Parte 4 (N´
umeros reais)
BC 0003Edson Alex Arr´azola Iriarte Universidade Federal do ABC
October 18, 2017
Estudaremos, sem aprofundaremos, osaxiomas (“proposi¸c˜oes assumidas como verdadeiras ”) que descrevem o conjunto dos n´umeros reais:
Axiomas da aritm´etica
Muito conhecidos. S˜ao as propriedades da adi¸c˜ao e da multiplica¸c˜ao.
Axiomas de ordem
Muito conhecidos. Nos auxiliam com o trabalho de desigualdades.
Axiomas de completitude Menos conhecidos.
O conjunto R dos n´umeros reais ´e dotado de 2 opera¸c˜oes
I adi¸c˜ao: + : R × R −→ R (x , y ) 7−→ x + y I multiplica¸c˜ao: · : R × R −→ R (x , y ) 7−→ x · y
fechadas. Isto ´e, para cada par de n´umeros x e y temos que :
I x + y ´e um n´umero real
I x · y ´e um n´umero real
I Para todo a, b, c ∈ R a adi¸c˜ao satisfaz as seguintes
propriedades:
(S1) propriedade associativa: (a + b) + c = a + (b + c) (S2) propriedade comutativa: a + b = b + a
I A adi¸c˜ao tem um elemento neutro 0 que satisfaz: (S3) neutro: a + 0 = a = 0 + a, ∀a ∈ R
I Cada n´umero real a possui elemento inverso aditivo ou oposto, denotado por −a, que satisfaz:
I Para todo a, b, c ∈ R a multiplica¸c˜ao satisfaz as seguintes
propriedades:
(M5) propriedade associativa: (a · b) · c = a · (b · c) (M6) propriedade comutativa: a · b = b · a
I A multiplica¸c˜ao tem um elemento neutro 1 que satisfaz: (M7) neutro: a · 1 = a = 1 · a, ∀a ∈ R
I Cada n´umero real a 6= 0 possui elemento inverso multiplicativo, denotado por a−1, que satisfaz: (M8) inverso multiplicativo: a · a−1= 1 = a−1· a
I Para todo a, b, c ∈ R temos a seguintes propriedade:
(M9) distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c
Axiomas de ordem
Existe um subconjunto R+⊂ R, chamado conjunto dos n´umeros reais positivos, tal que
I 1 ∈ R+ e 0 /∈ R+
I Se a, b ∈ R+, ent˜ao a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+
I Dado a ∈ R, exatamente uma das trˆes seguintes alternativas
ocorre:
a = 0, a ∈ R+, (−a) ∈ R+
Em R est´a definida umarela¸c˜ao de ordementre pares de elementos de R, denotada pelo s´ımbolo >.
I Escrevemos a > b e dizemos quea ´e maior do que b se a − b ∈ R+.
a > b ⇔ a − b ∈ R+
I Em particular, a > 0 significa que a ∈ R+, isto ´e,a ´e positivo.
I Por outro lado, 0 > b significa que 0 − b = −b ∈ R+. O conjunto dos n´umeros reais negativos, denotado por R−, ´e o conjunto
{ x ∈ R : −x ∈ R+}.
Assim, sea ´e um n´umero negativo, ent˜ao −a ∈ R+, ou seja, 0 > a. Observa¸c˜ao: Se a ´e um n´umero negativo, tamb´em escrevemos
a < 0.
A rela¸c˜ao de ordem satisfaz as seguintes propriedades : (O1) transitiva: Se a > b e b > c, ent˜ao a > c.
(O2) monotonicidade da adi¸c˜ao: Se a > b, ent˜ao a + c > b + c, para cada c ∈ R.
(O3) monotonicidade da multiplica¸c˜ao:
(i ) a > b ec > 0 ⇒ a ·c > b ·c
(ii ) a > b e c < 0 ⇒ b ·c>a ·c ou a ·c<b ·c
Observa¸c˜ao: Mutiplicando uma desigualdade por um n´umero positivo preservamos a desigualdade. Multiplicando por um n´umero negativo invertimos a desigualdade. Consequˆencia: a > b e x > y ⇒ a + x > b + y .
Observa¸c˜ao: Dados dois numeros reais a e b, uma e somente uma das trˆes possibilidades ocorre:
a = b, a > b, b > a Esta propriedade ´e usalmente conhecida como
Classifica¸c˜
ao do produto de n´
umeros reais
1. a · b > 0 ⇒ a > 0 e b > 0 ou a < 0 e b < 0 2. a · b < 0 ⇒ a > 0 e b < 0 ou a < 0 e b > 0 3. Consequˆencias: I a > 0 ⇒ 1 a > 0 I a < 0 ⇒ 1 a < 0Nota¸c˜
oes
I Se a > b ou a = b, escrevemos a ≥ b (a maior ou igual que b).
I Da mesma forma, se a < b ou a = b, escrevemos a ≤ b (a menor ou igual que b).
Observa¸c˜ao: As propriedades acima se verificam para ≥ e para ≤.
I Se a ≥ 0, dizemos que a ´e um n´umero real n˜ao negativo.
I Se a ≤ 0, dizemos que a ´e um n´umero real n˜ao positivo.
Provaremos a monotonocidade da multiplica¸c˜ao parte (b): Hipotese 1: a > b
Hipotese 2: c < 0 Tese: b · c > a · c Demonstra¸c˜ao:
1. Da Hip 1 e da monotonicidade de adi¸c˜ao temos a + (−b) > b + (−b), ou seja, a − b > 0 2. Da Hip 2 temos que −c ∈ R+
3. De 1, 2 e da monotonocidade da multiplica¸c˜ao parte (a) temos que (−c) · (a − b) > 0
4. Da propriedade distributiva temos que
(−c) · (a − b) = b · c − c · a > 0, ou seja, b · c − c · a ∈ R+. 5. De 4 conclu´ımos que b · c > a · c.
Intervalos 1
intervalo aberto: { x ∈ R : a < x < b } = (a, b) intervalo fechado: { x ∈ R : a ≤ x ≤ b } = [a, b] intervalos semiabertos:
{ x ∈ R : a ≤ x < b } = [a, b) { x ∈ R : a < x ≤ b } = (a, b]
Intervalos 2
Seja a ∈ R. Ent˜ao { x ∈ R : x > a } = (a, +∞) { x ∈ R : x ≥ a } = [a, +∞) { x ∈ R : x < a } = (−∞, a) { x ∈ R : x ≤ a } = (−∞, a]Exemplos
1. Determine {x ∈ R : x2+ 2 > 3x } 2. Determine x ∈ R : x − 1 x − 2 < 1 .3. Demonstre que x2− 2x + 5 > 0 para todo x ∈ R
Exemplo 1
I Pela monotonicidade da adic¸c˜ao (isto ´e, somando −3x em ambos os membros) temos
x2+ 2 − 3x > 3x + (−3x ), ou seja, x2− 3x + 2 > 0
I Fatorando x2− 3x + 2 = (x − 2)(x − 1) temos que
(x − 2)(x − 1) > 0 ⇒ x > 2 e x > 1 ⇒ x > 2 ou x < 2 e x < 1 ⇒ x < 1 I Logo {x ∈ R : x2+ 2 > 3x } = (−∞, 1) ∪ (2, +∞)
Exemplo 2
I Vemos que x deve satisfazer a condi¸c˜ao x − 2 6= 0.
I Para simplificar a desigualdade, multiplicamos seus dois membros por x − 2 (monotinicidade da multplica¸c˜ao). Logo, devemos considerar dois casos:
Caso 1: x − 2 > 0. Nesse caso temos que x > 2 e x − 1
x − 2 < 1 ⇒ x > 2 e x − 1 < x − 2 ⇒ x > 2 e 1 < 0 (falso)
Caso 2: x − 2 < 0. Nesse caso temos que (a desiguadade muda) x < 2 e x − 1 x − 2 < 1 ⇒ x < 2 e x − 1 > x − 2 ⇒ x < 2 e 1 > 0 Logo x ∈ R : x − 1 x − 2 < 1 = (−∞, 2).
Outra solu¸c˜
ao
Somando os seus dois membros com −1 x − 1 x − 2 − 1 < 0 ⇒ x − 1 − x + 2 x − 2 < 0 ⇒ 1 x − 2 < 0 ⇒ x − 2 < 0 inverso multiplicativo ⇒ x < 2
Exemplo 3
Completando quadrados temos que
x2− 2x + 5 = (x2−2x ) + 5 = " x2−2x + 2 2 2# + 5 − 2 2 2 = (x2−2x +1) + 5 −1 = (x2−2x +1) + 4 = (x − 1)2+ 4 > 0. Observa¸c˜ao: Em geral temos que
x2−ax = x2−ax + a 2 2 −a 2 2 = (x − a2)2− (a 2) 2
Valor absoluto
O valor absolutode um n´umero real x , tamb´em chamado de
m´odulode x , denotado por |x |, ´e definido por:
|x| := ( x , se x ≥ 0 −x, se x < 0 Exemplos 1. |2 3| = 2 3, j´a que 2 3 > 0 2. | − 3| =−(−3) = 3, j´a que −3 < 0.
Teorema 1 Para cada n´umero real x temos que (i) |x| ≥ 0
(ii) |x| = | − x|
Observa¸c˜ao: De (ii ) temos que
|a − b| = | − (b − a)| = |b − a|,
ou seja, as diferen¸cas a − b e b − a tem o mesmo valor absoluto. Defini¸c˜ao
A distˆancia entre dois n´umeros reais, a e b, ´e o valor absoluto da diferen¸ca a − b, ou seja, |a − b|.
Observa¸c˜ao 1 Para qualquer n´umero real a temos que |a| = |a − 0|
´
e a distˆancia entre a e 0.
Teorema 2 Sejam x , y , a n´umeros reais.
(i) Se a ≥ 0, ent˜ao |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a
Se a > 0, ent˜ao |x| < a ⇔ −a < x < a (ii) Se a ≥ 0, ent˜ao |x| ≥ a ⇔ x ≥ a ou x ≤ −a Se a > 0, ent˜ao |x| > a ⇔ x > a ou x < −a (iii) |x · y | = |x| · |y |
O valor absoluto de um produto ´e o produto dos valores absolutos
(iv) |x + y | ≤ |x| + |y | desigualdade triangular
O valor absoluto de uma soma ´e menor ou igual que a soma dos valores absolutos
Observa¸c˜ao: Se |x − x0| ≤ 12 e |y − y0| ≤ 12, usando a desigualdade triangular temos que
|x + y − x0− y0| = |(x − x0) + (y − y0)| ≤ |x − x0| + |y − y0| ≤ 12+12 = 1
Exemplos
1. Determine o conjunto {x ∈ R : |2x + 3| < 1} 2. Determine o conjunto x ∈ R : |x2− 3x + 2| < 2 3. Determine o conjunto {x ∈ R : |x − 1| < |x − 2|}4. Mostre que se |x − 1| < 1, ent˜ao |x2− 1| < 3
5. Encontre um n´umero real δ tal que se |x − 2| < δ e 0 < δ < 2, ent˜ao
|x2− 4| < 1
Defini¸c˜ao: Sejam a ∈ R e um n´umero positivo. Dizemos que b ∈ R ´e uma aproxima¸c˜ao para a com erro menor do que se a distˆancia entre a e b ´e menor do que , ou seja,
|a − b| <
Exemplos:
1. O n´umero b = 0, 3 ´e uma boa aproxima¸c˜ao para a = 13 com erro menor do que 10−1.
Observe que 0, 33 ´e uma boa aproxima¸c˜ao para 13 com erro menor do que 10−2.
2. O n´umero b = 2, 85 ´e uma boa aproxima¸c˜ao para a =207 com erro menor do que 10−2.
I A desigualdade triangular ´e muito ´util para obtermos estimativas de erros de aproxima¸c˜ao.
I Sabemos que |13− 0, 33| < 10−2 e |207 − 2, 85| < 10−2. Usando a desigualdade triangular temos que
|(207 +13) − 3, 18| = |(207 − 2, 85) + (13 − 0, 33)| ≤ |207 − 2, 85| + |13− 0, 33| ≤ 10−2+ 10−2
≤ 201 +201 = 10−1
ou seja, 3, 18 ´e uma aproxima¸c˜ao para 207 +13 com erro menor do que 10−1.
