fuS. Ci
REBUMO DO GIJRSO. DE Jj^LATELlÂTIGA PARA PROFESSOR I
E l e m e n t o s d a T e o r i a d o s G o n . j u n t o s C o n c e i t o s F u n d a m e n t a i s : c o n j u n t o e l e m e n t o r e l a ç â o d e p e r t i n e n c i a R e p r e s e n t a ç a o d e u m c o n j u n t o . A = A =
a, e, i, o, uj
X» tal que x é vogal do nosso alfabeto
A o r d e m e m q u e s a o e s c r i t o s o s e l e m e n t o s d e x i m c o n j u n t o n a o e
i m p o r t a n t e .
aÊA le- se a é elemento do conjunto A.
o u a p e r t e n c e a o c o n j u n t o A .
a^A le- se a nâo 4 elemento do conjunto
A-ou a nâo pertence ao conjunto A.
Conjxintos com um so elemento sâo denominados con,iuntos unltâ-r i o s .
0 c o n j u n t o q u e n a o t e a e l e m e n t o s c h a m a - s e c o n j u n t o v a a i o e
4 indicado pelo simbolo 0
XJm conjunto 4 finito se o numéro de seus elementos for um nu
m é r o n a t u r a l .
U m c o n j u n to 4 i n fi n i te s e n â o fo r fi n i to .
0 c o n j u n t o A e s t a c o n t i d o n o c o n j u n t o B , s e e s o n e n t e s e t o
-d o e l e m e n t o d e A f o r e l e m e n t o d e B . I n d i c a - s e A C B . Se AC B dia- se tamb4m que A 4 subconjunto de B.
Todo conjunto 4 subconjunto de si mesmo, isto 4, qualquer que
s e j a A , A C A .
0 conjunto vaaio 4 subconjunto de qualquer conjunto;
(j) ÇL qualquer que seja A.
0 conjunto A 4 igual ao conjunto B, se e somente se AC B e
B C A . I n d i c a - s e A = B ,
Dados dois conjuntos A e B, chama- se reunlâo de A e B ao
c o n j u n t o d o s e l e m e n t o s q u e p e r t e n c e m a A o u B ( o u a a m b o s ) . I n d i c a - s e A U B e l e - s e A r e u n i a o B o u A u n i â o B .
Dados dois conjuntos A e B, chama- se intersecçâo de A e B ao
c o n j u n t o d o s e l e m e n t o s q u e p e r t e n c e m a A e a B . I n d i c a - s e *
A O B e l e - s e A i n t e r B .
Dois conjuntos A e B sâo disjuntos, se e somente AO B= ^
Chama- se partigâo do conjunto E, todo conjunto P de partes,
r i s . c a
l l - R e l a Q o e s
y
1 ) - ( a , ! ) ) - ( c , d ) s e e s o m e n t e s e a = c e b = d P a r o r d e n a d o
2)- Se azjzD entâo (a,b) (b,a)
Dado dois conjuntos A e B, chaîna- se oroduto cartesiano de A o o r o c o n j u n t o d o s p a r e s o r d e n a d o s ( a , b ) , t a i s q u e , a A e b C B , I n d i c a - s e A x B e l e - s e " A c a r t e s i a n o B
Se A= ou B= ^ , ou ambos, entao A x B= ^
Dados dois conjuntos A e B, chaîna- se relaçao de A em B,qual
quer subconjunto R de A x B, isto é, RCA x B.
Se RCA X A, entao R chama- se uma relaçao em A.Algumas propriedades das relaçoes em um conjunto A. R e fl e x i v a
Q u a l q u e r q u e s e j a x C A e n t a o ( x , x ) C R . S i ï ï i é t r i c a
Quaisquer que sejam xCA e yCA, se(x,y) C R entao(y,x) C R. T r a n s i t i v a
Quaisquer que sejam x£A, yCA e sCA, se (x,y)£ R e (y,z)€.R
e n t a o ( x , 2 ) ^ R . ,
Se uma relaçao R em A for reflexiva, simétrica e transitiva
e n t a o R s e d i z u m a r e l a ç a o d e e q u i v a l ê n c i a .
Se (x,y)tR e R é uma relaçao de equivalência, dizemos que
X e y sâo équivalentes pela relaçao R.Dados um conjunto A e uma relaçao R de equivalência em A ,
c h a m a - s e c l a s s e d e e q u i v a l ê n c i a d e a £ A o s u b c o n j u n t o d e A , f o r m a d o p o r t o d o s o s e l e m e n t o s d e A q u e s a o é q u i v a l e n t e s '
a a p e l a r e l a ç a o R *
D a d a u m a r e l a ç a o d e e q u i v a l ê n c i a e m u m c o n j u n t o A , e s s a r e l a
çâo détermina as classes de equivalência que por sua vez '
c o n s t i t u e m u m a p a r t i ç a o d e A ,
\
Ç L b . 0 3
I I I - N u m e r a ç a o
A matematica começou com a invençâo dos numéros para "contar",
que sâo os numéros naturals:N= [o, 1, 2,
3,.--Kumeraçao é o estudo de como utilizar um minime de palavras e
u m m x n i m o p o s s i v e l d e s i m b o l o s p a r a r e p r e s e n t a r o s n u m é r o s n a t u r a l s . E ^ r i p c l o s B a b l l o i i l c o s R o m a n o s R o s
l i i i i i
y i
U m ' s l s t e m a d e n u n e r a o a o e u m c o n j u n t o d e s i m b o l o s ( a l g a r l s m o s ) e r e g r a s q u e p e r m l t e m r e p r e s e n t a r q u a l q u e r n u m é r o n a t u r a l . 0 s l s t e m a d e n u m e r a ç â o d e c l m a l C b a s e d e s ) u t i l i s a d e s s i m b o l o s ' ( a l g a r l s m o s ) e r é a l i s a a g r u p a m e n t o s d e d e s e m d e s .Ele é Importante porque:
1- Adota o principio do valor posiclonal.
2- Possul o simbolo O(zero) para Indlcar as ordens(poslçoes )
v a z l a s . P r l n c i p l o d o v a l o r p o s i c l o n a l ( n a r a a b a s e d e s ) % T o d o a l g a r l s m o e s c r l t o a e s q u e r d a d o o u t r o , v a l e d e s v e z e s ' m a i s q u e s e e s c r l t o n o l u g a r d e s s e o u t r e . " R o t a ç a o E x p o î j e n c l a l : 6 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2
4 X n-= 4^
10 X 10 X 10= 10^
2 5 3 2 = 2 0 0 0 + 5 0 0 + 3 0 + 2 = = 2 X ( 1 0 0 0 ) + 5 X 1 0 0 + 3 X 1 0 + 22532 = 2 X lo5+ ^ X 10^+ ^ x 10 + 2
B a s e c l n c o i a - c l n c o a l g a r l s m o s 0 , 1 , 2 , 3 , 4 . b - a g r u p a m e n t o s d e c l n c o e m c l n c o . c — t o d o a l g a r l s m o e s c r l t o a e s q u e r d a d e o u t r o v a l eclnco vezes mais que se escrlto no lugar desse'
o u t r o •
(102)^ ^ 1 y: 3^+ 0x3+2 = 25 + 2= 27
(102)5 = 27
B a s e d o i s : ( S l s t e m a B l n â r l o ) a - d o i s a l g a r l s m o s 0 , 1 . b - a g r u p a m e n t o s d e d o i s e m d o i sP 1 . S . o v
2
( 1 0 1 ) 2 = 1 x 2 + 0 x 2 + 1 = 4 + 1 = 5
(101)2 = 5
O a a / P
Con.0 vinte e sete e representado na base d©«?
2 7 5 27 = (102)
2 5 5
0 1
Gomo cinco e representado na base- dois?
5
L 2
5
=
( 1 0 1 ) 2
1 2 I 2
I V. 0 c o n . i u n t o d o s n L i a e r o s n a t u r a l s
Em numerosas situaçoes o conhecimento de duas informaçôes
è indispeinsâvel e suficiente para obter \ma terceira.
E m c a d a c a s o , a c a d a p a r d e n u m é r o s a s s o c i â m e s u m t e r c e i -r o n u m é -r o . A s s i m , d e p e n d e n d o d a s i t u a ç a o , d o p a -r d e n u m é -r o s ( 1 0 , 2 ) a s s o c i a m o s o n u m é r o 1 2 ( a d i ç â o ) , o i ' n e S ( s u b t r a -ç â o ) , o u o n e 2 0 , ( m u l t i p l i c a -ç â o ) ô / o n u m é r o 5 ( d i v i s a o ) . 1 2 S 2 0 5 P r o p r i e d a d e s d a A d i ç â o e M u l t i p l i c a ç a o 1 . C o m u t a t i v a
Qualquer que seja (a,^)) C N x N tem-se
a + " b = " b + a
a X " b = b X a
<
2 * A s s o c i a t i v a
Qualquer que sejam os numéros naturals a , b , e c t e m - s e : (a + b) + c = a + (b + c) (a X b) X c = a X (b X c) 3 * E x i s t ê n c i a d e E l e m e n t o N e u t r e Q u a l q u e r q u e s e j a a € N , e x i s t e 0 G N e I G N t a i s q u e : a + 0 = 0 + a = a a x l = l x a = a l ^ r o p r i e d a d e D i s t r i b u t i v a d a M u l t i p l i c a ç a o e m r e l a ç a o à A d i ç â o .
Qualquer que sejam a > b , £ naturals a X (b + c) = (a X b) + (a X c)
Dados a e D natarais diaem^^que
a é aultiplo de b, se, e soaente se existir n€-IÏ tal que
a = b X n .
1 » 2 e r o e m u l t i p l e d e q u a l q u e r n u m é r o .
2. 0 unico Hultiplo de zero é o proprio zero.
3- Um numéro e sempre multiplo dele mesmo e^o menor
m u l t i p l e d e r = u i i i - d : i u i a e p o d i i e r e n t e d e z e r o .
0 con^unto dos multiples de xua. numéro y, diferente
de zero^ è infinito.
Dados a e b naturals dizemos que
b 'é divisor de um numéro a, se, e somente se, existir
n £ N tal que a = b n
1 . 0 m e n o r d i v i s o r d e q u a l q u e r n u m é r o d i f e r e n t e d e
z e r o e l .
2. 0 maior divisor de qualquer numéro diferante-, de
zero é ele mesmo.
3 - 0 c o n j u n t o d o s d i v i s o r e s d e u m n i ^ e r o d i f e r e n t e d e z e r o 4 t fl l fi n i t o .
0 conjunto dos divisores de zero 4 o conjxmto dos
n u m é r o s n a t u r a l s , N " = ■ 0 . , i t , 2 , 5 > ^ •
Se b 4 divisor de a, entao a 4 multiplo de b.
Se a 4 multiplo de b, entao b 4 divisor de a.
Um numéro natural 4 primo, se, e somente se, o conjunto
dos seus divisores possuir apenas dois elementos.
Dois numéros sao primes entre si, se, e somente se, o
n n i c o d i v i s o r c o m u m a e l e s f o r o n u m é r o - 1 .
Minimo Multiplo Comum de dois ou mais numéros 4 o menor
elemento, diferente de zero, do conjimto dos multiples
c o m u n s d o s n u m é r o s d a d o s .
%
Indica-se m . m . c (a , b)
Maximo Divisor Comum de dois ou mais numéros 4 o maior
dos elementos do conjunto dos divisores comnns (SLos nu
méros dados. Indica-se m . d . c (a , b)Se a e multiplo de b (a^O) entâo m.m.c (a , b) = a
e m . d . c ( a , b ) = b .
Se a e b sâo primos entre si, m.d.c (a , b) = 1 e m.m.c
(a , b) = a X b
y - 0 C o n , i u n t o d o s I T u n e r o s R a c i o n a i s
r t s . o >
-A fraçâo _ é "uia simbolo que si^nifica 2 :
5-5
Seja F © . . conjunto das fraçôes isto é das expressoes —
c o m a e b n a t u r a l s e b ^ O . b
O o n s i d e r e e m F a s e g u i n t e r e l a ç â o d e e q u i Va l e n c i a :
é é q u i v a l a n t e a ( i n d i c a - s e s e e s o m e n t e s e
b d b d
a X d = b X c .
Ssta relaçâo é reflexiva, simétrica e transitive por isso
ela é uma relaçâo de equiValencia,
Sendo xima relaçâo de equiValencia em F, ela détermina uma p a r t i ç â o d e F n a s c l a s s e s d e e q u i Va l e n c i a ,
Os elementos de cada classe sâo todas as fraçoes -equivalea t e s e n t r e s i . H a i n fi n i t e s c l a s s e s d e e q u i V a l e n c i a ,
A c a d a u m a d e l a s e s t a a s s o c i a d o u m n u m é r o c h a m a d o r a c i o n a l
q u e p o d e s e r r e p r e s e n t a d o p o r q u a l q u e r f r a ç â o d a q u e l a c l a s
-- s e .
Cada fraçâo de uma classe, é chamada uma représentante ■ da
c l a s s e .
A f r a ç a o e i r r e d u t i v e l s e , e s o m e n t e s e m . d . c , ( a , b ) = 1 . b
Dois numéros racionais sâo iquais se, e somente se as fraçoes
q u e o s r e p r e s e n t a m s â o é q u i v a l e n t e s .
Existe equivalência entre as fraçoes.
E x i s t e i q u a l d a d e e n t r e o s n u m é r o s r a c i o n a i s . P o r t a n t o » s e e s o m e n t e s e a d = b c .
b d
0 conqunto dos numéros naturals e subconjunto dos numéros ra c i o n a i s .
— \ — se, e somente se ad'Sbc.
b / d ^
— se, e somente se ad<^c.
b ^ d ^
Todas as fraçpes de uma classe de equivalência sâo
1 . , ^ L ' o . o y
A d i ç â o
i
^
y
>
a d
+
b c
^ b d T . I u l t i p l i c a ç â o { ■ — » — ) ^ b d P r o p r i e d a d e s : 1 . C o m u t a t i v a a ^ c _ c ^ a a c c a _ • r — 1 . 1 _ ♦ • b d d b b d d b 2 . A s s o c i a t i v aH (-£- + A) = (± + L) + 1
d f b d f ^ X ( ^ x ® x - ^ b d f b d f 5 - E x i s t ê n c i a d o E l e m e n t o N e u t r o . 0 = A + 0 = ^ b b b l x ± = - ^ x l = b b b 4 . E x i s t ê n c i a d e E l e m e n t o I n v e r s o ,C^u-alquer qu.e ae^a o i-acipAal ~ i O, oîtis bc O ^
■ b a t a l q u e
i x i = 1
b a b _ _ ^ a — c h e i z a a - s e i n v e r s o m u l t i p l i c a t i v e d e a b5* Distributiva da Multiplicaçao em relaçao a Adiçao.
J L x
( ° + ^ )
=
( £ x ° ) , +
( A x f - )
b d f b d b f S u b t r a ç S o ) > . . b d b dD i v i s â o ( ^ ^ ^ —
b d b cGhama-se fraçâo decimal aquela cujo denominador è 10 ou uma po'
t ê n c i a d e 1 0 .
Todo numéro racional possui também uma representaçâo decimal ,
(impropriamante cbamado numéro decimal).
E x :
2 4
1
= = 0 , 5 = 0 , 5 0 = 0 , 5 0 0 =
- 0 , 3 5 3
No caso da representaçao decimal ser finita, existem fraçoes
décimais na classe de equivalencia que define o numéro racio
n a l . " "
