Hipersuperfícies em formas espaciais satisfazendo

(1)

Universidade Federal da Bahia - UFBA

Instituto de Matem´

atica - IM

Programa de Pós-Graduação em Matemática - PGMAT Dissertação de Mestrado

Hipersuperf´ıcies em formas espaciais satisfazendo

a condic

¸˜

ao L

k

(x) = Ax

Luiz Alberto de Oliveira Silva

Salvador-Bahia Setembro de 2011

(2)

a condic

¸˜

ao L

k

Luiz Alberto de Oliveira Silva

Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao Colegiado da Pós-Gradua¸cão em Matemática da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Jos´e Nelson Bastos Barbosa.

Salvador-Bahia Setembro de 2011

(3)

Silva, Luiz Alberto de Oliveira.

Hipersuperf´ıcies em formas espaciais satisfazendo a condi¸c˜ao Lk(x) = Ax/ Luiz Alberto de Oliveira Silva. – Salvador: UFBA, 2011.

51 f.

Orientador: Prof. Dr. Jos´e N. Bastos Barbosa.

Disserta¸cão (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matemática, Programa de Pós-gradua¸cão em Matemática, 2011.

Referˆencias bibliogr´aficas.

1. Geometria Riemanniana. 2. Hipersuperf´ıcie. I.Barbosa, Jos´e N. Bastos. II. Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´atica. III. T´ıtulo.

(4)

a condic

¸˜

ao L

k

Luiz Alberto de Oliveira Silva

Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao Colegiado da Pós-Gradua¸cão em Matemática da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática, aprovada em 23 de setembro de 2011.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Jos´e Nelson Bastos Barbosa (Orientador) UFBA

Prof. Dr. Enaldo Silva Vergasta UFBA

Prof. Dr. Marcos Petr´ucio de Almeida Cavalcante UFAL

(5)

Meus pais, meus irm˜aos e a Milena.

(6)

A minha mãe Veralúcia por incentivar meus estudos, a meu pai Antônio, meus irmãos e a minha companheira Milena pelo carinho em todos os momentos.

Agrade¸co também aos meus colegas da pós-gradua¸cão. Aos colaboradores deste trabalho como Dimi Rangel, Marcus Morro, Fellipe Leite, Rodrigo Von Flach, Teófilo Nascimento, Thiago Nunes e Renivaldo Sena.

Um agradecimento em especial ao professor José Nelson pela sua orienta¸cão e escolha do tema e aos demais professores do Instituto de Matemática.

(7)

“Matemáticos são máquinas de transformar café em teo-remas ”.

(8)

Este trabalho trata de hipersuperf´ıcies na esfera Sn+1 _{ou no espa¸co hiperb´}_olico

Hn+1, cujo vetor posi¸cão x satisfaz a condi¸cão Lkx = Ax, onde Lké o operador linearizado

da (k + 1)-ésima curvatura média da hipersuperf´ıcie para um k = 0, 1, ..., n − 1 fixado e A ∈ R(n+2)×(n+2) é uma matriz constante auto-adjunta. Para cada k, tem-se que as ´

unicas hipersuperf´ıcies que satisfazem as condi¸cões acima são: aquelas que possuem a (k + 1)-ésima curvatura média nula e k-ésima curvatura média constante ou uma parte aberta do toro de Clifford (Sm₍√_{1 − r}2_{) × S}n−m_{(r) ⊂ S}n+1 _{com 0 < r < 1) ou uma parte}

aberta do cilindro hiperb´_{olico (H}m₍₋√_{1 + r}2_{) × S}n−m_{(r) ⊂ H}n+1 _{com r > 0).}

(9)

Abstract

This work deals with hypersurfaces either in the sphere Sn+1_{or in the hyperbolic}

space Hn+1 _{whose position vector x satisfies the condition L}

kx = Ax where Lk is the

linearized operator of the (k + 1)-th mean curvature of the hypersurfaces for a fixed k = 0, 1, ..., n − 1 and A ∈ R(n+2)×(n+2) is a self-adjoint constant matrix. For each k, it follows that the only hypersurfaces which satisfy the condition above are: those that have the (k + 1)-th mean curvature zero and k-th mean curvature constant or an open piece of the Clifford’s torus (Sm₍√_{1 − r}2_{) × S}n−m_{(r) ⊂ S}n+1 _{with 0 < r < 1) or an open piece of}

the hyperbolic cylinder (Hm₍₋√_{1 + r}2_{) × S}n−m_{(r) ⊂ H}n+1 _{with r > 0).}

(10)

Introdu¸c˜ao 1

1 A esfera e o espa¸co hiperb´olico 3

1.1 A esfera . . . 3 1.2 O espa¸co hiperb´olico . . . 4

2 Operadores linearizados (Lk) 9

3 Hipersuperf´ıcies que satisfazem a condi¸c˜ao Lkx = Ax 20

3.1 Hipersuperf´ıcies com a (k + 1)-ésima curvatura média nula e a k-ésima curvatura média constante . . . 20 3.2 Toro de Clifford . . . 21 3.3 Cilindro hiperbólico . . . 25

4 Teorema 29

(11)

Introdu¸

c˜

ao

Em 1966, Takahashi [Tak66] mostrou que as ´unicas subvariedades n-dimensionais isometricamente imersas no espa¸co euclidiano Rn+m_{, cujas fun¸c˜}_{oes coordenadas s˜}_ao

au-tovalores do operador Laplaciano associado a algum autovalor λ, ou são subvariedades m´ınimas em Rn+m (com λ = 0) ou são subvariedades em uma hiperesfera redonda Sn+m−1 ⊂ Rn+m (com λ = rn2 > 0). Em particular, quando a codimensão é m = 1,

o teorema de Takahashi afirma que se x : Mn _{→ R}n+1 é uma hipersuperf´ıcie imersa no espa¸co euclidiano e 4 denota seu operador Laplaciano (com respeito a métrica induzida), então a imersão satisfaz a condi¸cão 4x + λx = 0 para alguma constante real λ se, e somente se, M é m´ınima com λ = 0 ou M é uma parte aberta da hiperesfera redonda de raio r =pn_λ _{centrada na origem de R}n+1 com λ > 0.

Como uma extensão do teorema de Takahashi, Garay [Gar90] estudou hiper-superf´ıcies no espa¸co euclidiano cujas fun¸cões coordenadas são autovalores do operador Laplaciano, mas não necessariamente associado ao mesmo autovalor. Para ser mais es-pec´ıfico, Garay [Gar90] considerou hipersuperf´ıcies em Rn+1 _{satisfazendo 4x = Ax (com}

respeito ao mesmo sistema de coordenadas ortonormal), onde A ∈ R(n+1)×(n+1) _´_{e uma}

matriz diagonal constante. Em 1990, ele provou que as únicas tais hipersuperf´ıcies são m´ınimas em Rn+1, parte aberta da hiperesfera redonda ou parte aberta dos cilindros esféricos generalizados.

Baseado nisto, Dillen [DPV90] considerou superf´ıcies em R3 _{cuja imers˜}_{ao satisfaz}

a condi¸c˜_{ao 4x = Ax + b, onde A ∈ R}3×3 _´_{e uma matriz constante e b ∈ R}3 _´_{e um vetor}

constante. Em 1990, ele provou que as ´unicas tais superf´ıcies s˜ao m´ınimas, partes abertas da esfera redonda ou partes abertas de cilindros circulares. Em 1991, o resultado de Dillen foi generalizado em Rn+1, por Hasanis e Vlachos [HVl92], Chen e Petrovic [CPe91].

O operador Laplaciano 4 pode ser visto como o primeiro de uma sequˆencia de operadores L0 = 4, L1, ..., Ln−1, onde Lk representa o operador linearizado da (k +

1)-ésima curvatura média da hipersuperf´ıcie. Estes operadores Lk : C∞(M ) → C∞(M ) são

definidos por Lk(f ) = tr(Pk ◦ ∇2f ), onde f é uma fun¸cão diferenciável em M , Pk é a

k-ésima transforma¸cão de Newton associada à segunda forma fundamental da hipersu-perf´ıcie e ∇2f é a hessiana de f .

(12)

Em 2006, Al´ıas e Gürbüz [AGu06] estenderam a classifica¸cão para hipersuperf´ıcies em Rn+1_{satisfazendo 4x = Ax+b. Eles classificaram hipersuperf´ıcies no espa¸co euclidiano}

Rn+1 satisfazendo a condi¸c˜ao Lkx = Ax + b, provando que as ´unicas tais hipersuperf´ıcies

são as que têm a (k + 1)-ésima curvatura média zero, uma parte aberta da hiperesfera redonda ou uma parte aberta do cilindro esférico reto generalizado. Em 2010, Al´ıas e Kashani [AKa10] mostraram o seguinte teorema, que é o resultado principal desta dis-serta¸cão.

Teorema: Seja x : Mn _{→ M}n+1

c ⊂ Rn+2q uma hipersuperf´ıcie orient´avel imersa onde

M_cn+1 ´_{e a esfera euclidiana S}n+1 _{⊂ R}n+2 se c = 1 ou o espa¸co hiperb´_{olico H}n+1 _{⊂ R}n+2₁ se c = −1. Se Lk é o operador linearizado da (k + 1)-ésima curvatura média de M ,

para algum k = 0, 1, 2, ..., n − 1 fixado, então a imersão satisfaz a condi¸cão Lkx = Ax

para alguma matriz constante auto-adjunta A ∈ R(n+2)×(n+2)_{se, e somente se, ´}_{e uma das}

seguintes hipersuperf´ıcies:

(1) uma hipersuperf´ıcie com a (k + 1)-ésima curvatura média zero e a k-ésima curvatura média constante;

(2) uma parte aberta do Toro de Clifford, Sm(√1 − r2_{) × S}n−m

(r) ⊂ Sn+1, 0 < r < 1, se c = 1;

(3) uma parte aberta do cilindro hiperb´_{olico, H}m₍₋√_{1 + r}2_{) × S}n−m_{(r) ⊂ H}n+1_{, r > 0,}

se c = −1.

Esta disserta¸cão é dividida em quatro cap´ıtulos. No cap´ıtulo 1, trataremos de conceitos básicos que serão utilizados nas demonstra¸cões de alguns resultados.

No cap´ıtulo 2, apresentaremos as defini¸c˜oes das transforma¸c˜oes de Newton (os operadores Pk) e dos operadores linearizados (Lk), bem como algumas propriedades e

express˜oes.

Descreveremos, no cap´ıtulo 3, as hipersuperf´ıcies x : Mn _{→ M}n+1

c ⊂ Rn+2q

ori-ent´aveis imersas em Mn+1

c satisfazendo a condi¸c˜ao Lkx = Ax, onde Lk ´e o operador

linearizado da (k + 1)-ésima curvatura média de M para algum k = 0, 1, ..., n − 1 fixado e A ∈ R(n+2)×(n+2) é alguma matriz constante auto-adjunta.

(13)

Cap´ıtulo 1

A esfera e o espa¸

co hiperb´

olico

Neste cap´ıtulo apresentaremos as variedades que ser˜ao os espa¸cos ambientes das hipersuperf´ıcies tratadas neste trabalho.

1.1 A esfera

A esfera unit´aria ´_{e definido por S}n _{= {x = (x}

0, ..., xn+1); |x| = 1}. Denotaremos

Sη : X(M ) → X(M ) o operador de Weingarten.

Proposi¸c˜_{ao 1.1. A segunda forma fundamental de S}n _{,→ R}n+1 _´_{e dada por S}

η = Id.

Al´_{em disso, a curvatura seccional de S}n _´_{e constante e igual a 1.}

Demonstra¸c˜ao. _{Sejam x ∈ S}n, {b1, ..., bn} uma base de TxSn e η = −x ∈ (TxSn)⊥. Considere o campo normal N a Sndado por N (p) = −p. Como N (x) = −η e hN, N ip = 1,

∀p ∈ Sn_{, temos que}

hSη(bi), bji = h−(∇biN )

T_{, b}

ji = h(−∇biN ), bji.

Para um vetor arbitr´ario v ∈ TxSn, vamos calcular (∇vN )(x). Como,

N (p) = −p = −

n

X

i=1

piei

temos que as coordenadas de N (p) na base canˆonica {e0, ..., en} de Rn+1 s˜ao dadas por

Ni(p) = −pi.

Sejam v ∈ TxSn e α :] − , [→ Sn uma curva regular em Sn tais que α(t) =

(α0(t), ...αn(t)), α(0) = x e α0(0) = v. Portanto,

v(Nk)(x) = _dtd(Nk◦ α)(t)|t=0 = _dtdNk(α(t))|t=0= _dtd(−αk(t))|t=0 = −α0k(0).

Usando a express˜ao da conex˜ao e sabendo que Γk_ij_(Rn+1) = 0, teremos:

(14)

(∇vN )(x) = n X k=0 {v(Nk)(x) + X i,j viNj(x)Γkij(x)}ek = n X k=0 v(Nk)(x)ek = n X k=0 −α0_k(0)ek = n X k=0 −vkek = −v.

Portanto Sη(bi) = −∇biN = bi ⇒ Sη = Id. Da´ı,

hhSη(X), Y iη, ηi = hSη(X), Y ihη, ηi

= hSη(X), Y i

= hB(X, Y ), ηi.

Logo B(X, Y ) = hSη(X), Y iη = hX, Y iη = ηhX, Y i. Usando a f´ormula de Gauss

e tomando {X, Y } ortonormal,

K(X, Y ) − K(X, Y ) = hB(X, X), B(Y, Y )i − hB(X, Y ), B(X, Y )i

onde K ´_{e a curvatura seccional de S}n _{e K ´}_{e a curvatura seccional de R}n+1_. _Como

K(X, Y ) = 0 e B(X, Y ) = η(X, Y ), temos,

K(X, Y ) = hηhX, Xi, ηhY, Y ii − hηhX, Y i, ηhX, Y ii = 1.

J´_{a sabemos que S}n _´_{e uma variedade compacta, da´ı segue diretamente do teorema}

de Hopf e Rinow que Sn_´_{e completa.}

1.2 O espa¸

co hiperb´

olico

Defini¸cão 1.2. O espa¸_{co de Lorentz R}n+1₁ é o espa¸co euclidiano (n + 1)-dimensional com a métrica de Lorentz dada por

(p, q) = −p0q0+ p1q1+ ... + pnqn

(15)

5

Descrevemos o espa¸co hipeb´_{olico H}n _{que ´}_{e uma hipersuperf´ıcie do Espa¸co de}

Lorentz Rn+11 , ou seja, o espa¸co Rn+1 munido com a m´etrica semi-Riemanniana que

definiremos da seguinte maneira.

Seja Q : Rn+1 → R uma forma quadr´atica dada por Q(x0, ...xn) = −x20+ x21 +

... + x2_n _{e R}n+1₁ _{o espa¸co R}n+1 com a m´etrica pseudo-Riemanniana (., .) induzida por Q. Ent˜ao teremos:

(u, v) = 1₂{Q(u + v) − Q(u) − Q(v)}

Observe que para x = (x0, ..., xn), segue da express˜ao acima que (x, x) = Q(x).

O espa¸co hiperb´olico ´_{e definido como H}n_{= {x = (x}

0, ..., xn); (x, x) = −1, x0 > 0}.

Geometricamente Q(x) = −1 ´e um hiperbol´_{oide de duas folhas e H}n _´_{e a folha}

contida no semi-espa¸co x0 > 0. Como Hn ´e uma componente conexa da pr´e-imagem de

−1 por Q, ent˜_{ao H}n _´_{e uma hipersuperf´ıcie de R}n+1 1 .

Proposi¸cão 1.3. Segundo a métrica de Lorentz, o vetor η = x é ortogonal ao espa¸co tangente TxHn, para todo x ∈ Hn.

Demonstra¸c˜ao. Sejam v ∈ TxHn e α :] − , [→ Hn uma curva regular em Hn tal que α(0) = x e α0(x) = v. Assim α(t) = (x0(t), ..., xn(t)), com x0(t) > 0. Logo,

Q(α(t)) = (α(t), α(t)) = −1. Então: Q(α(t)) = −x0(t)2 + x1(t)2+ ... + xn(t)2 = −1 ⇒ −2x0(t)x00(t) + 2x1(t)x01(t) + ... + 2xn(t)x0n(t) = 0 ⇒ −x0(t)x00(t) + x1(t)x01(t) + ... + xn(t)x0n(t) = 0 ⇒ (α(t), α0_{(t)) = 0, ∀t ∈] − , [} ⇒ (α(0), α0_{(0)) = 0} ⇒ (x, v) = 0 ⇒ x ⊥ v ⇒ η ⊥ v. Proposi¸cão 1.4. (η, η) = −1. Demonstra¸cão. (η, η) = (x, x) = Q(x) = −1.

Proposi¸c˜ao 1.5. β = {b0, ...bn}, com b0 = η, (bi, bj) = δij para i, j = 1, ...n e (bi, b0) = 0,

para i = 1, ..., n ´_{e uma base de R}n+1₁ .

(16)

Proposi¸c˜ao 1.6. A m´_{etrica induzida por R}n+1₁ _{em H}n _´_{e Riemanniana.}

Demonstra¸cão. O ´ındice da forma quadrática independe da base escolhida. Escolhendo a base canônica {e0, ...en} ∈ Rn+11 , vemos que o ´ındice de Q é igual a 1. Como Q(η) =

(η, η) = −1, temos que Q(ei) > 0, ∀i = 1, ...n. Portanto Q|TxHn ´e positiva definida.

Assim, a m´_{etrica induzida por R}n+1₁ _{em H}n ´e Riemanniana.

Proposi¸c˜_{ao 1.7. A segunda forma fundamental de H}n _{,→ R}n+1

1 ´e dada por Sη = −Id.

Al´_{em disso, a curvatura seccional de H}n _´_{e constante e igual a −1.}

Demonstra¸c˜ao. _{Sejam x ∈ H}n_{, {b}

1, ..., bn} uma base de TxHn e η = x ∈ (TxHn)⊥.

Considere o campo normal N a Hn _{dado por N (p) = p. Visto que N (x) = η e (N, N )} p =

−1, ∀p ∈ Hn_{, temos que}

(Sη(bi), bj) = (−(∇biN )

T_{, b}

j) = ((−∇biN ), bj).

Para um vetor arbitr´ario v ∈ TxHn, vamos calcular (∇vN )(x). Como,

N (p) = p = Pn

i=1piei

temos que as coordenadas de N (p) na base canˆonica {e0, ..., en} de Rn+11 s˜ao dadas por

Ni(p) = pi.

Sejam v ∈ TxHn e α :] − , [→ Hn uma curva regular em Hn tais que α(t) = (α0(t), ...αn(t)), α(0) = x e α0(0) = v. Portanto,

v(Nk)(x) = _dtd(Nk◦ α)(t)|t=0 = _dtdNk(α(t))|t=0= _dtd(αk(t))|t=0 = αk0(0).

Usando a express˜ao da conex˜ao e sabendo que Γk

ij(Rn+11 ) = Γkij(Rn+1) = 0, teremos: (∇vN )(x) = n X k=0 {v(Nk)(x) + X i,j viNj(x)Γkij(x)}ek = n X k=0 v(Nk)(x)ek = n X k=0 α0_k(0)ek = n X k=0 vkek = v.

(17)

7

(−(Sη(X), Y )η, η) = −(Sη(X), Y )(η, η)

= (Sη(X), Y )

= (B(X, Y ), η).

Logo B(X, Y ) = −(Sη(X), Y )η = (X, Y )η = η(X, Y ). Usando a f´ormula de

Gauss e tomando {X, Y } ortonormal,

K(X, Y ) − K(X, Y ) = (B(X, X), B(Y, Y )) − (B(X, Y ), B(X, Y )) onde K ´_{e a curvatura seccional de H}n _{e K ´}_{e a curvatura seccional de R}n+1

1 . Como

K(X, Y ) = 0 e B(X, Y ) = η(X, Y ), temos,

K(X, Y ) = (η(X, X), η(Y, Y )) − (η(X, Y ), η(X, Y )) = −1.

Denotaremos O1_{(n + 1) o subgrupo das transforma¸c˜}_{oes lineares de R}n+1 _que

preservam a m´etrica (, ) e ˆ_Hn _{= {x = (x}

0, ..., xn); (x, x) = −1; x0 < 0}. Observe que ˆHn ´e

a folha contida no semi-espa¸co x0 < 0.

Lema 1.8. Seja W ∈ O1_{(n + 1).} _{Se para cada p ∈ H}n _{temos W (p) ∈ H}n_{, ent˜}_ao

W (x) ∈ Hn _{para todo x ∈ H}n_.

Demonstra¸c˜ao. Se W ∈ O1_{(n + 1) e x ∈ H}n_{, ent˜}_{ao (W x, W x) = (x, x) = −1. Portanto}

W (x) ∈ Hn _{ou W (x) ∈ ˆ}

Hn.

Seja p ∈ Hn _{tal que W (p) ∈ H}n_{. Suponha que existe q ∈ H}n _{tal que W (q) /}_{∈ H}n_,

isto ´e W (q) ∈ ˆ_Hn_{. Seja α :] − 2, 2[→ H}n _{uma curva regular em H}n _{tal que α(0) = p e}

α(1) = q. Ent˜ao, W ◦ α ´e uma curva em Q−1(−1) ligando W (p) e W (q).

Denote α(t) = (x0(t), ...xn(t)), x0 > 0 e W ◦ α(t) = (y0(t), ..., yn(t)). Temos que

W ◦ α ´e cont´ınua.

Como W (α(0)) = W (p) ∈ Hn_{, claramente y}

0(0) > 0, e o fato de W (α(1)) =

W (q) ∈ ˆ_Hn_{, temos que y}

0(1) < 0. Uma vez que y0 ´e cont´ınua, ent˜ao existe t0 ∈]0, 1[ tal

que y0(t0) = 0 o que implica que W ◦α(t0) /∈ Q(−1). Absurdo, pois (W (α(t0)), W (α(t0))) =

(α(t0), α(t0)) = −1.

Proposi¸c˜ao 1.9. Se W ∈ O1_{(n + 1) e det(W ) > 0, ent˜}_{ao W (H}n_{) = H}n_.

Demonstra¸c˜ao. Sejam e0 = x = (1, 0, ..., 0) ∈ Hn e {b1, ..., bn} base de TxHn. Como W

preserva m´etrica, temos que {W (e0), W (e1)..., W (en)} ´e base de Rn+11 e pelo fato de Q ser

(18)

Como det(W ) > 0, W (e0) = e0. Pelo lema 1.8, conclu´ımos que W (Hn) = Hn.

Dizemos que uma variedade Riemanniana M ´e homogˆenea se dados p, q ∈ M existe uma isometria de M que leva p em q.

Lema 1.10. Toda variedade homogˆenea ´e completa.

Demonstra¸cão. Suponha que M não seja completa. Então existem p ∈ M e uma geodésica (podemos tomar normalizada, |γ0| = 1) γ : [0, t0] → M , com γ(0) = p, tal que γ não

pode ser estendida al´em de t0. Escolhamos > 0 tal que B(p) seja uma bola normal

e consideremos q = γ(t0 − ₂) ∈ M . Como M é homogênea, por defini¸cão, existe uma

isometria ϕ : M → M tal que ϕ(p) = q. Ent˜ao ϕ : M → M ´e um difeomorfismo, dϕp :

TpM → Tϕ(p)M ´e um isomorfismo e portanto existe v ∈ TpM tal que dϕpv = γ0(t0− ₂).

Observe que ||v|| = 1, pois ϕ ´e isometria e portanto

1 = hγ0(t0− ₂), γ0(t0− ₂)i = hdϕpv, dϕpvi = hv, vi.

Por outro lado considere a geod´esica α : [0, [→ M dada por α(t) = expptv.

Conclu´ımos que ϕ ◦ α : [0, [→ M é uma geodésica, pois isometria preserva geodésica, tal que

(ϕ ◦ α)(0) = ϕ(α(0)) = ϕ(p) = q = γ(t0− ₂)

e

(ϕ ◦ α)0(0) = dϕpv = γ0(t0− ₂).

Assim ϕ ◦ α ´e uma geod´esica de M que coincide com γ em [t0−₂[. Por unicidade

segue que ϕ ◦ α = γ|[t0−₂,t0[, o que significa que podemos estender γ al´em de t0, o que ´e

um absurdo. Logo M ´e completa.

Proposi¸c˜_{ao 1.11. H}n _´_{e completa.}

Demonstra¸c˜_{ao. Sejam p, q ∈ H}n_{, {v}

1, ...vn} uma base ortonormal de TpHn e {w1, ..., wn}

uma base ortonormal de TqHn. Considere T : Rn+11 → R n+1

1 uma transforma¸c˜ao linear tal

que T (p) = q e T (vi) = wi, i = 1, ..., n. Como (p, p) = (q, q) = −1, (vi, vj) = (w1, wj) =

δij e (p, vi) = (q, wi) = 0, ent˜ao existe uma transforma¸c˜ao linear T : Rn+11 → Rn+11

que preserva m´_{etrica. Visto que p, q ∈ H}n _{e T (p) = q, pelo lema 1.8, conclu´ımos que}

T (Hn_{) = H}n_{. Segue que T |}

Hn ´e isometria de H

n_{. Portanto, H}n _´_{e homogˆ}_{enea. Pelo lema}

(19)

Cap´ıtulo 2

Operadores linearizados (L

_k

)

O objetivo deste cap´ıtulo é obter a expressão do operador linearizado.Para isto, definiremos a k-ésima curvatura média de uma hipersuperf´ıcie e a k-ésima transforma¸cão de Newton.

Para simplificar nota¸c˜_{ao, denotaremos por M}n+1_c _{, a esfera S}n+1 _{⊂ R}n+2, se c = 1, ou o espa¸co hiperb´_{olico H}n+1_{⊂ R}n+2₁ , se c = −1. Em alguns momentos denotaremos por h., .i, sem distin¸c˜ao, para a m´_{etrica euclidiana em R}n+2 _{e para a m´}_{etrica lorentziana em}

Rn+21 , bem como as correspondentes m´etricas (riemannianas) induzidas de Mn+1c em M .

Considere x : Mn _{→ M}n+1

c ⊂ Rn+2q (com q = 0 se c = 1, e q = 1, se c = −1) uma

hiper-superf´ıcie orient´_{avel conexa imersa em M}n+1_c com a aplica¸c˜ao de Gauss G. Denotaremos por ∇0, ∇ e ∇ as conex˜_{oes riemannianas em R}n+2

q , Mn+1c e M , respectivamente.

Proposi¸cão 2.1. As fórmulas básicas de Gauss e Weingarten para as hipersuperf´ıcies x : Mn_{→ M}n+1 c ⊂ Rn+2q são dadas por ∇0 XY =∇XY − chX, Y ix = ∇XY + hSGX, Y iG − chX, Y ix e SGX = −∇XG = −∇0XG.

Para todo X, Y ∈ X(M ), onde SG : X(M ) → X(M ) ´e o operador de forma de M com

respeito a escolha da orienta¸c˜ao G.

Demonstra¸c˜ao. Primeiro, consideremos Mn ,→ Mx _cn+1 _{,→ R}ϕ n+2_q , com ϕ(p) = p, ∀p ∈ Mn+1c . Sejam Aη : X(Mcn+1) → X(Mcn+1) e SG : X(M ) → X(M ) os operadores de

Weingartein das imers˜oes ϕ e x respectivamente. Associamos α : X(Mn+1

c ) × X(Mcn+1) →

X(Mn+1 c )

⊥ _{a A}

η, e B : X(M ) × X(M ) → X(M )⊥ a SG. J´a sabemos que AηX = cX e

η = −cx. Visto que hB(X, Y ), Gi = hSGX, Y i, segue que

(20)

B(X, Y ) = hSGX, Y iG.

Al´em disso, temos

hα(X, Y ), ηi = hAηX, Y i = 1_chη, ηihAηX, Y i = h−chX, Y ix, ηi. Portanto, ∇0 XY = ∇XY + α(X, Y ) = ∇XY − chX, Y ix = ∇XY + B(X, Y ) − chX, Y ix = ∇XY + hSGX, Y iG − chX, Y ix.

Para mostrar a segunda express˜ao, basta observar que hSGX, Y i = hB(X, Y ), Gi = h(∇XY )⊥, Gi = h∇XY, Gi = −h∇XG, Y i e h∇0 XG, Y i = h∇XG + α(X, G), Y i = h∇XG, Y i para todo Y ∈ X(M ).

SG, que tamb´em denotaremos por S, define um operador linear auto-adjunto

em cada plano tangente TpM e seus autovalores, denotados por κ1(p), ..., κn(p), s˜ao as

curvaturas principais da hipersuperf´ıcie em p. Associado ao operador de Weingarten, existem n invariantes alg´ebricos dados por

sk(p) = σk(κ1(p), ..., κn(p)), 1 ≤ k ≤ n,

onde σk : Rn→ R é uma fun¸cão simétrica elementar em Rn dada por

σk(x1, ..., xn) =

X

i1<...<ik

xi1...xik.

Observe que o polinˆomio caracter´ıstico pode ser escrito em termos de sk’s como

QS(t) = n

X

k=0

(21)

11 pois, QS(t) = det(tI − S) = (t − κ1)...(t − κn) = n X k=0 (−1)ksktn−k.

A k-ésima curvatura média Hk de uma hipersuperf´ıcie é definida por

Hk = s_nk k

.

Notemos que s0 = H0 = 1 e H1, H2, Hn s˜ao as curvaturas m´edia, escalar e de

Gauss-Kronecker, respectivamente.

Defini¸cão 2.2. A k-ésima transforma¸cão de Newton Pk : X(M ) → X(M ) é definida

indutivamente pelo operador de forma por

P0 = I e Pk= skI − SPk−1 = nkHkI − SPk−1,

para todo k = 1, ..., n, onde I denota a identidade em X(M ). Equivalentemente, Pk = k X j=0 (−1)jsk−jSj = k X j=0 (−1)j k−jn Hk−jSj. Em particular, Pn = n X k=0 (−1)ksn−kSk= QS(S) = 0.

A ´ultima igualdade vale pelo teorema de Cayley-Hamilton.

Proposi¸c˜ao 2.3. Pk(p) ´e um operador linear auto-adjunto em cada espa¸co tangente TpM

que comuta com S(p).

Demonstra¸cão. Faremos por indu¸cão a demonstra¸cão de que SPk = PkS. Note que

SP0 = SI = IS = P0S. Suponha que SPk−1 = Pk−1S. Logo

SPk = S(skI − SPk−1) = S(skI − Pk−1S)

= Ssk− SPk−1S = skS − SPk−1S

= (skI − SPk−1)S = PkS

Também por indu¸cão, mostremos que Pk é auto-adjunta. Escolhamos X, Y ∈ X(M ).

(22)

hP0X, Y i = hIX, Y i = hX, IY i = hX, P0Y i.

Suponha que Pk−1 seja auto-adjunta, ou seja

hPk−1X, Y i = hX, Pk−1Y i ent˜ao hPk(X), Y i = h(skI − SPk−1X, Y )i = hskX, Y i − hSPk−1(X), Y i = hX, skY i − hPk−1(X), S(Y )i = hX, skY i − hX, Pk−1(S(Y ))i = hX, (skI − Pk−1S)Y i = hX, Pk(Y )i Denotemos por sk(Si) = sk(κ1, ..., κi−1, κi+1, ..., κn)

a k-fun¸cão elementar simétrica associada a restri¸cão Si de S ao subespa¸co ortogonal ao

autovetor correspondente ei.

Lema 2.4. Para cada i = 1, ..., n fixado, temos

sk(Si) = sk− κisk−1(Si).

Demonstra¸c˜ao. Temos que

sk(Si) = sk(κ1, ..., κi−1, κi+1, ..., κn), sk−1(Si) = sk−1(κ1, ..., κi−1, κi+1, ..., κn)

e

sk =

X

i1<...<ik

κi1...κik.

Fixado i ∈ {i1, ..., ik}, sk pode ser dividido em duas parcelas. Uma contendo κi e a outra

n˜ao contendo κi, ou seja, sk = J + κiL. Claramente, J = sk(κ1, ..., κi−1, κi+1, ..., κn) =

sk(Si) e L = sk−1(κ1, ..., κi−1, κi+1, ..., κn) = sk−1(Si). Portanto sk(Si) = sk− κisk−1(Si).

(23)

13

Demonstra¸c˜ao. Temos que P0(ei) = I(ei) = eie s0(Si)ei = s0(κ1, ..., κi−1, κi+1, ..., κn)ei =

ei, ent˜ao P0(e1) = s0(Si)ei. Suponha que Pk(ei) = sk(Si)ei. Ent˜ao

Pk+1(ei) = sk+1ei− SPk(ei) = sk+1ei− S(sk(Si)ei)

= sk+1ei− sk(Si)S(ei) = sk+1ei− sk(Si)κiei

= (sk+1− sk(Si)κi)ei = sk+1(Si)ei

Portanto Pk(ei) = sk(Si)ei.

Se {e1, ..., en} s˜ao autovetores de S(p) com os autovalores correspondentes κ1(p),...,

κn(p) respectivamente, então eles também são autovetores de Pk(p) com os autovalores

correspondentes dado por:

µi,k(p) =

X

i1<...<ik,ij6=i

κi1(p)...κik(p)

para todo 1 ≤ i ≤ n. Pois

Pk(ei) = sk(Si)ei = sk(κ1, ..., κk−1, κk+1, ..., κn) =   X i1<...<ik,ij6=i κi1...κik  .ei

Proposi¸c˜ao 2.6. Para cada 1 ≤ k ≤ n − 1, temos (a) tr(Pk) = n X i=1 sk(Si) = (n − k)sk = ckHk; (b) tr(SPk) = n X i=1 κisk(Si) = (k + 1)sk+1 = ckHk+1; (c) tr(S2_P k) = n X i=1 κ2_isk(Si) = s1sk+1− (k + 2)sk+2 = k+1n (nH1Hk+1− (n − k − 1)Hk+2) onde ck = (n − k) nk = (k + 1) n k+1. Demonstra¸c˜ao.

(a) Da defini¸c˜ao de tra¸co, segue que

tr(Pk) = n X i=1 hPk(ei), eii = n X i=1 hsk(Si)ei, eii = n X i=1 sk(Si).

(24)

monômio de sk, então ele também será um monômio de sk(Si), com i /∈ {j1, ..., jk}. Como

temos (n − k) termos, ent˜ao

n

X

i=1

sk(Si) = (n − k)sk.

(b) Facilmente vemos que

tr(SPk) = n X i=1 hSPk(ei), eii = n X i=1 hPk(ei), S(ei)i = n X i=1 hsk(Si)ei, κieii = n X i=1 κisk(Si).

Al´em disso, sabemos ainda

tr(Pk+1) = tr(sk+1I − SPk) = tr(sk+1I) − tr(SPk). Logo tr(SPk) = tr(sk+1I) − tr(Pk+1) = nsk+1− (n − (k + 1))sk+1 = (k + 1)sk+1. (c)Temos que tr(S2Pk) = n X i=1 hS2Pk(ei), eii = n X i=1 hPk(ei), S2(ei)i = n X i=1 hsk(Si)ei, κ2i(ei)i = n X i=1 κ2_isk(Si). Como tr(SPk+1) = tr(S(sk+1I − SPk)) = tr(sk+1SI) − tr(S2Pk). Conclu´ımos que tr(S2_P k) = tr(sk+1SI) − tr(SPk+1) = s1sk+1− (k + 2)sk+2.

(25)

15

Proposi¸c˜ao 2.7. tr(Pk∇XS) = h∇sk+1, Xi = k+1n h∇Hk+1, Xi, ∀X ∈ X(M ). Onde

∇S denota a diferencial covariante de S

∇S(Y, X) = (∇XS)Y = ∇X(SY ) − S(∇XY ), X, Y ∈ X(M ).

Demonstra¸c˜ao.

Vamos provar este resultado calculando no referencial ortonormal em M que diagonaliza S. É importante observar que nem sempre tais estruturas existem; problemas ocorrem quando a multiplicidade das curvaturas principais mudam (também as curvaturas principais em todos os pontos não são necessariamente suaves). Por isso, trabalharemos em um subconjunto M0 de M que consiste em pontos em que o número de curvaturas

principais distintas ´e localmente constante. Como bem sabemos, M0 ´e um subconjunto

aberto e denso de M , as curvaturas principais s˜ao fun¸c˜oes suaves em M0 e, para cada

curvatura principal κ a indica¸c˜ao

p ∈ M0 7→ ker(Sp− κ(p)I) ⊂ TpM

define uma distribui¸c˜ao suave. Portanto, para cada p ∈ M0 existe um referencial

ortonor-mal {E1, ..., En} definido na vizinhan¸ca de p tal que S(Ei) = κiEi, com cada κi suave.

Nesse caso temos

Pk(Ei) = µi,kEi e (∇XS)Ei = ∇X(SEi) − S(∇XEi) = X(κi)Ei+ X j6=i (κi− κj)h∇XEi, EjiEj. Logo tr(Pk∇XS) = n X i=1 µi,kX(κi) = n X i=1 X(κi) X i1<...<ik,ij6=i κi1...κik = X( X i1<...<ik κi1...κik) = X(sk+1) = h∇sk+1, Xi = h∇ k+1n Hk+1, Xi = k+1n h∇Hk+1, Xi.

(26)

Associado a cada transforma¸c˜ao de Newton Pk, temos um operador linear

difer-enci´avel de segunda ordem Lk : C∞(M ) → C∞(M ) definido por

Lk(f ) = tr(Pk◦ ∇2f )

onde ∇2_{f : X(M ) → X(M ) denota um operador linear auto-adjunto metricamente}

equiv-alente `a hessiana de f e dado por h∇2_{f (X), Y i = h∇}

X(∇f ), Y i, X, Y ∈ X(M ).

Quando k = 0, temos

L0(f ) = tr(P0 ◦ ∇2f ) = tr(∇2f ) = 4f

onde 4 denota o operador Laplaciano. Por isto, dizemos que o operador linearizado generaliza o operador laplaciano.

Proposi¸c˜ao 2.8. Lk(f g) = (Lkf )g + f (Lkg) + 2hPk(∇f ), ∇gi; f, g ∈ C∞(M ).

Demonstra¸c˜ao. Seja {E1, ..., En} um referencial ortonormal de M , ent˜ao

Lk(f g) = tr(Pk◦ ∇2(f g)) = n X i=1 h(Pk◦ ∇2(f g))Ei, Eii = n X i=1 h∇2(f g)Ei, Pk(Ei)i = n X i=1 h∇Ei(∇(f g)), Pk(Ei)i = n X i=1 h∇Ei(f ∇g + g∇f ), Pk(Ei)i = n X i=1 h∇Ei(f ∇g), Pk(Ei)i + n X i=1 h∇Ei(g∇f ), Pk(Ei)i = n X i=1 {hf ∇Ei(∇g), Pk(Ei)i + hEi(f )∇g, Pk(Ei)i} + n X i=1 {hg∇Ei(∇f ), Pk(Ei)i + hEi(g)∇f, Pk(Ei)i} = f n X i=1 h∇Ei∇g, Pk(Ei)i + hPk(∇g), n X i=1 Ei(f )Eii + g n X i=1 h∇Ei∇f, Pk(Ei)i + hPk(∇f ), n X i=1 Ei(g)Eii

(27)

17 Portanto Lk(f g) = f n X i=1 h∇2_(g)E i, PkEi, Pk(Ei)i + hPk(∇g), ∇f i + g n X i=1 h∇2(f )Ei, PkEi, Pk(Ei)i + hPk(∇f ), ∇gi = f Lk(g) + gLk(f ) + 2hPk(∇f ), ∇gi. Seja x : Mn _{→ M}n+1

c ⊂ Rn+2q uma hipersuperf´ıe orient´avel imersa em Mcn+1.

Denotemos por G a aplica¸c˜ao de Gauss de x. Dado um vetor arbitr´_{ario fixado a ∈ R}n+2, consideraremos a fun¸c˜ao coordenada ha, xi em M .

Lema 2.9. a = aT+ ha, GiG + cha, xix, onde aT ∈ X(M ) denota a componente tangencial de a.

Demonstra¸c˜ao. Visto que a = aT _{+ D}

1G + D2x, onde D1, D2 s˜ao escalares, ent˜ao

ha, Gi = haT _{+ D} 1G + D2x, Gi = haT_{, Gi + hD} 1G, Gi + hD2x, Gi = D1hG, Gi = D1 Al´em disso

ha, xi = haT _{+ ha, GiG + D} 2x, xi = haT, Gi + hha, GiG, xi + hD2x, xi = D2hx, xi = D2c, o que nos d´a D2 = cha, xi. Portanto,

a = aT _{+ ha, GiG + cha, xix.}

Lema 2.10. X(ha, xi) = hX, ai = hX, aT_{i, ∀X ∈ X(M ).}

Demonstra¸c˜ao. Considere ˜x : Mn+1

c → Mcn+1 definido por ˜x(x) = x. Como ˜x = n X i=1 ˜ xiei, ent˜ao

(28)

n X i=1 xiei = x = ˜x(x) = n X i=1 ˜ xi(x)ei

portanto ˜xi(x) = xi. Temos ainda que (d˜xi)xv = vi, onde v = (v1, ...vn+2), pois

(d˜xi)xv = (˜xi◦ α)0(0) = α0i(0) = vi tal que α(0) = x, α0(0) = v e α = (α1, ..., αn+2). Como X ∈ X(M ), ent˜ao X = n X i=1 giei, com gi ∈ C∞(M ). Logo ∇0 Xx(x) =˜ n X i=1 X(˜xi)(x)ei = n X i=1 (d˜xi)xX(x)ei = n X i=1 gi(x)ei = X(x). Portanto ∇0 Xx = X.˜ ∇0 Xa = 0, pois a ∈ Rn+2. Ent˜ao X(ha, xi) = h∇0 Xa, xi + ha, ∇0Xxi = ha, Xi = hX, ai

= hX, aT _{+ ha, GiG + cha, xixi}

= hX, aT_{i + hX, ha, GiGi + hX, cha, xixi}

= hX, aTi.

Da´ı, temos que

hX, aT_{i = X(ha, xi) = h∇ha, xi, Xi}

o que implica que ∇ha, xi = aT.

Proposi¸c˜ao 2.11. ∇X∇ha, xi = ∇XaT = ha, GiSX − cha, xiX, ∀X ∈ X(M ).

Demonstra¸c˜ao.

∇X∇ha, xi = ∇XaT = (∇0Xa T₎T

= {∇0_X(a − ha, GiG − cha, xix)}T

= {∇0_Xa − ∇0_X(ha, GiG) − ∇0_X(ha, xix)}T

= {−∇0_X(ha, GiG) − ∇0_X(ha, xix)}T

= {−Xha, GiG − ha, Gi∇0_XG − cXha, xix − cha, xi∇0_Xx}T

= {−ha, Gi∇0

XG − cha, xiX}T

= −ha, Gi(∇0

(29)

19

Logo

∇X∇ha, xi = −ha, Gi(−SX)T − cha, xiX

= ha, GiSX − cha, xiX.

Proposi¸c˜ao 2.12. Lkha, xi = ha, Gitr(SPk)−cha, xitr(Pk) = ckHk+1ha, Gi−cckHkha, xi.

Demonstra¸c˜ao.

Lkha, xi = tr(Pk∇2ha, xi) = n X i=1 hPk∇2ha, xiEi, Eii = n X i=1 h∇2_{ha, xiE} i, PkEii = n X i=1 h∇Ei∇ha, xi, PkEii = n X i=1 h∇Eia T_{, P} kEii = n X i=1

hha, GiSEi− cha, xiEi, PkEii

=

n

X

i=1

(ha, GihSEi, PkEii − cha, xihEi, PkEii)

= ha, Gi n X i=1 hSEi, PkEii − cha, xi n X i=1 hEi, PkEii = ha, Gi n X i=1 hSPkEi, Eii − cha, xi n X i=1 hPkEi, Eii

= ha, Gitr(SPk) − cha, xitr(Pk)

= ckHk+1ha, Gi − cckHkha, xi.

Corol´ario 2.13. Lkx = ckHk+1G − cckHkx.

Demonstra¸c˜ao.

Lkha, xi = ckHk+1ha, Gi − cckHkha, xi

= ha, ckHk+1G − cckHkxi

(30)

Hipersuperf´ıcies que satisfazem a

condi¸

c˜

ao L

_k

x = Ax

O objetivo deste cap´ıtulo é verificar que as hipersuperf´ıcies com a (k + 1)-ésima curvatura média zero e a k-ésima curvatura média constante, o Toro de Clifford e o cilindro hiperbólico satisfazem a equa¸cão Lkx = Ax, onde x : Mn → Mn+1c ⊂ Rn+21 é

uma hipersuperf´ıcie orient´_{avel imersa tanto na esfera euclidiana S}n+1 _{⊂ R}n+2 _{(se c = 1)}

ou no espa¸co hiperb´_{olico H}n+1₁ (se c = −1), Lk ´e o operador linearizado da (k + 1)-´esima

curvatura m´_{edia de M para algum k = 0, 1, ..., n − 1 fixado e A ∈ R}(n+2)×(n+2) _´_{e alguma}

matriz constante auto-adjunta.

3.1 Hipersuperf´ıcies com a (k + 1)-´

esima curvatura

m´

edia nula e a k-´

esima curvatura m´

edia constante

Considere uma hipersuperf´ıcie Mn _{→ M}n+1

c ⊂ Rn+2q orient´avel imersa em Mn+1c

tal que Hk = constante e Hk+1 = 0. Como Lkx = ckHk+1G − cckHkx, onde ck =

(n − k) n_k = (k + 1) k+1n e c ´e curvatura seccional, ent˜ao

Lkx = −cckHk(x0, ..., xn+1) = (−cckHkx0, ..., −cckHkxn+1) =          −cckHk 0 · · · 0 0 0 −cckHk · · · 0 0 .. . ... . .. ... ... 0 0 · · · −cckHk 0 0 0 · · · 0 −cckHk                   x0 x1 .. . xn xn+1          = diag[−cckHk, ..., −cckHk]x. 20

(31)

21

Tomando A = diag[−cckHk, ..., −cckHk], temos que as hipersuperf´ıcies com Hk = constante

e Hk+1 = 0, satisfazem a condi¸c˜ao Lkx = Ax.

3.2 Toro de Clifford

Nesta se¸cão, definiremos o Toro de Clifford, calcularemos suas curvaturas princi-pais, (k+1)-ésima curvatura média, segunda forma fundamental e a expressão do operador linearizado da (k + 1)-ésima curvatura média.

Para definir o toro de Clifford usaremos algumas considera¸c˜oes de variedade pro-duto.

Sejam M, N, M , N variedades Riemannianas, f : M → M e g : N → N imers˜oes isom´etricas. Sejam ∇M_{, ∇}N_,_∇M_,_∇N _{as conex˜}_{oes Riemannianas de M, N, M , N}

respectivamente. Considere em M ×N e M ×N as métricas produtos e a imersão isométrica f × g : M × N → M × N . Defina as conexões Riemannianas de M × N e M × N

∇M ×N_X Y = ∇M_X_MYM + ∇NXNYN e ∇M ×N_U V = ∇M_U MVM + ∇ N U_NVN

respectivamente, onde X = (XM, XN) ∈ X(M × N ), Y = (YM, YN) ∈ X(M × N ) em que

XM, YM ∈ X(M ) e XN, YN ∈ X(N ). E U = (UM, UN) ∈ X(M × N ), V = (VM, VN) ∈

X(M × N ) em que U_M, V_M ∈ X(M ) e U_N, V_N ∈ X(N ).

Sejam Bf, Bg as segundas formas fundamentais de f e g, respectivamente, com

os operadores lineares auto-adjuntos associados S_ξf : TpM → TpM e Sµg : TqN → TqN

com ξ ∈ X(M )⊥, µ ∈ X(N )⊥. Tome u, v ∈ TpM e w, z ∈ TqN , ent˜ao temos

hS_ξfu, vi = hBf(u, v), ξi e hSµgw, zi = hBg(w, z), µi.

Assim a segunda forma fundamental da imers˜ao produto f × g ´e dada por Bf ×g(X, Y ) = (Bf(XM, YM), Bg(XN, YN)).

Se |ξ|2 _{+ |µ|}2 _{= 1, ent˜}_{ao podemos definir o campo normal e unit´}_{ario a M × N por}

η = (ξ, µ)

(32)

hSηX, Y i = hBf ×g(X, Y ), ηi = h(Bf(XM, YM), Bg(XN, YN)), (ξ, µ)i = hBf(XM, YM), ξi + hBg(XN, YN), µi = hS_ξf(XM), YMi + hSµg(XN), YNi = |ξ|hSfξ |ξ| (XM), YMi + |µ|hSgµ |µ|(XN), YNi.

Consequentemente o operador de forma na dire¸c˜ao normal η ´e SηX = |ξ|Sfξ |ξ| (XM) + |µ|Sgµ |µ|(XN) = (|ξ|Sfξ |ξ| ◦ πM(X) + |µ|Sgµ |µ| ◦ πN(X))

onde πM é proje¸cão sobre M e πN proje¸cão sobre N .

Considere a esfera m-dimensional de raio r, Sm_{(r) = {p ∈ R}m+1_{; |p| = r}, e as}

inclus˜oes canˆ_{onicas f : S}m₍√_{1 − r}2_{) → R}m+1 _{e g : S}n−m_{(r) → R}n−m+1_{. Denote por ϕ}

o produto das imers˜_{oes ϕ = f × g : S}m(√1 − r2_{) × S}n−m

(r) → Rn+2. Dado um ponto (p, q) ∈ Sm(√1 − r2_{) × S}n−m_{(r), temos que |(p, q)|}2 _{= |p|}2_{+ |q|}2 _{= (}√_{1 − r}2₎2 _{+ r}2 _{= 1,}

isto ´_{e, S}m₍√_{1 − r}2_{) × S}n−m_{(r) ⊂ S}n+1_{(1). A imagem da imers˜}_ao

Sm( √

1 − r2_{) × S}n−m_{(r) → S}n+1₍₁₎

´e chamada de Toro de Clifford.

Dada uma imers˜_{ao S}n+1_{(r) ,→ R}n+2 temos que a aplica¸c˜ao normal de Gauss na esfera de raio r ´e dada por G(p) = −_|p|p , logo

SG(v) = −(∇vG) = −dGp(v) = 1_r(v) = 1_rId

onde S ´e um operador de Weingarten e ∇ ´e a conex˜_{ao riemanniana de R}n+2_{. Para as}

imers˜_{oes f : S}m₍√_{1 − r}2_{) → R}m+1_{, g : S}n−m_{(r) → R}n−m+1 _{e i : S}n+1 _{→ R}n+2_{, teremos os}

operadores de forma associados S_ξf = √1

1−r2Id, S g µ = 1 rId e S i G = Id com ξ(p) = − p √ 1−r2

e µ(q) = −q_r. Considere o campo Γ(p, q) = (p, q) normal ao Toro de Clifford mas n˜ao tangente `_{a esfera S}n+1e o campo G(p, q) = (−ap, bq) normal ao Toro de Clifford e tangente `

a esfera Sn+1. Portanto valem as seguintes condi¸c˜oes: (1) h(−ap, bq), (p, q)i = 0;

(33)

23

De (1), temos que −a|p|2_+b|q|2 _{= 0 ou a|p|}2_−b|q|2 _{= 0, e de (2) a}2_|p|2_+b2_|q|2 _{= 1.}

J´a sabemos que |p| =√1 − r2 _{e |q| = r. Ent˜}_ao

0 = −a|p|2_{+ b|q|}2 _{= −a(1 − r}2_{) + br}2_.

Logo a = r2 1−r2b.

Segue de (1) e (2) que

1 = a2_|p|2_{+ b}2_|q|2 _{= a}2_{(1 − r}2_{) + b}2_r2

isto implica que

1 r2 = a2 1−r 2 r2 + b2 = r2 1−r2b2+ b2.

Logo conclu´ımos que

a = _√r

1−r2 e b =

√ 1−r2

r , para 0 < r < 1.

Portanto o vetor normal ser´a dado por

G(p, q) = (−ap, bq) = (−√r 1−r2p,

√ 1−r2

r q)

e o operador de forma na sua dire¸c˜ao ser´a dado por

SG = |ξ|Sfξ |ξ| ◦ π_Sm+ |µ|Sgµ |µ| ◦ πS n−m = rS₋f_√p 1−r2 ◦ π_Sm+ √ 1 − r2_Sg q r ◦ π_Sn−m = rS₋f_√p 1−r2 ◦ π_Sm− √ 1 − r2_Sg −q r ◦ π_Sn−m. Assim, SG(X, 0) = r(S₋f_√p 1−r2 )X = √r 1−r2X e SG(0, Y ) = − √ 1 − r2_(Sg −q r )Y = − √ 1−r2 r Y .

Tomando uma base ortonormal de vetores de f × g dada por {(e0, 0), ..., (em, 0), (0, hm+1), ..., (0, hn+1)}

onde {ei} diagonaliza S_ξf e {hi} diagonaliza Sµg, temos que as curvaturas principais do

(34)

κ1 = ... = κm = √_1−rr 2 e κm+1 = ... = κn= − √ 1−r2 r .

Já temos que a aplica¸cão de Gauss em M é G(x) = (−√ r 1−r2x0, ..., − r √ 1−r2xm, √ 1−r2 r xm+1, ..., √ 1−r2 r xn+1)

e as curvaturas principais s˜ao dadas por

κ1 = ... = κm = √_1−rr 2 κm+1 = ... = κn = −

√ 1−r2

r .

Para todo k = 1, ..., n − 1 fixado, temos que Hk ´e constante. Como sabemos que

Lkx = ckHk+1G − cckHkx e c = 1, ent˜ao Lkx = ckHk+1(−√_1−rr 2x0, ..., − r √ 1−r2xm, √ 1−r2 r xm+1, ..., √ 1−r2 r xn+1) − ckHk(x0, ..., xn+1) = (νx0, ..., νxm, ωxm+1, ..., ωxn+1) = diag[ν, ..., ν, ω, ..., ω]     x0 .. . xn+1     = diag[ν, ..., ν, ω, ..., ω]x onde, ν = −ck_√Hk+1r 1−r2 − ckHk e ω = ckHk+1 √ 1−r2 r − ckHk.

Tomando A = diag[ν, ..., ν, ω, ..., ω], temos que o Toro de Clifford (Sm(√1 − r2_)×Sn−m_(r),

(35)

25

3.3 Cilindro hiperb´

olico

Nesta se¸c˜ao definiremos o cilindro hiperb´_{olico, H}k₍₋√_{1 + r}2_{) × S}n−k_{(r), que ´}_e

uma hipersuperf´ıcie no espa¸co hiperb´_{olico H}n+1_{. Calcularemos a segunda forma}

fun-damental, as curvaturas principais, a (k + 1)-ésima curvatura média e a expressão do operador linearizado da (k + 1)-ésima curvatura média.

Sejam M , N , M , N , variedades tais que N é riemanniana e M uma variedade diferenciável com uma métrica pseudo-riemanniana (., .) induzida por uma forma quadrática Q. Considere as imersões isométricas f : M → M e g : N → N , onde a métrica induzida por f em M é riemanniana e Q(ξ, ξ) < 0, ∀ξ ∈ X(M )⊥. Considerando em M × N e em M × N as métricas produtos, teremos que a imersão

f × g : M × N → M × N também é imersão isométrica.

Denotemos por∇M a conexão pseudo-riemanniana de M e por ∇M, ∇N e ∇N as conexões riemannianas de M , N e N respectivamente. Portanto a conexão riemanniana de M × N é dada por

∇M ×N

X Y = ∇MXMYM × ∇

N XNYN

e a conex˜ao pseudo-riemanniana de M × N ´e dada por ∇M ×N_U V =∇M_U MVM +∇ N U_NVN onde X = (XM, XN), Y = (YM, YN) ∈ X(M × N ) em que XM, YM ∈ X(M ) e XN, YN ∈ X(N ). E U = (U_M, U_N), V = (V_M, V_N) ∈ X(M × N ) em que U_M, V_M ∈ X(M ) e U_N, V_N ∈ X(N ).

Sejam Bf, Bg as segundas formas fundamentais de f e g, respectivamente, com

os operadores lineares auto-adjuntos associados S_ξf : TpM → TpM e Sµg : TqN → TqN

com ξ ∈ X(M )⊥, µ ∈ X(N )⊥. Tome u, v ∈ TpM e w, z ∈ TqN , ent˜ao temos:

hS_ξfu, vi = hBf(u, v), ξi e hSµgw, zi = hBg(w, z), µi.

Assim a segunda forma fundamental da imers˜ao produto f × g ´e dada por Bf ×g(X, Y ) = (Bf(XM, YM), Bg(XN, YN)).

Seja η = (ξ, µ) em M × N normal a M × N , com ξ em M normal a M , µ em N normal a N , (ξ, ξ) + |µ|2 _{= −1 e (ξ, ξ) = −ρ}2_{, ρ > 0. Vamos encontrar o operador de}

forma Sf ×g

(36)

hSf ×g η X, Y i = hSηf ×g(XM, XN), (YM, YN)i = hBf ×g((XM, XN), (YM, YN)), ηi = h(Bf(XM, YM), Bg(XN, YN)), (ξ, µ)i = hBf(XM, YM), ξi + hBg(XN, YN), µi = hS_ξf(XM), YMi + hSµg(XN), YNi = hρSfξ ρ (XM), YMi + h|µ|Sgµ |µ| (XN), YNi.

Desta maneira, o operador de forma na dire¸cão N da imersão produto f × g é Sf ×g η X = ρS f ξ ρ XM + |µ|Sgµ |µ| XN = (ρSfξ ρ ◦ πM + |µ|S g µ |µ| ◦ πN)X

onde πM é proje¸cão sobre M e πN é proje¸cão sobre N .

Sejam f e g as inclus˜oes canˆ_{onicas H}k₍₋√_{1 + r}2_{) ⊂ R}k+1

1 e Sn−k ⊂ Rn−k+1

re-spectivamente, ou seja,

f : Hk₍₋√_{1 + r}2_{) ,→ R}k+1

1 f (p) = p

g : Sn−k(r) ,→ Rn−k+1 g(q) = q.

Note que f ´e isometria, pois a m´_{etrica induzida em H}k₍₋√_{1 + r}2_{) por R}k+1 1 ´e

riemanniana.

Considere o produto das imers˜oes

f × g : Hk(−√1 + r2_{) × S}n−k

(r) ,→ Rn+21 .

Sejam p ∈ Hk(−√1 + r2_{) e q ∈ S}n−k_{(r), isto ´}_{e, (p, p) = −1 − r}2 _{e |q|}2 _{= r}2_{. Assim}

(p, q) ∈ Hk₍₋√_{1 + r}2_{) × S}n−k_{(r) e ((p, q), (p, q)) = (p, p) + |q|}2 _{= −1 − r}2_{+ r}2 _{= −1.}

Neste caso os pontos (p, q) ∈ Hk₍₋√_{1 + r}2_)×Sn−k_{(r) estar˜}_{ao no espa¸co hiperb´}_olico

Hn+1 = {(p, q) ∈ Rn+21 ; ((p, q)(p, q)) = −1}.

Para as imers˜_{oes f : H}m₍₋√_{1 + r}2_{) → R}m+1

1 , g : Sn−m(r) → Rn−m+1 e i :

Hn+1 → Rn+21 , teremos os operadores de forma associados S f ξ = − 1 √ 1+r2Id, S g µ = 1rId e S_Gi = Id com ξ(p) = √ p 1+r2 e µ(q) = − q

r. Considere o campo Γ(p, q) = (p, q) normal a

Hn e a Hm(− √

1 + r2_{) × S}n−m_{(r). Precisamos de um campo G(p, q) = (ap, bq), unit´}_ario,

(37)

27

(i) ((ap, bq), (p, q)) = 0 (ii) ((ap, bq), (ap, bq)) = 1

De (i), temos que 0 = a(p, p) + b|q|2 _{= −a(1 + r}2_{) + br}2 _{= −a − ar}2_{+ br}2_{, ent˜}_ao

a = _1+rbr22.

De (ii), temos que 1 = a2(p, p) + b2|q|2 _{= −a}2_{(1 + r}2₎

⇒ 1 = −a2_{− a}2_r2_{+ b}2_r2 ⇒ 1 r2 = − a2 r2 − a 2_{+ b}2 _{= −a}2₍1 r2 + 1) + b 2 ⇒ 1 r2 = −b 2 r2 1+r2 + b 2 ₌ b2 1+r2 ⇒ b = √ 1+r2 r e a = r √ 1+r2.

Portanto o vetor normal ser´a dado por: G(p, q) = (√ r

1+r2p,

√ 1+r2

r q)

e o operador de forma na sua dire¸c˜ao ser´a dado por

SG = ρS f ξ ρ ◦ πM + |µ|S g µ |µ| ◦ πN = rSf_√p 1+r2 ◦ πM + √ 1 + r2_Sg q r ◦ πN = rSf_√p 1+r2 ◦ πM − √ 1 + r2_Sg −q_r ◦ πN. Assim, SG(X, 0) = −r(Sf_√p 1+r2 )X = r(−√1 1+r2)X = − r √ 1+r2X e SG(0, Y ) = − √ 1 + r2_(Sg −q r )Y = − √ 1+r2 r Y .

Tomando uma base ortonormal de vetores de f × g dada por {(e0, 0), (e1, 0), ..., (em, 0), (0, hm+1), (0, hm+2), ..., (0, hn+1)}

onde {ei} diagonaliza S_ξf e {hi} diagonaliza Sµg, temos que as curvaturas principais do

(38)

κ1 = ... = κm = −√_1+rr 2 e κm+1 = ... = κn= − √ 1+r2 r .

Já temos que a aplica¸cão de Gauss em M é G(x) = (√ r 1+r2x0, ..., r √ 1+r2xm, √ 1+r2 r xm+1, ..., √ 1+r2 r xn+1)

e as curvaturas principais s˜ao dadas por

κ1 = ... = κm = −√_1+rr 2 κm+1 = ... = κn = −

√ 1+r2

r .

Para todo k = 1, ..., n − 1 fixado, temos que Hk ´e constante. Como sabemos que

Lkx = ckHk+1G − cckHkx e c = −1, ent˜ao Lkx = ckHk+1(√_1+rr 2x0, ..., r √ 1+r2xm, √ 1+r2 r xm+1, ..., √ 1+r2 r xn+1) + ckHk(x0, ..., xn+1) = (νx0, ..., νxm, ωxm+1, ..., ωxn+1) = diag[ν, ..., ν, ω, ..., ω]     x0 .. . xn+1     = diag[ν, ..., ν, ω, ..., ω]x onde, ν = c_√kHk+1r 1+r2 + ckHk e ω = ckHk+1 √ 1+r2 r + ckHk.

Tomando A = diag[ν, ..., ν, ω, ..., ω], temos que o Cilindro hiperb´_{olico (H}m(−√1 + r2_{) ×}

(39)

Cap´ıtulo 4

Teorema

O objetivo deste cap´ıtulo ´e apresentar a demonstra¸c˜ao do teorema principal. Este classifica as hipersuperf´ıcies x : Mn _{→ M}n+1

c ⊂ Rn+2q orient´aveis imersas em Mcn+1 que

satisfazem a equa¸c˜ao Lkx = Ax, onde A ∈ R(n+2)×(n+2) ´e alguma matriz constante

auto-adjunta. Para isto, introduziremos uma s´erie de resultados auxiliares.

No final do cap´ıtulo 2 calculamos o operador Lk agindo nas fun¸c˜oes coordenadas

da hipersuperf´ıcie, agora consideraremos as fun¸cões coordenadas da aplica¸cão de Gauss G, que é a fun¸c˜_{ao ha, Gi em M , onde a ∈ R}n+2 _´_{e um vetor arbitr´}_{ario fixado.}

Lema 4.1. X(ha, Gi) = −hSX, ai = −hX, S(aT)i, ∀X ∈ X(M ).

Demonstra¸c˜_{ao. Como a ∈ R}n+2_{, sabemos que ∇}0

Xa = 0, logo X(ha, Gi) = h∇0 Xa, Gi + ha, ∇0XGi = ha, ∇0XGi 2.1 = ha, −SXi = −hSX, ai 2.9

= −hSX, aT _{+ ha, GiG + cha, xixi}

= −(hSX, aT_{i + ha, GihSX, Gi + cha, xihSX, xi)}

= −hSX, aT_i

= −hX, S(aT_)i.

Da´ı, temos que

h∇ha, Gi, Xi = Xha, Gi = −hS(aT_{), Xi = h−S(a}T_{), Xi}

o que implica que

∇ha, Gi = −S(aT). (4.1)

Lema 4.2. ∇X(∇ha, Gi) = −∇X(SaT) = −∇S(aT, X) − S(∇XaT) = −(∇XS)aT −

ha, GiS2_{X + cha, xiSX.}

(40)

Demonstra¸c˜ao.

∇X(∇ha, Gi) = ∇X(−SaT) = −∇X(SaT)

= −∇S(aT_{, X) − S(∇}

XaT)

= −(∇XS)aT − S(∇XaT) 2.11

= −(∇XS)aT − S(ha, GiSX − cha, xiX)

= −(∇XS)aT − ha, GiS2X + cha, xiSX.

Lema 4.3. ∇S(aT_{, X) = ∇S(X, a}T_{) = (∇}

aTS)X.

Demonstra¸c˜ao. Como S ´e auto-adjunto, temos

hSX, aT_{i = hX, Sa}T_i.

Derivando ambos os membros,

h∇(SX), aT_{i + hSX, ∇a}T_{i = h∇X, Sa}T_{i + hX, ∇(Sa}T_)i.

Usando o fato de que

h(∇XS)Z, Y i = h∇X(SZ), Y i − hS(∇XZ), Y i,

temos

h(∇S)X, aT_{i + hS(∇X), a}T_{i + hSX, ∇a}T_{i = hS∇X, a}T_{i + hX, (∇S)a}T_{i + hX, S(∇a}T_)i

o que implica que

h(∇S)X, aT_{i = hX, (∇S)a}T_i.

Logo

∇S(aT_{, X) = h(∇S)a}T_{, Xi = ha}T_{, (∇S)Xi}

= hX, (∇S)aTi = ∇S(X, aT₎

= (∇aTS)X.

Na próxima proposi¸cão, daremos uma expressão do operador Lk agindo nas

fun¸c˜oes coordenadas da aplica¸c˜ao de Gauss G.

Proposi¸c˜ao 4.4. Lkha, Gi = −tr(Pk∇aTS) − ha, Gitr(S2P_k) + cha, xitr(SP_k) =

n

(41)

31

Demonstra¸c˜ao. Seja {E1, ..., En} um referencial ortonormal de M , logo

Lkha, Gi = tr(Pk∇2ha, Gi) = n X i=1 hPk∇2ha, GiEi, Eii = n X i=1 h∇2ha, GiEi, PkEii = n X i=1 h∇Ei∇ha, Gi, PkEii 4.1 = n X i=1 h∇Ei(−S(a T_{)), P} kEii 4.2 = n X i=1 h−(∇EiS)a T _{− ha, GiS}2_E i+ cha, xiSEi, PkEii = n X i=1 {−h(∇EiS)a T , PkEii − hha, GiS2Ei, PkEii + hcha, xiSEi, PkEii} 4.3 = − n X i=1 h(∇_aTS)E_i, P_kE_ii − ha, Gi n X i=1 hS2_E i, PkEii + cha, xi n X i=1 hSEi, PkEii = − n X i=1 hPk(∇aTS)E_i, E_ii − ha, Gi n X i=1 hPkS2Ei, Eii + cha, xi n X i=1 hPkSEi, Eii = − n X i=1

hPk(∇aTS)E_i, E_ii − ha, Gitr(P_kS2) + cha, xitr(SP_k)

= −tr(Pk∇aTS) − ha, Gitr(P_kS2) + cha, xitr(SP_k)

= k+1n h∇Hk+1, ai − k+1n (nHkHk+1− (n − k − 1)Hk+2)ha, Gi

+ cckHk+1ha, xi.

Corol´ario 4.5. LkG = k+1n ∇Hk+1− k+1n (nHkHk+1− (n − k − 1)Hk+2)G +

c(k + 1) k+1n Hk+1a.

(42)

Lkha, Gi = − k+1n h∇Hk+1, ai − k+1n (nHkHk+1− (n − k − 1)Hk+2)ha, Gi + cckHk+1ha, xi = h− k+1n ∇Hk+1− k+1n (nHkHk+1− (n − k − 1)Hk+2)G + cckHk+1x, ai o que implica LkG = k+1n ∇Hk+1− k+1n (nHkHk+1− (n − k − 1)Hk+2)G + c(k + 1) k+1n Hk+1a

Assumiremos que para um k = 1, ..., n − 1 fixado a imers˜ao x : Mn _{→ M}n+1 c ⊂

Rn+2q satisfaz a condi¸c˜ao

Lkx = Ax + b (4.2)

para uma matriz constante A ∈ R(n+2)×(n+2) _{e um vetor constante b ∈ R}n+2_{. Como}

Lkx = ckHk+1G − cckHkx, temos Ax = −b + ckHk+1G − cckHkx 2.9 = −bT _{− hb, GiG − chb, xix + c} kHk+1G − cckHkx = −bT _{+ (c} kHk+1− hb, Gi)G − c(ckHk+ hb, xi)x

onde bT ∈ X(M ) denota a componente tangencial de b. Portanto

Ax = −b + ckHk+1G − cckHkx = −bT + (ckHk+1− hb, Gi)G − c(ckHk+ hb, xi)x. (4.3)

Proposi¸c˜ao 4.6. AX = −ckHk+1SX − cckHkX + ckh∇Hk+1, XiG − cckh∇Hk, Xix.

Demonstra¸c˜ao. Tomando a derivada covariante de ambos os membros da equa¸c˜ao Ax = −bT _{+ c}

kHk+1G − hb, GiG − cckHkx − chb, xix

obtemos que ∇0

XAx = −∇0XbT + ck∇0XHk+1G − ∇0Xhb, GiG − cck∇0XHkx − c∇0Xhb, xi

e como ∇0_XAx = AX, temos

AX = −∇0

XbT + ck(h∇Hk+1, XiG + Hk+1∇0XG) − (X(hb, Gi)G + hb, Gi∇0XG)

− cck(h∇Hk, Xix + Hk∇0Xx) − c(X(hb, xi)x + hb, xi∇0Xx).

Pelo fato de que ∇0

(43)

33

AX = −∇0

Xb T _{+ c}

kh∇Hk+1, XiG − ckHk+1SX + hSX, biG + hb, GiSX

− cckh∇Hk, Xix − cckHkX − chX, bix − chb, xiX 2.1,2.11

= −ckHk+1SX − cckHkX + ckh∇Hk+1, XiG − cckh∇Hk, Xix.

Para obter uma express˜ao para Hk+1AG, precisamos do seguinte resultado.

Lema 4.7. Lk(Lkx) = −ck k+1n Hk+1∇Hk+1− 2ck(SPk)(∇Hk+1) − 2cckPk(∇Hk)

− ck( k+1n Hk+1(nH1Hk+1) − (n − k − 1)Hk+2+ cckHkHk+1− LkHk+1)G + ck(cckHk+12 +

ckHk2− cLkHk)x.

Demonstra¸c˜ao. Para provar o lema, basta mostrar que Lk(Lk(ha, xi)) = −ck k+1n Hk+1h∇Hk+1, ai

− 2ckh(SPk)(∇Hk+1), ai − 2cckhPk(∇Hk), ai

− ck( k+1n Hk+1(nH1Hk+1) − (n − k − 1)Hk+2

+ cckHkHk+1− LkHk+1)ha, Gi

+ ck(cckHk+12 + ckHk2− cLkHk)ha, xi.

Por 2.12, temos que

Lk(Lk(ha, xi)) = Lk(ckHk+1ha, Gi − cckHkha, xi)

= ckLk(Hk+1ha, Gi) | {z } (I) − cckLk(Hkha, xi) | {z } (II)

(I) = ck{(LkHk+1)ha, Gi + Hk+1Lkha, Gi + 2hPk(∇Hk+1), ∇ha, Gii} 4.4

= ck{LkHk+1ha, Gi + Hk+1(−( k+1n h∇Hk+1, ai − ( k+1n (nH1Hk+1

− (n − k − 1)Hk+2)ha, Gi

+ cckHk+1ha, xi) + 2hPk(∇Hk+1), −S(aT)i}

= ckLkHk+1ha, Gi − ck( k+1n Hk+1h∇Hk+1(nH1Hk+1− (n − k − 1)Hk+2)ha, Gi

+ cc2_kH_k+12 ha, xi − 2ckh(SPk)(∇Hk+1), aTi

(II) = cck{Lk(Hk)ha, xi + HkLkha, xi + 2hPk(∇Hk), ∇ha, xii} 2.12

= cckLk(Hk)ha, xi + cckHk(ckHk+1ha, Gi − cckHkha, xi) + 2cckhPk(∇Hk), aTi

Sabendo que h(SPk)(∇Hk+1), aTi = h(SPk)(∇Hk+1), ai e fazendo (I) − (II) encontramos

(44)

Proposi¸c˜ao 4.8. Hk+1AG = − k+1n Hk+1∇Hk+1− 2(SPk)(∇Hk+1) − 2cPk(∇Hk)

− ( k+1n Hk+1(nH1Hk+1− (n − k − 1)Hk+2) + cckHkHk+1− LkHk+1)G + (cckHk+12 + ckHk2−

cLkHk)x + cHkAx.

Demonstra¸c˜ao. Basta mostrar que Hk+1AG = _c1

k(Lk(Lkx)) + cHkAx.

Temos que

Lk(Lkx) = Lk(Ax + b) = Lk(Ax) + Lk(b) = Lk(Ax) 2.13

= ckHk+1AG − cckHkAx

= ck(Hk+1AG − cHkAx)

o que implica que

Hk+1AG = _c1

k(Lk(Lkx)) + cHkAx.

Temos ainda uma outra expressão para Hk+1AG que será dada na próxima

proposi¸c˜ao.

Proposi¸c˜ao 4.9. Hk+1AG = − k+1n Hk+1∇Hk+1−2(SPk)(∇Hk+1)−2cPk(∇Hk)−cHkbT

− ( n

k+1Hk+1(nH1Hk+1− (n − k − 1)Hk+2) + cHkhb, Gi − LkHk+1)G

+ (cckHk+12 − Hkhb, xi − cLkHk)x.

(45)

35 Hk+1AG 4.8 = − k+1n Hk+1∇Hk+1− 2(SPk)(∇Hk+1) − 2cPk(∇Hk) − ( k+1n Hk+1(nH1Hk+1− (n − k − 1)Hk+2) + cckHkHk+1− LkHk+1)G + (cckHk+12 + ckHk2− cLkHk)x + cHkAx = − k+1n Hk+1∇Hk+1− 2(SPk)(∇Hk+1) − 2cPk(∇Hk) − ( k+1n Hk+1(nH1Hk+1− (n − k − 1)Hk+2) + cckHkHk+1− LkHk+1)G + (cckHk+12 + ckHk2− cLkHk)x + cHk(−bT + (ckHk+1− hb, Gi)G − c(ckHk+ hb, xi)x) = − k+1n Hk+1∇Hk+1− 2(SPk)(∇Hk+1) − 2cPk(∇Hk) − cHkbT − ( k+1n Hk+1(nH1Hk+1− (n − k − 1)Hk+2) + cckHkHk+1 − cckHkHk+1+ cHkhb, Gi − LkHk+1)G + (cckHk+12 + ckHk2− cLkHk− c2ckHk2 − c2Hkhb, xi)x = − n k+1Hk+1∇Hk+1− 2(SPk)(∇Hk+1) − 2cPk(∇Hk) − cHkbT − ( k+1n Hk+1(nH1Hk+1− (n − k − 1)Hk+2) + cHkhb, Gi − LkHk+1)G + (cckHk+12 − Hkhb, xi − cLkHk)x

O endomorfismo determinado por A ´e sempre auto-adjunto quando restrito ao espa¸co tangente da hipersuperf´ıcie, isto ´e,

hAX, Y i = hX, AY i, ∀X, Y ∈ X(M ). (4.4)

De fato por 4.6, temos que

hAX, Y i = −ckHk+1hSX, Y i − cckHkhX, Y i + ckh∇Hk+1, XihG, Y i − cckh∇Hk, Xihx, Y i = −ckHk+1hX, SY i − cckHkhX, Y i + ckh∇Hk+1, Y ihX, Gi − cckh∇Hk, Y ihX, xi = hX, −ckHk+1SY − cckHkY + ckh∇Hk+1, Y iG − cckh∇Hk, Y ixi = hX, AY i.

Portanto A ´e auto-adjunto se, e somente se,

hAX, xi = hX, Axi, ∀X ∈ X(M ) (4.5)

hAX, Gi = hX, AGi, ∀X ∈ X(M ) (4.6)

(46)

De fato, basta lembrar que dado um vetor arbitr´_{ario fixado a ∈ R}n+2_{, pode ser escrito}

como

a = aT + ha, GiG + cha, xix

e da´ı a equivalˆencia ´e imediata.

Lema 4.10. hAX, xi = hX, Axi ´e equivalente a ∇hb, xi = bT _{= c}

k∇Hk. (4.8)

Demonstra¸c˜ao. Por 4.3 e 4.6, temos que

hAX, xi = hX, Axi ⇔ −cckh∇Hk, Xihx, xi = −hbT, Xi

como hx, xi = c, c2 = 1, ent˜ao

hAX, xi = hX, Axi ⇔ hck∇Hk, Xi = hbT, Xi

⇔ ck∇Hk = bT.

Note que ∇hb, xi = ck∇Hk implica que hb, xi − ckHk ´e constante em M .

Proposi¸c˜ao 4.11. Nos pontos onde Hk+1 6= 0, hAX, Gi = hX, AGi ´e equivalente a

2 Hk+1 (SPk)(∇Hk+1) + (k + 2) k+1n ∇Hk+1 = − c Hk+1 (2Pk(∇Hk) + ckHk∇Hk). (4.9)

Demonstra¸c˜ao. Usando 4.6 e 4.8, obtemos que hAX, Gi = hX, AGi

⇔ hckh∇Hk+1, XiG, Gi = _H1 k+1hX, − n k+1Hk+1∇Hk+1− 2(SPk)(∇Hk+1) − 2cPk(∇Hk) − cHkbTi 4.8 ⇔ ckh∇Hk+1, XiHk+1 = hX, − k+1n Hk+1∇Hk+1− 2(SPk)(∇Hk+1) − 2cPk(∇Hk) − cckHk∇Hki ⇔ ckHk+1∇Hk+1 = − k+1n Hk+1∇Hk+1− 2(SPk)(∇Hk+1) − 2cPk(∇Hk) − cckHk∇Hk ⇔ 2 Hk+1(SPk)(∇Hk+1) + n k+1∇Hk+1+ (k + 1) k+1n ∇Hk+1 = − c Hk+1(2Pk(∇Hk) + ckHk∇Hk) ⇔ 2 Hk+1(SPk)(∇Hk+1) + (k + 2) n k+1∇Hk+1 = − c Hk+1(2Pk(∇Hk) + ckHk∇Hk).

(47)

37

Proposi¸c˜ao 4.12. LkHk= _c1

kLkhb, xi = Hk+1hb, Gi − cHkhb, xi.

Demonstra¸c˜ao. De 4.8, temos que

Lk(∇hb, xi) = Lk(ck∇Hk)

isto implica que

Lk(∇hb, xi) = ckLk(∇Hk) logo Lkhb, xi = ckLkHk portanto LkHk= _c1 kLkhb, xi 2.12 = Hk+1hb, Gi − cHkhb, xi. Observe que hAx, xi = −hb, xi − ckHk. (4.10) De fato, hAx, xi 4.3= h−b + ckHkG − cckHkx, xi = −hb, xi − c2_c KHk = −hb, xi − cKHk.

Proposi¸c˜ao 4.13. Hk+1hAG, xi = ckHk+12 + cckHk2 − LkHk + cHkhAx, xi = ckHk+12 −

Hk+1hb, Gi = Hk+12 hG, Axi.

Demonstra¸c˜ao. Temos que Hk+1hAG, xi = hHk+1AG, xi, usando 4.8, temos que

Hk+1hAG, xi = h(cckHk+12 + ckHk2− cLkHk)x + cHkAx, xi = ckHk+12 + cckHk2− LkHk+ cHkhAx, xi 4.12,4.10 = ckHk+12 + cckHk2− Hk+1hb, Gi + cHkhb, xi + cHk(−hb, xi − ckHk) = ckHk+12 − Hk+1hb, Gi 4.3 = Hk+1(ckHk+1− h−Ax + ckHk+1G − cckHkx, Gi) = Hk+1(ckHk+1+ hAx, Gi − ckHk+1) = Hk+1hG, Axi.

(48)

Portanto nos pontos onde Hk+1 6= 0, 4.5 e 4.6 implicam 4.7.

Para mostrar o teorema principal, precisaremos de um forte resultado que ser´a dado no lema seguinte.

Lema 4.14. Seja x : Mn → Mn+1

c ⊂ Rn+2q uma hipersuperf´ıcie orient´avel satisfazendo

a condi¸c˜ao Lkx = Ax + b para alguma matriz constante auto-adjunta A ∈ R(n+2)×(n+2) e

algum vetor constante b ∈ Rn+2_{. Ent˜}_{ao H}

k´e constante se, e somente se, Hk+1 ´e constante.

Demonstra¸c˜ao. Assuma que Hk seja constante e considere o conjunto aberto

U = {p ∈ M : ∇H2

k+1(p) 6= 0}.

Nosso objetivo é mostrar que U é vazio. Suponha que U não seja vazio. Como Hk é

constante, ent˜ao ∇Hk = 0. Logo por 4.9 temos que

2 Hk+1(SPk+1)(∇Hk+1) + (k + 2) n k+1∇Hk+1 = 0 em U . Equivalentemente (SPk+1)(∇Hk+1) = − k + 2 2 n k+1Hk+1∇Hk+1. (4.11) Se k = n − 1, 4.11 reduz-se a (SPn−1)(∇Hn) = − n + 1 2 Hn∇Hn, (4.12)

mas tamb´em sabemos que Pn = 0 e Pn = snI − SPn−1 = HnI − SPn−1, logo

SPn−1 = HnI o que implica (SPn−1)(∇Hn) = Hn(∇Hn). (4.13) De 4.12 e 4.13 temos que Hn(∇Hn) = −n+1₂ Hn(∇Hn) o que implica Hn∇Hn= 0

logo Hn é constante em U , que é uma contradi¸cão.

Suponha que 1 ≤ k ≤ n − 2 (e n ≥ 3 necessariamente). Considere {E1, ..., En}

(49)

39 Pk+1Ei = µi,k+1Ei com µi,k+1 = k+1 X j=0 (−1)j k+1−jn Hk+1−jκji = X i1<...<ik,ij6=i κi1...κik+1. (4.14)

Afirma¸cão 4.15. Para k ≤ n − 2 4.11 é equivalente a Pk+1(∇Hk+1) = k + 4 2 ( n k+1Hk+1∇Hk+1 em U . (4.15) De fato, (SPk+1)(∇Hk+1) = −k+2₂ k+1n Hk+1∇Hk+1 ⇔ k+1n Hk+1∇Hk+1− (SPk)(∇Hk+1) = k+1n Hk+1∇Hk+1+k+2₂ k+1n Hk+1∇Hk+1 ⇔ Pk+1(∇Hk+1) = k+4₂ k+1n Hk+1∇Hk+1. Afirma¸cão 4.16. 4.15 é equivalente a

h∇Hk+1, Eii(µi,k+1− k+4₂ ) k+1n Hk+1) = 0 em U ∀i = 1, ..., n.

De fato, escreva ∇Hk+1 = n X i=1 h∇Hk+1, EiiEi, ent˜ao 4.15 ⇔ Pk+1( n X i=1 h∇Hk+1, EiiEi) = k + 4 2 n k+1Hk+1( n X i=1 h∇Hk+1, EiiEi) ⇔ n X i=1 h∇Hk+1, EiiPk+1Ei = n X i=1 k + 4 2 n k+1Hk+1h∇Hk+1, EiiEi ⇔ h∇Hk+1, Eiiµi,k+1= k+4₂ k+1n Hk+1h∇Hk+1, Eii ⇔ h∇Hk+1, Eii(µi,k+1− k+4₂ ) k+1n Hk+1) = 0.

Portanto, para cada i tal que h∇Hk+1, Eii 6= 0 em U , temos que

µi,k+1 =

k + 4 2

n

k+1Hk+1. (4.16)

Isto implica que h∇Hk+1, Eii = 0 necessariamente para algum i. Se n˜ao, ter´ıamos para

todo i = 1, ..., n que (n − k − 1) _k+1n Hk+1 = tr(Pk+1) = n X i=1 µi,k+1 4.16 = n(k + 4) 2 n k+1Hk+1

como (n − k − 1) 6= n(k+4)₂ , temos que Hk+1 = 0 em U , que ´e uma contradi¸c˜ao.

Portanto, rearrumando o referencial ortonormal local se necess´ario, podemos as-sumir que para 1 ≤ m < n, temos h∇Hk+1, Eii 6= 0 para i = 1, ..., m, h∇Hk+1, Eii = 0

(50)

para i = m + 1, ..., n e κ1 < ... < κm. Em particular, ∇Hk+1 ´e uma dire¸c˜ao principal de

S se, e somente se m = 1. De 4.16 sabemos que

µ1,k+1= ... = µm,k+1= k+4₂ k+1n Hk+1 6= 0 em U .

Por 4.14 temos que κ1 < ... < κm s˜ao ra´ızes distintas da seguinte equa¸c˜ao

poli-nomial de grau k + 1

Q(t) = k+4₂ k+1n Hk+1

onde Q(t) ´e o polinˆomio Q(t) =

k+1

X

j=0

(−1)j k+1−jn Hk+1−jtj. Em particular m ≤ k + 1.

Por outtro lado, cada κié também raiz do polinômio caracter´ıstico de S que pode

ser escrito como

QS(t) = (−1)k+1tn−k−1Q(t) + n X j=k+2 (−1)j njHjtn−j pois, QS(t) = n X j=0 (−1)j njHjtn−j = k+1 X j=0 (−1)j njHjtn−j+ n X j=k+2 (−1)j njHjtn−j = (−1)k+1_tn−k−1_{Q(t) +} n X j=k+2 (−1)j njHjtn−j

Portanto, κ1 < ... < κm também são ra´ızes reais da seguinte equa¸cão polinomial de grau

n − k − 1 (−1)k+1 k+4₂ k+1n Hk+1tn−k−1+ n X j=k+2 (−1)j njHjtn−j = 0 em particular, m ≤ n − k − 1.

Por indu¸cão em m, é fácil ver que µ1,k+1 = ... = µm,k+1 =

X

m<i1<...<ik+1

κi1...κik+1

Como Hk ´e constante, ent˜ao 4.6 reduz-se a

(51)

41

o que implica que para todo m + 1 ≤ i ≤ n, temos

AEi = −ckHk+1SEi− cckHkEi+ ckh∇Hk+1, EiiG

= −ckHk+1κiEi− cckHkEi

= −ck(Hk+1κi− cHk)Ei

Portanto todo −ck(Hk+1κi− cHk) com i = m + 1, ..., n ´e um autovalor constante

αi da matriz A. Ent˜ao k+4 2 n k+1Hk+1 = X m<i1<...<ik+1 κi1...κik+1 = (−1)k+2 ck+1_k H_k+1k+1 X m<i1<...<ik+1 (αi1 − cckHk)...(αik+1 − cckHk)

em U . Isto implica que Hk+1 é constante, que é uma contradi¸cão com a defini¸cão de U .

Para mostrar a rec´ıproca, assuma que Hk+1 que ´e constante e considere o conjunto

aberto

V = {p ∈ M : ∇H2

k(p) 6= 0}.

Nosso objetivo ´e mostrar que V ´e vazio. Primeiro considere o caso em que Hk+1 = 0.

Suponha que V é não vazio. Afirma¸cão 4.17. 4.9 reduz-se a

−2cPk(∇Hk) − cckHk∇Hk− −cHkhb, GiG = 0.

De fato, como Hk+1= 0 e ∇Hk+1 = 0, 4.9 reduz-se a

0 = −2cPk(∇Hk) − cHkbT + cHKhb, GiG − Hkhb, xix − cLkHkx 4.8,4.12

= −2cPk(∇Hk) − cHk(ck∇Hk) + cHKhb, GiG − Hkhb, xix

− c(Hk+1hb, Gi − cHkhb, xi)x

= −2cPk(∇Hk) − cckHk∇Hk+ cHKhb, GiG − Hkhb, xix + Hkhb, xix

= −2cPk(∇Hk) − cckHk∇Hk+ cHKhb, GiG.

Portanto hb, Gi = 0 em V.

Afirma¸c˜ao 4.18. hAG, xi = hG, Axi = 0. De fato,

hAG, xi4.7= hG, Axi4.3= hG, −b + ckHk+1G − cckHkxi = 0.

(52)

De fato,

hAG, Xi 4.6= hG, AXi

4.6

= hG, −ckHk+1SX − cckHkX + ckh∇Hk+1, XiG − cckh∇Hk, Xixi

= 0.

Como a imers˜ao tem codimens˜ao um, logo AG = λG o que implica hAG, Gi = hλG, Gi = λ.

Portanto AG = hAG, GiG, isto é, G é autovetor de A com autovalor correspondente λ = hAG, Gi. Como Hk+1 = 0, então

AX 4.6= −cckHkX − cckh∇Hk, Xix, AG = λG e Ax = −bT _{− hb, GiG − cc} kHkx − chb, xix 4.8 = −ck∇Hk− c(ckHk+ hb, xi). Logo Ax = −ck∇Hk− c(2ckHk+ α)x

onde α = hb, xi − ckHk. Note que α, λ s˜ao constantes em V. Ent˜ao,

tr(A) =

n

X

i=1

hAEi, Eii + hAG, Gi + hAx, xi

= n X i=1 h−cckHkEi− cckh∇Hk, Xix, Eii + hλG, Gi + h−ck∇Hk− c(2ckHk+ α)x, xi = −ncckHk+ λ − c(2ckHk+ α) = constante

que implica que Hk é constante em V, que é uma contradi¸cão.

Se Hk+1 for uma constante diferente de zero e assumindo que V é não vazio, então

4.9 reduz-se a

(53)

43

Equivalentemente,

Pk(∇Hk) = −

ck

2Hk∇Hk em V. (4.17)

Considere {E1, ..., En} um referencial ortonormal local de dire¸c˜oes principais de

S tal que SEi = κiEi, ∀i = 1, ..., n e ent˜ao

PkEi = µi,kEi com µi,k = k X j=0 (−1)j k−jn Hk−jκji = X i1<...<ik,ij6=i κi1...κik. (4.18) Afirma¸c˜ao 4.20. 4.17 ´e equivalente a h∇Hk, Eii(µi,k +c₂kHk) em V. De fato, escrevendo ∇Hk = n X i=1 h∇Hk, EiiEi, temos que Pk(∇Hk) = −c₂kHk∇Hk ⇔ Pk( n X i=1 h∇Hk, EiiEi) = − ck 2Hk n X i=1 h∇Hk, EiiEi ⇔ n X i=1 h∇Hk, EiiPkEi = − ck 2Hk n X i=1 h∇Hk, EiiEi ⇔ n X i=1 h∇Hk, Eiiµi,kEi = − ck 2Hk n X i=1 h∇Hk, EiiEi ⇔ n X i=1 µi,kh∇Hk, EiiEi = n X i=1 −ck 2Hkh∇Hk, EiiEi ⇔ µi,kh∇Hk, Eii = −c₂kHkh∇Hk, Eii ⇔ h∇Hk, Eii(µi,k +c₂kHk) = 0.

Portanto, para todo i tal que h∇Hk, Eii 6= 0 em V temos

µi,k = −

ck

2Hk. (4.19)

Isto implica que h∇Hk, Eii = 0 necessariamente para algum i. Se n˜ao

ckHk = tr(Pk) = n X i=1 µi,k 4.19 = −nck 2 Hk então ter´ıamos Hk= 0 em V, o que é uma contradi¸cão.

Portanto, reenumerando o referencial ortonormal se necess´ario, podemos assumir que para 1 ≤ m < n, temos h∇Hk+1, Eii 6= 0 para i = 1, ..., m, h∇Hk+1, Eii = 0 para

(54)

i = m + 1, ..., n e κ1 < ... < κm. O inteiro m é o número de dire¸cões principais linearmente

independentes de ∇Hk, e ∇Hk ´e uma dire¸c˜ao principal se, e somente se m = 1.

De 4.19 sabemos que

µ1,k = ... = µm,k = −

ck

2Hk 6= 0 em V. (4.20)

Por 4.18 temos que κ1 < ... < κm s˜ao m ra´ızes reais distintas da seguinte equa¸c˜ao

polinomial de grau k

Q(t) = −ck

2Hk

onde Q(t) ´e o polinˆomio Q(t) =

k

X

j=0

(−1)j k−jn Hk−jtj. Em particular m ≤ k.

Por outro lado, κi é também raiz do polinômio caracter´ıstico de S que pode ser escrito

como QS(t) = (−1)ktn−kQ(t) + n X j=k+1 (−1)j njHjtn−j pois QS(t) = n X j=0 (−1)j njHjtn−j = k X j=0 (−1)j njHjtn−j+ n X j=k+1 (−1)j njHjtn−j = (−1)k_tn−k_{Q(t) +} n X j=k+1 (−1)j njHjtn−j.

Portanto, κ1 < ... < κm também são ra´ızes da seguinte equa¸cão polinomial de grau n − k

(−1)k+1 ck 2Hkt n−k₊ n X j=k+1 (−1)j njHjtn−j = 0 em particular, m ≤ n − k.

Por indu¸cão em m é fácil provar que µ1,k = ... = µm,k =

X

m<i1<...<ik

κi1...κik. (4.21)

Como Hk+1 ´e constante, ent˜ao 4.6 reduz-se a