Álgebras de p-grupos de classe 2 sobre os Racionais. André Luiz Martins Pereira

(1)

´

Algebras de

p-grupos de classe 2 sobre os Racionais

Andr´e Luiz Martins Pereira

(2)

i

Aos meus pais Adelino e Maria. A minha av´o Cust´odia.

(3)

Agradecimentos

Ao professor Guilherme Leal, pela indica¸c˜ao do problema estudado nesta tese e seu apoio constante.

Aos meus amigos, Albet˜a, Alex, Roberto e R´egis pelo companheirismo que tiveram comigo durante este per´ıodo, e ao meu grande amigo Luiz Normando por me emprestar seus grandes conhecimentos em LA_TEX.

Em especial agrade¸co mais uma vez ao meu orientador professor Adilson Gon¸calves por seu inestimável apoio ao longo da minha forma¸cão acadêmica, na Gradua¸cão, no Mestrado e no Doutorado, culminando na elabora¸cão desta tese.

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Resumo

O objetivo principal deste trabalho é mostrar que para grupos nilpotentes de classe 2, o isomorfismo entre álgebras de grupos sobre os racionais implica nos comutadores dos grupos serem os mesmos e as ordens dos centros serem iguais. Também mostraremos que as componentes centrais de maior ordem dos grupos se preservam, isto é, possuem a mesma ordem.

Além disso serão estudadas duas aplica¸cões destes resultados: uma quando o comutador do grupo for c´ıclico e outra quando o grupo for Frattini central.

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Abstract

The main goal of this work is to show that for nilpotent groups of class 2, the isomorphism between group algebras on the rational implies that the commutators of the groups are the same, and the orders of the centers are equals. Also it will be shown that the central components of higher order of groups preserve, that is, have the same order.

In addition, it will be studied two applications of these results: one when the commutator of the group is cyclic and the another when the group is central Frattini.

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Sum´

ario

Introdu¸cão . . . 1 1 Resultados preliminares 4 1.1 Grupos Nilpotentes . . . 5 1.2 Representa¸cão de grupos . . . 8 1.3 Anéis de grupos . . . 15 1.4 Isomorfismo de anéis de grupos sobre os inteiros e o Teorema de

Glauberman . . . 22 1.5 Caso especial: _{ZG ≃ ZH, G grupo nilpotente finito . . . .} 25 1.6 Isomorfismo de ´algebras de grupos abelianos sobre os racionais . . . 27

2 Algebra de Grupos sobre os Racionais para Grupos Nilpotentes´ 29 2.1 Idempotentes centrais primitivos de QG, G grupo nilpotente finito . 30 2.2 Caso especial: Isomorfismos de ´algebras de grupos sobre os racionais

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SUM ´ARIO vi

2.3 Algebras de Grupos sobre os racionais para alguns p-grupos metabe-´ lianos . . . 39

3 Isomorfismo de ´Algebras de Grupos sobre os Racionais em Grupos

Nilpotentes de classe 2 46

3.1 O teorema principal . . . 47 3.2 A preserva¸c˜ao da maior componente central . . . 55 3.3 p-Grupos com G′

c´ıclico e p-Grupos Frattini central . . . 56 3.4 Um exemplo de duas Q-´algebras isomorfas de ordem p7 _{. . . .} ₆₂

(8)

Introdu¸c˜

ao

“Dados dois grupos G e H, ´e verdade que ZG ≃ ZH implica que G ≃ H?”

Esta questão foi proposta inicialmente por Graham Higman [21] em uma conferência de Álgebra na Universidade de Michigan, no ano de 1947. R. M. Thrall propôs o seguinte problema:

“Dado um grupo G e um corpo K, determinar todos os grupos H para os quais KH seja isomorfo a KG.”

Desde então muitos matemáticos têm trabalhado tanto no problema de iso-morfismo de anéis de grupos sobre os inteiros quanto no problema de isoiso-morfismo sobre um corpo qualquer. Em ambos os casos o progresso tem sido obtido com muita dificuldade. Em seguida destacamos alguns resultados:

Whitcomb [22] mostrou que para grupos metabelianos, ZG ≃ ZH implica que G ≃ H. Dade [3] exibiu contra-exemplo que mostra que KG ≃ KH não implica que G ≃ H, onde K é um corpo qualquer, ainda para o caso em que G é metabeliano.

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SUM ´ARIO 2

Em 1987, Klaus Roggenkamp e Leonard Scott [20] mostraram que a resposta para o problema do isomorfimo de anéis de grupos sobre os inteiros é verdadeiro quando G for nilpotente. Quando se imaginava que a resposta para o problema do isomorfismo de anéis de grupos sobre os inteiros fosse verdadeira para qual-quer grupo G, Martin Hertweck [8] em 2001 apresenta um contra-exemplo para o problema.

Neste trabalho estaremos interessados em descobrir quais caracter´ısticas de G s˜ao preservadas em H sempre que QG ≃ QH, sendo Q o corpo dos racionais, e G, H grupos nilpotentes de classe 2. Para grupos nilpotentes de classe 1 (abelianos) Perlis e Walker [17] mostraram que ´algebras de grupos racionais isomorfas implicam em grupos isomorfos.

Logo assumiremos que G e H são grupos nilpotentes de classe 2, mais espe-cificamente p-grupos de classe 2, pois todo grupo nilpotente é produto direto de seus p-subgrupos de Sylow. Conseqüentemente estudar álgebras de grupos nilpotentes isomorfas é equivalente a estudar o caso em que as álgebras de seus p-subgrupos de Sylow sejam isomorfas.

Os principais resultados obtidos nesta tese s˜ao:

Teorema 1: Sejam G e H p-grupos de classe de nilpotˆencia 2. Se QG = QH ent˜ao G′

= H′

e |Z(G)| = |Z(H)|.

Teorema 2: Sejam G e H p-grupos de classe de nilpotência 2. Se QG = QH então as ordens das maiores componentes centrais c´ıclicas de G e H são as mesmas.

(10)

SUM ´ARIO 3

Teorema 3: Sejam G e H p-grupos de classe de nilpotˆencia 2 com QG = QH. Se G′ ´e c´ıclico e Z(G) ≃ Cpα1 × . . . × C_pαm, produto de c´ıclicos com C_pα1TG

′

6= {1} ent˜ao Z(H) ≃ C_pβ1 × . . . × Cpβn, com C_pβ1TH

′

6= {1} e α1 = β1. De fato, se

e = ˆB(1 − ˆz) = ˆK(1 − ˆh) ´e um idempotente central primitivo de QG = QH, com o(z) = p, z ∈ G′

, o(h) = p, h ∈ H′

, ent˜ao Z(G) = Cpα1 × B, Z(H) = C_pβ1 × K,

Cpα1 ≃ C_pβ1 (c´ıclicos) e |B| = |K|.

Teorema 4: Seja G um p-grupo Frattini central, e seja H um p-grupo de classe 2 tal que QG = QH. Ent˜ao,

1. G′ = H′, |Z(G)| = |Z(H)|; e

2. H ´e um p-grupo Frattini central, com H/Z(H) ≃ G/Z(G).

Também mostraremos por meio de contra-exemplos que o resultado obtido no teorema 3 seria falso caso retirássemos a hipótese de G′

(11)

Cap´ıtulo 1

Resultados preliminares

O objetivo deste cap´ıtulo ´e introduzir alguns resultados que ser˜ao muito ´

uteis no decorrer dos próximos cap´ıtulos, sendo que para alguns destes resultados daremos a demonstra¸cão e para outros daremos a referência bibliográfica.

Este cap´ıtulo é organizado da seguinte forma: na primeira se¸cão iremos defi-nir e dar exemplos de grupos nilpotentes finitos, destacando-se os grupos nilpotentes de classe 2, que serão os objetos principais do nosso estudo. Incluiremos também alguns resultados de grupos nilpotentes, sem demonstra¸cão.

Na segunda se¸cão apresentaremos alguns resultados de representa¸cão de gru-pos e teoria de caracteres, uma vez que estas teorias são fundamentais para o estudo de álgebras de grupos. Serão apresentadas as no¸cões de representa¸cões e caracteres irredut´ıveis, representa¸cões absolutamente irredut´ıveis e caracteres levantados.

Na terceira se¸cão definiremos anéis de grupos e discutiremos os principais teoremas de decomposi¸cão, como teorema de Maschke e Wedderburn, além do lema

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1.1 Grupos Nilpotentes 5

de Schur. Também discutiremos a importância da teoria de representa¸cão de gru-pos para o estudo das álgebras de grugru-pos. Nesta se¸cão não iremos demonstrar os principais resultados, mas indicaremos as principais referências bibliográficas.

Na quarta se¸cão, será estudado o isomorfimo de anéis de grupos sobre os inteiros, salientando o teorema de Glauberman [15] e o porquê da dificuldade de trabalhar em outras estruturas que não seja o anel dos inteiros.

Na quinta se¸cão estudaremos o caso em que ZG ≃ ZH, onde G é um grupo nilpotente finito, que foi abordado por Coleman [1]. Mais uma vez ficará bem claro o quão importante é o teorema de Glauberman para resolvermos este caso.

Na sexta e última se¸cão deste primeiro cap´ıtulo vamos salientar, sem de-monstra¸cão, o trabalho de Perlis e Walker [17] , que mostra que se QG ≃ QH onde G e H são grupos abelianos então G ≃ H, sendo que sobre o corpo dos complexos este resultado é falso.

1.1 Grupos Nilpotentes

Defini¸cão: Um grupo é chamado nilpotente se tem uma série central finita, isto é, uma série normal 1 = G0 6 G1 6 . . . 6 Gn = G tal que Gi+1/Gi está contido em

Z(G/Gi) para todo i.

O comprimento da menor série central de G é a classe de nilpotência de G. Exemplos: Um grupo nilpotente de classe 0 tem ordem 1, enquanto grupos nilpo-tentes de classe no máximo 1 são abelianos.

(13)

Observa¸cão: Embora todo grupo nilpotente seja solúvel (basta utilizar as de-fini¸cões de grupos nilpotentes e solúveis) nem todo solúvel é nilpotente, um exemplo é S3, que é solúvel mas Z(S3) = {1}, logo S3 não é nilpotente.

Agora vamos enunciar alguns importantes teoremas de grupos nilpotentes, que ser˜ao utilizados ao longo dos cap´ıtulos.

Teorema 1.1.1 Todo p-grupo finito ´e nilpotente.

Demonstra¸c˜ao: [7]

Teorema 1.1.2: Todo subgrupo normal minimal de um grupo nilpotente est´a contido no centro.

Corolário 1.1.1: Todo subgrupo normal não trivial de um grupo nilpotente possui interse¸cão não trivial com o centro.

Teorema 1.1.3: G ´e um grupo nilpotente finito se e somente se G ´e produto direto de seus subgrupos de Sylow.

Defina Z0(G) = {1}, Z1(G) = Z(G) e Zi(G) como o ´unico subgrupo de G

tal que Zi(G)/Zi−1(G) = Z(G/Zi−1(G)). O subgrupo Zi(G) ´e chamado i-´esimo

(14)

Defini¸cão: A seqüência de subgrupos

{1} = Z0(G) ⊂ Z1(G) ⊂ . . . ⊂ Zn(G) ⊂ . . .

´e chamada de s´erie central superior de G.

Essa série central e é chamada de série central superior, pois para toda série central ascendente

{1} = A0 ⊂ A1 ⊂ . . . ⊂ An⊂ . . .

temos que An⊂ Zn(G) para todo n.

A idéia da demonstra¸cão é usar indu¸cão em n e aplicar as defini¸cões de série central e de série central superior. Como referência bibliográfica veja [7].

De forma an´aloga podemos definir uma s´erie central inferior de G, para isto defina:

γ1(G) = G, γ2(G) = G

′

, γi(G) = [γi−1(G), G]

Defini¸cão: A seqüência de subgrupos

G = γ1(G) ⊃ γ2(G) ⊃ . . . ⊃ γn(G) ⊃ . . .

´e chamada de s´erie central inferior de G.

Essa série é central é chamada de série central inferior pois para toda série central descendente

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1.2 Representa¸c˜ao de grupos 8

temos γn(G) ⊂ An−1, para todo n. A idéia da demonstra¸cão e a referência

bibli-ogr´afica ´e a mesma da anterior.

Estamos interessados em grupos que possuem classe de nilpotência 2. Pelas defini¸cões anteriores, temos que G′ ⊆ Z(G), propriedade que será extremamente ´

util no decorrer deste trabalho.

1.2 Representa¸c˜

ao de grupos

Defini¸cão: Seja G um grupo, R um anel comutativo com unidade. Uma repre-senta¸cão matricial de G sobre R é um homomorfismo

ϕ : G → GL(n, R)

onde GL(n, R) ´e um grupo constitu´ıdo de todos os elementos invert´ıveis de Mn(R)

(anel das matrizes n × n sobre R).

O núcleo da representa¸cão de ϕ, isto é, kerϕ = {g ∈ G : ϕ(g) = In} é um

subgrupo normal de G e dizemos que a representa¸cão ϕ é fiel se kerϕ = {1}. Defini¸cão: Um grupo abeliano aditivo M é chamado um módulo sobre um anel A (A módulo à esquerda) se am ∈ M, a ∈ A e m ∈ M tal que (a + a′

)m = am + a′

m, a(a′m) = (aa′)m, 1m = m, ∀a, a′ ∈ A. M ´e livre, com base {mi}i∈I se cada

elemento m de M tem uma express˜ao ´unica da forma

(16)

Se R for um anel comutativo, V um R-módulo, denotamos por GL(V ) o grupo dos R-homomorfismos de V em V (EndR(V )). Se V for um R-módulo livre de dimensão

n, ent˜ao

GL(V ) ≃ GL(n, R)

onde por um R-homomorfismo f de V para V , f : V → V entende-se: f (rv) = rf (v), ∀r ∈ R, v ∈ V f (v + v′

) = f (v) + f (v′

), ∀v, v′

∈ V

Defini¸cão: Seja G um grupo, R um anel comutativo, V um R-módulo livre de dimensão finita. Uma representa¸cão de G em V é um homomorfismo

T : G → GL(V ) ´

E direto que uma representa¸c˜ao fornece uma representa¸c˜ao matricial de G e dimRV

´e o grau de T .

Defini¸cão: Seja G um grupo, R um anel comutativo, A um R-módulo livre com G sendo uma base. Temos uma multiplica¸cão em A

(Pm_i=1rigi)(Pnj=1sjhj) = (Pmi=1

Pn

j=1(risj)(gihj))

∀ri, sj ∈ R, gi, hj ∈ G.

A = RG é uma R-álgebra, chamamos álgebra de grupo de G sobre R. O próximo lema mostra a rela¸cão entre representa¸cão de um grupo G e a álgebra de grupo RG.

Lema 1.2.1: Estudar representa¸cões de grupo G sobre R é equivalente a estudar RG-módulos.

(17)

Defini¸cão: Duas representa¸cões matriciais ϕ, ψ de G em Mn(R) são equivalentes

se existe uma matriz M ∈ Mn(R) tal que

ψ(g) = M−1_{ϕ(g)M, ∀g ∈ G}

Lema 1.2.2: Sejam V e W RG-módulos livres de dimensão n. Então V e W são isomorfos se e somente se eles fornecem representa¸cões matriciais equivalentes. Demonstra¸cão: [4]

Defini¸cão: Seja A um anel, M um A-módulo não nulo, M é redut´ıvel se existe um submódulo próprio N(0$ N $ M), caso contário M é irredut´ıvel. M é completa-mente redut´ıvel (ou semi-simples) se M é soma direta de A-módulos irredut´ıveis.

Uma representa¸cão G → GL(V ), V R-módulo livre é redut´ıvel, irredut´ıvel ou completamente redut´ıvel se V for redut´ıvel, irredut´ıvel ou completamente ir-redut´ıvel como RG-módulo respectivamente. Assim, a representa¸cão matricial é equivalente a uma das seguintes formas:

    A B 0 C     se V for redut´ıvel;     A 0 0 D   

 se V for completamente redut´ıvel;

Na próxima se¸cão veremos que as álgebras de grupos que iremos trabalhar são completamente redut´ıveis, logo estudá-las significa estudar as componentes ir-redut´ıveis, que significa estudar as representa¸cões irredut´ıveis de G, isto nos mostra

(18)

o quanto a teoria de representa¸c˜oes ´e importante para o nosso trabalho.

Um importante resultado que iremos usar ao longo desta tese e cuja de-monstra¸c˜ao pode ser encontrada em [6] ´e:

Teorema 1.2.1: Seja G um grupo finito que possua uma representa¸cão fiel e irre-dut´ıvel, então o seu centro é c´ıclico.

A rec´ıproca deste resultado ´e falsa, para isto, tome G =< a, b, c : a3 _{= b}3 ₌

c2 _{= 1, ab = ba, c}−1_{ac = a}−1_{, c}−1_{bc = b}−1 _{>, seu centro ´e trivial, mas este grupo n˜ao}

possui uma representa¸cão fiel e irredut´ıvel. Porém, quando G for nilpotente vale a rec´ıproca deste teorema, a demonstra¸cão será dada no cap´ıtulo 2.

Construir as representa¸cões irredut´ıveis de um grupo pode ser extremamente dif´ıcil. Muitas vezes o caminho é constru´ırmos a tabela de caracteres irredut´ıveis de um grupo, e obter através dela informa¸cões importantes sobre o grupo, suas representa¸cões irredut´ıveis, e conseqüentemente sobre os módulos irredut´ıveis. Defini¸cão: Seja K um corpo, G um grupo, V um K-espa¸co vetorial de dimensão finita, T : G → GL(V ) uma representa¸cão. A fun¸cão χ : G → K definida por

χ(x) = trT (x), ∀x ∈ G

é chamada caracter, esta é chamada caracter irredut´ıvel se a representa¸cão T for irredut´ıvel.

Lema 1.2.3: Isomorfimos de KG-m´odulos ou representa¸c˜oes equivalentes fornecem o mesmo caracter.

(19)

Proposi¸cão 1.2.1: Se x e y são elementos conjugados de um grupo G, então χ(x) = χ(y), para todo caracter de χ de G.

Demonstra¸c˜ao: Segue direto da defini¸c˜ao de caracter e do fato que tr(AB) = tr(BA).

Defini¸cão: Se χ é o caracter de um KG-módulo V então a dimensão de V é o grau de χ.

Defini¸cão: Se χ é um caracter de um grupo G, o núcleo de χ, kerχ, é definido como:

kerχ = {g ∈ G : χ(g) = χ(1)}

Não é dif´ıcil de provar que kerχ = kerρ onde ρ é a representa¸cão de G que fornece o caracter χ (veja [4]).

Vamos terminar essa se¸c˜ao analisando os caracteres sobre _{C, o corpo dos} n´umeros complexos.

Proposi¸cão 1.2.2: Seja χ o caracter de um_{CG-módulo V . Suponha que g ∈ G e} g tem ordem m. Então:

1. χ(1) = dimV

2. χ(g) ´e a soma de ra´ızes da unidade 3. χ(g−1_{) = χ(g), conjugado complexo}

4. χ(g) ´e real se g ´e conjugado a g−1

(20)

Teorema 1.2.2: O número de caracteres irredut´ıveis de G é igual ao número de classes de conjuga¸cão em G.

Demonstra¸c˜ao: veja [4]

Observa¸cão: Estamos nos referindo ao número de caracteres irredut´ıveis de G oriundos de representa¸cões irredut´ıveis sobre _{C, uma vez que este resultado é falso} sobre corpos que não sejam algebricamente fechados.

Defini¸c˜ao: Sejam χ1, χ2, . . . χk caracteres irredut´ıveis de G e g1, g2, . . . , gk

repre-sentantes das classes de conjuga¸cão de G. Então a matriz k × k cuja ij-entrada de χi(gj) é chamada a tabela de caracteres de G.

Esta tabela é muito importante, inclusive a partir dela poderemos explicitar os idempotentes centrais primitivos de _{CG, sabendo a tabela de caracteres de G, o} que iremos fazer na próxima se¸cão.

Outro importante resultado que extra´ımos da teoria de caracteres ´e o se-guinte:

Teorema 1.2.3: O grau de toda representa¸c˜ao irredut´ıvel de G, divide a ordem de G.

Defini¸cão: Seja N ⊳ G e ˜χ um caracter de G/N, então o caracter χ de G é dado por

χ(g) = ˜χ(Ng), g ∈ G

(21)

O pr´oximo teorema ir´a associar caracteres irredut´ıveis de G/N com carac-teres irredut´ıveis de G.

Teorema 1.2.4: Seja N ⊳ G. Associando cada caracter de G/N com seu levantado em G, obtemos uma bije¸c˜ao entre o conjunto dos caracteres de G/N com o conjunto dos caracteres de χ de G que satisfazem N 6 kerχ. Caracteres irredut´ıveis de G/N correspondem a caracteres irredut´ıveis de G, que possuem N no seu n´ucleo.

Conseqüentemente representa¸cões irredut´ıveis em G/N estão relacionadas com representa¸cões irredut´ıveis de G, que possuem N no núcleo.

Outros dois resultados muito utilizados em teoria de representa¸cões são o Teorema de Glauberman e o Teorema de Itô, cujas demonstra¸cões podem ser encontradas em [4] e [10].

Teorema de Glauberman: Se χ ´e um caracter irredut´ıvel de G sobre _{C, ent˜ao} χ(1) divide [G : Z(G)].

Teorema de Itˆo: Sejam χ : G →C um caracter irredut´ıvel de G e H um subgrupo normal abeliano de G. Ent˜ao χ(1) divide [G : H].

Por último iremos definir a no¸cão de módulo absolutamente irredut´ıvel e conseqüentemente representa¸cão absolutamente irredut´ıvel.

Defini¸cão: Seja A uma K-álgebra, V um A-módulo irredut´ıvel. V é absolutamente irredut´ıvel se, para toda extensão de corpoK de K, VK _{é um A}K_{-módulo irredut´ıvel}

onde AK ₌_{K ⊗} KA.

(22)

1.3 An´eis de grupos 15

Defini¸cão: Dizemos que K é um corpo de decomposi¸cão para A se todo A-módulo irredut´ıvel for absolutamente irredut´ıvel.

Logo dizemos que uma representa¸cão é absolutamente irredut´ıvel se esta provém de um módulo absolutamente irredut´ıvel.

Observa¸cão: Corpos algebricamente fechados são corpos de decomposi¸cão.

Ao leitor interessado em representa¸c˜oes absolutamente irredut´ıveis, desta-camos as seguintes bibliografias [2], [4] e [5].

1.3 An´

eis de grupos

Seja G um grupo (não necessariamente finito), R um anel comutativo com unidade. Desejamos construir um R-módulo, tendo os elementos de G como uma base e então usando as opera¸cões em G e R para definir uma estrutura de anel. Para fazer isto denotaremos por RG o conjunto de todas as combina¸cões lineares da forma:

α =P_g∈Gα(g)g, α(g) ∈ R onde o n´umero de coeficientes α(g) 6= 0 ´e finito.

Vamos definir duas opera¸c˜oes em RG.

1. (P_g∈Gα(g)g) + (P_g∈Gβ(g)g) = P_g∈G(α(g) + β(g))g 2. (P_g∈Gα(g)g) · (P_g∈Gβ(g)g) =P_g,h∈Gα(g)β(h)gh

(23)

Com estas opera¸cões temos que RG é um anel que tem unidade. Denotaremos o elemento 1 = P_g∈Gu(g)g onde o coeficiente correspondendo ao elemento unidade do grupo é 1 e u(g) = 0 para todos os outros elementos de g ∈ G.

Tamb´em podemos definir um produto de elementos em RG por elementos λ ∈ R como:

λ(Pα(g)g) =P(λα(g))g

Com isso verifica-se que RG é um R-módulo. Se R é comutativo, segue que RG é uma álgebra sobre R.

Defini¸cão: O conjunto RG, com as opera¸cões definidas acima, é chamado um anel de grupo de G sobre R. No caso em que R é comutativo, RG é uma álgebra de grupo de G sobre R.

Defini¸c˜ao: O homomorfismo ε : RG → R dado por

ε(Pα(g)g) = Pα(g)

é chamado de aplica¸cão de aumento de RG e seu núcleo é denotado por ∆(G) e é chamado ideal de aumento de RG.

Proposi¸c˜ao 1.3.1: O conjunto {g − 1 : g ∈ G, g 6= 1} ´e uma base de ∆(G) sobre R. Logo temos ∆(G) = {Pα(g)(g − 1) : g ∈ G, g 6= 1, α(g) ∈ R}.

Demonstra¸c˜ao: Basta pegar α =Pα(g)g ∈ ∆(G), conseq¨uentemente P

α(g) = 0 ent˜ao

(24)

Mas g − 1 ∈ ∆(G) então {g − 1 : g ∈ G, g 6= 1} é um conjunto de geradores de ∆(G) sobre R. A independência linear segue direta.

Defini¸cão: Para um subgrupo H de G denotamos por ∆(G, H) o ideal à esquerda de RG gerado pelo conjunto {h−1 : h ∈ H}, isto é, ∆(G, H) = {P_h∈Hα(h)(1−h) : α(h) ∈ RG}.

De forma an´aloga temos o seguinte lema:

Lema 1.3.1: Seja H um subgrupo de G e seja S o conjunto dos geradores de H. Ent˜ao o conjunto {(s − 1) : s ∈ S} ´e o conjunto dos geradores de ∆(G, H).

Observe que se H for um subgrupo normal de G, o homomorfismo canˆonico ω : G → G/H pode ser estendido para um epimorfismo ω∗ _{: RG → R(G/H) tal}

que

ω∗ _{: (}P_{α(g)g) →}P_α(g)ω(g).

Proposi¸c˜ao 1.3.2: ker(ω∗_{) = ∆(G, H)}

Corolário 1.3.1: Se H ⊳ G então ∆(G, H) é um ideal bilateral de RG e RG ∆(G,H) ≃

R(G/H).

Corol´ario 1.3.2: Se H ⊳ G ent˜ao RG ≃ R(G/H) ⊕ ∆(G, H).

Nossos dois próximos resultados são os conhecidos teoremas de Maschke e Wedderburn-Artin e suas demonstra¸cões podem ser encontradas em [18].

(25)

Teorema de Maschke (1.3.1): Seja G um grupo. Então o anel de grupo RG é semi-simples se e somente se as seguintes condi¸cões ocorrem:

1. R ´e um anel semi-simples; 2. G ´e finito; e

3. |G| ´e invert´ıvel em R.

Corolário 1.3.3.: Seja G um grupo finito e K um corpo. Então KG é semi-simples se e somente se car(K) não divide |G|.

Teorema de Wedderbrun-Artin (1.3.2): Seja G um grupo finito e K um corpo tal que car(K) n˜ao divide |G|. Ent˜ao:

1. KG ´e a soma direta de um n´umero finito de ideais bilaterais {Bi}16i6r,

com-ponentes irredut´ıveis de KG;

2. Qualquer ideal bilateral de KG ´e soma direta de algum membro da fam´ılia {Bi}16i6r;

3. Cada componente simples Bi ´e isomorfo a Mni(∆i), onde ∆i ´e um anel de

divis˜ao contendo uma c´opia isomorfa de K no seu centro e KG ≃ ⊕r

i=1Mni(∆i) 4. Em cada Mni(∆i), o conjunto Ii =                                 0 . . . x1 0 . . . 0 0 . . . x2 0 . . . 0 .. . . . . ... ... . . . ... 0 . . . xni 0 . . . 0            : x1, x2, ...xni ∈ ∆i                      ≃ ∆ini

(26)

´e um ideal minimal `a esquerda; 5. Ii ≇ Ij, se i 6= j; e

6. Qualquer KG-m´odulo irredut´ıvel ´e isomorfo a algum Ii, 1 6 i 6 r.

O próximo resultado, que é atribu´ıdo a Schur, irá caracterizar os anéis de di-visão que aparecem na decomposi¸cão de Wedderburn em termos de Homop_R(M, M). Lema de Schur: Seja R um anel e sejam M, N R-módulos irredut´ıveis, então:

1. se M _{≇ N ent˜ao Hom}R(M, N) = {0};

2. HomR(M, M) é um anel de divisão, sendo HomopR(M, M) os anéis de divisão

que aparecem na decomposi¸c˜ao de Wedderburn.

Referˆencia: veja [14].

Unindo todos os resultados enunciados at´e o momento, podemos decompor KG, K corpo, da seguinte forma:

KG ≃ K(G/G′

) ⊕ ∆(G, G′

)

como G

G′ ´e um grupo abeliano, temos que K(GG ′

) constitui a parte comutativa da ´algebra e ∆(G, G′

) é a parte não comutativa. Logo K_GG′ é a soma direta de corpos

de extens˜oes finitas sobre K e ∆(G, G′) ≃ ⊕Mni(∆i) , ni > 1.

O próximo lema vai nos dar uma importante informa¸cão sobre os centros dos anéis de divisão.

Lema 1.3.3: Assuma que car(K) não divide |G| e seja _{K ⊇ K um corpo de} decomposi¸cão para G. Seja M um KG-módulo irredut´ıvel fornecendo o caracter χ

(27)

e seja KG = ⊕s

i=1Bi, Bi componentes irredut´ıveis. Ent˜ao

1. Existe exatamente um j ∈ {1, . . . , s} tal que BjM 6= 0; e

2. Seja Bj escolhido como em 1. Ent˜ao Z(Bj) ≃ K(χ), onde K(χ) ´e a menor

extens˜ao de K, em C, contendo todo χ(g), g ∈ G. Demonstra¸c˜ao: veja [14].

Defini¸cão: Seja K um corpo, car(K) não divide |G| e seja K uma extensão de K que é um corpo de decomposi¸cão de G. Seja χ um caracter irredut´ıvel de G. Seja Bj = Mnj(∆j), sendo ∆j anel de divisão como no lema anterior. Então Z(Bj) ≃

K(χ). Al´em disso dimK(χ)∆i = s2, sendo s = sK(χ) o conhecido ´ındice de Schur de

χ sobre K.

A demonstra¸c˜ao do fato de dimK(χ)∆iser um quadrado pode ser encontrada

em [4] (Teorema 24.3).

Defini¸c˜ao: Dizemos que um elemento e em um anel R ´e um idempotente se e2 _{= e.}

Se e tamb´em for um elemento central de R dizemos que e ´e um idempotente central. Teorema 1.3.3: Seja KG = ⊕S

i=1Bi, Bi bilaterais. Ent˜ao existe uma fam´ılia

{e1, . . . , es} de elementos de KG tais que:

1. ei 6= 0 ´e um idempotente central, 1 6 i 6 s;

2. Se i 6= j ent˜ao eiej = 0;

3. 1 = e1+ . . . + es;

4. ei n˜ao pode ser escrito como ei = ei

′ + ei ′′ , onde ei ′ , ei ′′ s˜ao idempotentes centrais tais que ei

′ , ei ′′ 6= 0 e ei ′ ei ′′ = 0, 1 6 i 6 s.

(28)

Defini¸c˜ao: O conjunto completo de elementos {e1, . . . es} do teorema anterior s˜ao

chamados idempotentes centrais primitivos de KG.

Do teorema anterior segue que todo Bi ≃ KGei, 1 6 i 6 s, conseq¨

uente-mente Mni ≃ KGei, 1 6 i 6 s. Logo sabendo os idempotentes centrais primitivos

de KG, sabemos decompor KG.

Como importante resultado temos:

Lema 1.3.4: Assuma K um corpo de decomposi¸cão de G, com car(K) não divi-dindo |G|, Bi um KG-módulo irredut´ıvel fornecendo o caracter χi. Então

ei = χ_|G|i(1)Pg∈Gχi(g−1)g.

Logo, quando K = C, sabemos representar todos os idempotentes centrais primitivos de KG em termos de seus caracteres irredut´ıveis (conhecendo sua tabela de caracteres).

O grande problema que ocorre é quando K não for um corpo de decom-posi¸cão. Para esbo¸car os idempotentes centrais precisaremos de outras técnicas, como veremos na se¸cão 1 do cap´ıtulo 2.

(29)

1.4 Isomorfismo de an´eis de grupos sobre os inteiros e o Teorema de Glauberman 22

1.4 Isomorfismo de an´

eis de grupos sobre os inteiros e o

Teorema de Glauberman

Defini¸c˜ao: Um isomorfismo de ϕ : RG → RH ´e chamado normalizado se εHoϕ =

εG, isto ´e, se o diagrama abaixo comuta:

RG ϕ // εG !! C C C C C C C C RH εH }}{{{{ {{{{ R

Se ϕ : RG → RH é um isomorfismo qualquer de R-álgebras, então a aplica¸cão ϕ : RG → RH definida por:

ϕ∗₍P

g∈Gαgg) =Pg∈G αg

εHoϕ(g)ϕ(g)

é um isomorfismo normalizado. Assim dado um isomorfismo de R-álgebras, pode-mos assumir sem perda de generalidade que este é um isomorfismo normalizado. Teorema de Glauberman 1.4.1: Sejam G e H grupos finitos e seja ϕ :ZG → ZH um isomorfismo normalizado. Então existe uma correspondência entre o conjunto de classes de conjuga¸cão de G e H tais que se D é uma classe em H correspondente a uma classe C em G, então ϕ(P_y∈Dy) =P_x∈Cx e |D| = |C|.

Demonstra¸c˜ao: Sejam {C1, C2, ..., Cr} o conjunto das classes de conjuga¸c˜ao de G

e {D1, D2, ..., Ds} as de H. Definimos as correspondentes classes soma por

γi =P_x∈C_ix, 1 6 i 6 r, e ωi =P_y∈D_iy, 1 6 i 6 s

(30)

1.4 Isomorfismo de an´eis de grupos sobre os inteiros e o Teorema de Glauberman 23 < α, β >=Pr_i=1χi(α)χi(β) ∀α, β ∈CG. Observe que: < λ1α1+ λ2α2, β >= λ1 < α1, β > +λ2 < α2, β > < α, β >= < β, α >

Seja ai um elemento de Ci, 1 6 i 6 r, ent˜ao

< γk, γl>= Pr_i=1χi(γk)χi(γl) = |Ck||Cl|Pr_i=1χi(ak)χi(al).

Pelas rela¸c˜oes de ortogonalidade dos caracteres [6], temos:

< γk, γl>= ∂kl|Ck||G|.

De forma an´aloga, se definirmos o produto interno em CH, obtemos:

< ωk, ωl >= ∂kl|Dk||H| = ∂kl|Dk||G|.

Agora seja ϕ : ZH → ZG um isomorfismo normalizado, que podemos estender a um isomorfismo ϕ∗ _: _{CH → CG. Seja H}∗ _{= ϕ(H). Observe que se T}

i ´e uma

representa¸cão irredut´ıvel de G sobre_{C então T}ioϕ∗ é uma representa¸cão irredut´ıvel

de H sobre C, logo χ∗

i = χioϕ, assim {χ∗1, χ∗1, . . . , χ∗r} ´e um conjunto de caracteres

irredut´ıveis de H, mas isto implica que r 6 s e {χ∗

1, χ∗1, . . . , χ∗r} ´e o conjunto de

todos os caracteres irredut´ıveis de H. Ent˜ao

< ωk, ωl>=

Pr

i=1χ∗i(ωk)χ∗i(ωl) =

Pr

(31)

1.4 Isomorfismo de an´eis de grupos sobre os inteiros e o Teorema de Glauberman 24

Escreva ω∗

i = ϕ(ωi), 1 6 i 6 r, teremos < ω∗i, ωi∗ >= |Di||G|. Por outro lado, como

w∗

i, 1 6 i 6 r, ´e um elemento do centro de ZG [6], segue que:

ω∗ i = Pr j=1aijγj, aij ∈Z Conseq¨uentemente |Di||G| =< ωi∗, ωi∗ >= P j,kaijaik < γj, γk >= Pr j=1a2ij|Cj||G|,

e da´ı segue |Di| =Pr_j=1a2ij|Cj|, 1 6 i 6 r. Como Pr_j=1|Cj| = |H| = |G|, temos

|G| =Pr_j=1(Pr_i=1a2

ij)|Cj| >Prj=1|Cj| = |G|.

Assim temos que Pr_i=1a2

ij = 1, como aij ∈ Z, temos que somente um deles ´e ±1

e os outros são 0. Reordenando se necessário, temos que γi = ±ωi∗. Note também

que ε(γi) = |Ci| e ε(ω∗i) = |Di|, logo temos que γi = ωi∗. Assim podemos associar

cada classe de conjuga¸cão Di de H com uma única classe de conjuga¸cão Ci de G

tal que γi = ωi∗ e ´e claro que |Ci| = |Di|.

Observa¸cão: Infelizmente este resultado usa fortemente o fato de φ ser isomorfismo de álgebras de grupos sobre os inteiros, o que causa grandes problemas quando estudamos o problema de isomorfismo de álgebras de grupos sobre corpos, como os racionais ou complexos.

Corol´ario 1.4.1: Sejam G e H grupos finitos tais que ZG ≃ ZH e ϕ : ZH → ZG isomorfismo normalizado, ent˜ao ϕ(Z(H)) = Z(G).

Corol´ario 1.4.2: Sejam G e H grupos finitos abelianos tais que ZG ≃ ZH ent˜ao G ≃ H.

Teorema 1.4.2: Sejam G e H grupos finitos tais que _{ZG ≃ ZH. Ent˜ao a tabela} de caracteres de G e H s˜ao as mesmas.

(32)

1.5 Caso especial: ZG ≃ ZH, G grupo nilpotente finito 25

Demonstra¸c˜ao: Consequˆencia imediata do Teorema de Glauberman.

Como consequência imediata deste teorema é que os grupos simétricos e os grupos alternados são determinados por seus anéis de grupos sobre os inteiros, uma vez que estes grupos são determinados pelas suas tabelas de caracteres [9] e [26].

1.5 Caso especial:

ZG ≃ ZH, G grupo nilpotente finito

Vamos provar nesta se¸cão que a classe de nilpotência dos grupos se preser-vam quando tivermos isomorfismos de álgebra de grupos sobre os inteiros.

Teorema 1.5.1: Sejam 1 = Z0 ⊆ Z1 ⊆ Z2 ⊆ . . . e 1 = Z0∗ ⊆ Z1∗ ⊆ . . . s´eries centrais

superiores de G e H respectivamente. Se_{ZG ≃ ZH ent˜ao para cada inteiro positivo} i, as seguintes condi¸c˜oes ocorrem

1. Zi/Zi−1≃ Zi∗/Zi−1∗

2. _Z(G/Zi) ≃Z(H/Zi∗)

Demonstra¸c˜ao: Seja ε : ZG → ZH, isomorfismo (isomorfismo normalizador). Se z ∈ Z1 = Z(G), ent˜ao ε(z) ≡ h, h ∈ Z(H), pelo teorema de Glauberman,

conseq¨uentemente temos que Z1 = Z(G) ≃ Z(H) = Z1∗ ent˜ao (ZG) ˆZ1 ≃ (ZH) ˆZ1 ∗ , assim temos: Z(G/Z1) ≃ (ZG) ˆZ1 ≃ (ZH) ˆZ1 ∗ ≃_Z(H/Z∗ 1)

isto prova a condi¸c˜ao (2) para i = 1.

(33)

1.5 Caso especial: ZG ≃ ZH, G grupo nilpotente finito 26

argumentos acima,

Zi+1/Zi = Z(G/Zi) ≃ Z(H/Zi∗) = Zi+1∗ /Zi∗

Assim temos que

Z(G/Zi/Z(G/Zi)) ≃ Z(H/Zi∗/Z(H/Zi∗)) Mas G/Zi/Z(G/Zi) ≃ G/Zi+1 e H/Z∗ i/Z(H/Zi∗) ≃ H/Zi+1∗

pela defini¸cão de série central, conseqüentemente

Z(G/Zi+1) ≃Z(H/Zi+1∗ )

e a prova est´a completa.

Corolário 1.5.1: Se ZG ≃ ZH e se G é um grupo nilpotente de classe c, então H é nilpotente de mesma classe.

Demonstra¸c˜ao: Segue direto do teorema.

Utilizando o teorema de Glauberman e o teorema 1.5.1, Passman [15] provou o seguinte resultado:

Teorema 1.5.2: Seja ZG ≃ ZH. Ent˜ao Z2(G) ≃ Z2(H). Em particular se G for

(34)

1.6 Isomorfismo de ´algebras de grupos abelianos sobre os racionais 27

Mais tarde Roggenkamp e Scott [20] provaram o seguinte resultado: Teorema 1.5.3: Seja G um grupo nilpotente finito. Ent˜ao ZG ≃ ZH ⇒ G ≃ H.

1.6 Isomorfismo de ´

algebras de grupos abelianos sobre os

racionais

Nesta se¸c˜ao mostraremos que se QG ≃ QH, com G grupo abeliano (grupo nilpotente de classe 1) implica que G ≃ H. Para isto usaremos o teorema de Perlis-Walker.

Teorema de Perlis-Walker 1.6.1: Seja G um grupo abeliano finito de ordem n e K um corpo tal que car(K) n˜ao divida n. Ent˜ao:

KG ≃ ⊕d|nadK(ρd)

onde ρd denota uma d-´esima raiz primitiva da unidade e ad = _[K(ρn_dd_):K], sendo nd o

n´umero de elementos de ordem d em G. Demonstra¸c˜ao: [17]

Como conseq¨uˆencia imediata temos:

Corol´ario 1.6.1: Seja G um grupo abeliano finito de ordem n. Ent˜ao

QG ≃ ⊕d|nadQ(ρd),

onde ρd é uma d-ésima raiz primitiva da unidade e ad é o número de subgrupos

(35)

1.6 Isomorfismo de ´algebras de grupos abelianos sobre os racionais 28

Demonstra¸cão: Pelo teorema de Perlis-Walker ad= _[Q(ρn_dd_):Q], onde ndé o número

de elementos de ordem d em G.

Agora [Q(ρd) : Q] = φ(d), φ denotando a fun¸c˜ao de Euler. Sabemos que o

n´umero de geradores de um grupo c´ıclico de ordem d ´e dado por φ(d), logo nd/φ(d)

é o número de subgrupos c´ıclicos de ordem d em G, que é igual ao número de fatores c´ıclicos de G. .

Com este corolário conclu´ımos de forma direta que se QG ≃ QH, G grupo abeliano finito então G ≃ H, uma vez que G e H têm o mesmo número de subgrupos c´ıclicos de mesma ordem e todo grupo abeliano é produto direto de grupos c´ıclicos, ou seja, provamos o seguinte resultado:

Teorema 1.6.2: Seja G um grupo abeliano finito ent˜ao QG ≃ QH se e somente se G ≃ H.

Observa¸cão 1: O trabalho de Perlis e Walker é mais amplo, na verdade ele de-termina condi¸cões necessárias sobre o corpo F para que se F G ≃ F H, G grupo abeliano finito, então G ≃ H.

Observa¸c˜ao 2: Para F = C, o resultado ´e falso. Basta pegar G = C2 × C2 e

(36)

Cap´ıtulo 2

´

Algebra de Grupos sobre os

Racionais para Grupos

Nilpotentes

Neste cap´ıtulo ser˜ao apresentados os principais trabalhos que utilizaremos no cap´ıtulo 3, destacando-se os trabalhos de Jesper, Leal e Paques [11], Coleman [1], Vieira, Leal [25] e Leal, Polcino Milies [13].

Este cap´ıtulo é organizado da seguinte forma: na primeira se¸cão será ca-racterizada a estrutura dos idempotentes centrais primitivos de QG, onde G é um grupo nilpotente, destacando-se o trabalho de Jesper, Leal e Paques [11]. Com isto iremos determinar a forma dos idempotentes centrais primitivos de QG(1 − ˆG′

), com G grupo nilpontente de classe 2, que ser´a o nosso foco principal no cap´ıtulo 3. Na segunda se¸c˜ao iremos estudar o problema em QG ≃ QH, com G p-grupo

(37)

2.1 Idempotentes centrais primitivos de QG, G grupo nilpotente finito 30

de classe 2 e Z(G) c´ıclico, com destaque para o trabalho de Vieira, Leal [25]. Outro trabalho importante será de Coleman [1], uma vez que este nos mostrará que para estudar álgebra de grupos nilpotentes sobre racionais basta estudar o caso que o grupo é um p-grupo.

A se¸cão 3 será importante no aspecto de nos dar uma limita¸cão sobre o que devemos esperar no caso em que QG ≃ QH, quando G e H são p-grupos de classe de nilpotência 2, destacando-se o trabalho de Leal e Polcino Milies [13], uma vez que este nos dará contra-exemplos mostrando que Z(G) e Z(H) não são isomorfos em geral, e até mesmo o posto dos centros dos grupos não se preservam.

2.1 Idempotentes centrais primitivos de QG, G grupo

nil-potente finito

Seja e um idempotente primitivo central de QG, ent˜ao Ge= {g ∈ G : eg = e}

é um subgrupo normal de G, uma vez que Geé o núcleo da representa¸cão G → G · e.

Logo e ´e um idempotente central primitivo de QG ˆGe ≃ Q(G/Ge). Seja G um grupo

n˜ao trivial e denote por M(G) o conjunto de todos os seus subgrupos normais minimais. Tome:

ε(G) = ΠM ∈M(G)(1 − ˆM ) e ε({1}) = 1.

Seja N um subgrupo normal de G e M um subgrupo de G contendo N. Denote M = M/N. Se N 6= G escreva

(38)

ε(G, N) = Π_{M ∈M(G/N )}( ˆN − ˆM ) = ˆN Π_{M ∈M(G/N )}(1 − ˆM ) e ε(G, G) = ˆG. Se e for um idempotente central primitivo de QG, temos e ˆN = e se e somente se N ⊆ Ge. Conseq¨uentemente, temos os seguintes lemas:

Lema 2.1.1: Seja G um grupo finito e e um idempotente central primitivo de QG. Ent˜ao Ge = {1} se e somente se ε(G)e = e. Em particular, G tem uma

representa¸c˜ao fiel e irredut´ıvel se e somente se ε(G) 6= 0.

Lema 2.1.2: Seja G um grupo finito. Se ε(G) 6= 0 então Z(G) é c´ıclico. A rec´ıproca ocorre se G é um grupo nilpotente finito.

Demonstra¸cão: Se ε(G) 6= 0, então G tem uma representa¸cão fiel e irredut´ıvel, logo Z(G) é c´ıclico. Reciprocamente, assuma G nilpotente, Z(G) c´ıclico e G 6= {1}. Sejam A1, . . . , An subgrupos normais minimais de G. Pelo fato de serem

nilpotentes, todos são centrais e como Z(G) é c´ıclico, estes são c´ıclicos. Segue ε(G) = Πn

i=1(1 − ˆAi) 6= 0.

Unindo os dois lemas temos uma importante caracteriza¸c˜ao para grupos nilpotentes finitos.

“Z(G) ´e c´ıclico se e somente se existir uma representa¸c˜ao fiel e irredut´ıvel de G.”

O próximo resultado nos dará informa¸cão sobre os idempotentes centrais primitivos de uma álgebra de grupos sobre os racionais, onde G é um grupo nilpo-tente.

Proposi¸cão 2.1.1: Sejam G um grupo finito e e ∈ QG. Se e é um idempo-tente central primitivo de QG com Ge trivial, então e é a soma de todos os

(39)

G-2.1 Idempotentes centrais primitivos de QG, G grupo nilpotente finito 32

conjugados de um idempotente central primitivo e1 em QG1, onde G1 = CG(Z2(G))

e T_g∈G((G1)e1)

g _{= {1}. A rec´ıproca ´e verdadeira se G ´e nilpotente.}

Demonstra¸c˜ao: ver [11]

Esta proposi¸c˜ao ´e que nos possibilita descrever os idempotentes centrais primitivos de QG(1 − ˆG′

), com G grupo nilpotente de classe 2 e Z(G) c´ıclico. Uma vez que a proposi¸c˜ao nos garante que 1 − ˆz1, z1 ∈ G

′

, o(z1) = p ´e idempotente

central primitivo de QG1 = QZ(G) e T_g∈G(G1)g1− ˆz1 = {1}, pois a representa¸c˜ao

1 − ˆz1 é fiel em G1, uma vez que Z(G) é c´ıclico (corolário 2.1 [11]).

Os outros idempotentes centrais primitivos de QG(1 − ˆG′

) ser˜ao (1 − ˆz1)ˆz1(1 − ˆz2), ˆz2(1 − ˆz3), . . . , ˆzn−1(1 − ˆzn), onde zi ∈ G

′

e o(zi) = pi, o(zn) =

|G′|, i = 1, . . . , n. Para ficar claro que estes s˜ao realmente idempotentes centrais primitivos de QG, iremos demonstrar quando e = ˆz1(1 − ˆz2) e os outros seguem de

forma an´aloga.

De fato: Da proposi¸c˜ao anterior, temos que e1 = ˆB(1 − ˆz2) ´e

idempo-tente central primitivo de QG se ˆB(1 − ˆz2) for idempotente central primitivo de

QCG/B(Z2(G/B)) = QZ(G/B) e

T

g∈G/BZ(G/B)ge1 = {1}.

´

E ´obvio que z1 ∈ B, pois z2 ∈ G

′ , o(z2) = p2 e o(z2) = p, z2 ∈ (G/B) ′ = G′ B/B ent˜ao BTG′

=< z1 >. Al´em disso Z(G)<z_<z₁_>1> ≃ Z(G)B_B , pois Z(G) ´e c´ıclico,

con-seq¨uentemente

(40)

ou seja ˆB(1 − ˆz2) = ˆz1(1 − ˆz2).

Outro resultado que será utilizado no cap´ıtulo 3 será o seguinte teorema: Teorema 2.1.1: Seja G um grupo nilpotente finito. Os idempotentes centrais primitivos de QG são precisamente todos os elementos da forma

P

g(ε(Gm, Hm))g,

onde Hm e Gms˜ao subgrupos de G que satisfazem as seguintes propriedades:

1. H0 ⊆ H1 ⊆ . . . ⊆ Hm⊆ Gm ⊆ . . . G1 ⊆ G0 = G;

2. para 0 6 i 6 m, Hi ´e um subgrupo normal de Gi e Z(Gi/Hi) ´e c´ıclico;

3. para 0 6 i < m, Gi/Hi não é abeliano e Gm/Hm é abeliano;

4. para 0 6 i < m, Gi+1/Hi = CGi/Hi(Z2(Gi/Hi));

5. 1 6 i 6 m, T_x∈G_i−1_/H_i−1Hx

i = Hi−1;

Demonstra¸c˜ao: ver [11]

Observa¸cão: A idéia da demonstra¸cão deste teorema é come¸car com H0 sendo

o núcleo da representa¸cão irredut´ıvel ϕ : G → Ge, e idempotente central primi-tivo de QG. No caso em que cl(G) = 2 os idempotentes centrais da parte não comutativa, já sabemos que são da forma bB(1 − ˆz1), \B < z1 >(1 − ˆz2),B < z\2 >(1 −

ˆ

z3), . . . ,B < z\n−1 >(1 − ˆzn), onde B < zn > /B = (G/B)

′

, pela proposi¸c˜ao 2.1 de [11] e coment´ario anterior.

Agora B < z\n >(1 −zdn+1) n˜ao ser´a um idempotente central primitivo de

(41)

2.2 Caso especial: Isomorfismos de ´algebras de grupos sobre os racionais para

p-grupos de classe 2 34

G0/H0 = G/B < zn>≃ _B<zG/B_n_>/B ≃ _(G/B)G/B′,

que ´e abeliano, o que contraria a condi¸c˜ao 3.

2.2 Caso especial: Isomorfismos de ´

algebras de grupos

so-bre os racionais para p-grupos de classe 2

Come¸caremos esta se¸cão com um resultado atribu´ıdo a Coleman [1], que irá nos garantir que para estudar isomorfismo de álgebras de grupos nilpotentes, basta estudar isomorfismo de álgebras de p-grupos.

Teorema 2.2.1: Seja G = G1× G2× . . . × Gr e H = H1× H2× . . . × Hr, grupos

tais que |Gi| = |Hi| = ki e (ki, kj) = 1 se i 6= j. Ent˜ao F G ≃ F H, F corpo, se e

somente se F Gi ≃ F Hi, i = 1, 2, . . . , r.

Como todo grupo nilpotente ´e produto direto de seus subgrupos de Sylow temos com conseq¨uencia imediata:

Corolário: Dois grupos nilpotentes têm álgebras de grupos isomorfos sobre F se e somente se seus correspondentes subgrupos de Sylow têm álgebras de grupos isomorfos sobre F .

Coleman também estudou as condi¸cões necessárias e suficientes para dois p-grupos G e H terem álgebras de grupos isomorfos sobre um corpo F qualquer.

Por um grupo satisfazendo a propriedade (p) entende-se que todas as re-presenta¸cões absolutamente irredut´ıveis deste grupo têm grau 1 ou p. Grupos de ordem p, p2_{, p}3_{, p}4 _{satisfazem à propriedade (p).}

(42)

Teorema 2.2.2: Sejam G e H p-grupos (p 6= 2) satisfazendo a propriedade (p). Ent˜ao F G ≃ F H se e somente se F (G/G′) ≃ F (H/H′) e os centros de F G e F H forem isomorfos sobre F .

Observa¸cão: A hipótese de p 6= 2 é necessária para a rec´ıproca, uma vez que se p = 2 o resultado é falso, como contra-exemplo temos:

QD8 ≃ Q ⊕ Q ⊕ Q ⊕ Q ⊕ M2(Q) e QH ≃ Q ⊕ Q ⊕ Q ⊕ Q ⊕ H,

onde D8 é o grupo diedral de ordem 8, H é o grupo dos quatérnios de ordem 8 e H

é álgebra dos quatérnios sobre os racionais.

Agora vamos nos deter ao caso em que F = Q e QG ≃ QH, onde G p-grupo de classe de nilpotˆencia 2 com centro c´ıclico, este caso foi estudado por Vieira e Leal [25].

Come¸camos com um importante lema técnico que irá nos mostrar a im-portância de assumirmos como hipótese a classe de G ser 2.

Lema 2.2.1: Seja G um grupo finito e g ∈ G. Se g−1_C

gTZ(G) 6= {1}, ent˜ao G

cont´em um elemento z de ordem prima tal que ˆCg = ˆCgz, onde Cˆ g ´e a classe de

conjuga¸c˜ao de g e ˆCg ´e a soma de todos os elementos da classe.

Demonstra¸c˜ao: Pela hip´otese, existe um h ∈ G e um 1 6= z ∈ Z(G) tal que h−1_{gh = zg. Logo para qualquer inteiro positivo n temos h}−n_ghn _{= z}n_g,

con-seq¨uentemente < z > Cg ⊆ Cg ent˜ao < z > Cg = Cg. Assim ˆz ˆCg = ˆCg. Trocando

(43)

Para a classe de G igual a 2 e g /∈ Z(G), temos sempre que {1} 6= G′

6 Z(G), logo g−1_h−1_{gh ∈ Z(G), ou seja, g}−1_C

gTZ(G) 6= {1}, ∀g /∈ Z(G), ent˜ao

pelo lema anterior, para cada classe de conjuga¸c˜ao Cg de G, existir´a um elemento

zg ∈ Z(G), de ordem p, tal que ˆCg = ˆCgzˆg. Para ˆzg ser ´unico, ser´a importante que

G′

seja c´ıclico, o que segue diretamente se assumirmos Z(G) c´ıclico (este fato será extremamente importante para estabelecermos as rela¸cões entre os centros de G e H, o que será feito na proposi¸cão abaixo).

Proposi¸cão 2.2.1: Seja G p-grupo de classe 2 com centro c´ıclico. Se QG = QH então H também é de classe 2, Z(G) ≃ Z(H) e G′

= H′

.

Demonstra¸cão: Como G é finito e a classifica¸cão é feita a menos de isomorfismo, podemos assumir que QG = QH. Note que |G| = |H| e como as partes comutativas são as mesmas, Q(G/G′) = Q(H/H′), |G′| = |H′|.

Seja z ∈ Z(G), o(z) = p, como Z(G) ´e c´ıclico, temos pelo teorema 2.1.1 que e = 1 − ˆz ´e um idempotente central primitivo de QG.

Vamos provar agora que H → He é uma representa¸cão fiel de H. Seja tr(e) o coeficiente de 1 em e, tra¸co de e, a dimensão de que QGe por [16] é |G|tr(e) = = |G|(p − 1)/p. Se a representa¸cão não for fiel, então H → He tem um núcleo N 6= {1} tal que ˆN e = e. Isto implica que QHe é uma componente simples de QH ˆN ≃ Q(H/N), mas |H/N| = |H|/|N| = |G|/|N| 6 |G|/p 6 |G|(p − 1)/p = dimQQHe

• se p 6= 2 temos que dimQQH ˆN < dimQQHe, absurdo;

(44)

QHe ≃ Mni(∆i) 6= QH ˆN ≃ QH/N

que é uma álgebra de grupo, sendo Q uma componente simples de álgebra QH ˆN.

Assim H tem uma representa¸cão fiel e irredut´ıvel. Então pelos lemas 2.1.1 e 2.1.2, Z(H) é c´ıclico.

Agora seja x ∈ Z(H), o(x) = p tal que xe = ze ent˜ao ˆxe = ˆze = ˆz(1−ˆz) = 0, conseq¨uentemente temos:

QG = QGˆz ⊕ QG(1 − ˆz) = QGˆx ⊕ QG(1 − ˆx) e QG(1 − ˆx) ⊇ QG(1 − ˆz),

mas pela dimensão de QG(1 − ˆx) e QG(1 − ˆz) temos que QG(1 − ˆx) = QG(1 − ˆz) então 1 − ˆx = 1 − ˆz ⇒ ˆx = ˆz. Temos então xˆz = x · ˆx = ˆx = ˆz = z · ˆz, logo x = x · (ˆz + e) = xˆz + xe = zˆz + ze = z. Agora, tomando as álgebras QG/ < z >≃ QGˆz = QH ˆx ≃ QH/ < x >, sabendo que Z(G/ < z >) é c´ıclico, argumentos apresentados na se¸cão 1 do ca´ıtulo 2, “colamos” um elemento de G′ de ordem p2 _{com um elemento de H}′

de mesma ordem. Utilizando indu¸c˜ao temos que G′ ⊆ H′ , mas |G′ | = |H′ |, ou seja, G′ = H′

, isto nos diz que H′

´e central em QH, ou seja, H′

6Z(H), logo cl(H) = 2. Para completar a prova vamos utilizar o lema 2.2.1 e a observa¸c˜ao feita abaixo desse lema.

Como G′

´e c´ıclico, o elemento z ∈ Z(G), o(z) = p, serve para todas as classes de conjuga¸c˜ao de G, logo ˆCg(1 − ˆz) = 0, logo o suporte de qualquer elemento

central em QG(1 − ˆz) = QH(1 − ˆz) está contido no centro de G(1 − ˆz) que é igual a Z(G)(1 − ˆz), como 1 − ˆz fornece uma representa¸cão fiel de G e H temos que

(45)

|Z(G)| = |Z(H)| e como j´a hav´ıamos conclu´ıdo que os centros s˜ao c´ıclicos temos que Z(G) ≃ Z(H).

Tanto o lema quanto a proposi¸cão nos mostram quais os problemas que teremos pela frente quando retirarmos a hipótese Z(G) c´ıclico e nada falarmos sobre G′, uma vez que 1 − ˆz não será idempotente central primitivo de QG e se G′ não for c´ıclico poderá existir g /∈ Z(G) tal que (1 − ˆz) ˆCg 6= 0, o que nos trará

problemas na preserva¸cão dos isomorfismos dos centros. Na verdade sem a hipótese do Z(G) c´ıclico, não temos isomorfismos entre os centros, o que será demonstrado na próxima se¸cão.

O trabalho de Vieira e Leal [25] é mais abrangente, classificando os grupos H com álgebras de grupos sobre os racionais isomorfos a QG, onde G é um grupo nilpotente finito de classe 2 com centros c´ıclicos.

Teorema 2.2.3: Seja G um p-grupo de classe 2, com centro c´ıclico. Se QG = QH então H também é nilpotente de classe 2, G′

= H′

e os centros de G/N s˜ao isomorfos aos centros de H/N, para quaisquer subgrupos N de G′

. Reciprocamente assuma que G e H s˜ao p-grupos de classe 2 de mesma ordem com centros c´ıclicos, H′

≃ G′

e os centros de G/NG isomorfos aos centros de H/NH para quaisquer subgrupos NG

de G′ e NH seu correspondente em H

′

ent˜ao:

1. Se G n˜ao tem um grupo extra-especial como imagem homomorfa, temos QG ≃ QH;

2. Se G ´e um 2-grupo com uma imagem homomorfa de um grupo extra-especial de ordem 22n+1_{, sendo esta ´}_{unica e H tamb´em tendo um extra-especial grupo}

(46)

2.3 ´Algebras de Grupos sobre os racionais para alguns p-grupos metabelianos 39

como imagem homomorfa de mesma ordem. QG ≃ QH se, e somente se, as imagens extra-especiais de G e H forem isomorfas.

Observa¸cão: A ida segue diretamente da proposi¸cão anterior. Para a rec´ıproca será necessário conhecer os idempotentes centrais primitivos da parte não comutativa que foram descritos na se¸cão anterior. Além disso, é necessário saber que o ´ındice de Schur para grupos nilpotentes é 1 se p, primo ´ımpar, e 1 ou 2 se p = 2 (veja [16]). Este é o motivo principal para estudar estes casos em separado. Além disso precisaremos conhecer a caracterizarão dos grupos extra-especiais que está feito em [7], onde por G p-grupo extra-especial, entende-se que G é não abeliano e G′

= Z(G) = Φ(G), ordem p, Φ(G) denota o subgrupo de Frattini de G (interse¸c˜ao de todos os seus subgrupos maximais). [19, 7]

2.3 Algebras de Grupos sobre os racionais para alguns p-

´

grupos metabelianos

Defini¸c˜ao: Um grupo G ´e metabeliano se este possui um subgrupo K normal e abeliano tal que G/K seja abeliano.

Segue direto das defini¸c˜oes de grupos metabelianos e nilpotentes que todos os grupos nilpotentes de classe 2 s˜ao metabelianos uma vez que G′

´e um subgrupo normal abeliano e G/G′ ´e abeliano.

O objetivo desta se¸cão é mostrar que sem a hipótese de Z(G) c´ıclico não temos necessariamente o isomorfismo dos centros de G e H, quando QG ≃ QH

(47)

e cl(G) = 2, até mesmo a preserva¸cão do posto dos centros não necessariamente ocorre.

Este estudo foi feito por Leal e Polcino Milies [13], que estudaram a classe de todos os grupos finitos tais que G/Z(G) ≃ Cp × Cp, p-primo, ou seja, grupos

metabelianos que possuem classe de nilpotência 2, além disso eles possuem a menor parte não comutativa poss´ıvel, uma vez que se G/Z(G) ≃ Cp, implicaria que G =

Z(G). Todos estes grupos satisfazem a propriedade (p), isto é, o grau de todas as representa¸cões absolutamente irredut´ıveis é 1 ou p.

A primeira pergunta ´e como seria a descri¸c˜ao deste grupo em termos de seus fatores. Para isto precisamos primeiramente calcular o comutador

Lema 2.3.1: Seja G um grupo tal que G/Z(G) ≃ Cp× Cp. Ent˜ao G

′

´e c´ıclico de ordem p.

Demonstra¸c˜ao: Sejam x, y ∈ G ent˜ao

1. [x, y] = [y, x]−1

2. [xy, z] = [x, z]y_{[y, z] e [x, yz] = [x, z][x, y]}z

Como G/Z(G) ´e abeliano, G′

6Z(G) logo temos

3. [xy, z] = [x, z][y, z] e [x, yz] = [x, z][x, y]

Al´em disso, G/Z(G) ≃ Cp × Cp, logo existem elementos x, y ∈ G tais que G =

hx, y, Z(G)i , com xp_{, y}p _{∈ Z(G) ent˜ao}

G′

(48)

Por (1) e (3) temos

[xn_ym_{, x}r_ys_{] = [x, y]}ns−mr

Logo G′

´e c´ıclico e gerado por [x, y]. Como tanto xp _{e y}p _{∈ Z(G) temos que}

1 = [x, yp_{] = [x, y]}p

Assim conclu´ımos que |G′

| = p.

Teorema 2.3.1: Seja G um grupo. Ent˜ao G/Z(G) ≃ Cp × Cp se e somente se

G = D × A onde A ´e um grupo abeliano e D ´e um p-grupo indecompon´ıvel tal que D =< x, y, Z(D) > onde xp_{, y}p _{∈ Z(D) e Z(D) = C}

pm1× C_pm2 × C_pm3 com m₁ >1

e m2, m3 >0.

Como conseq¨uˆencia imediata temos:

Corol´ario 2.3.1: Seja G um grupo indecompon´ıvel tal que G/Z(G) ≃ Cp × Cp.

Então G é um p-grupo e Z(G) tem posto no máximo 3.

O próximo resultado irá garantir que grupos desta forma têm a propriedade (p).

Lema 2.3.2: Seja G um grupo. Ent˜ao G/Z(G) ≃ Cp× Cp se e somente se |G

′

| = p e toda representa¸c˜ao complexa irredut´ıvel de G tem grau igual a 1 ou p.

Demonstra¸c˜ao: Assuma que G/Z(G) ≃ Cp× Cp. Neste caso |Z(G)| = |G|/p2.

Como |G′

| = p, toda classe de conjuga¸cão tem ordem 1 ou p, logo o número de classes de conjuga¸cão em G é

(49)

2.3 Álgebras de Grupos sobre os racionais para alguns p-grupos metabelianos 42 |Z(G)| + |G|−|Z(G)|_p = |G|_p2 + |G|+|G|/p2 p = (p2_+p−1)|G| p3 Agora _{CG ≃ CG/G}′ ⊕ ∆(G, G′ ). Como |G/G′ | = |G|/p, temos que _CG/G′ é isomorfo a |G|/p cópias diretas de C. Conseqüentemente o número de componentes simples de ∆(G, G′ ) é p2_+p−1 p3 |G| − |G| p = p−1 p3 |G|

Vamos calcular a dimens˜ao de ∆(G, G′) de duas maneiras diferentes

[∆(G, G′

) :_{C] = |G| − [CG/G}′

:_{C] =} p−1_p |G|

Por outro lado, se G ´e indecompon´ıvel e p-grupo, e cada componente irredut´ıvel de ∆(G, G′

) tem dimens˜ao no m´ınimo igual a p2_{. Se G ≃ D × A,} _{CG ≃ CA ⊗ CD,}

A abeliano, temos novamente que cada componente de ∆(G, G′

) tem dimens˜ao no m´ınimo igual a p2_{, pois} _{C ⊗ M}

ni(C) ≃ Mni(C). Mas p−1 p |G|p 2 ₌ p−1 p |G| que ´e a dimens˜ao de ∆(G, G′). Logo C(G) ≃ C ⊕ . . . ⊕ C_| _{z _} |G|/p vezes ⊕ Mp(C) ⊕ . . . ⊕ Mp(C) | {z } (p−1)/p3_{|G| vezes}

ou seja, todas as representa¸cões complexas irredut´ıveis de G têm grau 1 ou p. Reciprocamente, assuma que todas as representa¸cões irredut´ıveis de G sobre C tenham grau 1 ou p. Como CG ≃ CG/G′

⊕ ∆(G, G′), temos

[Z(_{CG) : C] = |G|/p +} |G|−|G|/p_p2 =

p2_+p−1

p3 |G|.

Mas [Z(_{CG) : C] é o número de classes de conjuga¸cões de G, que nós já calculamos,} então

(50)

p2_+p−1

p3 |G| = |Z(G)| +

|G|−|Z(G)| p

⇒ |G/Z(G)| = p2_{. Como G por hipótese não é abeliano (tem representa¸cões}

irredut´ıveis de grau p) ent˜ao G/Z(G) ≃ Cp×Cp

Agora pode ser feito o estudo quando QG ≃ QH, G grupo descrito acima, para facilitar assuma que G é indecompon´ıvel, o caso em que G ≃ A × D só será necessário tensorizar sobre Q o que não mudará os resultados encontrados.

Como QG ≃ QH e |G′

| = p ent˜ao segue de imediato que |H′

| = p e como as partes comutativas s˜ao as mesmas, temos que QG(1 − ˆG′

) = QH(1 − ˆH′ ) ent˜ao ˆ G′ = ˆH′ .

Outro fator importante a observar ´e que QG ≃ QH implica que _{CG ≃} CNQQG ≃

N

QQH ≃CH, conseq¨uentemente todas as representa¸c˜oes complexas

irredut´ıveis de H tˆem grau 1 ou p, pelo lema anterior temos que H/Z(H) ≃ Cp×Cp

ent˜ao pelo teorema 2.3.1 Z(H) ≃ Cpm1 × C_pm2 × C_pm3, m₁ >1, m₂, m₃ >0.

Agora estamos prontos para fazer o estudo dos centros de G e H.

Lema 2.3.3: Seja G grupo descrito acima e QG ≃ QH ent˜ao n1 = m1 onde Z(G) =

Cpn1 × C_pn2 × C_pn3 e Z(H) = C_pm1 × C_pm2 × C_pm3, n₁, m₁ >1 e n₂, m₂, n₃, m₃ >0.

Demonstra¸c˜ao: Como |Z(G)| = |G|/p2 _{= |H|/p}2 _{= |Z(H)| segue n}

1+ n2+ n3 = m1+ m2 + m3. Agora ˆG′ = ˆH′ e G′ e H′

s˜a c´ıclicos de ordem p. Assim pelo lema 2.2.1 e pela observa¸c˜ao feita no lema 2.2.1 temos:

Z(QG(1 − ˆG′

)) = QZ(G)(1 − ˆG′

(51)

Q(Cpn1)(C_pn2 × C_pn3)(1 − ˆG′)

e G′

6 Cpn1. Logo por [11] segue que 1 − ˆG′ ´e idempotente central primitivo

de QCpn1 e conseq¨uentemente QC_pn1(1 − ˆG′) ≃ Q(ρ₁) sendo ρ₁ raiz primitiva da

unidade de grau pn1−1_{(p − 1). Portanto QZ(G)(1 − ˆ}_G′

) = Q(ρ1)(Cpn2 × C_pn3). De

forma similar obtemos que Z(QH(1 − ˆH′

)) = QZ(H)(1 − ˆH′

) ≃ Q(ρ2)(Cpm2 × C_pm3),

onde ρ2 raiz primitiva da unidade de grau pm1−1(p − 1).

Como Z(QG(1 − ˆG′

)) = Z(QH(1 − ˆH′

)) temos que Q(ρ1)(Cpn2 × C_pn3) ≃

Q(ρ2)(Cpm2× C_pm3). Al´em disso Q(ρ₁) e Q(ρ₂) s˜ao as menores componentes destas

´algebras, logo n1 = m1.

Lema 2.3.4: Seja ρ uma raiz primitiva da unidade de ordem pn1 _{ent˜ao Q(ρ)(C}

pn2×

Cpn3) ≃ Q(ρ)(C_pm2 × C_pm3) se e somente se

1. Cpn2 × C_pn3 ≃ C_pm2 × C_pm3; ou

2. n1 > max{n2, n3, m2, m3} e n2+ n3 = m2+ m3

Demonstra¸c˜ao: Assumindo primeiramente que Q(ρ)(Cpn2× C_pn3) ≃ Q(ρ)(C_pm2 ×

Cpm3) e que C_pn2 × C_pn3 ≇ C_pm2 × C_pm3. Sem perda de generalidade, podemos

assumir que n2 = max{n2, n3, m2, m3}. Como os grupos n˜ao s˜ao isomorfos temos

que n2 > m2, m3.

Por [11], Q(Cpn2 × C_pn3) cont´em uma componente simples isomorfa a Q(θ)

onde deg(θ) = pn2−1(p − 1). Logo Q(ρ)(C

pn2 × C_pn3) ≃ Q(ρ) ⊗ Q(C_pn2 × C_pn3)

(52)

Se n1 < n2, Q(ρ) ⊗ Q(θ) ≃ Q(θ) e Q(ρ)(Cpm2 × C_pm3) n˜ao cont´em uma

componente simples isomorfa a Q(θ), contradi¸c˜ao.

Reciprocamente, se (1) ocorre, o resultado segue. Logo assuma que (2) ocorre. Como antes, seja n2 = max{n2, n3, m2, m3}. Se n1 > n2 ent˜ao Q(ρ) ´e um

corpo de decomposi¸c˜ao para ambos os grupos, logo Q(ρ)(Cpn2 × C_pn3) ≃ Q(ρ) ⊕ . . . ⊕ Q(ρ)

| {z }

(n2+n3) vezes

≃ Q(ρ)(Cpm2 × C_pm3)

Como ´ultimo resultado, iremos enunciar o teorema de isomorfismo de ´algebra de grupos sobre os racionais, para grupos deste tipo.

Teorema 2.3.2: Seja G um grupo descrito como no teorema 2.3.1 e H um outro grupo de mesma ordem. Se QG ≃ QH ent˜ao

1. G/G′ ≃ H/H′ e

2. Z(G) ≃ Z(H) ou n1 = m1 >max{n2, n3, m2, m3} e n2+ n3 = m2 + m3

Reciprocamente, se H é também como no teorema 2.3.1 e as condi¸cões acima ocorrem, temos:

1. Se p 6= 2 ent˜ao QG ≃ QH ;

2. Se p = 2 e n1 > 1 ent˜ao QG ≃ QH ;

Observe que no caso em que p = 2 e n1 = 1, temos um contra-exemplo.

Pegue G = D8 e H = K8, grupo dos quat´ernios de ordem 8, temos que |D

′ 8| = |K′ 8| = 2, Z(D8) ≃ Z(K8) ≃ C2 e D8/D ′ 8 ≃ K8/K ′ 8 ≃ C2× C2 por´em QD8 ≇ QK8.

(53)

Cap´ıtulo 3

Isomorfismo de ´

Algebras de

Grupos sobre os Racionais em

Grupos Nilpotentes de classe 2

Neste cap´ıtulo estudaremos o problema do isomorfismo de álgebras de p-grupos de classe de nilpotência 2 sobre os racionais. O nosso principal resultado mostra que os comutadores e as ordens dos centros dos p-grupos G e H se preservam, isto é, G′ = H′ e |Z(G)| = |Z(H)|. Mostraremos ainda que as maiores componen-tes centrais de G e H se preservam. Finalmente analisaremos duas aplica¸cões do teorema principal, uma para p-grupos G e H com G′

c´ıclico, e outra para G p-grupo Frattini central.

(54)

3.1 O teorema principal 47

3.1 O teorema principal

Nesta se¸c˜ao vamos demonstrar o seguinte teorema:

Teorema 3.1.1: Sejam G e H p-grupos de classe de nilpotˆencia 2. Se QG = QH ent˜ao G′

= H′

e |Z(G)| = |Z(H)|.

Come¸caremos pela demonstra¸c˜ao de um lema que ser´a utilizado para de-monstrar a primeira parte desse teorema.

Lema 3.1.1: Sejam G e H p-grupos de classe de nilpotˆencia 2. Se QG = QH ent˜ao G′

≃ H′

.

Demonstra¸c˜ao:

Seja z1 um elemento de ordem p, primo, de G

′

, com cl(G) = 2. Temos pelo Teorema 2.1.1 que e1 = ˆB1(1 − ˆz1) ´e um idempotente central primitivo da parte

não comutativa de QG onde B1⊳ G e Z(G/B1) é c´ıclico. Agora seja K1 o núcleo

da representa¸c˜ao irredut´ıvel

ψ : H → He1

Como por hip´otese cl(H) = 2, temos que e1 = ˆK1(1 − ˆh1), onde h1 ´e um elemento

de H′

e a ordem de h1(modK1) ´e p.

De fato: “Considere a seguinte s´erie:

K1 6K1 6Z ⊂ H,

onde Z ´e definido como o subgrupo de H tal que Z/K1 = Z(H/K1). Assim temos

(55)

3.1 O teorema principal 48 e1 =Ph∈H(ε(Z, K1))h =Ph∈H( ˆK1(1 − ˆh1))h =Ph∈HKˆ1 h (1 − ˆh1)h = ˆK1(1 − ˆh1) e h1 ∈ H ′

segue do fato de e1 ser idempotente central primitivo da parte n˜ao

comutativa de QG = QH.”

Al´em disso Z(G/B1) ≃ Z(H/K1) uma vez que tanto G/B1 e H/K1 s˜ao

p-grupos de classe 2, centros c´ıclicos e QGe1 ≃ Mn1(∆1). Logo

QZ(G/B1)(1 − ˆz1) cl(G/B1)=2 = Z[Q(G/B1)(1 − ˆz1)] ≃ Z[QG ˆB1(1 − ˆz1)] ≃ Z(∆1)In1 ≃ Z[QH ˆK1(1 − ˆh1)] ≃ Z[Q(H/K1)(1 − ˆh1)] cl(H/K1)=2 = QZ(H/K1)(1 − ˆh1)

calculando a dimens˜ao temos

|Z(G/B1)|p−1_p = dimQQZ(G/B1)(1 − ˆz1) = dimQQZ(H/K1)(1 − ˆh1) =

|Z(H/K1)|p−1_p ⇒ |Z(G/B1)| = |Z(H/K1)|,

como s˜ao c´ıclicos, conclu´ımos que Z(G/B1) ≃ Z(H/K1).

Assim temos o seguinte diagrama:

1 = B1 < z1 > < z2 > ... < zn>= (G/B1) ′ .. . Z(G/B1) _≃Φ K1 = 1 < h1 > < h2 > ... (H/K1) ′ =< hm > .. . Z(H/K1)

(56)

isomorfismo ˜Φ : QZ(G/B1) → QZ(H/K1) da seguinte forma:

˜

Φ(P_g∈G/B₁αgg) =Pg∈G/B1αgΦ(g) ∈ QZ(H/K1)

Suponha sem perda de generalidade que m > n. Pela proposi¸cão 2.1.1, os idempotentes centrais primitivos da parte não comutativa de Q(G/B1) vêm de

QZ(G/B1) que por sua vez ´e isomorfo a QZ(H/K1), que origina os idempotentes

centrais primitivos da parte n˜ao comutativa de Q(H/K1) (novamente proposi¸c˜ao

2.1.1).

Assim acabamos de construir uma correspondˆencia entre os idempotentes centrais primitivos da parte n˜ao comutativa de QG ˆB1 ≃ Q(G/B1) com os

idempo-tentes centrais primitivos da parte n˜ao comutativa de QH ˆK1 ≃ Q(H/K1), uma vez

que sabemos: ˆ

B1(1 − ˆz1),B1\< z1 >(1 − ˆz2), . . .B1 < z\n−1>(1 − ˆzn)

s˜ao os idempotentes centrais primitivos da parte n˜ao comutativa de QG ˆB1,

con-seq¨uentemente temos: ˆ B1(1 − ˆz1) → 1 − bz1 ˜ Φ −→ 1 − bh1 −→ ˆK1(1 − ˆh1) \ B1 < z1 >(1 − ˆz2) → 1 − bz1(1 − bz2) Φ −→ bh1(1 − bh1) −→K1\< h1 >(1 − ˆh2) ... \ B1 < zn−1 >(1 − ˆzn) → 1 − dzn−1(1 − bzn) ˜ Φ −→ dhn−1(1 − chn) −→K1 < h\n−1 >(1 − ˆhn)

Ent˜ao cK1(1 − ˆh1),K1\< h1 >(1 − ˆh2), . . . ,K1< h\n−1 >(1 − ˆhn) s˜ao os idempotentes

(57)

Agora observe que se n m ter´ıamos queK1\< hn >(1 − ˆhn+1) seria

idem-potente central primitivo da parte n˜ao comutativa de QH, logo ˆhn(1 − ˆhn+1) seria

idempotente central primitivo da parte n˜ao comutativa de Q(H/K1), conseq¨

uente-mente ˜Φ−1_(ˆ_h

n(1 − ˆhn+1)) = (ˆzn)(1 − ˆzn+1) = B1\< zn>(1 − ˆzn+1) seria um

idem-potente da parte n˜ao comutativa de QG = QH, logoB1\< zn >(1 − ˆzn+1) ˆG

′ = 0 ⇒ \ B1 < zn >(1−ˆzn+1) ˆG ′ _ˆ B1 = 0 ⇒B1\< zn>(1−ˆzn+1) [G′B1 = 0 ⇔ [G′B1B1\< zn> = [ G′ B1B1 < z\n+1 > ⇔ G ′ B1 > B1 < zn+1 > ⇔ (G/B1) ′ >< zn+1 > ⇔ n > n + 1 absurdo, logo n = m.

Mas isto implica que

G′ B1∩G′ ≃ G′B1 B1 = ( G B1) ′ ≃ (H K1) ′ ≃ H′K1 K1 ≃ H′ K1∩H′.

Ou seja, provamos o seguinte resultado:

“∀Bi, Bi = Kerϕ onde ϕ : G → Gei com ei = ˆBi(1− ˆzi) idempotente central

primitivo da parte n˜ao comutativa de QG, temos que:

G′ Bi∩G′ ≃

H′ Ki∩H′, ∀i

onde Ki é o núcleo da representa¸cão H → Hei, sempre que cl(G) = cl(H) = 2 e

QG = QH′′

.

Agora sejam ˆB1(1 − ˆz1), ˆB2(1 − ˆz1), . . . , ˆBt(1 − ˆz1) todos os idempotentes

centrais primitivos de QG (da parte n˜ao comutativa, z1 ∈ G

′

) que decomp˜oe 1 − ˆz1

ent˜ao