As representações e a aprendizagem: o que revela a fala dos

Quanto às representações e sua relação com a aprendizagem, por serem as representações um dos elementos da tríade responsável pela formação de conceitos, indagamos inicialmente os professores acerca de quais formas de

representação de uma função são exploradas em sua aula e de que maneira eles as exploram.

A professora Silvana afirma que trabalha com tabelas desde o início. “Nessa tabela, pode-se observar se a correspondência é uma função. Inclusive constrói a lei de formação dessa correspondência a partir da tabela”. Para ela:

[...] quando a gente vai trabalhar gráfico ele já vem trabalhando com a tabela ele já tem essa familiaridade de trabalhar com aqueles dados em uma tabela ai fica uma coisa mais organizada mais estruturada pra ele ir pro gráfico e a partir do momento que eu trabalho gráfico ai eu passo um bom tempo fazendo essa associação da forma algébrica com a forma gráfica e tudo que eu vou trabalhando a partir daí eu vou associando. Zero de uma função: trabalho o zero de uma função na forma algébrica e represento na forma gráfica (SILVANA EB).

No aspecto das representações, o professor Murilo afirmou utilizar em suas aulas mais de um tipo de representação. Segundo ele, as funções são representadas na forma gráfica, algebricamente e por meio de tabelas. O professor não fez menção à representação na linguagem usual ou por meio do diagrama de flechas.

A professora Carmem afirmou que representa as funções de três formas: por meio de diagramas, por meio de pares ordenados, que são formados a partir dessas associações de um número e outra forma é no plano cartesiano, como consta no depoimento a seguir:

Antes de mostrar ax + b tem que mostrar que existe uma coisa que está fixo lá e o outro que está dependente de outra coisa. Representação por diagramas sempre diagramas, o parzinho quando você faz essa ligação... e pelas flechas, aí você diz: cada ligaçãozinha forma um parzinho. A partir do diagrama, eu digo: eu posso representar de outro jeito, o conjunto de pares ordenados

que são associações entre um número e outro, e por fim, o plano cartesiano (CARMEM EA).

Prosseguimos perguntando a professora Carmem: há uma outra forma de

representação que você utiliza?

A sentença é o tempo todo [...] por exemplo: se eu chamar a corrida de táxi a minha corrida é o y, a quantidade de km que eu percorri é o x. Então, como é que eu posso representar isso numa lei? Então, o último passo é a lei de formação. Depois da lei é o cálculo puro (CARMEM EA).

Pela fala da professora, notamos que ela utiliza várias formas de representação. Também percebemos que a representação algébrica é a última forma de representação a ser utilizada. Ela afirma partir de uma situação cotidiana – corrida de táxi – em seguida, representa esta situação na forma algébrica, percurso que pode ser bastante positivo na prática da referida professora.

Também questionamos os professores, no aspecto das representações, se

eles consideram que utilizar várias formas de representação contribui para que o aluno aprenda mais. Segundo suas respostas:

Desde o princípio, da concepção de função você tem que dar essas várias representações. Como são duas grandezas você tem que representar de várias formas: em forma de dois conjuntos, em forma de plano cartesiano, em forma contextualizada... Quando você coloca uma situação [...] representando isso de várias maneiras o aluno entende melhor o conceito, ele aprende mais. Para estar preparado, o aluno ele tem que estar com todas as armas possíveis, tem que saber todas as portas de saída para uma questão. Eu digo sempre, se você se preparar com as várias formas que existem para resolver uma questão, vai colocá-las em ação no momento certo. Como na vida, eu digo que a Matemática é um bom ensino para a vida, a gente tem que estar pronto para quando se deparar com o problema, quando a gente tem todas as saídas a gente acaba resolvendo (CARMEM EA).

Eu acho bem importante trabalhar com várias representações para formar o conceito de função de forma mais significativa e correta mesmo, porque o aluno tem uma tendência a associar função a uma equação então se você não chamar sempre a atenção dele...se a atividade é sobre gráfico, faz uma chamada em relação

as outras representações dela mesmo que não esteja abordando na atividade naquele momento, faz questionamento tipo: como seria o gráfico dessa situação? Se eles têm essas informações, dependendo do problema ele vai saber qual daquelas representações é mais conveniente para resolver aquele problema, qual caminho é mais eficiente para resolver aquilo, porque com certeza tem problema que o caminho da representação gráfica vai ser muito mais feliz do que se ele utilizar outro caminho... (SILVANA EB).

Utilizo nas funções mais o modo algébrico e o gráfico. Eles estão interligados. Ele precisa por causa do ENEM e vestibulares e também no cotidiano. Representar das duas formas ajuda o aluno a entender melhor ajuda a ampliar o conceito, a compreensão do conceito de função linear. Dependendo da função a gente uma hora usa as duas formas, outra hora representa só algebricamente... Às vezes, quando você mostra a outra forma, ele diz: “agora eu

entendi” (MURILO EC).

Pelo que percebemos a partir das falas dos professores, todos reconhecem a importância de mobilizar mais de uma forma de representação ao trabalhar com o conceito de função linear, reconhecendo também que os alunos serão mais eficientes quanto à resolução de problemas que abrangem a compreensão desse conceito quando dominarem outras possibilidades de resolução da questão, além do modo algébrico.

Representar um conceito utilizando mais de uma forma de representação pode permitir efetuar certos tratamentos de uma maneira muito mais econômica e eficiente. Como destaca Duval, a diversidade dos registros de representação semiótica:

[...] contribui para o funcionamento do pensamento, geralmente explicada pelas diferenças de custo ou de limitação para a função de tratamento, e por aquelas possibilidades de apresentar para a função de comunicação que existem entre os registros (DUVAL, 2009, p. 80).

A mudança de registros, segundo Duval, constitui uma variável cognitiva que se revela didaticamente fundamental, uma vez que ela facilita consideravelmente a aprendizagem ou favorece procedimentos de interpretação. Apesar de existirem argumentos diversos em torno da consideração acerca de que

a atividade conceitual não depende da atividade semiótica, há, para Duval, uma persistência do fenômeno de compartimentalização dos registros e sua estreita ligação com dificuldades de compreensão conceitual. Isto quer dizer que a atividade conceitual implica a coordenação dos registros de representação. O que queremos enfatizar é que os sujeitos sejam capazes de atingir, não apenas no caso das funções lineares, mas em relação a outros conceitos:

[...] o nível da coordenação de representações semioticamente heterogêneas, para que ele possa discriminar o representante e o representado ou a representação e o conteúdo conceitual que essa representação exprime, instancia ou ilustra (DUVAL, 2009, p. 82).

Assim, faz-se necessário enfatizar, a partir desta compreensão, a utilização de diversas formas de representações ao tratar de um conceito matemático, de modo que elas possam contribuir para que os alunos compreendam o conceito estudado.

5.3 OS CONTEXTOS DE ENSINO

Buscando entender melhor a forma como os professores conduzem o trabalho em sala de aula para que os alunos apreendam o conceito de função, perguntamos sobre “qual sequência de passos você segue ao trabalhar um

conceito matemático”; “a sequência de passos para ensinar o conteúdo funções lineares” e sobre quais “recursos específicos” utiliza para trabalhar funções lineares. Estes questionamentos foram importantes na realização da análise das

práticas desenvolvidas pelos professores.

Quanto à primeira questão, a professora Silvana afirmou:

[...] Não há receita. Tem conteúdo que dá para começar com alguns problemas e é possível ir formulando alguns conceitos. Já tem conteúdo que a gente já começa em um ritmo diferente e tem conteúdo que foca tanto em revisão e tem que revisar tantas coisas, que a gente termina apresentando mesmo aquele conceito e trabalhando de forma mais prática (SILVANA EB).

A professora continuou explicando como faz essas apresentações, ou o que seria essa forma mais prática, afirmando que:

[...] dependendo da situação a gente já coloca fórmulas, propriedades, definições e tem conteúdo que dá para trabalhar de forma mais adequada, que seria a gente colocar situações – problema e ir despertando alguns questionamentos e a partir daí a gente ir consolidando, ir estruturando, até chegar a uma definição mais formal do conceito. Eu tento tomar esse caminho, mas, em algumas situações não é possível. Não é possível por conta dessa falta de base que complica e em outras situações não dá porque é um conteúdo mais seco que não propicia muito a contextualização. É a Matemática para a Matemática, é um conteúdo de mais interesse da própria Matemática mesmo do que para ser aplicado em situações (SILVANA EB).

Quando se refere a uma perspectiva mais prática a professora não considera a forma como o conteúdo é desenvolvido, mas como realizar o trabalho didático de modo mais direto, por meio do enunciado de definições, a apresentação de exemplos e a aplicação direta de fórmulas.

A professora Carmem considera, como elemento essencial, mostrar a importância do conteúdo e seu surgimento, cita esse aspecto também quando coloca a sequência de passos para trabalhar um conteúdo matemático. Além disso, ela afirma que trabalha os conhecimentos prévios que considera necessários para que os alunos aprendam o conceito que pretende desenvolver naquele momento, conforme destacamos a seguir:

Em primeiro lugar a importância. A gente aprende por aprender? Não! Teve a importância na história vai ter importância para outras ciências. E o que é que você tem que saber, o conhecimento prévio. Uma coisa importantíssima que eu volto mesmo, se o aluno tem que saber de uma coisa importante, com certeza eu volto. Não adianta começar a dar y = ax + b como função de 1º grau se ele não tem noção do que é uma relação, se ele não tem noção do que é plano cartesiano, a necessidade que se surgiu, de que surgiu a função de 1º grau a de 2º grau. Você vai mostrar que a função tem um nome, são várias funções - vai ter um nome e vai ter uma figura que simboliza aquela equação, não é? Ele (o aluno) tem que conhecer o que é polinômio de 1º grau, um polinômio de 2º grau, conhecer uma estrutura Matemática, uma expressão Matemática, o nome daquela função [...] (CARMEM EA).

Quanto aos conhecimentos que a professora considera importantes que os alunos dominem ao ministrar um conteúdo para que os alunos compreendam o conteúdo que ela pretende ensinar, ela afirma que é feita uma revisão ou, ainda, procura ensinar aquilo que o aluno não domina.

Sobre este aspecto, a professora Silvana assume que o ideal seria propor algumas questões problematizadoras e, a partir delas, ir formulando conceitos. No entanto, ressalta os empecilhos causados pela falta de base dos alunos, fato que a leva a iniciar sempre o trabalho com revisões de conteúdos de anos próprios de anos anteriores.

Destacamos a preocupação das professoras como uma postura que deve fazer parte da prática de todos os professores de Matemática, ao contrário de uma postura em que o professor considera apenas o conteúdo que é próprio da série que está ensinando, não sendo sua responsabilidade os conteúdos não aprendidos antes, mas que precisaria saber para avançar na aprendizagem.

Em seu depoimento, o professor Murilo relatou a seguinte sequência de passos:

Primeiro trabalho o conceito, a definição, ou como nós vamos iniciar aquilo ali. Depois, apresento exemplos. Exemplificações, resoluções, logo após a retirada de dúvidas. Se algum aluno tem dúvidas do que foi introduzido naquele momento, e depois alguns exercícios. Resolvo alguns e depois coloco desafios para que eles façam do livro didático (MURILO EC).

O professor mais uma vez deixa evidente sua concepção restrita de conceito como sinônimo de definição. Além disso, segue a sequência de passos colocada pela maioria dos livros didáticos mais tradicionais: primeiro coloca a definição, em seguida faz exemplos e, por fim, sugere alguns exercícios. Esse depoimento contraria a resposta dada pelo professor quando ele falou que traria situações do dia a dia para que o aluno entendesse onde iria aplicar o conteúdo que está aprendendo.

Em seguida, perguntamos aos professores qual sequência de passos eles

seguem para ensinar o conteúdo funções lineares e os recursos utilizados para desenvolver esse conteúdo. A professora Silvana deu-nos a seguinte resposta:

Para ensinar função geralmente eu nunca utilizo o livro no primeiro momento. Eu sempre tomo um caminho que eu possa perceber o que é que o aluno está entendendo daquilo, se ele tem conhecimento dos pré-requisitos necessários e aí parto de uma revisão até chegar ao ponto de início mesmo do trabalho ou a gente parte de situações. E aí para ensinar função eu trabalho várias aulas, situações de correspondência, situações de cotidiano de

correspondência e depois que a gente trabalha essa ideia de correspondência, os alunos vão propondo várias situações onde eles percebem correspondência onde não percebem correspondência, depois onde acontece o padrão nessas correspondências, onde eles identificam esses padrões (SILVANA EB).

Quanto ao uso de recursos específicos, a professora afirmou:

Eu nunca trabalhei com material concreto. A gente trabalha com algumas ideias que o aluno vem trazendo, com situações em que eles observam correspondência depois a gente trabalha esse padrão e essa correspondência que eles observam e a partir daí trabalho o conceito de variável e a gente vai estruturando uma lei de formação para isso e a partir desse trabalho com lei de formação os alunos vão trazendo situações que eles gostariam de trabalhar. Isso pode ser uma situação que envolve uma feira para se trabalhar com o valor pago nas compras de alguns produtos ou então a gente trabalha alguma situação. Só depois dessa etapa é que a gente vai trabalhar alguns elementos como domínio, nesse momento que a gente está trabalhando uma situação mais real, como por exemplo podemos citar a experiência que a gente teve com a feira, situação em que eles construíram tabelas com os valores de alguns produtos com unidades de medidas para cada produto, então a gente vai observando a variável dependente, a que conjunto essa variável pertence [...] (SILVANA EB).

A professora citou uma situação de compra para explicar como desenvolve esse trabalho:

[...] então se eles estão trabalhando com coentro: ele tem um molho de coentro, dois molhos de coentro, mas se eles estão trabalhando com macaxeira, ele tem: 1,000 kg de macaxeira, 1,500 kg de macaxeira, 1,200 kg de macaxeira, então aquela variável independente pode assumir alguns valores que no caso dos molhos de coentro não assumiria, então eu trabalho domínio e contradomínio, ou seja, toda essa parte de função sem está especificando função afim, função quadrática, função modular, não trabalho com o tipo dela eu trabalho com todos os elementos de função que eu posso trabalhar em qualquer situação de função. Quando vou trabalhar especificamente a função afim, função quadrática e as outras funções é que a gente vai trabalhar com alguns outros elementos. Depois introduzimos os gráficos e nesse trabalho com gráficos eu trabalho com todos os elementos possíveis de serem trabalhados por meio de gráfico, independente da função (SILVANA EB).

Por meio desse exemplo, ficou claro que o percurso metodológico utilizado nas aulas, inclui trazer uma situação problematizadora que leve os alunos, por meio de discussão e análise, às representações dessa situação e, por fim, à elaboração de conceitos, considerando que o processo percorrido contribui para que isto aconteça. Embora ela não tenha deixado claro quais os elementos que considera importantes ao trabalhar um conceito matemático (resposta da questão anterior), ficou evidente que ela considera outros elementos além das situações, ao descrever as representações que vai introduzindo à medida que vai trabalhando as situações.

Com relação à sequência de passos utilizada para trabalhar função linear, a professora Carmem respondeu que, na sua sala de aula, trabalha da seguinte forma:

Na função de 1º grau eu começo contextualizando antes de dar ax + b. Imediatamente, para dar função linear eu não começo com ax + b. Eu começo a trabalhar as questões de contextualização: o preço da carne, por exemplo (CARMEM EA).

Por não ter ficado claro a sequência de passos utilizada pela professora Carmem para ensinar função linear, solicitamos que ela destacasse alguns detalhes do processo realizado por ela ao trabalhar esse conteúdo.

Em termos de passos, trabalhei as situações, no quadro - é sempre quadro. Eu não peguei no livro ainda. Tudo isso que eu trabalho é fora do livro, porque o livro às vezes está muito limitado. Então eu sempre trabalho isso antes de ir para o livro. Quando eles vão para o livro já estão com a cabeça clara (já compreenderam o que está sendo trabalhado). Então eles vão entender bem direitinho o que eu já tinha feito, inclusive eu já tinha feito meus próprios exemplos. Aí a gente faz as atividades do livro, inclusive eu trabalho, no ensino médio, as atividades do livro (CARMEM EA).

Para exemplificar as situações que propõe aos alunos, a professora Carmem citou a seguinte situação:

Faço uma pesquisa com 5 alunos entre 13 e 15 anos, e eu saio perguntando aos 5, certo? Então o que é que ocorre na realidade: eu mostro que função é uma realidade que a gente aproxima da gente. Então, vejam só, eu peguei 5 alunos que possuem idades entre 13 e 15 anos. O que é que ocorre? Dois deles podem ter a mesma idade, certo? Ou até os 5 podem ter a mesma idade, ou os

5 podem ter idades variadas. Como são três idades eu coloquei 13, 14 e 15, não é isso? Eu estou fazendo uma relação entre duas grandezas não é? As pessoas e suas idades. Então veja bem o que é que pode ocorrer e o que não pode ocorrer aqui na realidade numa relação entre dois conjuntos. É uma coisa real a função é uma coisa real (CARMEM EA).

A professora continuou explicando como apresenta os elementos associados a uma função, como as noções de Domínio e Contradomínio:

Nas idades eu digo que todo elemento quando a gente vai fazer... que todo elemento domínio chamado conjunto domínio possui uma imagem, o elemento que você está ligado. Você diria que o primeiro aluno, segundo aluno...são os elementos do domínio e as idades são o contradomínio que quando eles estão relacionados com o elemento do domínio são chamados imagem, então aí eu começo a mostrar quem é a imagem do elemento A, do elemento B, significa que todo elemento do domínio possui uma imagem e ela é única, porque uma pessoa não pode ter duas idades...uma das melhores maneiras de explicar aos alunos uma relação entre dois conjuntos de função é pessoas e suas idades, eu acho muito bom porque os alunos compreendem (CARMEM EA).

Quanto aos recursos que utiliza para ministrar o conteúdo função linear, a professora Carmem respondeu que: “em termos de recursos é só o livro, o quadro e os exemplos do dia a dia e a contextualização” (CARMEM). Já o professor Murilo respondeu que: “O recurso que nós temos é o quadro, o livro, os exercícios como exemplos, nós não temos muitas opções aqui na escola pública” (MURILO EC).

Como podemos observar em algumas respostas dadas pelos professores às questões até aqui discutidas, o livro didático é mencionado com frequência. Assim, para levantarmos informações sobre o uso do livro como recurso didático, perguntamos aos professores se eles seguem o livro didático adotado quando

trabalham o conceito de função linear, se fazem mudanças e se utilizam outros

materiais para ministrar o conteúdo. A professora Silvana respondeu que:

[...] depois que a gente faz a definição matemática formal de função, são diversas aulas, só depois a gente vai para o livro, depois que a gente formaliza algumas coisas a gente vai para o livro. O livro traz muitas situações diversificadas que possibilita enriquecer meu trabalho (SILVANA EB).

A professora prosseguiu dizendo que faz mudanças. “Eu trago muitas atividades xerocadas pra eles, principalmente no início”. Para concluir a professora afirma que faz as atividades da seção Conversando, do próprio livro, o que, segundo ela, faz com que os alunos consigam falar sobre o que aprenderam: “Eu