Capítulo 2 Cargas e esforços

Capítulo 2 – Cargas e esforços

2.1 –Cargas

Até o presente momento foram adotadas apenas cargas concentradas e cargas-momento nos exemplos, no entanto, na prática, o tipo mais usual de carregamento é o distribuido. Como principal exemplo pode-se citar o peso próprio da estrutura: vigas, lajes, etc.

De uma forma geral, todas as forças aplicadas sobre uma estrutura são transmitidas através de uma superfície de contato. Uma carga é dita

concentrada

quando a área dessa superfície de contato é tão pequena que pode ser considerada nula, sem que o erro cometido com essa simplificação seja significativo para efeitos de cálculo estrutural. Caso contrário, a carga é considerada

distribuída

.

Um exemplo de carga concentrada é o caso de vigas secundárias descarregando suas reações sobre vigas principais. Neste caso, a viga principal ira ter um carregamento distribuido (proveniente do seu peso próprio e de outras solicitações contínuas) e cargas concentradas onde estão apoiadas as vigas secundárias.

2.1.1- Tipos principais de cargas distribuídas

Os tipos mais usuais de cargas distribuídas que ocorrem na prática em estruturas compostas de barras (que podem ser representadas pelos eixos longitudinais de seus elementos) são as

cargas uniformemente distribuídas e as cargas triangulares (mais comum em casos de empuxos de terra e de água). A forma de representa-las em um modelo estrutural pode ser vista abaixo:

29/6/2007 15

Carga triangular Carga uniformemente distribuída

q q

2.2- Cargas equivalentes

Para efeito deo cálculo das reações de apoio utiliza-se o conceito de cargas equivalentes para se trabalhar com a resultante de um carregamento distribuido. Como uma carga distribuída pode ser encarada como uma soma infinita de cargas concentradas aplicadas sobre áreas infinitesimais (q.ds), a resultante de um carregamento distribuído genérico como o mostrado na figura abaixo será igual a:

∫

=B A ds q R .

O ponto de aplicação dessa resultante é definido pela abscissa s do centro de gravidade dessa área.

Recordando 3 - Centros de gravidade

O centro de gravidade ou baricentro de um corpo é o ponto onde pode ser pensado que toda a massa do corpo está concentrada para o cálculo de vários efeitos relacionados com a gravidade. Em figurtas planas de massa homogênea o centro de massa coincide com o centro de gravidade. Para n partículas, cada uma com posição ri e massa mi, o centro de massa R é

dado por: q s s R q.d A B o

ou seja, a

carga equivalente

é igual à área limitada entre a curva que define a variação do carregamento e o eixo da estrutura s

∑

= m_ir_i M R 1

Onde mi é a massa de cada uma das partículas, M é a massa do corpo, ri é a posição de cada

partícula

O anexo 1 apresenta uma tabela com os centros de massa das principais figuras geométricas.

2.3 - Esforços seccionais

Até o presente momento já foram estudadas as reações de apoio através da aplicação das

equações de equilíbrio. No entanto, o principal objetivo do estudo das estruturas isostáticas é determinar de que forma as solicitações das cargas influenciam cada uma das seções de um corpo. Só a partir da quantificação destes esforços seccionais torna-se possível dimensionar uma estrutura com propriedades geométricas e materiais adequados para resistir a tais esforços.

Esforços seccionais

são os efeitos estáticos que um conjunto de cargas e reações de apoio provocam em cada uma das seções transversais da peça em estudo..

Considere-se em equilíbrio um corpo submetido a um conjunto de forças (carregamentos e reações de apoio). Ao seciona-lo por um plano P, que o intercepta segundo uma seção S, o corpo é dividido em duas partes A e B. Para manutenção do estado de equilíbrio em cada uma das partes, é necessário aplicar na seção S um sistema estaticamente equivalente ao das forças aplicadas na parte suprimida. Tal sistema estático pode sempre ser desmembrado em um vetor força (R) e um vetor momento (M) aplicados no centro de gravidade da seção.

Assim se definem os

esforços seccionais

em uma seção S de uma peça, os quais podem ser quantificados utilizando-se todas as forças atuantes à

esquerda

da seção

OU

utilizando-se as forças à sua

direita

.

S P

1.1

R M M R B A

Nota: Um engano comum é o aluno confundir o somatório das forças e momentos (equações de equilibrio) com as equações que devem ser usadas para o cálculo dos esforços seccionais. É sempre útil frizar que enquanto no primeiro caso são utilizadas todas as cargas atuantes na estrutura para a determinação das reações de apoio, no segundo caso se utiliza apenas um dos dois lados da seção para a determinação dos esforços seccionais, até porque, caso fossem usadas as cargas de ambos os lados, o resultado seria sempre nulo (conforme definição de um corpo em equilíbrio).

Quadro 5 - Sistema estaticamente equivalente

Sabendo

+

A figura abaixo é capaz de mostrar que para se reduzir um sistema de forças qualquer a um determinado ponto no espaço, basta transferir todas as forças para esse ponto, acrescentando, para cada uma delas, seu momento em relação ao ponto.

F − F F F O O A A = = F m

Pode-se dizer, portanto, que todo sistema de forças é redutível a um sistema estaticamente equivalente, composto de uma força resultante R e de um momento resultante m em relação a qualquer ponto O do espaço.

Decompondo-se o vetor R em uma componente perpendicular à seção S e outra situada no próprio plano P, obtemos, respectivamente, o esforço normal e o esforço cortante atuantes na seção, podendo ainda este último ser decomposto em duas componentes, nas direções dos dois eixos de referência ortogonais à normal ao plano P. Da mesma forma, se o vetor M for decomposto em uma componente normal e outra no plano P, teremos, respectivamente, os

momentos torçor e fletor. Assim como o esforço cortante, o momento fletor pode ser decomposto em duas componentes ortogonais entre si, nas direções dos dois eixos coordenados situados no plano P.

Numa seção transversal s de uma barra de uma estrutura espacial qualquer, tomando-se um sistema de eixos coordenados onde o eixo x tem a direção longitudinal à barra, são, portanto, seis os esforços seccionais considerados:

N(s) →esforço Normal = Rx

Qy(s) →componente do esforço cortante na direção y = Ry

Qz(s) →componente do esforço cortante na direção z = Rz

T(s) →momento torsor = Mx

My(s) →componente do momento fletor na direção y = My

Mz(s) →componente do momento fletor na direção z = Mz

No caso particular dos

quadros planos

, as cargas atuantes, necessariamente contidas no plano da estrutura, fazem com que tenhamos apenas três tipos de esforços seccionais a considerar:

momento fletor, esforço normal e esforço cortante

.

Da mesma forma, como, por definição, as cargas nas

grelhas planas

são sempre perpendiculares ao plano da estrutura, tais estruturas só admitem três tipos de esforços seccionais:

momento fletor, momento torçor e esforço cortante.

2.3.1- Esforço normal (N)

O

esforço normal

em uma seção transversal da barra é a soma de todas as forças ligadas a seção por um lado

ou

pelo outro, projetadass na

direção do eixo da barra

(normal à seção).

O esforço normal é: positivo na tração (forças “saindo da seção”) e negativo na compressão (forças “entrando na seção”)

29/6/2007 19 - + + S - + ds ds -

N(+)

N(-)

2.3.2- Esforço cortante (Q)

O

esforço cortante

em uma seção transversal da barra é a soma de todas as forças ligadas a seção por um lado

ou

pelo outro, projetadas na

direção perpendicular ao eixo da

barra.

.

Como o corpo encontra-se em equilíbrio, o somatório das forças calculado de um lado terá sempre módulo igual e direção contraria ao somatório realizado utilizando-se as forças do outro lado da seção. Desta forma, pode-se dizer que estas forças se representam como se formassem um “binário”. Esta analogia é útil para a definição de sinais.

O esforço cortante é: positivo quando o “binário” parece atuar no sentido horário e negativo quando o “binário” parece atuar no sentido anti-horário.

+ - + S - + ds ds -

Q(+)

Q(-)

Ultima atualização em

2.3.3- Momento fletor (M)

O

momento fletor

em uma seção transversal da barra é a soma de todos os momentos produzidos pelas forças ligadas a esta seção por um lado

ou

pelo outro, considerando-se apenas as componentes de momento em torno dos

eixos do plano da seção

transversal

..

O momento fletor é positivo quando traciona as fibras inferiores da barra e negativo quando traciona as fibras superiores da barra.

ds ds

Nota: Mais importante do que saber o sinal do momento é saber em que lado da barra as fibras estão tracionadas. No caso de barras verticais é preciso apenas identificar se o lado tracionado está a direita ou a esquerda..

Alguns autores, a fim de eliminar a necessidade de escrever que fibras da seção estão sendo tracionadas, fazem um pontilhado de um lado das barras. Assim o momento será positivo quando tracionar o lado pontilhado e negativo em caso contrário.

Quando forem estudados os diagramas de esforços, o diagrama de momentos fletores será sempre traçado no lado tracionado.

2.3.4- Momento torçor (T)

O

momento torçor

em uma seção transversal da barra é a soma de todos os momentos produzidos pelas forças ligadas a esta seção por um lado

ou

pelo outro, considerando-se apenas as componentes de momento em torno do

eixo perpendicular a seção

transversal, isto é, na direção da barra

..

O momento torçor é: positivo quando o vetor de seta dupla parece estar “saindo da seção” e negativo quando o vetor de seta dupla parece estar “entrando na seção” S - + S + -

M(+)

M(-)

ds ds

T(-)

T(+)

29/6/2007 21

Quadro 6 - A importância dos esforços secionais

Sabendo

+

O conhecimento de exemplos práticos de atuação dos esforços secionais sempre motiva mais o aprendizado do cálculo destes esforços.

O esforço normal, além de ser o principal esforço em pilares, também se encontra em escoras, cabos de aço para estaiamento, barras de treliças de telhados, coberturas, entre outros. Conhecer o tipo de esforço predominante em uma estrutura ajuda até na escolha dos materiais em uma fase de pré-projeto. Por exemplo: uma estrutura submetida fundamentalmente a esforços de tração deve priorizar materiais como o aço, que possuem alta resistência a tração. No caso de estruturas submetidas fundamentalmente a compressão, o concreto continua sendo a melhor alternativa.

Por causa destas propriedades físicas do concreto e do aço, o momento fletor é de grande importância no dimensionamento das estruturas de concreto armado. A flexão, tão comum em vigas e lajes, provocaria fissuras no lado tracionado do concreto se não fossem usadas as armaduras de aço. É por esta razão que os diagramas de momentos fletores são desenhados do lado tracionado. Desta forma, as barras de aço longitudinais das vigas podem ser distribuidas de acordo com a magnitude e o sinal do momento fletor e são chamadas de armadura positiva quando utilizadas na parte inferior da viga e armadura negativa quando utilizadas na parte superior da viga

O esforço cortante, além de ser necessário no dimensionamento de todos os tipos de estruturas, é fundamentalmente importante na escolha de parafusos para diversos tipos de ligações estruturais. De acordo com as solicitações de corte na ligação são adotados os tipos, áreas e a distribuição dos parafusos nas ligações.

Quanto ao esforço torçor, é interessante observar o comportamento de duas seções transversais de mesma área e formatos diferentes quando submetidas a este esforço. As seções abertas, como os perfis metálicos do tipo I (muito utilizado para resistir a flexão), podem se deformar quando submetidas a torção (empenamento da seção transversal). Já as seções fechadas possuem maior resistência quando submetidas a esforços de torção.

2.4- Exercícios resolvidos

1) Calcular os esforços secionais nas seções indicadas para as estruturas abaixo: a)

O primeiro passo para a resolução deste tipo de exercício é sempre calcular as reações de apoio, o que já foi feito no capítulo 1 deste livro (exercício resolvido 1a).

S

S

Após o cálculo das reações basta preencher o quadro abaixo com os esforços atuantes na seção indicada.

Esforço Seção S Unidade

Normal (N) ? KN

Cortante (Q) ? KN

Fletor (M) ? KN m

Torçor (T) ? KN m

Como a estrutura e um caso de forças coplanares atuando no plano da estrutura, pode-se definir o torçor como nulo.

Para o cálculo do esforço normal, basta somar todas as forças ligadas a seção por um lado

ou

pelo outro, na direção horizontal (direção da barra). Neste exemplo não existe força horizontal, então o esforço normal é zero.

No caso do cortante consideram-se as forças perpendiculares a barra. A esquerda da seção há apenas a reação de 2kN para cima. Logo, o cortante vale 2kN (positivo).

Para o cálculo do momento fletor, é mais fácil utilizar também o lado esquerdo. KNm

MS =2×2=4 3

Como utilizamos o lado esquerdo da seção para o cálculo, o momento traciona as fibras inferiores da seção (positivo).

Assim temos:

Esforço Seção S Unidade

Normal (N) 0 KN Cortante (Q) +2 KN Fletor (M) +4 KN m Torçor (T) 0 KN m b) S2 S1 S3

Utilizando-se o cálculo das reações de apoio do capítulo 1 (exercício resolvido 1b). S2

S1

S3

Para simplificar os cálculos, vamos considerar para S1 as forças ligadas a ela por baixo, para

S2 as forças ligadas pela esquerda e para S3 as forças ligadas a ela por baixo.

Para o esforço normal: Seção 1: 1KN saindo da seção (tração)

Seção 2: 0: nenhuma força horizontal a esquerda. Seção 3: –5KN:entrando na seção (compressão). E para o esforço cortante: Seção 1: 0: nenhuma força horizontal abaixo

Seção 2:.1+4=5KNL a esquerda de S2

Seção 3: 2 respostas devem ser dadas.

No cálculo do esforço cortante na seção 3,

deve-se considerar ou não a força

horizontal de 2KN aplicada na seção?

A resposta é simples. Considerar

os dois

casos

e fornecer a resposta para uma seção S3i (imediatamene abaixo) e uma seção S3s

(imediatamente acima).

Seção 3: Abaixo de S3 = 2KNI

Acima de S3 = 2-2=0

E para o momento fletor: Seção 1: 0: nenhuma força abaixo de S1 produz momento

Seção 2: -1 x 3 1 - 4 x 1 1 = -7KNm 1 (tração superior) Seção 3: 2 x 2 =4KNm 3 (tracionando a direita).

Seção S3

Esforço Seção S1 Seção S2

S3i S3s Unidade Normal (N) 1 0 -5 KN Cortante (Q) 0 -5 2 0 KN Fletor (M) 0 -7 4 (direita) KN m Ultima atualização em 29/6/2007 23

c)

S2

S1

HA Æ Força horizontal no primeiro apoio, adotada inicialmente para esquerda (Å)

VA Æ Força vertical no primeiro apoio, adotada inicialmente para cima (Ç)

VB Æ Força vertical no segundo apoio, adotada inicialmente para cima (Ç)

kN V kN V V x x x x x M Mz kN x x V V Y kN H X A B B A n i i B A n i i A n i i 28 18 46 18 8 156 24 4 32 0 8 5 . 6 ) 3 8 ( 4 2 3 4 4 2 16 0 : 0 46 24 6 16 3 8 2 3 4 16 : 0 3 : 0 1 1 1 = − = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + + − − = → = + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = = = = + + = + + = + = = =

∑

∑

∑

∑

= = = S2 S1

Para simplificar os cálculos, vamos considerar para S1 as forças ligadas a ela pela esquerda e

para S2 as forças ligadas pela direita.

Para o esforço normal: Seção 1: 6-3=3KN entrando na seção (compressão) Seção 2: 3kN entrando na seção (compressão). E para o esforço cortante: Seção 1: 28-16=12kN(Ç à esquerda)

Seção 2:. 18-8x3= -6K(È à direita)

No cálculo do momento fletor na seção 1,

deve-se considerar ou não o momento

aplicado de 4KNm?

Considerar

os dois casos

e fornecer a resposta para uma seção S1e

(imediatamente a esquerda) e uma seção S1d (imediatamente à direita).

E para o momento: Seção 1e: -16 x 3 1 +28 x 1 3 = -20KNm1 (tração superior) Seção 1d: -16 x 3 1 +28 x 1 3 -4 1 = -24KNm1 (tração superior) Seção 2: -18x32+8 x 3 x 1,53 = -182 (tração inferior)

Seção S1 Esforço S1e S1d Seção S2 Unidade Normal (N) -3 -3 KN Cortante (Q) +12 +6 KN Fletor (M) -20 -24 18 KN m

2) Calcular os esforços na seção S para a estrutura tridimensional abaixo, cujas barras formam entre si apenas angulos de 90º.:

S

Utilizando-se o cálculo das reações de apoio do capítulo 1 (exercício resolvido 2).

VA = 10kN

MAx=52kN

S

MAy=6kN

Trata-se de uma grelha plana, isto é, temos q nos preocupar com os seguintes esforços: Cortante: 4 + 2 = 6kN (È à esquerda)

Momento Fletor: 4 x 0 + 2 x 0 = 0

Momento Torçor: 4 x 3JJ - 2 x 3 II= 6kNm saindo da seção

Esforço Seção S Unidade

Cortante (Q) -6 KN

Fletor (M) 0 KN m

Torçor (T) +6 KN m

2.5- Exercícios propostos

1) Calcular as reações de apoio e os esforços atuantes nas seções indicadas para as estruturas abaixo: a) b) S S3 S1 S2 c) S2 S1 d) S3 S1 S2

2.6 - Respostas dos exercícios propostos

a) Seção S1 Esforço S1e S1d Unidade Normal (N) 0 KN Cortante (Q) +4 0 KN Fletor (M) +8 KN m b)

Esforço Seção S1 Seção S2 Seção S3 Unidade

Normal (N) +3 0 0 KN

Cortante (Q) -3 -3 +6 KN

Fletor (M) -5 +7 6 (esquerda) KN m

c)

Esforço Seção S1 Seção S2 Unidade

Normal (N) -2 0 KN Cortante (Q) 0 -4 KN Fletor (M) +12 4(direita) KN m d) Seção S1 Seção S3 Esforço S1e S1d Seção S2 S3e S3d Unidade Normal (N) -8 -5 -5 -5 KN Cortante (Q) -8 +16 +16 -8 KN Fletor (M) -16 0 +28 +24 KN m