossa investigação no nível médio de formação do aluno da Educação Básica e, embora entendamos que caracterizar o ensino atual de Matemática nesse nível seja uma tarefa difícil, pelo fato de sermos um país de múltiplas diferenças regionais, com numerosos perfis escolares em termos de estrutura física, propostas pedagógicas, e perfil de professores, podemos citar uma característica comum à muitas delas: o trabalho com os conteúdos tem sido baseado na exploração de técnicas (ou algoritmos ou procedimentos).
Segundo Rêgo (2006), apesar de estarmos vivenciando um processo de mudanças, em que se modificam as concepções sobre a Matemática e seu ensino, desenvolvem-se teorias acerca de como se ensina e se aprende, surgem novos recursos educacionais que mudam a maneira de ser e pensar das pessoas bem como as demandas educativas da sociedade.
Persiste também, na maioria das nossas salas de aula, um processo de ensino influenciado por uma formação inadequada dos professores e pelas condições de trabalho docente que, na prática, pouco avançou nas últimas décadas. É comum encontrarmos docentes que ainda veem a Matemática como “um campo de conhecimento cumulativo, linear, exato e passível de ser ensinado por transmissão direta e por imitação” (RÊGO, 2000, p, 30).
Essa forma de ensino se reflete nas atividades propostas que envolvem quase sempre solicitações sobre “como fazer”, com pouca ênfase ao “porque fazer” ou “para quê fazer”. Em outras palavras, aprender Matemática se resume a aplicar fórmulas específicas a situações quase exclusivamente matemáticas e estruturadas de modo fechado.
Porém, há nos documentos que orientam a organização do Ensino Médio brasileiro, a exemplo dos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM), ou das Orientações Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (OCNEM), a defesa de uma proposta de ensino baseado em situações e atividades que oportunizem o desenvolvimento do pensamento do aluno e sua competência para posterior aplicação do que aprende na resolução de problemas gerais, e não apenas matemáticos.
A forma como o ensino da Matemática, nesse nível de escolaridade, vem sendo desenvolvido tem sido justificada como tentativa de adaptá-lo a exames
externos à escola e, segundo D’Ambrosio, muitos professores visam apenas o bom desempenho de seus alunos nesses testes, tornando-se a maior motivação para os professores não a compreensão da Matemática que os seus alunos aprenderam, mas a necessidade de treinar os alunos para o sucesso nesse tipo de exame.
Entretanto, faz-se necessário que, ao concluir o ensino médio, os alunos tenham adquirido os conhecimentos que os capacitem para o “exercício pleno da cidadania para o ingresso no mercado de trabalho, para o aprendizado de conteúdos técnicos de diversas áreas profissionais, para a compreensão de seu espaço nesta sociedade tecnológica e na transformação dela” (BRASIL, 2004, p. 40).
A defesa atual de atendimento a essas demandas acompanha o processo evolutivo da educação brasileira, particularmente marcada por reformas nacionais, dentre as quais destacamos, em relação ao ensino médio, foco de nosso estudo, a Reforma Francisco Campos3. Realizada no início da década de 1930, uma vez que antes dela não existia uma estrutura de ensino básico em uma perspectiva nacional (ROMANELLI, 1993). Cada estado da Federação tinha seu próprio sistema, sem que este estivesse atrelado ao poder central e a ausência de uma política nacional de educação levando o ensino secundário4 a ser ministrado, na maior parte do território nacional, como curso preparatório de caráter propedêutico. A reforma educacional implementada por Francisco Campos teve o mérito de ser colocada em prática no sistema educacional brasileiro, pela primeira vez, uma estrutura orgânica de caráter obrigatório ao ensino secundário, comercial e superior, dando início, segundo Romanelli (1993), à ação objetiva do Estado na
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A reforma surge em um contexto em que, o Governo Provisório de 1930, a fim de estabelecer seu regime administrativo, cria através do decreto n° 19.402, de 14/11/30, o Ministério da Educação e Saúde Pública. A esse novo Ministério competia o encaminhamento de todos os assuntos referentes ao ensino, bem como aqueles atrelados à saúde pública e à assistência hospitalar. Através desse mesmo decreto, as Instituições, Departamentos e Repartições públicas que estivessem de algum modo atrelados à área educacional ficariam vinculados a esse Ministério. O novo Ministério, sob o comando do Ministro Francisco Campos, criado com poderes amplos e com controle sobre o setor educacional, logo que surge, executa como uma das primeiras realizações a reforma conhecida como Reforma Francisco Campos, que se tornou efetiva através de um conjunto de decretos.
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O ensino secundário ou educação secundária constitui o ensino ministrado aos adolescentes, com idades que podem ir dos 10 aos 18 anos, conforme o país e o seu sistema educativo. No Brasil, historicamente foi chamado "ensino secundário" o que hoje corresponde à segunda metade do ensino fundamental (a partir do sexto ano) e ao ensino médio.
Educação. A Reforma teve Euclides Roxo como um dos principais idealizadores, cujas ideias incluíam basicamente:
[...] à fusão dos diferentes ramos da matemática, interligando-os em uma única disciplina à reestruturação de todo o currículo em torno do conceito de função e a introdução de noções de cálculo diferencial e integral para todos os alunos do secundário (ROCHA, 2005, p. 208).
A partir dessas ideias, percebemos que, embora na Lei que instituiu a Reforma Francisco Campos não houvesse uma discriminação dos conteúdos a serem lecionados em cada nível de escolaridade, Euclides Roxo tinha a intenção de colocar nacionalmente em prática, as ideias que defendia no Colégio Pedro II e que eram referência para a reestruturação nacional.
Embora não seja de nosso interesse apresentar, de forma aprofundada, aspectos históricos acerca de como o conceito de função ganhou relevância no ensino da Matemática, trazer elementos históricos que conduziram esse processo ao contexto atual torna-se necessário, ao tratar da forma como é realizado o ensino de função e do seu destaque na organização de conteúdos do ensino médio.
Euclides Roxo (1937), baseado nas interpretações do movimento de modernização do ensino da Matemática, posteriormente denominado de Movimento da Matemática Moderna, cujas sementes circulavam internacionalmente, compartilhou das ideias de Felix Klein5, que pretendia tirar o cálculo exagerado do foco das atenções, reservando para o conceito de função o papel de protagonista do ensino da Matemática.
De acordo com Roxo (1937), as discussões em torno da falta de conexão entre conteúdos trabalhados no ensino da Matemática elementar levaram Klein a apresentar, em 1893, em um Congresso Internacional de Matemática, reflexões sobre a necessidade de se adotar uma ideia de eixo axial, capaz de unificar o ensino da Matemática. Se as relações entre tais conteúdos eram conhecidas dos professores, elas não se manifestavam em seu ensino, uma vez que eram trabalhados sem associação uns com os outros.
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Matemático alemão, professor da Universidade de Gottingen e um dos impulsionadores e organizadores do primeiro movimento internacional de reforma do ensino da Matemática, no início do século XX.
Klein defendia que o conceito de função deveria ser a alma do ensino da
matemática secundária. Para ele, em torno dessa noção se agrupam todos os
conceitos importantes a ensinar em Matemática. Estas ideias foram implantadas no Brasil, atribuindo-se ao conceito de função um importante papel no ensino da Matemática no nível hoje denominado de Médio. Esta concepção está presente no livro de Roxo, Matemática na Escola Secundária (1937), principalmente quando ele enfatiza a citação de Brelish no que se refere ao ensino da Matemática:
Se o professor prestar atenção sistemática às relações funcionais em todo o curso de matemática, a verdade da afirmação de Klein que a função é a alma da matemática tomará uma significação cada vez maior (BRELISH, apud ROXO, 1937, p. 193).
Roxo utiliza outros argumentos para justificar sua defesa em torno do conceito de função, afirmando que, em vista dos principais objetivos do ensino da Matemática, é importante lembrar que não há noção mais adequada que a de função, para “formar no estudante uma mentalidade desde logo afeita à hodierna concepção dos fenômenos, tanto dos puramente científicos, como dos da vida civil” (ROXO, 1937, p.179).
Para ele, a ideia de se estabelecer uma conexão entre as várias partes da Matemática, tendo como eixo o conceito de função, não se trata apenas de um princípio didático, mas da importância que esse conceito ocupa ao contribuir para ajudar as pessoas a enfrentarem os problemas da vida. Em outras palavras, fazer as pessoas pensarem a respeito das conexões que existem entre as quantidades dependentes, poderá levá-las a pensarem de forma mais clara sobre as quantidades com as quais terá de lidar na realidade.
Além disso, Roxo destacou que o conceito de função, pela forte ligação com os problemas do cotidiano, poderá funcionar como elemento capaz de renovar a Matemática, tirando-lhe o caráter de “matéria morta e cristalizada”, como apresentada durante a escola secundária (ROXO, 1937).
O autor destaca, em seu livro, a importância do ensino de função no estudo da Álgebra, por ser esta parte da Matemática a que o ensino poderia mais facilmente se beneficiar da influência do pensamento funcional, possibilitando a ligação de diferentes pontos, dando à Álgebra mais vida e interesse reais. Também chama a atenção para o uso do conceito de função no estudo da Geometria,
defendendo que há inúmeras oportunidades para exercitar o pensamento funcional nas relações métricas no triângulo, nos polígonos regulares e no círculo, dentre outras possibilidades. Para ele, tais oportunidades não devem ser perdidas, afirmando que, mesmo de modo breve, “o professor não deve deixar de, a cada passo, falar em função, dependências, variáveis, impregnando, repetimos ainda uma vez, todo o ensino da ideia de funcionalidade” (ROXO, 1937, p.192).
Nas instruções pedagógicas estabelecidas pela Reforma Francisco Campos, Roxo defende o protagonismo que deveria ser assumido pelo conceito de função e do pensamento funcional no ensino da Matemática, para dar unidade à matéria.
A importância do conceito de função como princípio unificador para a organização do ensino secundário, segundo Braga (2006), está diretamente relacionada com o caráter prioritário que assume o desenvolvimento do pensamento funcional na formação do aluno, no sentido de possibilitar-lhe uma visão adequada e a compreensão da Matemática, adequadas ao mundo contemporâneo. Isso justifica a citação de Klein de que “o conceito de função é a alma do ensino da matemática” (BRAGA, 2006, p. 82).
As relações funcionais deveriam ser estabelecidas, sempre que possível, em todos os campos da Matemática e também entre eles, da Aritmética à Trigonometria. A proposta, a partir das discussões de Roxo, seria evitar um ensino de conteúdos isolados, sem conexões, cujos resultados ficariam comprometidos, visto que não se estaria priorizando o exercício e incorporação do senso funcional por parte do educando.
Outro argumento que sustenta a defesa de Roxo diz respeito à natureza das diferentes representações de função, uma vez que as linguagens aritmética, algébrica e geométrica se tornam ferramentas de uso permanente para se transitar entre estas representações. Além disso, como destaca a seguir:
[...] essa capacidade de o conceito de função envolver em suas representações essas diferentes linguagens o faz ímpar como elemento integrador e coordenador das diferentes partes da Matemática escolar (BRAGA, 2006, p. 82).
Roxo, ao tratar sobre a importância do conceito de função e do pensamento funcional, coloca a capacidade que tem esse conceito de estabelecer um elo unificador dos vários assuntos tratados na escola secundária; a possibilidade de
constituir um meio altamente educativo do pensamento lógico e um verdadeiro método de estudo; a possibilidade de dar mais vida e atrair mais interesse pela Matemática, permitindo não só tratar de questões da realidade do aluno, como estabelecer conexões com outras matérias.
Também defende que o desenvolvimento do conceito de função é perfeitamente acessível ao estudante do curso secundário, colocando que a ideia de funcionalidade, a ser desenvolvida da primeira à última série do curso, deve penetrar todo o ensino, e ser trazida constantemente. Para ele, o ensino do conceito deveria começar pela simples e vaga ideia de dependência, passando em seguida, “à de relacionalidade e à de funcionalidade, apresentadas sob o tríplice aspecto (tabelar, gráfico e algébrico)” (ROXO, 1937, p. 194).
No entanto, ainda nos anos 1960, sob a influência do Movimento da Matemática Moderna, surgiu outra concepção de função, abandonando-se a ideia de dependência funcional, passando uma função a ser definida como relação entre elementos de dois conjuntos, dando-se ênfase mais as interpretações estruturais, ou seja, produzidas a partir da valorização da linguagem formal, do que processuais, isto é, por processos de conexão de significativos, do ponto de vista intuitivo.
De acordo com Braga (2006), a insatisfação com os resultados do Movimento da Matemática Moderna, já nas décadas seguintes, provocou o retorno da defesa de abordagens mais processuais do conceito de função. Assim sendo, as recomendações para se trabalhar o conceito de função passaram a assumir grande semelhança com as adotadas quando da sua inserção na disciplina Matemática, criada oficialmente com a Reforma Francisco Campos, a partir da junção das áreas de Geometria, Aritmética, Álgebra e Trigonometria. (VALENTE, 2003).
Atualmente, assim como nas ideias de Euclides Roxo, ao estabelecer as instruções pedagógicas na Reforma Francisco Campos, notável relevância tem sido dada à inserção de função no Ensino Médio nas propostas oficiais que orientam esse nível de ensino, a exemplo das Orientações Curriculares para o Ensino Médio (OCNEM) e dos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM).
O texto das Orientações Curriculares para o Ensino Médio, do qual trataremos posteriormente quando discutirmos o aspecto da contextualização, traz
em uma das suas seções, denominada “Questões de conteúdo”, os conteúdos básicos organizados em quatro blocos: Números e Operações; Funções; Geometria; Análise de Dados e Probabilidade.
Essa organização dos conteúdos matemáticos evidencia o destaque do ensino de funções, que é proposto como um dos quatro eixos para o Ensino Médio e, apesar de não ter sido enfatizada a ideia de função como elo entre outros conteúdos, isto fica de certo modo explícito, ao ser discutida a necessidade de os professores trabalharem os blocos de conteúdos buscando-se uma constante articulação entre eles.
Além dessa recomendação, o texto das OCNEM traz outras orientações sobre o ensino de funções que consideramos como sendo bastante pertinentes, principalmente porque oferecem ao professor sugestões de natureza metodológica que podem contribuir para que ele concretize a proposta sugerida no referido documento. Dentre estas orientações, enfatiza a importância de priorizar uma exploração qualitativa das relações entre duas grandezas em diferentes situações, tais como: idade e altura; tempo e distância; tempo e crescimento populacional, entre outras.
O texto dos PCNEM ressalta o potencial que deve ter um tema, quando considerado como elemento articulador do trabalho com um ou vários conteúdos da Matemática. Este potencial está relacionado às possibilidades que esse tema proporciona para o estabelecimento de conexões entre diversos conceitos matemáticos e sua relevância cultural, tanto no que diz respeito às aplicações dentro ou fora da Matemática, quanto à sua importância histórica no desenvolvimento da própria ciência. Para exemplificar, é citado no documento o estudo de funções, destacando que este tema não pode ser trabalhado de forma isolada, haja vista o caráter integrador que ele possui:
O critério central [...] é o potencial de um tema permitir conexões entre os diversos conceitos matemáticos e entre diferentes formas de pensamento matemático [...]
Um primeiro exemplo disso pode ser observado em relação às funções. O ensino isolado desse tema não permite a exploração do caráter integrador que ele possui [...]
Uma parte importante da Trigonometria diz respeito às funções trigonométricas e seus gráficos. As seqüências, em especial progressões aritméticas e progressões geométricas, nada mais são que particulares funções. As propriedades de retas e parábolas estudadas em Geometria Analítica são propriedades dos gráficos
das funções correspondentes. Aspectos do estudo de polinômios e equações algébricas podem ser incluídos no estudo de funções polinomiais, enriquecendo o enfoque algébrico que é feito tradicionalmente (BRASIL, 1999, p. 255 apud BRAGA, p. 19, 2006).
Braga (2006) cita o trecho acima com a finalidade de evidenciar a semelhança de concepções entre o texto dos PCNEM, e o texto das Instruções Pedagógicas da Reforma Francisco Campos, de 1931, destacado a seguir:
A Matemática será sempre considerada como um conjunto harmônico cujas partes estão em viva e íntima correlação. A acentuação clara dos três pontos de vista – aritmético, algébrico e geométrico – não deve, por isso estabelecer barreiras intransponíveis, que impeçam o estudante de perceber as conexões entre aquelas disciplinas.
Para dar unidade à matéria, estabelecendo-se estreita correlação entre as diversas modalidades do pensamento matemático, será adotada, como ideia central do ensino a noção de função, apresentada, a princípio, intuitivamente e desenvolvida, nas séries sucessivas do curso, de modo gradativo, tanto sob a forma geométrica como sob a analítica.
[...] O ensino da Matemática será sempre animado com a acentuação dos vínculos existentes entre a matemática e o conjunto das demais disciplinas. Aludir-se-á constantemente às suas aplicações no domínio das ciências físicas e naturais, bem como no campo da técnica, preferindo-se exemplos e problemas que interessam às cogitações dos alunos (Portaria Ministerial de 30 de junho de 1931, apud BRAGA, 2006, p. 20).
O texto dos PCNEM, ainda destaca que, além de possibilitar conexões internas à própria Matemática, o conceito de função desempenha importante papel para descrever e estudar, através da leitura, interpretação e construção de gráficos, o comportamento de determinados fenômenos do cotidiano e de outras áreas do conhecimento. Nesse sentido, cabe, portanto, ao ensino da Matemática:
Garantir que o aluno adquira certa flexibilidade para lidar com o conceito de função em situações diversas e, nesse sentido, através de uma variedade de situações problema de Matemática e de outras áreas, o aluno pode ser incentivado a buscar a solução, ajustando seus conhecimentos sobre funções para construir um modelo para interpretação e investigação em Matemática (BRASIL, 1999).
Além disso, os PCNEM valorizam o desenvolvimento das habilidades relacionadas ao pensamento funcional. A orientação é que desde as primeiras séries do ensino fundamental, por meio do tema Tratamento da Informação, até o 3º Ano do Ensino Médio, nos blocos Números e Operações, Álgebra e Funções, o conceito seja trabalhado.
O que podemos concluir é que a atual compreensão de função como conteúdo capaz de estabelecer um elo unificador dos vários assuntos trabalhados na escola de Ensino Médio e permitir não só tratar de questões da realidade do aluno, como estabelecer conexões com outras áreas do conhecimento, foram justificativas utilizadas por Euclides Roxo, em 1937, na sua defesa de modernização do ensino e nas instruções pedagógicas estabelecidas por ele, na Reforma Francisco Campos, conforme já mencionamos nesse texto.
1.2 PESQUISAS ENVOLVENDO O ENSINO E A APRENDIZAGEM DO CONCEITO DE FUNÇÃO
Para Rêgo (2000), corroborando com o que defendem os autores citados anteriormente, o conceito de função possibilita a ligação entre diversos tópicos da Matemática, em especial aqueles ministrados em nível de Ensino Médio, como as Progressões Aritméticas e Geométricas, Trigonometria e Geometria Plana e Espacial, dentre outros, além de ser:
[...] um dos principais pré-requisitos para grande parte dos conteúdos desenvolvidos no Ensino Superior, uma vez que inúmeros problemas das Ciências Exatas, da Tecnologia, da Saúde e Ciências Sociais Aplicadas podem ser modelados e estudados utilizando-se funções de uma ou várias variáveis (RÊGO, 2000, p. 20).
Segundo a autora, estes aspectos justificam o lugar de destaque que os processos de ensino e aprendizagem do conceito de função têm ocupado e o crescente interesse entre as pesquisas realizadas na área de Educação Matemática. Elas evidenciam o papel que assume o ensino desse conteúdo no Ensino Médio, o que foi destacado por Ardenghi (2008), que catalogou 46
investigações de Mestrado e Doutorado envolvendo o ensino e a aprendizagem do conceito de função, realizadas no Brasil, entre 1970 e 2005.
Segundo o autor, houve um aumento dos estudos sobre função no Brasil, a partir do ano de 1997, o que, para ele, se deu pelo crescimento da Pós-Graduação no país e à ampliação do interesse pelo tema nesse período, em virtude da indicação de novos princípios norteadores do ensino da Matemática, estabelecidos em documentos como os Parâmetros Curriculares Nacionais.
Nos estudos catalogados por Ardenghi, tiveram destaque os temas: Uso de Tecnologias, representando 32,5% do total; Didática, com 30,4% das pesquisas; História e Concepção de função e Contextualização/Interdisciplinaridade, com 10,9% cada tema. Na categorização das temáticas elaborada pelo autor, há trabalhos destinados ao ensino fundamental, ao ensino médio, ao ensino superior, à História e à prática docente, sendo que a maioria deles, cerca de 58%, está relacionada ao ensino médio.
Dentre as pesquisas que participaram dos estudos de Ardenghi, destacam-se, para nós, as que abordam representações de funções e contextualização, mas em nenhuma delas os dois conceitos foram articulados, ou seja, ou os estudos tratavam apenas das representações, ou apenas da contextualização.
No primeiro caso, a importância dada às representações pelos autores das pesquisas, corrobora a nossa defesa pela necessidade de se realizar atividades que levem o aluno a transitar entre vários registros de representações como possibilidade de facilitar a compreensão do conceito de função.
Quanto à contextualização, entendemos que embora este seja um dos recursos que podem contribuir para a aprendizagem, ela não é suficiente para romper com os dogmas presentes na forma de ensino priorizada pela escola atualmente, ou seja, a contextualização, sozinha, não consegue promover a superação das dificuldades de aprendizagem dos alunos, sendo necessárias outras práticas que, associadas à contextualização, possam impulsionar mudanças mais significativas no ensino e na aprendizagem do conceito de função.
Nosso trabalho se diferencia dos citados por Ardenghi (2008), na medida em que defendemos ser fundamental articular não apenas as formas de representação de uma função, mas considerar as diferentes instâncias de contextualização do conceito. A investigação que realizamos focou apenas um dos elementos do processo, ou seja, o ensino, mas apesar desse recorte, entendemos que os
resultados que obtivemos foram bastante elucidativos e certamente contribuem para ampliar a compreensão da temática que abraçamos.
1.3 METODOLOGIA ADOTADA NA INVESTIGAÇÃO
Procurando compreender o fenômeno em estudo, primeiro buscamos identificar escolas da Rede Estadual de ensino da cidade de Campina Grande, na Paraíba, que oferecessem o Ensino Médio. Dentre as escolas com essa característica, selecionamos três delas, denominadas por Escola A, Escola B e Escola C, cujo critério de escolha foi a participação com bons resultados nos exames nacionais dos últimos anos.
A Escola A, está situada no Conjunto Álvaro Gaudêncio, uma das maiores comunidades populares de Campina Grande, localizado na zona oeste do município. Quanto à estrutura física, a escola possui espaço amplo, porém com aspecto pouco conservado.
A Escola B atende alunos do ensino fundamental e do ensino médio e está localizada no bairro do Catolé, situado na zona sul de Campina Grande. Neste bairro estão localizadas diversas escolas públicas e particulares e também universidades. Quanto aos aspectos físicos, a escola possui uma ampla estrutura, salas de aula arejadas e iluminadas e, de um modo geral, um aspecto conservado e limpo.
A escola C está localizada no bairro da Palmeira, zona norte da cidade e atende ao ensino fundamental e ensino médio. Quanto à estrutura física, a escola possui um vasto espaço. As salas de aula são amplas, porém, com aspecto deteriorado.
Participaram da pesquisa uma professora da escola A; uma professora da Escola B e um professor da escola C. O critério para escolha dos professores participantes do estudo está relacionado ao fato de todos serem professores de Matemática, das turmas de 1º ano das escolas citadas.
Levando em consideração os objetivos deste estudo, optamos por realizar uma pesquisa baseada na abordagem qualitativa, paradigma de pesquisa que trabalha com o universo de significados, motivos, aspirações, crenças, valores e atitudes, o que corresponde a um espaço mais profundo das relações dos
processos e dos fenômenos que não podem ser produzidos à operacionalização de variáveis (MINAYO, 1993).
Para Oliveira (2005), a pesquisa qualitativa é um processo de reflexão e análise da realidade, que ocorre por meio da utilização de métodos e técnicas para compreensão minuciosa do objeto de estudo em seu contexto histórico e segundo a forma como se estrutura.
Compreendendo um estudo de natureza qualitativa, caracterizamos esta pesquisa como um estudo de caso. A opção pelo estudo de caso surge da possibilidade de aprofundamento que ele oferece de entender fenômenos complexos, visto que os aspectos pesquisados estão concentrados no caso em evidência. Além disso, “em relação à pesquisa qualitativa, se enfatiza sua adequação e pertinência ao estudo da realidade socioeducativa” (ESTEBAN, 2010, p. 181).
O estudo de caso incide sempre sobre um caso em particular mas, ao ser examinado, não exclui a possibilidade de generalização (LAVILLE & DIONNE, 1999). O caso selecionado nesse estudo representa um conjunto mais amplo do qual ele é o representante e seu estudo ajudará a compreender o fenômeno aqui evidenciado.
Sobre isso, Oliveira (2005), afirma que “o estudo de caso é um método abrangente que permite se chegar a generalizações amplas baseadas em evidências e que facilita a compreensão da realidade” (p. 63).
Considerando como referência a conceituação e classificação de Oliveira acerca das principais formas de produzir novos conhecimentos, optamos por uma pesquisa do tipo descritiva, uma vez que nosso interesse esteve relacionado a descobrir e observar um fenômeno, visando sua descrição e interpretação. A pesquisa descritiva,
[...] procura analisar fatos e/ou fenômenos, fazendo uma descrição detalhada da forma como se apresentam esses fatos e fenômenos, ou mais precisamente, é uma análise em profundidade da realidade pesquisada (OLIVEIRA, 2005, p. 74).
Os instrumentos utilizados no levantamento de dados foram: entrevista; análise das atividades propostas pelos professores por meio dos cadernos dos alunos; análise do livro didático adotado pelos referidos professores em suas salas
de aula, no 1º Ano do ensino médio e ainda observações da prática dos professores participantes.
A entrevista, realizada com base em um roteiro semi-estruturado, permitiu-nos identificar as concepções dos docentes acerca dos conceitos matemáticos, especificamente do conceito de função linear e do que significa desenvolver um trabalho contextualizado com esse conceito, além de possibilitar traçar um perfil acadêmico e profissional dos participantes envolvidos no estudo. Conforme Triviños (1987), esse tipo de entrevista favorece não só a descrição dos fenômenos sociais, mas também sua explicação e a compreensão de sua totalidade, tanto dentro de sua situação específica como de situações de dimensões maiores.
Neste sentido, Laville & Dionne (1999) afirmam que a entrevista possibilita “um contato mais íntimo entre o entrevistador e o entrevistado, favorecendo assim a exploração em profundidade de seus saberes, bem como de suas representações, de suas crenças e valores” (p. 189). Portanto, não se constituiu um instrumento neutro, visto que se insere como forma de coleta de fatos relatados pelos sujeitos, enquanto atores que vivenciam uma realidade evidenciada.
Antes mesmo de realizarmos a entrevista propriamente dita, fizemos várias visitas às escolas, campo de pesquisa, com o intuito de conhecer os professores participantes e coletar informações que pudessem contribuir para a compreensão da realidade na qual se realizaria o estudo.
As entrevistas foram gravadas em áudio e transcritas, cuidadosamente, para que fosse possível registrar os depoimentos de forma fidedigna. Em nossa pesquisa, elas foram realizadas com os sujeitos da pesquisa, na sala dos professores, na sala de leitura ou na biblioteca, locais onde havia um silêncio razoável. Nesses momentos, encontravam-se presentes apenas pesquisador e entrevistado. As entrevistas foram realizadas em um clima de total tranquilidade, apesar de termos percebido, em alguns momentos, demonstração de ansiedade por parte dos entrevistados, fato que nos levou a fazer, nestes momentos, uma rápida interrupção da entrevista para que o entrevistado tivesse mais segurança nas respostas emitidas.
Outro instrumento de coleta de dados foi os cadernos de dois alunos de cada professor participante, com o objetivo de levantarmos informações relativas a dois aspectos fundamentais: o primeiro, avaliar os contextos que são propostos aos alunos, na perspectiva de ampliação do sentido dos conceitos trabalhados,
especificamente em relação ao conceito de função linear; o segundo, analisar se o modo como os professores lidam com as representações de funções lineares durante suas aulas contribui para a formação do conceito de função linear, de acordo com o referencial teórico adotado.
A escolha dos cadernos a serem analisados foi feita pelo próprio professor. Para isso, solicitamos que ele identificasse entre os seus alunos aqueles que eram mais assíduos às aulas e também mais atentos ao que era copiado no quadro. O uso do caderno do aluno como fonte de informação para pesquisas acerca do universo escolar é defendido por autores como Mignot (2008), para quem o caderno pode conter registros que possibilitam o investigador enxergar o cotidiano da sala de aula na perspectiva do professor e do aluno, indicando o processo de organização do trabalho desenvolvido.
Outro instrumento de coleta de dados foi o livro didático adotado pelos professores, utilizado como um importante recurso para suas práticas de sala de aula, influenciando fortemente seu trabalho pedagógico. Nosso interesse esteve relacionado à concepção de função nele presente e a sua proposta ao introduzir o conceito de função linear, além de verificar se as situações propostas são contextualizadas e, em caso afirmativo, de que forma isso é feito.
Nossa permanência no espaço escolar ocorreu nos meses de outubro, novembro e dezembro de 2012. Os dias e horários das visitas e entrevistas foram estabelecidos de acordo com os horários dos professores nas escolas onde exercem suas práticas. É válido salientar que, uma vez constatada a insuficiência de dados que favorecesse uma análise adequada do fenômeno estudado, tornou-se necessário voltarmos às escolas campo de pesquisa, com o intuito de complementar informações ou levantar novos dados.
1.3.1 CRITÉRIOS DE ANÁLISE
Após a fase de levantamento de dados, fundamental para o nosso estudo, iniciamos o processo de análise, que envolveu uma classificação e interpretação do material coletado. A classificação implicou em identificar se as informações registradas eram realmente pertinentes, verificando, além da pertinência, sua relevância para a pesquisa em questão. Tais informações foram agrupadas,
observando-se aspectos similares ou convergentes com o intuito de facilitar a análise dos dados pertinente ao estudo.
Nesta fase definimos as categorias de análise, decorrentes dos estudos teóricos e dos materiais que selecionamos para estudo, como os livros didáticos utilizados, as entrevistas realizadas com os professores, e os cadernos selecionados, centradas em três aspectos:
(1) as concepções dos professores acerca do conceito de função linear, sobre a relação representações/aprendizagem e sobre contextualização/aprendizagem; (2) representações e situações postas pelos livros didáticos adotados;
(3) a natureza e potencialidade das atividades desenvolvidas pelos professores em suas aulas, no ensino de função linear.
Na fase de análise, procuramos estabelecer articulações entre os dados e o referencial teórico da pesquisa, indo além da mera descrição. Analisamos as informações coletadas junto aos professores sobre a temática em questão na entrevista e por meio dos cadernos dos alunos da turma, tentando estabelecer relações de conexão entre afirmações e práticas observadas nas atividades que propõem, além de avaliar a contribuição do livro didático adotado, quanto ao trabalho com as representações do conceito de função linear e a natureza dos contextos das situações propostas.
Para dar suporte à análise dos dados, utilizamos em especial a teoria dos Campos Conceituais de Gérard Vergnaud, além do que propõe Brousseau, Pavanello e outros estudiosos sobre contextualização. Também lançamos mão de elementos da teoria de Raymond Duval, no aspecto das representações. O que pretendemos com a teoria das representações semióticas é esclarecer como as representações, elemento da tríade de Vernaud, essencial para a formação dos conceitos, devem ser trabalhadas de modo a contribuir para que os alunos compreendam os conceitos matemáticos.
1.5 A ESTRUTURA DO TRABALHO
Com o intuito de descrever de forma mais fiel possível o caminho trilhado durante o estudo, estruturamos o trabalho em capítulos, organizados da forma descrita em seguida.
