Lição 16. Cálculo Vectorial

(1)

• Derivada de um Vector

• Reparametriza¸c˜ao de Curvas no Comprimento do Arco • Integrais de Linha

• Trabalho de um Campo Vectorial Sobre um Caminho

Vectores

2D

Vectores da Base Standard ˆ_{i = (1, 0)} ˆ_{j = (0, 1)} Representa¸cão ~ u = (ux, uy) = uxî + uyˆj Módulo k~uk = qu2 x+ u2y 3D

Vectores da Base Standard

ˆ_{i = (1, 0, 0)} ˆ_{j = (0, 1, 0)} ˆ_{k = (0, 0, 1)} Representa¸cão ~ u = (ux, uy, uz) = uxî + uyˆj + uzˆk Módulo (comprimento) k~uk = qu2 x+ u2y+ u2z Figura 1:

(2)

Produtos Escalar e Vectorial

Produto Escalar

O produto escalar de dois vectores ~u e ~v é um escalar, indicado da forma ~u · ~v. É definido sobre espa¸cos vectoriais de qualquer dimensão (2D, 3D, etc).

2D ~ u = (ux, uy) ~v = (vx, vy) ~ u · ~v = k~uk k~uk cos(θ) = uxvx+ uyvy 3D ~ u = (ux, uy, uz) ~v = (vx, vy, vz) ~ u · ~v = k~uk k~vk cos(θ) = uxvx+ uyvy+ uzvz Figura 2:

O produto escalar de dois vectores serve para representar a componente escalar (ou projec¸c˜ao escalar) u~v do

vector ~u sobre o vector ~v (figura 2). Se k~vk = 1, ent˜ao

u~v = ~u · ~v = k~ukcos(θ)

e vector com a direc¸c˜ao de ~v, definido por

u~v~v

diz-se projec¸c˜ao vectorial, ou componente vectorial, de ~u sobre ~v.

Exemplo

~ u = (−2, 1, 3) ~v = (3, 4, 1) k~uk = p(−2)2_{+ 1}2_{+ 3}2 ₌ √₁₄ k~vk = p32_{+ 4}2_{+ 1}2 ₌ √₂₆ ~ u · ~v = −2 × 3 + 1 × 4 + 3 × 1 = 1 θ = cos−1 _~_{u · ~}_v k~uk k~vk = cos−1 ₁ √ 14√26 ≈ 1.52 rad (≈ 87o)

(3)

~ u × ~v =   ˆ_i ˆ_j ˆ_k ux uy uz vx vy vz   = (uyvz− uzvy, uzvx− uxvz, uxvy− uyvx) = (uyvz− uzvy)ˆi + (uzvx− uxvz)ˆj + (uxvy− uyvx)ˆk (1)

O produto vectorial serve para representar áreas de paralelogramos localizados no espa¸co 3D. O módulo do vector representa o valor da área e a sua direçcão é perpendicular ao paralelogramo (figura 3).

´

Area do paralelogramo = k~u × ~vk = k~uk k~vk sen(θ)

Figura 3:

Os módulos das coordenadas do produto vectorial (1), representam as áreas das projeçcões do paralelogramo definido pelos vectores ~u e ~v nos planos coordenados perpendiculares ao vector unitário î, ˆj, ˆk correspondente `

a coordenada (figura 4).

(4)

Exemplos

Produto vectorial

~ u = (−2, 1, 3) ~v = (3, 4, 1) k~uk = p(−2)2_{+ 1}2_{+ 3}2 ₌ √₁₄ k~vk = p32_{+ 4}2_{+ 1}2 ₌ √₂₆ ~ u × ~v = (1 × 1 − 3 × 4, 3 × 3 − (−2) × 1, (−2) × 4 − 1 × 3) = (−11, 11, −11) θ = sen−1 _~_{u × ~}_v k~uk k~vk = sen−1 p (−11)2_{+ (11)2 + (−11)}2 √ 14√26 ! ≈ 1.52 rad (≈ 87o)

Parametriza¸

c˜

ao de Curvas

Na imagem esquerda da figura 5 está representada uma circunferência de raio R e duas equa¸cões, x(t) = Rcos(t)

y(t) = Rsen(t)

ditas equa¸cões paramétricas da circunferência no parâmetro t. A cada valor de t no intervalo [0, 2π], corres-ponde um ponto (x(t), y(t)) da circunferência. À medida que t aumenta, o vector posi¸cão ~r(t) = x(t)î + y(t)ˆj percorre a circunferência no sentido anti-horário. A circunferência definida pelas equa¸cões paramétricas, diz-se curva paramétrica. Estabece-se assim uma diferen¸ca entre curva, que é uma linha no espa¸co, e curva paramétrica, que é uma linha no espa¸co com um sentido associado.

Uma parametriza¸c˜ao da circunferˆencia

C : (

x(t) = Rcos(t)

y(t) = Rsen(t) 0 ≤ t ≤ 2π Sentido associado: sentido anti-hor´ario ~

r(0) = (x(0), y(0)) = (cos(0), sen(0)) = (1, 0)

Na direita da figura 5, temos o mesmo conjunto de pontos (circunferˆencia de centro na origem e raio R), definida por outra parametriza¸c˜ao.

Outra parametriza¸c˜ao da circunferˆencia

C : (

x(t) = Rsen(t)

y(t) = Rcos(t) 0 ≤ t ≤ 2π Sentido associado: sentido hor´ario ~

(5)

Figura 5:

Exemplos

Exemplo 1. Escrever a equa¸cão vectorial, as equa¸cões paramétricas e a equa¸cão cartesiana da recta que contém o ponto P = (4, 2) e tem a direçcão do vector ~u = (−1, 5).

Resolu¸c˜ao. Equa¸c˜ao vectorial

~ r(t) = P + ~_{ut, t ∈ R} ~ r(t) = (4, 2) + t(−1, 5)R ~ r(t) = (4 − t)î + (2 + 5t)ˆj Qualquer uma destas duas equa¸cões se diz equa¸cão vectorial da recta. Equa¸cões paramétricas

C : (

x(t) = 4 − t

y(t) = 2 + 5t t ∈ R

Na figura 6 está representado o gráfico da recta. O ponto correspondente a t = 0 é (4, 2). O sentido definido sobre a curva pela parametriza¸cão, dito sentido positivo, é o sentido dos valores de y crescentes.

Figura 6: Equa¸c˜ao cartesiana

(6)

equa¸c˜ao cartesiana.

y = 2 + 5t y = 2 + 5(4 − x) y = −5x + 22

Exemplo 2. Parametrizar a circunferˆencia x2_{+ y}2 _{= 5, sendo o parˆ}_{ametro 0 ≤ t ≤ 2π, de modo que}

(x(0), y(0)) = (−1, 0), e o sentido definido sobre a curva seja o sentido horário (figura 7). Resolu¸cão. A parametriza¸cão C : ( x(t) = √5sen(t) y(t) = √5cos(t) 0 ≤ t ≤ 2π

define o sentido pretendido sobre a curva, mas (x(0), y(0)) = (0, 1). Para obtermos (x(0), y(0)) = (−1, 0), retiramos π/2 ao ˆangulo. C : ( x(t) = √5sen(t − π/2) y(t) = √5cos(t − π/2) 0 ≤ t ≤ 2π. De forma equivalente C : ( x(t) = −√5cos(t) y(t) = √5sen(t) 0 ≤ t ≤ 2π. Figura 7:

Exemplo 3. Escrever uma parametriza¸c˜ao no parˆametro 0 ≤ t ≤ 1, que represente o segmento AB da recta y = 2x (figura 8) e que defina sobre este segmento o sentido indicado.

Resolu¸c˜ao.

Podemos supor uma rela¸cão linear entre x e t, e usar os pontos (t, x) = (0, 2) e (t, x) = (1, 1) para obter a equa¸cão x = −t + 2. A partir desta rela¸cão, obtém-se y = 2x = 2(−t + 2) = −2t + 4.

C : (

x(t) = −t + 2

(7)

Figura 8:

Derivada de um Vector

Dada uma curva C, com vector posi¸c˜ao ~r(t), consideremos a diferen¸ca de vectores ~r(t + ∆t) − ~r(t) (figura 9). Fixemos o valor de t e fa¸camos ∆t → 0. `A medida que ∆t diminui, a extremidade do vector ~r(t + ∆t) vai deslizando sobre a curva, aproximando-se da extremidade do vector ~r(t). A diferen¸ca de vectores tende para o vector nulo.

Figura 9: Consideremos o limite lim ∆t→0 ~ r(t + ∆t) − ~r(t) ∆t .

O cociente na expressão é um vector, uma vez que representa a multiplica¸cão do vector ~r(t + ∆t) − ~r(t)

pelo escalar 1/∆t. Se o limite existir, tem que ser um vector. Este vector designa-se por derivada do vector ~ r(t) no ponto t, e escreve-se ~ r0(t) = lim ∆t→0 ~ r(t + ∆t) − ~r(t) ∆t .

Numa vizinhan¸ca muito pequena do ponto t, a curva confunde-se com a recta que lhe é tangente no ponto (imagem à direita, na figura 10). O vector ~r0(t) tem a direçcão da tangente à curva, no ponto onde é calculado. O seu sentido é o sentido definido sobre a curva pela parametriza¸cão.

(8)

Figura 10:

Exemplo

(a) Determinar um vector com a direçcão da tangente à curva C no ponto t = 2. (b) Determinar uma equa¸cão vectorial da recta tangente à curva C no ponto t = 2 (figura 11).

C : (

x(t) = t

y(t) = t2 0 ≤ t ≤ 3 Resolu¸c˜ao.

(a) Dado o vector posi¸cão da curva, ~r(t), o vector ~r0(2) tem a direçcão da tangente à curva C no ponto t = 2.

~r(t) = tˆi + t2ˆj = (t, t2) ~r0(t) = (1, 2t)

~r0(2) = (1, 4)

(b) Seja ~q(t) o vector posi¸cão da recta. A recta contém o ponto (x, y) = (x(2), y(2)) = (2, 4), e tem a direçcão do vector ~r0(2).

~

q(t) = (2, 4) + t(1, 4)

= (2 + t)ˆi + (4 + 4t)ˆj _{(t ∈ R)}

(9)

o parâmetro t representa o comprimento do arco apenas no caso em que R = 1. Neste caso, o comprimento da circunferência é 2πR = 2π, que é igual ao valor máximo do parâmetro t. Isto significa que quando t = π/3, por exemplo, este valor de t representa o comprimento do peda¸co de curva que tem por extremos os pontos t = 0, A, e t = π/3, B. O arco AB mede π/3 (unidades de comprimento).

Figura 12:

Se for R = 2, o comprimento da circunferência é 2πR = 4π, enquanto o valor máximo do parâmetro t é 2π. Por isso t não representa o comprimento do arco. O que se pode fazer neste caso, é reparametrizar a curva no comprimento do arco. Seja s(t) a medida do arco definido pelos extremos AB. Sabemos que

s = tR.

e, por isso, t = s/2, para o caso R = 2. Substituindo esta expressão para t nas equa¸cões paramétricas, obtemos a parametriza¸cão no comprimento do arco

C : (

x(t) = 2cos(s₂)

y(t) = 2sen(s₂) 0 ≤ s ≤ 4π

que define o ponto (x, y) = (2, 0) como o ponto de s = 0, e o sentido anti-horário como o sentido em que a curva é descrita quando o parâmetro s aumenta.

Vimos anteriormente que a f´ormula

L = Z b

a

p

1 + (y0₎2_dx ₍₂₎

representa o comprimento da curva y = f (x) correspondente ao intervalo [a, b] de valores de x. Se fizermos a substitui¸cão x = x(t), sendo x(t) a equa¸cão paramétrica de uma dada parametriza¸cão da curva, temos

dx dt = x 0 t ⇔ dx = x 0 tdx e y_x0 = dy dx = dy dt dt dx = y 0 t 1 x0t = y 0 t x0t .

(10)

Podemos escrever p 1 + (y0 x)2dx = p 1 + (y0 t)2/(x0t)2x0tdt = p (x0 t)2+ (y0t)2dt = k~r 0 (t)kdt. O integral (2) pode escrever-se

s(t) = Z t

t0

k~r0(t)kdt,

sendo t = t0 o ponto da curva em que s = 0, e t o outro ponto extremo do arco cujo comprimento se quer

calcular.

Exemplos

Exemplo 1. Reparametrizar no comprimento do arco a recta

C : (

x(t) = 2t + 1

y(t) = 3t − 2 t ∈ R,

de modo que seja s = 0 no ponto (x, y) = (3, 1) e o sentido definido sobre a curva se mantenha. Resolu¸c˜ao.

Vamos obter uma expressão para t em fun¸cão de s, e substitui-la nas expressões paramétricas. O ponto (x, y) = (3, 1) corresponde a t = 1. Podemos escrever

s(t) = Z t 1 k~r0(t)kdt. Vamos determinar k~r0(t)k. ~r(t) = (2t + 1, 3t − 2) ~r0(t) = (2, 3) k~r0(t)k = p22_{+ 3}3 ₌ √₁₃

Podemos agora escrever uma express˜ao para t em fun¸c˜ao de s. s(t) = Z t 1 √ 13dt = √13t ⇒ t = √s 13

Substitui-se o parâmetro t nas equa¸cões paramétricas por esta expressão.

C : ( x(s) = 2√s 13+ 1 y(t) = 3√s 13− 2 s ∈ R, Exemplo 2. Determinar o comprimento da curva

C :      x(t) = et y(t) = e−t z(t) = √2t − 1 ≤ t ≤ 1.

(11)

~r(t) = (et, e−t,√2t) ~r0(t) = (et, −e−t,√2) k~r0(t)k = pe2t_{+ e}−2t_{+ 2} Por ser e2t+ e−2t+ 2 = et+ e−t2 , obt´em-se k~r0(t)k = q (et_{+ e}−t₎2 = et+ e−t. Escrevemos a express˜ao de L. L = Z 1 −1 (et+ e−t)dt = et− e−t 1 −1

= 2(e − e−1) ≈ 4.7 (unidades de comprimento)

Integrais de Linha

Generaliza¸cão do problema da área: dada uma curva C no plano xy, parametrizada no comprimento do arco, e uma fun¸cão z = f (x, y), cujo dom´ınio inclui os pontos de C, qual a área da ‘parede’ cujo fundo é C e o topo é a linha pertencente à superf´ıcie z = f (x, y) que se projecta sobre C? (imagem na esquerda da figura 13)?

Figura 13:

(12)

Subdividir a curva C em n partes, cada uma delas delimitada pelos pontos sk, sk+1, com 0 ≤ k ≤ n − 1

(três destes pontos estão representados na imagem inferior da figura 13). A medida do segmento de recta que une cada par de pontos consecutivos é ∆s.

Considerar os rectˆangulos cujas bases s˜ao os segmentos de recta de extremos sk, sk+1, com medida

∆s, e as alturas são os valores que a fun¸cão f (x, y) toma no ponto sk (imagem à direita, em cima, na

figura 13). Tomar a soma das áreas do rectângulos como uma aproxima¸cão da área pretendida. ´ Area ≈ n X k=1 f (x(sk), y(sk)) ∆s

Se existir o limite deste somatório quando n → ∞, então ele corresponde ao valor exacto da área e escreve-se ´ Area = lim n→∞ n X k=1 f (xk, yk)∆s = Z C f (x(s), y(s)) ds. (3)

O integral designa-se por integral de linha de f (x, y) sobre a curva C parametrizada no comprimento do arco.

Se a curva C vier parametrizada num parˆametro t, diferente do comprimento do arco, podemos fazer uma mudan¸ca de vari´avel no integral (3).

s = Z t t0 k~r0(t)k dt ⇒ds dt = k~r 0 (t)k ⇒ ds = k~r0(t)k dt

Daqui resulta uma express˜ao para o integral de linha de f (x, y) sobre a curva C, independente da parame-triz¸c˜ao desta. Z C f (x(s), y(s)) ds = Z C f (x(t), y(t))k~r0(t)k dt.

Exemplos

Exemplo 1. Determinar o integral de linha Z

C

(1 + xy2) ds sendo C o arco da curva

(

x(t) = t

y(t) = 2t t ∈ R, que tem como pontos extremos (0, 0) e (1, 2).

(13)

~ r0(t) = (1, 2) k~r0(t)k = p12_{+ 2}2 ₌ √₅ Por ser x(t) = t y(t) = 2t, a express˜ao da fun¸c˜ao f (x, y) sobre os pontos da curva C fica

(1 + xy2) = (1 + t(2t)2) = 1 + 4t3. Podemos prosseguir com o c´alculo do integral.

Z C (1 + xy2) ds = Z 1 0 (1 + xy2) k~r0(t)k dt = Z 1 0 (1 + 4t3)√5 dt = 2√5

Exemplo 2. Calcular a massa do fio semi-circular

C : (

x(t) = 5cos(t)

y(t) = 5sen(t) 0 ≤ t ≤ π, de densidade de massa δ(x, y) = 15 − y gramas (figura 14).

Figura 14: Resolu¸c˜ao.

A fun¸cão densidade de massa δ(x, y) é cont´ınua. Dividindo o fio em segmentos com comprimento ∆s suficientemente pequeno, podemos considerar δ(x, y) aproximadamente constante em cada um deles. Se for δ(xk, yk) o valor aproximado da densidade de massa no k-ésimo segmento, a massa do segmento é

aproximadamente δ(xk, yk) ∆s. A massa total do fio ´e aproximada pelo somat´orio das massas assim obtidas

para todos os segmentos. Atendendo à defini¸cão de integral de linha vista anteriormente, conclui-se que o valor exacto da massa é dado pelo integral de linha

M = Z C δ(x, y) ds = Z π 0 (15 − y) k~r0(t)k dt

(14)

Come¸camos por calcular k~r0(t)k. ~ r(t) = (5cos(t), 5sen(t)) ~ r0(t) = (−5sen(t), 5cos(t)) k~r0(t)k = p25sen2_{(t) + 25cos}2_{(t) =} √_{25 = 5}

O c´alculo da massa do fio prossegue. M = Z C δ(x, y) ds = Z π 0 (15 − y) k~r0(t)k dt ⇒ Z π 0 (15 − 5sen(t))5 dt ≈ 185.6 (gramas)

Exemplo 3. Determinar a ´area da regi˜ao do cilindro x2_{+ y}2 _{= 1, delimitada inferiormente pelo plano}

z = 0 e superiormente pela superf´ıcie z = 1 − x2 _{(figura 15).}

Figura 15: Resolu¸c˜ao.

Quer-se calcular a ´area A da superf´ıcie a tracejado na figura, pertencente ao cilindro x2_{+ y}2_{= 1.}

A = Z C (1 − x2)ds = Z C (1 − x2) k~r0(t)k dt

A curva C admite a parametriza¸c˜ao

C : (

x(t) = cos(t)

y(t) = sen(t) 0 ≤ t ≤ 2π. Come¸camos por calcular k~r0(t)k.

~

r(t) = (cos(t), sen(t)) ~

r0(t) = (−sen(t), cos(t))

(15)

= 1 2 0

(1 − cos(2t)) dt = π (unidades de ´area)

Trabalho de um Campo Vectorial Sobre um Caminho

Caminho ´e uma curva definida por uma parametriza¸c˜ao. Campo de For¸cas (ou Campo Vectorial)

Campo de for¸cas, ou campo vectorial, ´e uma fun¸c˜ao que atribui um vector a cada ponto do espa¸co. 2D

~

F (x, y) = f (x, y)ˆi + g(x, y)ˆj = (f (x, y), g(x, y)) 3D ~ F (x, y, z) = f (x, y, z)ˆi + g(x, y, z)ˆj + h(x, y, z)ˆk = (f (x, y, z), g(x, y, z), h(x, y, z))

Exemplos

Exemplo 1. ~ F (x, y) = xˆi + yˆjˆk

Um esbo¸co deste campo vectorial est´a representado na esquerda da figura 16.

Figura 16:

Na imagem da direita representa-se o vector ~F (2, 1) = (2, 1). Notar que (2, 1) representa um vector aplicado na origem. A imagem da direita serve para salientar que este vector ´e o valor de ~F (x, y) no ponto (2, 1).

(16)

Exemplo 2.

~

F (x, y) = yˆi + xˆj

Figura 17:

Na imagem da direita representa-se o vector ~F (2, 1) = (1, 2), transportado para o ponto (2, 1). Exemplo 3.

~

F (x, y) = −yˆi + xˆj

Figura 18:

(17)

sendo vi a velocidade do corpo quando este inicia o trajecto, e vf a velocidade com que o corpo termina o

trajecto. Esta varia¸cão da energia cinética do corpo não depende da massa do corpo, nem da sua velocidade inicial (velocidade do corpo quando a for¸ca come¸ca a actuar sobre ele), mas apenas de F e d (primeiro membro da expressão), e diz-se trabalho realizado pela for¸ca F ao longo da trajectória linear de medida d. Se a for¸ca for variável ao longo da trajectória, ou se a trajectória não for linear (imagem à esquerda na figura 19), podemos subdividir a trajectória em arcos de medida ∆s suficientemente pequena, de modo que se possa considerar a for¸ca aproximadamente constante sobre cada subdivisão, cada uma das subdivisões sendo aproximadamente linear (imagem à direita na figura 19). O trabalho ∆Wk realizado pela for¸ca ao

longo da k-ésima subdivisão da trajectória é

∆Wk ≈ k ~Fkkcos(θ)∆s. (4)

Figura 19:

Fica claro que o trabalho realizado pela for¸ca sobre a curva C ´e dado por um integral de linha, que resulta do limite do somat´orio dos trabalhos realizados ao longo dos percursos de medida ∆s.

W = Z

C

dW

Quer-se obter uma fórmula que possamos usar, tendo como dados o campo de for¸cas ~F e uma parametriza¸cão da curva C. Na fórmula (4), a expressão k ~Fkkcos(θ) corresponde à projeçcão de ~F na direçcão da tangente

`

a curva. Esta express˜ao pode escrever-se

k ~Fkkcos(θ) = ~Fk·

~ r_k0 k~r0

k(t)k

sendo ~r_k0/k~r_k0(t)k um vector unitário com a direçcão tangente à curva e sentido igual ao sentido que a parametriza¸cão define sobre a curva. Podemos escrever

W = Z C ~ F · ~r 0 k~r0 (t)kds.

(18)

Como ds = k~r0(t)k dt, obt´em-se W = Z C ~ F · ~r 0 k~r0 (t)kk~r 0 (t)k dt W = Z C ~ F · ~r0(t) dt

Exemplos

Exemplo 1. Determinar o trabalho realizado pelo campo vectorial ~F (x, y) = −yˆi + xˆj aolongo da curva C: x2+ y2, x, y ≥ 0, orientada no sentido retr´ogrado.

Resolu¸c˜ao

A curva admite a parametriza¸c˜ao C :

(

x(t) = 3cos(t)

y(t) = 3sen(t) 0 ≤ t ≤ π/2.

Um esbo¸co do campo vectorial ~F (x, y) e da curva C, est´a representado na figura 20.

Figura 20:

Como o sentido da projeçcão do campo de for¸cas sobre a curva coincide com o sentido em que esta é descrita, o trabalho deve ser positivo.

W = Z

C

~

F · ~r0(t) dt

Come¸camos por calcular ~F · ~r0(t).

~r(t) = (3cos(t), 3sen(t)) ~r0(t) = (−3sen(t), 3cos(t))

~

F · ~r0(t) = (−y, x) · (−3sen(t), 3cos(t))

= (−3sen(t), 3cos(t)) · (−3sen(t), 3cos(t)) = 9sen2(t) + 9cos2(t) = 9 O c´alculo do trabalho prossegue.

W = Z π/2

0

9dt = 9 2π.

(19)