M ´etodos Estat´ısticos Avanc¸ados em Epidemiologia
Introduc¸ ˜ao `a Disciplina
Enrico A. Colosimo/UFMG
Pesquisa Cl´ınica Análise Estatística Desenho Estudo Pergunta Tipo de Desenho Efeito: transversal/longitudinal Validade interna (confundimento, viés) Validade externa
Descritiva/Exploratória
Inferencial/Confirmatória
Estudo Cl´ınico/Epidemiologia
1 Pergunta de Interesse Cl´ınico; 2 Desenho do Estudo;
3 An ´alise Estat´ıstica
Conhecer o Banco de Dados;
An ´alise Descritiva (cada vari ´avel separadamente)
An ´alise Univariada (ou bivariada) (resposta vs cada covari ´avel)
Perguntas de Interesse/Curiosidade Cl´ınica
1 Infer ˆencia
Comparac¸ ˜ao de Grupos.
Identificac¸ ˜ao de Fatores de Risco ou Progn ´ostico. 2 Estimac¸ ˜ao/Predic¸ ˜ao.
Desenho do Estudo
1 Tipo de Desenho de Estudo. 2 Transversal vs Longitudinal.
3 Vi ´es (confundimento, selec¸ ˜ao, etc). 4 Validac¸ ˜ao do Estudo.
Perguntas Relevantes
Os grupos s ˜ao compar ´aveis?
As vari ´aveis de confus ˜ao foram medidas/controladas? ´
E poss´ıvel alocar tratamento `as unidades amostrais de forma aleat ´oria?
Os erros de medic¸ ˜ao podem ser medidos e controlados? As perdas (dados perdidos) podem viciar os resultados? Podemos estender os resultados para outros estudos? Existe efeito de calend ´ario (ou de coorte)?
Tipos de Estudos Epidemiol ´ogicos
1 Estudos Descritivos: sem grupo de comparac¸ ˜ao Ecol ´ogicos;
Transversais.
2 Estudos Anal´ıticos: com grupo(s) de comparac¸ ˜ao Observacionais;
Coorte (prospectivo ou hist ´orico); Caso-controle (retrospectivo);
Infer ˆencia: Comparac¸ ˜ao de Grupos
Predic¸ ˜ao
Framingham Risk Score Calculator for Coronary Heart Disease
This Framingham risk score calculator estimates the 10-year coronary heart disease risk of any person based on certain criteria like gender, age, cholesterol and systolic pressure. You can discover more about this heart disease scoring system and about all the cardiovascular risk factors involved below the form.
Gender:*
Select Age:*
Total cholesterol (mg/dL):* HDL cholesterol (mg/dL):* Under hypertension treatment? Select Systolic blood pressure (mmHg):* Smoker?
Select
Calculate
The Patient Age is required!The Total cholesterol in mg/dL is required!The HDL cholesterol in mg/dL is required!The Systolic blood pressure in mmHg is required!
The 10-year cardiovascular risk for coronary heart disease (CHD) is 5%.
Disclaimer: This tool should NOT be considered as a substitute for any professional medical service, NOR as a substitute for clinical judgement.
https://www.thecalculator.co/health/Framingham-Risk-Score-Calculator-for-Coronary-Heart-Disease-745.html
Resposta e Covari ´aveis
1 Resposta/Desfecho Quantitativa/Cont´ınua; Qualitativa/Categ ´orica.
2 Covari ´aveis/Exposic¸ ˜ao Interesse: Exposic¸ ˜ao; Confundimento.
Vi ´es
1 Desvio da verdade: defeito no delineamento ou na conduc¸ ˜ao de
um estudo.
2 Vi ´es: Erro sistem ´atico
no delineamento, conduc¸ ˜ao ou an ´alise de um estudo; efeito: erro na estimativa da magnitude da associac¸ ˜ao entre covari ´aveis/exposic¸ ˜ao e o desfecho de interesse.
Fontes de Vi ´es
1 Confundimento.
2 Vi ´es de Selec¸ ˜ao
Alocac¸ ˜ao das unidades amostrais privilegia subgrupos com probabilidade diferenciada de apresentar a resposta.
Exemplo: Perda de acompanhamento em estudos longitudinais.
3 Vi ´es de Informac¸ ˜ao
Erro sistem ´atico na classificac¸ ˜ao de exposic¸ ˜ao ou da resposta. Exemplo: testes diagn ´osticos.
4 Vi ´es de Publicac¸ ˜ao
Confundimento
Definic¸ ˜ao: Um terceiro fator que est ´a associado tanto com a exposic¸ ˜ao quanto com o desfecho, mas n ˜ao se encontra no elo causal entre eles.
?
Exposição Doença
Confundimento
Seta unidirecional: indica associac¸ ˜ao causal e Seta bidirecional: indica associac¸ ˜ao n ˜ao causal.
Confundimento
Definic¸ ˜ao: Um terceiro fator que est ´a associado tanto com a exposic¸ ˜ao quanto com o desfecho, mas n ˜ao se encontra no elo causal entre eles.
Duas condic¸ ˜oes para ser fator de confundimento:
Ser associado com a exposic¸ ˜ao sem ser sua consequ ˆencia. Estar associado com o desfecho/doenc¸a independente da exposic¸ ˜ao.
No elo causal: fator de mediac¸ ˜ao (usualmente, ap ´os a intervenc¸ ˜ao).
Confundimento: Exemplos
Idade na associc¸ ˜ao entre c ˆancer de pulm ˜ao e fumo. Fumo na associac¸ ˜ao entre c ˆancer de est ˆomago e caf ´e.
(contra-exemplo: no elo causal?) Colesterol na associac¸ ˜ao entre infarto e dieta
Vi ´es de Selec¸ ˜ao (Estudos Longitudinais)
O vi ´es de selec¸ ˜ao pode ocorrer devido a seguimento incompleto dos indiv´ıduos do estudo (perdas de seguimento).
O principal problema, mesmo para perdas pequenas, ´e a
probabilidade de que elas possam ter ocorrido de forma seletiva, ou seja, relacionada `a exposic¸ ˜ao, a resposta, ou a ambos.
Vi ´es de Informac¸ ˜ao
O vi ´es de informac¸ ˜ao est ´a relacionado `a classificac¸ ˜ao da condic¸ ˜ao de exposic¸ ˜ao (expostos / n ˜ao-expostos) e/ou na determinac¸ ˜ao da resposta.
Medidas s ˜ao aproximac¸ ˜oes de atributos do mundo real, baseadas em modelos conceituais (teorias).
Sensibilidade, especificidade, validade, confiabilidade s ˜ao exemplos de medidas utilizadas para quantificar os erros de classificac¸ ˜ao.
Validade do Estudo
Validade Interna: sujeito a confundimento e vi ´es;
Validade Externa: representatividade da amostra.
Etapas de uma An ´alise Estat´ıstica
1 Descric¸ ˜ao/Entendimento da Pergunta Cl´ınica.
2 Descric¸ ˜ao da Casu´ıstica: desenho do estudo e a coleta dos
dados.
3 An ´alise Descritiva. 4 An ´alise Univariada.
5 An ´alise Multivariada (na maioria das situac¸ ˜oes).
An ´alise Descritiva: Sempre Explorar antes de Analisar.
1 Ferramentas: gr ´aficos e tabelas.
2 Objetivo:
Conhecimento das vari ´aveis envolvidas no estudo. Detectar erros na coleta e digitac¸ ˜ao dos dados.
An ´alise Univariada
1 Ferramentas: testes t, qui-quadrado, correlac¸ ˜ao, etc. 2 Objetivo:
Identificac¸ ˜ao preliminar de uma poss´ıvel relac¸ ˜ao entre o desfecho e cada uma das covari ´aveis.
Identificac¸ ˜ao de poss´ıveis fatores de confus ˜ao.
3 Identificar uma poss´ıvel forma funcional de covari ´aveis
quantitativas;
4 Usualmente, n ˜ao ´e a an ´alise estat´ıstica final.
An ´alise Multivariada
1 An ´alise confirmat ´oria ou inferencial.
2 Ferramentas: modelos estat´ısticos: linear, log´ıstico, de Cox, etc. 3 Objetivo:
An ´alise Estat´ıstica conjunta: controla e compara por todas as vari ´aveis medidas no estudo.
Como identificar o modelo adequado?
1 A resposta (desfecho) define o modelo multivariado para a an ´alise
dos dados.
2 Modelos para Resposta Quantitativa. Regress ˜ao linear m ´ultipla;
Modelo de Cox: a resposta ´e o tempo at ´e a ocorr ˆencia de um evento de interesse (presenc¸a de censuras).
3 Modelos para Resposta Qualitativa ou Contagem. Modelo de Regress ˜ao Log´ıstica (bin ´aria ou polit ˆomica); Modelo de Regress ˜ao de Poisson: contagem.
Outros: modelos beta, gama, etc.
Situac¸ ˜ao Estat´ıstica
Desfecho (Y ) = f (X ) + (erro)
f : modelo verdadeiro (desconhecido) e X as covari ´aveis medidas. Objetivo Estat´ıstico: Estimar f obtendo ˆf.
Para tal necessitamos de:
Modelo Estat´ıstico (na maioria das vezes); Dados;
Situac¸ ˜ao Estat´ıstica∗
Temos dois tipos de erros: Reduz´ıvel: f − ˆf; Irreduz´ıvel: M ´etodos para estimar f :
Param ´etrico: interpret ´avel e eficiente; N ˜ao-param ´etrico: preciso, flex´ıvel e limitado.
∗ Introduction to Statistical Learning (James et. al, 2013)
Exemplo: Press ˜ao Intra-Ocular (PIO) e idade Amostra de 25 pacientes. ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 40 50 60 70 16 18 20 22 24 Idade PIO
Exemplo: Press ˜ao Intra-Ocular (PIO) e idade
Poss´ıveis Modelos f
1 Param ´etricos
Modelo mais simples: reta.
f (idade) = β0+ β1 idade
Modelo quadr ´atico
f (idade) = β0+ β1 idade + +β2 idade2
2 N ˜ao-Param ´etrico
Por exemplo, LOWESS (suavizador local)
Exemplo: Press ˜ao Intra-Ocular (PIO) e idade ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 40 50 60 70 16 18 20 22 24 PIO PIO = 6,64 + 0,23 idade^
Como encontrar f?
Qual modelo f devemos utilizar?
1 O objetivo do estudo deve nortear a decis ˜ao.
Explicar o desfecho (infer ˆencia): modelos param ´etricos; Experi ˆencia anterior;
Predic¸ ˜ao: modelos n ˜ao-param ´etricos. 2 Sempre lembrando que:
Modelos Param ´etricos: interpret ´avel, pouco flex´ıvel e eficiente; M ´etodos N ˜ao-param ´etricos: preciso, flex´ıvel, pouco eficiente e limitado.
Modelo semi-param ´etrico: h´ıbrido.
Exemplo: Crescimento de crianc¸as infectadas pelo HIV Y altura de crianc¸as entre 0 e 18 meses de idade.
X idade da crianc¸a
Casu´ıstica Longitudinal: Crianc¸as infectadas pelo HIV (transmiss ˜ao vertical) do ambulat ´orio de Infectologia Pedi ´atrica da UFMG.
● ● ● ● ●● ● 40 50 60 70 80 Altur a (cm) ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
Exemplo: Crescimento de crianc¸as infectadas pelo HIV ● ● ● ● ●● ● 0 5 10 15 40 50 60 70 80 Idade (mês) Altur a (cm) ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● menina menino 40 50 60 70 80 altur a (cm) Observac¸ ˜oes:
Altura m ´edia n ˜ao parece ser linear na idade.
Sexo da crianc¸a explica parte da dispers ˜ao dos dados.
Programa da Disciplina
1 Caminho convencional:
M ´etodo/Modelo Param ´etrico.
M ´etodo Inferencial: M´ınimos quadrados/M ´axima Verossimilhanc¸a Ignora casos com dados perdidos.
Dificuldade em tratar violac¸ ˜ao de suposic¸ ˜oes.
2 M ´etodos Modernos (terceira disciplina de estat´ıstica??)
Combinar M ´etodos Param ´etricos e N ˜ao-Param ´etricos (splines). Tratamento de Dados Perdidos: Imputac¸ ˜ao.
