MA211 - Cálculo II. Segundo semestre de 2020 Turmas D/E. Ricardo M. Martins

MA211 - Cálculo II

Exemplo

Exemplo

Coordenadas polares

Lembre-se que o sistema de coordenadas polares é dado por {

x = r cos(θ), y = r sen(θ).

Limites em coordenadas polares

Em alguns casos, trocar de coordenadas cartesianas para coordenadas polares ajuda no cálculo do limite.

Desta forma, quando (x, y)→ (0, 0) teremos r → 0+

Limites em coordenadas polares

# Se x = y então ficamos com lim

(x,x)→(0,0)

2x3

2x2 =_(x,x)lim_→(0,0)x = 0,

então nosso primeiro chute é que o limite dê zero.

# Testando vários outros caminhos sempre obtemos o mesmo limite 0.

Limites em coordenadas polares

# Se x = y então ficamos com lim

(x,x)→(0,0)

2x3

2x2 =_(x,x)lim_→(0,0)x = 0,

então nosso primeiro chute é que o limite dê zero.

# Testando vários outros caminhos sempre obtemos o mesmo limite 0.

Limites em coordenadas polares

# Usando coordenadas polares

x = r cos(t), y = r sen(t) temos

lim (x,y)→(0,0) x3_{+ y}3 x2_{+ y}2 = _rlim_→0 r3_cos3_{(t) + r}3_sen3_(t) r2_cos2_{(t) + r}2_sen2_(t) = lim r→0 (r cos 3_{(t) + r sen}3_(t)) = 0

Limites em coordenadas polares

# Usando coordenadas polaresx = r cos(t), y = r sen(t) temos lim (x,y)→(0,0) x3_{+ y}3 x2_{+ y}2 = _rlim_→0 r3_cos3_{(t) + r}3_sen3_(t) r2_cos2_{(t) + r}2_sen2_(t) = lim r→0 (r cos 3_{(t) + r sen}3_(t)) = 0

Limites em coordenadas polares

Cuidado com o θ: como após a simplificação a resposta só depende de θ, o limite não existe.

Derivadas de funções

R → R

Se f : I⊂ R → Rn, dizemos que f é umacurva. Note que

f(t) = (f1(t), . . . , fn(t)

para certas funções fj: I⊂ R → R, j = 1, . . . , n.

As noções de limite e continuidade são herdadas do caso_{R → R,} aplicadas nas funções fj.

Derivadas de funções

R → R

O mesmo acontece com o conceito de derivada a derivada de f(t) é

f′(t) = (f′₁(t), . . . , fn(t)),

Derivadas de funções

R

→ R

O caso de funçõesRn→ R é um pouco diferente. O primeiro conceito que apresentaremos é oderivada parciale iremos nos inspirar no casoR → R.

Se f : U_{⊂ R}2 _{→ R, vamos fazer o seguinte: primeiro cortamos o}

gráfico de z = f(x, y) por um plano π da forma x = a ou da forma

y = b.

A interseção do gráfico com o plano nos dará uma curva contida no plano π. Esta curva será o gráfico de uma função no plano π (no caso, o gráfico de z = f(x, b) ou de z = f(a, y)).

Vamos definir aderivada parcialde f(x, y) com respeito a x (ou y) no ponto (a, b) como sendo a derivada desta curva na projeção do ponto (a, b).

Derivadas de funções

R

→ R

Formalmente, aderivada parcial de f : U⊂ R2→ R no ponto (a, b) com respeito a xé dada pelo limite

lim

h→0

f(a + h, b)_{− f(a, b)} h

quando ele existe, e denotada por fx(a, b) ou ∂f

∂x(a, b). Já a

derivada parcial de f : U⊂ R2→ R no ponto (a, b) com respeito a yé dada pelo limite

lim

k_→0

f(a, b + k)− f(a, b) k

quando ele existe, e denotada por fy(a, b) ou ∂f

Derivadas de funções

R

→ R

É bastante útil definir a derivada como uma função, assim como fazermos com funções de uma variável.

Para isto, definimos

fx(a, b) = lim h→0 f(a + h, b)_{− f(a, b)} h e fy(a, b) = lim k_→0 f(a, b + k)− f(a, b) k .

Derivadas de funções

R

→ R

Seja

k(x, y) = sen(x) + y2. Calcule fx e fy.

Derivadas de funções

R

→ R

Derivadas de funções

R

→ R

Derivadas de funções

R

→ R

Seja h(y) = f(x, y) = sen ( x x2_{+ y}2 ) . Assim h′(y) = fy(x, y) e: h′(y) = fy(x, y) = cos ( x x2_{+ y}2 ) · −x · (2y) (x2+ y2)2 = − cos ( x x2_{+ y}2 ) · 2xy (x2+ y2)2 Logo fy(1, 1) =− cos ( 1/2)2 4.

Derivadas de funções

R

→ R

Derivadas de funções

R

→ R

Derivadas de funções

R

→ R

Derivadas de funções

R

→ R

Próxima aula: Diferenciais, aproximações lineares e planos tangentes.

Se cuidem: usem máscaras, limpem as mãos com álcool em gel. Fique em casa.