Neutralidade Monetária em Modelos de Produção e Troca com Desequilíbrio

APÊNDICES

AO

151 3A. Solução do problema de optimização (PW)

Para resolver o problema PW formamos em primeiro lugar o Lagrangeano:

(

)

(

)

(

)

1 2 ( , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) . X Y X Y U X Y Z P X X P Y Y Z Z P X X Z P Y Y Z

µ

λ

λ

= − − + − + − − − − − − −

Usando uma função utilidade do tipo Cobb-Douglas:

U =αLog X +βLogY+γLog Z , As condições de primeira ordem do problema PW são1:

(

)

(

)

1 2 (1) (2) X Y P X P Y Z

α

µ λ

β

µ λ

γ

µ

= + = + =

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1 2 (3) 0 (4) 0 (5) 0 X Y X Y Z Z P X X P Y Y P X X Z P Y Y Z

λ

λ

− + − + − = − − = − − =

(

)

(

)

1 (6) (7) (8) 0 X Y P X X Z P Y Y Z

λ

− ≤ − ≤ ≥ 2 (9) 0 (10)

λ

≥

Analisamos de seguida as quatro formas possíveis que o problema pode abarcar, de acordo com os valores que

λ

₁ e

λ

₂ podem tomar, sendo que se as restrições monetárias não se verificarem com igualdade (a despesa em X ou Y é menor que a quantidade de

1

Ver, por exemplo, Simon e Blume (1994, pp. 430-31). Como a função U é côncava (estritamente) e as restrições são funções lineares (logo, convexas), as condições de primeira ordem são também suficientes para a existência de um máximo global (único). Ver Simon e Blume (1994, pp. 430-31) e Fuente (2000, pp. 260,296). Note-se que esta função utilidade só é definida para valores estritamente positivos de X, Y e

152

moeda disponível) os respectivos multiplicadores são iguais a zero. Por outro lado, se um dos multiplicadores for maior que zero então a restrição monetária respectiva tem que se verificar com igualdade.

Comecemos por analisar o caso em que ambos os multiplicadores são positivos.

• Caso 1)

λ

1>0,

λ

2 > . 0

Como observado acima, se ambos os multiplicadores forem positivos, então, de (5) e (6) ambas as restrições monetárias têm que se verificar com igualdade. Mas isto é impossível, já que se uma das duas restrições monetárias se verificar com igualdade isto quer dizer que toda a moeda é gasta na compra de um dos bens, não sobrando nada para a compra do outro bem. Este caso implica portanto que o indivíduo gastaria duas vezes a quantidade de moeda que possui, o que é uma contradição. Excluímos então este caso.

• Caso 2)

λ

1=0,

λ

2 = . 0

Neste caso, em abstracto, cada uma das respectivas restrições monetárias pode ou não verificar-se com igualdade (mas não as duas em simultâneo, como já visto), sendo que a situação mais plausível é que não se verifiquem2. Com ambos os multiplicadores iguais a zero as CPOs (5) e (6) são redundantes e podemos resolver para X Y Z, , e

µ

usando as CPOs (1), (2), (3) e (4), o que origina:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

. X Y X X Y Y X Y Z P X P Y X P Z P X P Y Y P Z P X P Y Z

α

α β γ

β

α β γ

γ

α β γ

+ + = + + + + = + + + + = + +

Substituindo as expressões para P X_X e P Y_Y que se obtêm das expressões anteriores para X e Y, em (7) e (8) obtemos:

2

153 . X X Y Y X Y Z P X Z P X P Y Z P Y Z P X P Y

α

β

+ ≤ + + + ≤ + +

Se considerarmos, como é usual, a seguinte condição para os parâmetros de preferências:

1

α β γ

+ + = ,

estas últimas três expressões dão-nos condições necessárias para os valores dos parâmetros de modo a que exista um óptimo com

λ

₁ =0,

λ

₂ = . 0

• Caso 3)

λ

1>0,

λ

2 =0.

Neste caso, a CPO (5) tem que se verificar com igualdade e, consequentemente a CPO (6) não se verifica com igualdade.

Assim, se

λ

₁> , da CPO (5) a expressão entre parênteses tem que ser igual a 0 zero e daí segue que:

X Z X X

P

= + .

Com o valor de X dado por esta expressão, podemos resolver as CPOs (1), (2), (3) e (4) em ordem a Y Z, ,

λ

₁ e

µ

(relembramos que

λ

₂ = ), o que dá: 0

. Y Y Y P Z Y β β γ γ β γ = + = +

Agora, a CPO (7) obviamente verifica-se com igualdade, como já observado. Substituindo a expressão para Y encontrada acima na CPO (8), temos:

154 1 Y P Y β Z β γ   − ≤   +   .

Como a expressão dentro dos parênteses é negativa aquela condição verifica-se sempre.

• Caso 4) λ1=0,λ2 >0.

Por raciocínio análogo ao apresentado no caso 3) obtemos a seguinte solução (simétrica em X, Y em relação à anterior):

(

)

. Y X Z Y Y P X X P Z X

α

α γ

γ

α γ

= + = + = +

155

3B. Cálculo do Equilíbrio Walrasiano relativo ao problema (PW) com dois agentes Cada agente, A e B, resolve o problema (PW) da forma descrita no apêndice 3A. Neste caso temos quatro multiplicadores de Lagrange associados às restrições monetárias dos agentes, λ λ λ λ₁A, ₂A, ₁B, ₂B. Isto implica que para analisar o equilíbrio geral da forma mais exaustiva possível, tenhamos que analisar 24 =16casos possíveis. Como já vimos no apêndice 3A, os casos λ₁i >0,λ₂i > devem ser excluídos. Desta forma eliminamos os 0 seguintes sete casos:

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0. A A B B A A B B A A B B A A B B A A B B A A B B A A B B

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

> > > > > > = = > > > = > > = > = = > > > = > > = > > >

Em relação aos restantes nove casos possíveis podemos agrupá-los em três grupos. • Grupo 1: Todos os multiplicadores associados às restrições monetárias são iguais a zero:

1 0, 2 0, 1 0, 2 0

A A B B

λ = λ = λ = λ = .

• Grupo 2: Os dois multiplicadores de apenas um dos agentes são ambos iguais a zero: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0. A A B B A A B B A A B B A A B B λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ > = = = = > = = = = > = = = = >

156

• Grupo 3: Um dos multiplicadores é positivo e o outro é igual a zero, para cada um dos agentes: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0. A A B B A A B B A A B B A A B B λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ > = > = > = = > = > > = = > = >

Devido à natureza do problema podemos escolher apenas um caso quer para o grupo 2 quer para o Grupo 3, já que os restantes casos dentro de cada grupo apresentarão uma solução formalmente semelhante. O nosso objectivo aqui é analisar a influência das quantidades de moeda nas afectações de equilíbrio.

♦ Grupo 1: 1 0, 2 0, 1 0, 2 0

A A B B

λ = λ = λ = λ =

Como já visto no caso 2) do apêndice 3A, as funções procura de cada agente são as seguintes (i= A B, ):

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

. i i i i X Y i i i i X i i i i X Y i i i i Y i i i i X Y i i i i Z P X P Y X P Z P X P Y Y P Z P X P Y Z

α

α

β

γ

β

α

β

γ

γ

α

β

γ

+ + = + + + + = + + + + = + +

Adicionalmente, impõem-se as condições de equilíbrio geral (note-se que, pela lei de Walras, se dois mercados estiverem em equilíbrio o terceiro também está):

A B A B A B A B X X X X Y Y Y Y + = + + = +

157

Resolvendo este sistema de oito equações obtemos os resultados que se apresentam na página seguinte (cálculo efectuado por MATHEMATICA), onde as seis afectações e dois preços aparecem como função das dotações e preferências dos dois agentes.

159

Analisemos agora as implicações de um aumento equiproporcional da quantidade de moeda na posse de cada um dos agentes.

Repare-se que P_X pode ser escrito como:

constante constante constante A B X Z Z P = × + ×

Agora, se aumentarmos a dotação de moeda na posse dos dois agentes, de modo a que a nova dotação seja igual à anterior multiplicada por um qualquer número Ψ , o novo preço de equilíbrio do bem X aparece como:

constante constante constante A B X Z Z P =Ψ × + Ψ ×

Mas isto é igual a:

constante constante constante A B X Z Z P = Ψ × + ×

Isto é: o preço do bem X aumenta exactamente na mesma proporção do aumento da dotação de moeda. Por raciocínio análogo, verifica-se a mesma coisa para P_Y.

Por outro lado, usando as funções procura de cada agente temos que agora elas aparecem como:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

i i i i i i i i X Y X Y i i i i i i i X X i i i i i i i i X Y X Y i i i i i i i Y Y i i i i i i i i X Y X Y i i i i i i i Z P X P Y Z P X P Y X P P Z P X P Y Z P X P Y Y P P Z P X P Y Z P X P Y Z

α

α

α

β

γ

α

β

γ

β

β

α

β

γ

α

β

γ

γ

γ

α

β

γ

α

β

γ

Ψ + Ψ + Ψ Ψ + + = = Ψ + + Ψ + + Ψ + Ψ + Ψ Ψ + + = = Ψ + + Ψ + + Ψ + Ψ + Ψ Ψ + + = = + + + +

160

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

. i i i i X Y i i i i X i i i i X Y i i i i Y i i i i X Y i i i i Z P X P Y X P Z P X P Y Y P Z P X P Y M

α

α

β

γ

β

α

β

γ

γ

α

β

γ

+ + = + + + + = + + + + = Ψ + +

Ficando assim demonstrado que as afectações de X e Y permanecem as mesmas após o aumento equiproporcional de moeda.

♦ Grupo 2: Exemplo:

λ

₁A =0,

λ

₂A =0,

λ

₁B >0,

λ

₂B = . 0

Neste exemplo as funções procura do agente A correspondem às do caso 1) analisado no apêndice 3A e as do agente B correspondem às do caso 3) analisado nesse mesmo apêndice. Assim segue-se que (não é necessário aqui incluir as funções procura de moeda):

(

)

(

)

(

)

(

)

A A A A X Y A A A A X A A A A X Y A A A A Y B B B X B B B B B Z P X P Y X P Z P X P Y Y P Z X X P Y Y

α

α

β

γ

β

α

β

γ

β

β

γ

+ + = + + + + = + + = + = +

Adicionando as duas condições de equilíbrio, resolvemos um sistema de seis equações. A solução, calculada em MATHEMATICA, está na página seguinte.

162

Tal como na situação anterior pode também agora verificar-se que quer PX, quer PY,

variam na mesma proporção da variação da quantidade de moeda. Daqui, verifica-se também facilmente que as afectações de X e Y se mantêm as mesmas.

♦ Grupo 3: Exemplo: 1 0, 2 0, 1 0, 2 0

A A B B

λ

>

λ

=

λ

=

λ

> .

De acordo com a estrutura das soluções presentes nos casos 3) e 4) do apêndice 3A verifica-se aqui que:

. A A A X B B B B B Z X X P X X

α

α

γ

= + = +

Substituindo estas expressões na condição de equilíbrio do mercado do bem X,

A B A B X +X = X +X , obtém-se: A X B B B B B Z P X X

α

α

γ

= − + .

Usando raciocínio análogo, verifica-se que: B Y A A A A A Z P Y Y

β

β

γ

= − + .

Podemos assim observar que se as dotações de moeda variarem na mesma proporção, ambos os preços variam também nessa mesma proporção.

Substituindo as expressões para os preços nas funções procura de X e Y, obtemos:

163 1 1 . B A A B B B B B B B B A A A A A A B B A A A X X X X X Y Y Y Y Y

α

α

γ

α

α

γ

β

β

γ

β

β

γ

 ₋  = +   +   = + = +  ₋  = +   +  

Podemos assim constatar que nenhuma das afectações de equilíbrio depende da quantidade de moeda em posse de cada agente. Mais uma vez verifica-se que apenas os preços são afectados.

164

3C. Solução dos problemas de optimização (PM1) e (PM2)

Neste apêndice calculamos as condições de primeira ordem dos problemas (PM1) e (PM2).

O problema (PM1) consiste (para cada t=0...∞ ) em:

(

)

(

)

(

)

1 1 , , 0 1 0 1 , , . . 0 . X Y m e e e e X Y t Max U X Y m s a m P m P P X X P Y Y M M τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ

ρ

+ + ∞ = + − − + − + − = =

∑

Formando o lagrangeano obtemos:

(

)

(

)

(

)

{

1 1

}

0 , , e e e e . X Y U X Y m m P m P P X X P Y Y τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ

ρ

λ

∞ + + =   =

∑

− _ − + − + − _

As condições de primeira ordem são:

1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0. e X X e Y Y e e m U P X U P Y U P P m τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ

ρ

ρ λ

ρ

ρ λ

ρ

+ ₊

ρ λ

ρ λ

+ + + + + ∂ = ⇒ − = ∂ ∂ = ⇒ − = ∂ ∂ = ⇒ − + = ∂

Simplificando, obtemos:

(

)

1 1 1 . X e X e X X e Y Y e m U P U P U P U P τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ

λ

ρ

₊ +

λ

ρλ

+ = = = −

165 1 lim τ _τm_τ 0 τ→∞

ρ λ

+ = , é cumprida se as variáveis m , X e P_X τ

τ τ atingirem um estado estacionário (ver Apêndice 1B do cap. 1) e, logo, tomarem um valor finito. Na simulação numérica do modelo (detalhes a seguir) podemos confirmar que o sistema converge para um estado estacionário.3

Substituindo, agora, nas condições de primeira ordem a função utilidade:

(

, ,

)

U X Y m =

α

LogX +

β

LogY +

γ

Log m,

obtemos (relembrando que M = P.m):

1 1 1 Y e X e e e X X P X P Y M P X P X τ τ τ τ τ τ τ τ τ

α

β

γ

α

α

ρ

ρ

+ + + = = − .

A estas duas condições acrescentamos a restrição orçamental:

(

)

(

)

1 0 1 0 . e e X Y t M M P X X P Y Y M M τ τ τ+ τ τ τ − − + − + − = =

Para resolver numericamente este problema, note-se que temos, para um dado horizonte

τ = Τ , 3× Τ +

(

1

)

equações, já que

τ

começa em zero, e 3× Τ +

(

1

)

+1 incógnitas, devido a Xτ +1. Estabelecemos agora a hipótese de que as expectativas dos preços futuros não se alteram em relação às expectativas dos preços para o momento presente, antes de abrirem os mercados, isto é,

0 , , ,

e e j j

P P j X Y

τ = ∀

τ

= . Como estamos na presença

de um horizonte temporal infinito a estratégia é calcular em primeiro lugar um estado estacionário onde todas as variáveis se repetem ao longo do tempo. Isto equivale a calcular os valores de X, Y e M que satisfazem:

3

166

(

)

(

)

0 e X e Y e e X X e e X Y X P P Y M P X P X M M P X_τ X P Y Y α β γ α α ρ ρ = = − − + − + − =

A seguir escolhemos um Τ suficientemente grande e resolvemos o sistema de

(

Τ +1

)

×3 equações com X_{τ +1} igual ao seu valor estacionário acabado de calcular, de modo a obter os valores de

(

Τ +1

)

×3 variáveis, que correspondem precisamente a

{

X Y Mτ, τ, τ 1

}

τ ₀ Τ

+ = . Note-se que referimos que Τ deve ser suficientemente grande de modo a que a solução do sistema corresponda a uma trajectória suave de evolução para todas as variáveis.

Daqui resulta a determinação das variáveis que mais nos interessam,

{

X Y Mˆ0, ˆ0, ˆ1

}

, já que eventualmente os valores de uma ou mais destas variáveis

transitam para o problema (PM2). Este procedimento repete-se para cada momento t. O problema (PM2) consiste em, supondo neste caso, que o agente, como consequência de (PM1), entra como vendedor de Y e comprador de X :

{

}

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1 1 1 0 0 1 0 1 ₀ 0 0 0 , , 1 1 0 0 0 0 1 0 1 ˆ , , arg max , , , , . . ˆ 0 0 , 1 . X Y m e X Y e e X Y t X Y m U X Y m U X Y m s a m P m P P X X P Y Y m P m P P X X P Y Y M M τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ _τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ

ρ

ρ

τ

+ + + ∞ ∞ + ₌ = + − = + − + − + − = − + − + − = ≥ =

∑

(PM2)

167 1 0 , 0 0, 1 0, 0. X Y m τ τ τ

τ

τ

τ

+ ∂ = ≥ ∂ ∂ = ≥ ∂ ∂ = ≥ ∂

Usando a função utilidade acima especificada e efectuando os cálculos necessários obtemos:

(

)

(

)

0 1 0 0 1 1 1 0 1 , 1 , 0 0, 0 . Y X X X X X Y t P X P X P Y M P X P X M M P X X P Y Y M M τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ

α

λ

α

τ

β

γ

α

α

ρ

ρ

τ

τ

+ + + + − = = ≥ = − ≥ − + − + − = ≥ =

Estabelecendo-se a hipótese que o agente assume

0

j j P P

τ = para qualquer um dos bens

j=X, Y e usando o mesmo método numérico apresentado atrás, cada agente obtém como solução de (PM2) as quantidades

{

X Y M
₀,
₀,
₁

}

. Estas quantidades, por sua vez, determinam os graus de excesso de procura e oferta nos dois mercados e a evolução das expectativas dos preços pela fórmula (RP) já usada no modelo anterior.

168

3D. Cálculo do equilíbrio walrasiano estacionário com horizontes infinitos

Num equilíbrio walrasiano com horizontes infinitos cada agente resolve o problema (PM) e existe uma sequência de preços

{

}

0

,

t t

X Y _t P P ∞

= tal que a esses preços os mercados equilibram, i.e, a esses preços a soma das quantidades de cada bem procuradas pelos agentes são iguais à soma das quantidades existentes de cada um desses bens em cada momento t.

As procuras de cada bem por parte de cada agente resultam das condições de primeira ordem do problema (PM):

(

)

(

)

1 1 1 1 0. t Yt t t t t X t t t X t X t t t X t Y t P X P Y M P X P X M M P X X P Y Y

α

β

γ

α

α

ρ

ρ

+ + + + = = − − + − + − =

Com dois agentes temos portanto seis condições de primeira ordem. Juntando a estas equações as equações de equilíbrio nos mercados (duas equações devido à lei de Walras), o equilíbrio geral com horizontes infinitos caracteriza-se pela resolução de um sistema de oito equações em cada momento do tempo.

Usando os seguintes valores para os parâmetros:

0 0 0.5; 0.3; 0.3; 0.5; 0.2; 0.2; 6; 14; 14; 6; 40; 40, A B A B A B A B A B A B t t X X Y Y M M

α

α

β

β

γ

γ

= = = = = = = = = = = = = =

169

podemos calcular um estado estacionário4 (ou equilíbrio final) para esta economia. , 12.5 , 7.5 , 40 , 0.42105. A B B A A B X Y X Y X Y M M P P = = = =

A questão que se coloca agora, embora não seja directamente relevante para a simulação do modelo de desequilíbrio, é se este sistema atinge imediatamente este equilíbrio (logo em t = 0) ou se as variáveis evoluem a partir de outros valores até este equilíbrio final (supondo que existe pelo menos uma trajectória para a qual o sistema atinge o equilíbrio a partir de um ponto que não o ponto estacionário).

Simulando o sistema numericamente, com os parâmetros acima indicados, e usando a mesma técnica de simulação do apêndice anterior, constatamos que o sistema atinge o equilíbrio final (o estado estacionário) logo no momento zero. O equilíbrio walrasiano para esta economia caracteriza-se portanto por um vector de preços e afectações que se repetem ao longo do tempo a partir de um dado momento inicial.

Por outro lado, também se pode constatar que um aumento equiproporcional da quantidade de moeda pelos dois agentes afecta apenas os preços, deixando intactos os valores das variáveis reais X e Y. A moeda é, portanto, neutra, neste quadro de equilíbrio geral estrito.

4

170

171

Figura 3.2. Impacto nas variáveis do modelo (de desequilíbrio) após um choque monetário igualmente distribuído pelos dois agentes. A economia converge para um novo equilíbrio walrasiano.

172

Figura 3.3. Convergência do modelo de desequilíbrio (versão 2) para um equilíbrio walrasiano.

173

Figura 3.4. Impacto nas variáveis do modelo (de desequilíbrio) – versão 2 - após um choque monetário igualmente distribuído pelos dois agentes. A economia converge para um novo equilíbrio walrasiano.