Grupos sobre os Racionais em Grupos Nilpotentes de classe

Neste cap´ıtulo estudaremos o problema do isomorfismo de álgebras de p- grupos de classe de nilpotência 2 sobre os racionais. O nosso principal resultado mostra que os comutadores e as ordens dos centros dos p-grupos G e H se preservam, isto é, G′ = H′ e |Z(G)| = |Z(H)|. Mostraremos ainda que as maiores componentes centrais de G e H se preservam. Finalmente analisaremos duas aplica¸cões do teorema principal, uma para p-grupos G e H com G′

c´ıclico, e outra para G p-grupo Frattini central.

3.1 O teorema principal 47

3.1 O teorema principal

Nesta se¸c˜ao vamos demonstrar o seguinte teorema:

Teorema 3.1.1: Sejam G e H p-grupos de classe de nilpotˆencia 2. Se QG = QH ent˜ao G′

= H′

e |Z(G)| = |Z(H)|.

Come¸caremos pela demonstra¸c˜ao de um lema que ser´a utilizado para demonstrar a primeira parte desse teorema.

Lema 3.1.1: Sejam G e H p-grupos de classe de nilpotˆencia 2. Se QG = QH ent˜ao G′

≃ H′

Demonstra¸c˜ao:

Seja z1 um elemento de ordem p, primo, de G

′

, com cl(G) = 2. Temos pelo Teorema 2.1.1 que e1 = ˆB1(1 − ˆz1) ´e um idempotente central primitivo da parte

não comutativa de QG onde B1⊳ G e Z(G/B1) é c´ıclico. Agora seja K1 o núcleo

da representa¸c˜ao irredut´ıvel

ψ : H → He1

Como por hip´otese cl(H) = 2, temos que e1 = ˆK1(1 − ˆh1), onde h1 ´e um elemento

de H′

e a ordem de h1(modK1) ´e p.

De fato: “Considere a seguinte s´erie:

K1 6K1 6Z ⊂ H,

onde Z ´e definido como o subgrupo de H tal que Z/K1 = Z(H/K1). Assim temos

3.1 O teorema principal 48 e1 =Ph∈H(ε(Z, K1))h =Ph∈H( ˆK1(1 − ˆh1))h =Ph∈HKˆ1 h (1 − ˆh1)h = ˆK1(1 − ˆh1) e h1 ∈ H ′

segue do fato de e1 ser idempotente central primitivo da parte n˜ao

comutativa de QG = QH.”

Al´em disso Z(G/B1) ≃ Z(H/K1) uma vez que tanto G/B1 e H/K1 s˜ao

p-grupos de classe 2, centros c´ıclicos e QGe1 ≃ Mn1(∆1). Logo

QZ(G/B1)(1 − ˆz1) cl(G/B1)=2 = Z[Q(G/B1)(1 − ˆz1)] ≃ Z[QG ˆB1(1 − ˆz1)] ≃ Z(∆1)In1 ≃ Z[QH ˆK1(1 − ˆh1)] ≃ Z[Q(H/K1)(1 − ˆh1)] cl(H/K1)=2 = QZ(H/K1)(1 − ˆh1)

calculando a dimens˜ao temos

|Z(G/B1)|p−1_p = dimQQZ(G/B1)(1 − ˆz1) = dimQQZ(H/K1)(1 − ˆh1) =

|Z(H/K1)|p−1_p ⇒ |Z(G/B1)| = |Z(H/K1)|,

como s˜ao c´ıclicos, conclu´ımos que Z(G/B1) ≃ Z(H/K1).

Assim temos o seguinte diagrama:

1 = B1 < z1 > < z2 > ... < zn>= (G/B1) ′ .. . Z(G/B1) _≃Φ K1 = 1 < h1 > < h2 > ... (H/K1) ′ =< hm > .. . Z(H/K1)

3.1 O teorema principal 49

isomorfismo ˜Φ : QZ(G/B1) → QZ(H/K1) da seguinte forma:

Φ(P_g∈G/B₁αgg) =Pg∈G/B1αgΦ(g) ∈ QZ(H/K1)

Suponha sem perda de generalidade que m > n. Pela proposi¸cão 2.1.1, os idempotentes centrais primitivos da parte não comutativa de Q(G/B1) vêm de

QZ(G/B1) que por sua vez ´e isomorfo a QZ(H/K1), que origina os idempotentes

centrais primitivos da parte n˜ao comutativa de Q(H/K1) (novamente proposi¸c˜ao

2.1.1).

Assim acabamos de construir uma correspondˆencia entre os idempotentes centrais primitivos da parte n˜ao comutativa de QG ˆB1 ≃ Q(G/B1) com os idempo-

tentes centrais primitivos da parte n˜ao comutativa de QH ˆK1 ≃ Q(H/K1), uma vez

que sabemos: ˆ

B1(1 − ˆz1),B1\< z1 >(1 − ˆz2), . . .B1 < z\n−1>(1 − ˆzn)

s˜ao os idempotentes centrais primitivos da parte n˜ao comutativa de QG ˆB1, con-

seq¨uentemente temos: ˆ B1(1 − ˆz1) → 1 − bz1 ˜ Φ −→ 1 − bh1 −→ ˆK1(1 − ˆh1) \ B1 < z1 >(1 − ˆz2) → 1 − bz1(1 − bz2) Φ −→ bh1(1 − bh1) −→K1\< h1 >(1 − ˆh2) ... \ B1 < zn−1 >(1 − ˆzn) → 1 − dzn−1(1 − bzn) ˜ Φ −→ dhn−1(1 − chn) −→K1 < h\n−1 >(1 − ˆhn)

Ent˜ao cK1(1 − ˆh1),K1\< h1 >(1 − ˆh2), . . . ,K1< h\n−1 >(1 − ˆhn) s˜ao os idempotentes

3.1 O teorema principal 50

Agora observe que se n m ter´ıamos queK1\< hn >(1 − ˆhn+1) seria idem-

potente central primitivo da parte n˜ao comutativa de QH, logo ˆhn(1 − ˆhn+1) seria

idempotente central primitivo da parte n˜ao comutativa de Q(H/K1), conseq¨uente-

mente ˜Φ−1_(ˆ_h

n(1 − ˆhn+1)) = (ˆzn)(1 − ˆzn+1) = B1\< zn>(1 − ˆzn+1) seria um idem-

potente da parte n˜ao comutativa de QG = QH, logoB1\< zn >(1 − ˆzn+1) ˆG

′ = 0 ⇒ \ B1 < zn >(1−ˆzn+1) ˆG ′ _ˆ B1 = 0 ⇒B1\< zn>(1−ˆzn+1) [G′B1 = 0 ⇔ [G′B1B1\< zn> = [ G′ B1B1 < z\n+1 > ⇔ G ′ B1 > B1 < zn+1 > ⇔ (G/B1) ′ >< zn+1 > ⇔ n > n + 1 absurdo, logo n = m.

Mas isto implica que

G′ B1∩G′ ≃ G′B1 B1 = ( G B1) ′ ≃ (H K1) ′ ≃ H′K1 K1 ≃ H′ K1∩H′.

Ou seja, provamos o seguinte resultado:

“∀Bi, Bi = Kerϕ onde ϕ : G → Gei com ei = ˆBi(1− ˆzi) idempotente central

primitivo da parte n˜ao comutativa de QG, temos que:

G′ Bi∩G′ ≃

H′ Ki∩H′, ∀i

onde Ki é o núcleo da representa¸cão H → Hei, sempre que cl(G) = cl(H) = 2 e

QG = QH′′

Agora sejam ˆB1(1 − ˆz1), ˆB2(1 − ˆz1), . . . , ˆBt(1 − ˆz1) todos os idempotentes

centrais primitivos de QG (da parte n˜ao comutativa, z1 ∈ G

′

) que decomp˜oe 1 − ˆz1

ent˜ao

3.1 O teorema principal 51

mas como j´a vimos ˆBi(1 − ˆz1) = ˆKi(1 − ˆhi), Ki⊳ H e hi ∈ H

′

, ∀i, ent˜ao 1 − ˆz1 = ˆK1(1 − ˆh1) + ˆK2(1 − ˆh2) + . . . + ˆKt(1 − ˆht)

Gostar´ıamos de provar que as representa¸c˜oes G → G(1 − ˆz1) e H → H(1 − ˆz1) s˜ao

fiéis, pois se isto ocorrer, as representa¸cões G′ → G′(1 − ˆz) e H′ → H′(1 − ˆz) seriam fiéis. Assim ter´ıamos:

G′ ≃ G′ (1 − ˆz1) ≃ (G ′ ˆ B1(1 − ˆz1), G ′ ˆ B2(1 − ˆz1), . . . , G ′ ˆ Bt(1 − ˆz1)) ≃ (_BG′ 1∩G′, G′ B2∩G′, . . . , G′ Bt∩G′) ≃ ( H′ K1∩H′, H′ K2∩H′, . . . , H′ Kt∩H′) ≃ (H′Kˆ1(1 − ˆh1), H ′ _ˆ K2(1 − ˆh2), . . . , H ′ _ˆ Kt(1 − ˆht)) = (H′Bˆ1(1 − ˆz1), H ′ _ˆ B2(1 − ˆz1), . . . , H ′ _ˆ Bt(1 − ˆz1)) ≃ H ′ (1 − ˆz1) ≃ H ′ , chegando ao resultado desejado.

De fato: Suponha por absurdo que a representa¸cão G → G(1 − ˆz) não seja fiel, logo existe K 6= {1} núcleo da representa¸cão, conseqüentemente

K(1 − ˆz1) = (1 − ˆz1) ⇒ QG ˆK ⊇ QG(1 − ˆz1),

pela dimens˜ao das componentes temos:

1 p > 1 |K| > p−1 p ⇒ 1 > p − 1 • Se p > 3, absurdo

• Se p = 2, temos que |K| = 2 ent˜ao Q(G/K) ≃ QG ˆK = QG(1 − ˆz1) ≃

⊕k

i=1Mni(∆i), ni > 1, pois 1− ˆz1´e idempotente central da parte n˜ao comutativa

(z1 ∈ G

′

), porém Q ⊆ Q(G/K), é uma componente da álgebra de grupo Q(G/K), o que nos dá uma contradi¸cão, ou seja, G → G(1 − ˆz1) é fiel.

3.1 O teorema principal 52

De forma an´aloga obtemos que H → H(1 − ˆz1) ´e fiel, pois QH(1 − ˆz1) =

QG(1 − ˆz1) ent˜ao dimQQH(1 − ˆz1) = dimQQG(1 − ˆz1) = |G|p−1_p .

Agora demonstraremos a primeira parte do teorema 3.1.1, qual seja G′ = H′.

Do lema anterior, conclu´ımos que G′

(1 − ˆz1) ≃ H

′

(1 − ˆz1), logo existir´a

um elemento ˜h ∈ H′

, o(˜h) = p tal que ˜h(1 − ˆz1) = z1(1 − ˆz1), conseq¨uentemente

˜h ˆBi(1 − ˆz1) = z1Bˆi(1 − ˆz1), ∀i = 1, . . . , t. Mas ˆBi(1 − ˆz1) = ˆKi(1 − ˆh1) e o(hi) = p,

hi ∈ H/Ki.

Como ˜h /∈ Ki, i = 1, . . . , t, podemos substituir hi por ˜h, i = 1, . . . , t, uma

vez que ˆKihˆi = ˆKiˆ˜h, ∀i, portanto

1− ˆz1 = ˆB1(1− ˆz1)+ ˆB2(1− ˆz1)+. . .+ ˆBt(1− ˆz1) = ˆK1(1−ˆ˜h)+ ˆK2(1−ˆ˜h)+. . .+ ˆKt(1−ˆ˜h)

Agora ˆKi(1 −ˆ˜h), i = 1, . . ., t s˜ao idempotentes centrais primitivos de QG = QH

que decomp˜oe 1 − ˆ˜h, e

dimQQG(1 − ˆz1) = p−1_p = dimQQH(1 − ˆ˜h)

conseq¨uentemente 1 − ˆz1 = 1 − ˆ˜h ⇒ ˆz1 = ˆ˜h. Assim temos:

z1 = z1( ˆz1+ (1 − ˆz1)) = z1zˆ1+ z1(1 − ˆz1) = ˆz1+ z1(1 − ˆz1) =ˆ˜h + ˜h(1 − ˆ˜h) =

˜hˆ˜h + ˜h(1 − ˆ˜h) = ˜h(ˆ˜h + (1 − ˆ˜h)) = ˜h Repetindo este argumento para todo z ∈ Ω1(G

′ ) temos que Ω1(G ′ ) = Ω1(H ′ ). Usando o fato que QG = QH, Ω1(G

′

) = Ω1(H

′

) temos que QG \Ω1(G′) ≃

3.1 O teorema principal 53

G′

= H′

Em seguida demonstraremos a segunda parte do teorema principal, fazendo um estudo dos centros dos grupos G e H.

Pela primeira parte sabemos que ∀zi ∈ G

′ , o(zi) = p, ∃hi ∈ H ′ , o(hi) = p tal que 1 − ˆz1 = 1 − ˆh1, i = 1, . . . , m.

Assim temos QG(1 − ˆzi) = QH(1 − ˆhi) e da´ı segue Z(QG(1 − ˆzi)) = Z(QH(1 − ˆhi)),

i = 1, . . . , m. Conseq¨uentemente Tm

i=1Z(QG(1 − ˆzi)) =Tmi=1Z(QH(1 − ˆhi))

Vamos estudar agora a base do Q-espa¸co vetorial Z(QG(1 − ˆzi)), sabemos que ˆCg,

classe soma, constituem uma base para Z(QG), logo uma base para Z(QG(1− ˆzi)) ⊆

Z(QG), seriam todos ˆCg tais que ˆCg(1 − ˆzi) 6= 0.

Assim uma base para a interse¸c˜ao seriam ˆCg tais que ˆCg(1 − ˆzi) 6= 0,

i = 1, ..., m. Se garantirmos que Base(Tm_i=1Z(QG(1 − ˆzi))) = Z(G) teremos por si-

metria que Base(Tm_i=1Z(QH(1 − ˆhi))) = Z(H). Pela cardinalidade da base, temos

|Z(G)| = |Z(H)|.

Afirma¸c˜ao: Pela contra-positiva do Lema 2.2.1, temos que

Base(Tm_i=1Z(QG(1 − ˆzi))) = Z(G)

De fato: ˆCg(1 − ˆzi) 6= 0 ⇒ g−1Cg

Z(G) = {1} ⇒ [g, h]TZ(G) = {1}, ∀h ∈ G, mas [g, h] ⊆ Z(G), ∀h ∈ G, ⇒ h[g, h], ∀h ∈ Gi = {1} ⇒ g ∈ Z(G).

3.1 O teorema principal 54

Agora ∀g ∈ Z(G), temos que g(1 − ˆzi) 6= 0, i = 1, ..., m (uma vez que

G → G(1 − ˆzi) ´e fiel), por´em ˆCg = g, assim ˆCg(1 − ˆzi) 6= 0.

Observa¸cão 1: Utilizando basicamente a mesma idéia da segunda parte da demonstra¸cão do teorema, temos o seguinte resultado:

“Seja G p-grupo de classe de nilpotˆencia 2, se QG = QH ent˜ao |Z(G)| > |Z(H)|.” De fato:

Z(QG(H)(1 − ˆzi)) ⊇TQ(Z(H)(1 − ˆzi)), ∀zi ∈ Ω1(G

′

)

como Q-espa¸co vetorial uma vez que:

Z(QG(1 − ˆzi)) = Z(QH(1 − ˆzi)) ⊇ QZ(H)(1 − ˆzi)

Como já sabemos que a representa¸cão H → H(1 − ˆzi) é fiel, temos que Z(H) ≃

Z(H)(1 − ˆzi), conseqüentemente Z(H) é uma base para Q(Z(H)(1 − ˆzi)) então

Z(H) ´e uma base para Tm_i=1Q(Z(H)(1 − ˆzi)).

Por outro lado temos que Z(G) ´e uma base paraTm_i=1Z(QG(1− ˆzi)). Assim,

novamente pela cardinalidade da base temos |Z(G)| > |Z(H)|.

Observa¸cão 2: Uma questão que surge é se os centros poderiam ser isomorfos. Infelizmente isto não ocorre. Tal contra exemplo foi apresentado no trabalho de Leal e Polcino Milies [13], que está comentado na se¸cão 3 do cap´ıtulo 2. Para garantir o isomorfismo dos centros dos grupos temos que impôr algumas condi¸cões, por exemplo, assumir que Z(G) é c´ıclico, trabalho de Leal e Vieira [25].

3.2 A preserva¸c˜ao da maior componente central 55

3.2 A preserva¸c˜ao da maior componente central

Teorema 3.2.1: Sejam G e H p-grupos de classe 2 com QG = QH ent˜ao as ordens das maiores componentes centrais de G e H s˜ao as mesmas.

Demonstra¸c˜ao: Do teorema 3.1.2 temos G′

= H′ e da demonstra¸c˜ao do teorema 3 sabemos: Tm i=1QZ(G)(1 − ˆzi) = Tm i=1Z(QG(1 − ˆzi)) = Tm i=1Z(QH(1 − ˆhi)) = Tm i=1QZ(H)(1 − ˆhi), ∀zi ∈ Ω1(G ′ ) e ∀hi ∈ Ω1(H ′ ). Vamos estudar QZ(G)(1 − ˆzi). Considere Z(G) = Cpα1 × C_pα2 × . . . × C_pαn, α₁ >α₂. . . > α_n ent˜ao QZ(G)(1 − ˆzi) = Q(Cpα1 × C_pα2× . . . × C_pαn)(1 − ˆz_i) ≃ [Q(Cpα1 ⊗ Q(C_pα2 × . . . × C_pαn)](1 − ˆz_i) ≃ QC_pα1 ⊗ [Q(C_pα2× . . . × C_pαn)(1 − ˆz_i)].

Mas Q(ρpα1) ⊆ QC_pα1, onde ρ_pα1 ´e a pα1-´esima raiz primitiva da unidade. Como

α1 > α2. . . > αn ent˜ao Q(ρpα1) ⊗ Q(˜ρ) ≃ Q(ρ_pα1), onde Q(˜ρ) ´e uma componente

irredut´ıvel de Q(Cpα2× . . . × C_pαn)(1 − ˆz_i). Donde conclu´ımos que Q(ρ_pα1) ´e a maior

componente de QZ(G)(1 − ˆzi), ∀zi ∈ Ω1(G

′

), logo Q(ρpα1) est´a na interse¸c˜ao dos

QZ(G)(1 − ˆzi).

De forma an´aloga, temos que Q(ρpβ1) ´e a maior componente de QZ(H)(1 −

hi), ∀hi ∈ Ω1(H

′

), onde Z(H) = Cpβ1 × C_pβ2 × . . . × C_pβm, β1 >β2. . . > βm, e esta

est´a na interse¸c˜ao dos QZ(H)(1 − ˆhi).

3.3 p-Grupos com G′ c´ıclico e p-Grupos Frattini central 56

Observe que em nenhum momento afirmamos que o posto de Z(G) é igual ao posto de Z(H), inclusive isto em geral é falso, como é ressaltado no trabalho de Leal e Polcino Milies [13].

3.3 p-Grupos com G

′

c´ıclico e p-Grupos Frattini central

Primeiramente vamos considerar G′ c´ıclico e provar o teorema 3.3.1.

Teorema 3.3.1: Sejam G e H p-grupos de classe de nilpotˆencia 2 com QG = QH. Se G′

´e c´ıclico e Z(G) ≃ Cpα1× . . . × C_pαm, produto de c´ıclicos com C_pα1TG′ 6= {1}

ent˜ao Z(H) ≃ Cpβ1 × . . . × C_pβn, com C_pβ1TH ′

6= {1} e α1 = β1. De fato, se

e = ˆB(1 − ˆz) = ˆK(1 − ˆh) ´e um idempotente central primitivo de QG = QH, com o(z) = p, z ∈ G′

, o(h) = p, h ∈ H′

, ent˜ao Z(G) = Cpα1 × B, Z(H) = C_pβ1 × K,

Cpα1 ≃ C_pβ1 (c´ıclicos) e |B| = |K|.

Para demonstr´a-lo precisaremos do seguinte lema t´ecnico:

Lema 3.3.1: Seja A = A1× A2× . . . × Ar, grupo abeliano, A1 =< a1 >, . . . , Ar =<

ar > grupos c´ıclicos de ordem pαi. Se a ´e um elemento de ordem p em A, ent˜ao

∃ Ãi ≃ Ai, Ãi ⊇< a > tal que A = A1× . . . × Ai−1× Ãi× Ai+1× . . . × Ar.

Demonstra¸c˜ao: Podemos assumir que pα1 = |A

1| > |A2| > . . . > |Ar| = pαr.

Pegue a = ai1

1 ·ai22. . . airn, se ik >1, temos que o(ai_kk) = p. Seja {i1, . . . , im} ⊆

{i1, . . . , ir}, tal que ik >1, ∀k = 1, . . . , m. Assim podemos assumir:

a = ai1 1 · a i2 2 . . . aimm, 1 6 m 6 r, onde, o(a i1 1) = . . . = o(aimm) = p.

3.3 p-Grupos com G′ c´ıclico e p-Grupos Frattini central 57

• Se m = 1, a = ai1

1 ∈ A1, nada temos que demonstrar;

• Considere verdadeira a hipótese de indu¸cão para k < m, isto é, se a = ai1

1 . . . .a ik

k , k < m, então existe Ãi ≃ Ai, < a >⊆ Ãi tal que A =

Ai× Ai−1× ˜Ai × Ai+1× . . . × Ar.

• Provando para m. Podemos escrever a = ai1

1(ai

2 . . . aimm) = ai

1 .b, pela hip´otese

de indu¸cão ∃ ˜Ãj ≃ Aj, < b >∈ ˜Ãj tal que A = A1×. . . Aj−1× ˜Ãj×Aj+1×. . .×Ar

e a = ai1

1 · b, o(b) = p, b ∈ ˜˜Aj. Como estamos assumindo |A1| > |A2| . . . >

|Ar| ⇒ |A1| > |Aj| = | ˜˜Aj|. Se |A1| = pα1; o(ai11) = p ⇒ ai11 = a pα1−1 1 assim a = a pα1−1 1 · b, o(b) = p,

o(ap₁α1−1) = p. Reduzimos o problema para duas componentes C = A1× ˜˜Aj, ˜˜Aj =<

˜˜aj >, A1 =< a1 >.

a = ap₁α1−1˜˜ap_jαj −1, α1 >αj

Seja ˜aj = ap

α1−αj

1 · ˜ãj e Ãj =< ãj > então o(ãj) = pαj = o(˜ãj) e (ãj)p

αj −1

= ap1α1−1 · ˜˜ap

αj −1

= a.

Logo podemos substituir ˜˜aj por ˜aj, onde

Aj =< ãj >≃ ˜Ãj =< ˜ãj >, e A = A1× A2× . . . Aj−1× Ãj × Aj+1× . . . × Ar,

o(a) = p, a ∈ ˜Aj.

Agora estamos prontos para demonstrar o teorema 3.3.1.

Demonstra¸c˜ao: Primeiramente observe que sempre existir´a um elemento de ordem p em G′

tal que este elemento est´a em uma componente central de G, devido ao lema anterior.

3.3 p-Grupos com G′ c´ıclico e p-Grupos Frattini central 58

J´a sabemos tamb´em que H′

= G′

, ou seja, H′

é c´ıclico e pelo lema anterior existirá uma componente central de H tal que a interse¸cão com H′

´e diferente de 1. Sejam z ∈ G′ e h ∈ H′, tais elementos e sem perda de generalidade, pois G′ e H′ s˜ao c´ıclicos, podemos assumir que z = h.

Agora pelo lema 2.2.1 QZ(G)(1 − ˆz) = Z(QG(1 − ˆz)) = Z(QH(1 − ˆh)) = QZ(H)(1 − ˆh). Vamos estudar a ´algebra QZ(G)(1 − ˆz).

Assuma que Z(G) = Cpα1 × C_pα2× . . . × C_pαn e z ∈ Cpα1 ent˜ao QZ(G)(1 −

z) ≃ QCpα1(1 − ˆz) ⊗Q(C_pα2×. . .×C_pαn) mas 1 − ˆz ´e idempontente central primitivo

de QCpα1 ([11]) e como C_pα1 → C_pα1(1 − ˆz) ´e uma representa¸c˜ao fiel, temos que

QCpα1 ≃ Q(ρ_pα1), ρ_pα1 raiz pα1-´esima primitiva da unidade, logo Q(ρ_pα1) ´e a menor

componente de QZ(G)(1 − ˆz).

Simetricamente, temos que Q(ρ_pβj) ´e a menor componente de QZ(H)(1−ˆh)

onde Z(H) = Cpβ1× C_pβ2× . . . × C_pβm, e assumindo que h ∈ C_pβj, j ∈ {1, 2, . . . , m}.

Conseq¨uentemente temos Q(ρpα1) = Q(ρ

pβj) ent˜ao α1 = βj, ou seja, Cpα1 ≃ Cpβj.

Para a ´ultima parte do teorema, basta observar que para z ∈ G′

, o(z) = p, existir´a um idempotente central primitivo de QG(1 − G′) da forma ˆB(1 − ˆz) e pelo lema anterior z ∈ Cpα1, componete c´ıclica de Z(G), onde Z(G) = C_pα1× . . . × C_pαn,

mas Cpα1 ∩ B = {1}, pois z ˆB(1 − ˆz) 6= ˆB(1 − ˆz) e como Z(G)B/B 6 Z(G/B)

c´ıclico, temos que Z(G) = Cpα1× B₀, onde B₀ = Z(G)TB.

Agora seja y ∈ B, ent˜ao [y, g] ∈ G′, ∀g ∈ G′ ent˜ao y−1_g−1_{yg ∈ G}′

, por´em g−1_{yg ∈ B, pois B ⊳ G, logo y}−1_g−1_{yg ∈ B}T_G′

e BTG′

= {1} uma vez que z /∈ B, o(z) = p, ou seja, y−1_g−1_{yg = 1, ∀g ∈ G, o que implica que yg = gy, ∀g, isto ´e,}

3.3 p-Grupos com G′ c´ıclico e p-Grupos Frattini central 59

y ∈ Z(G), ent˜ao B 6 Z(G) e assim temos que Z(G) = Cpα1 × B.

Considerando tamb´em classe de H igual a 2, ter´ıamos Z(H) = Cpα1 × K,

onde ˆB(1 − ˆz) = ˆK(1 − ˆh), com |B| = |K|, |Z(G)| = |Z(H)|.

Em seguida vamos considerar o p-grupo G Frattini central, isto é, G/Z(G) abeliano elementar (página 174 [7]), e vamos considerar QG = QH, com classe de nilpotência de H igual a 2.

Vamos demonstrar o teorema 3.3.2, provando que H tamb´em ´e Frattini central.

Teorema 3.3.2: Seja G um p-grupo Frattini central, e seja H um p-grupo de classe 2 tal que QG = QH. Ent˜ao,

1. G′ = H′, |Z(G)| = |Z(H)|; e

2. H ´e um p-grupo Frattini central, com G/Z(G) ≃ H/Z(H).

Primeiramente provaremos dois lemas:

Lema 3.3.2: Seja H um grupo de classe de nilpotˆencia 2, ent˜ao ∀x, y ∈ H temos que [x, y]m_{= [x}m_{, y], ∀m ∈}_N.

Demonstra¸c˜ao: Utilizaremos o princ´ıpio de indu¸c˜ao em m.

• m = 2: da teoria b´asica de grupos temos [xy, z] = [x, z]y_{[y, z], ∀x, y, z ∈ H.}

Logo [x2_{, y] = [x, y]}x_{[x, y], como cl(H) = 2, [x, y] ∈ H}′

6 Z(H), conseq¨uentemente [x, y]x _{= [x, y]. Assim [x}2_{, y] = [x, y][x, y] = [x, y]}2_;

3.3 p-Grupos com G′ c´ıclico e p-Grupos Frattini central 60

• vamos provar para m + 1, isto ´e, [xm+1_{, y] = [x, y]}m+1_{, ∀x, y ∈ H. Como}

[xm+1_{, y] = [x}m_{, y]}x_{[x, y] e [x}m_{, y] ∈ H}′

6 Z(H) assim [xm+1_{, y] = [x}m_{, y][x, y],}

agora devido à hipótese de indu¸cão [xm_{, y] = [x, y]}m_{. Então}

[xm+1_{, y] = [x, y]}m_{[x, y] = [x, y]}m+1

Ou seja [xm_{, y] = [x, y]}m_{, ∀x, y ∈ H e m ∈} _N.

Lema 3.3.3: Se G ´e Frattini central, com G/Z(G) abeliano elementar de posto m, ent˜ao G′

´e abeliano elementar de posto menor ou igual a m(m − 1)/2.

Demonstra¸cão: Nesta demonstra¸cão utilizaremos duas propriedades básicas de comutadores:

1. [x, y] = [y, x]−1_{, ∀x, y ∈ G;}

2. [xy, z] = [x, z]y_{[y, z]. ∀x, y, z ∈ G.}

Como por hip´otese G/Z(G) ´e abeliano elementar de posto m, temos que existe elementos x1, x2, . . . , xm ∈ G tais que G =< x1, x2, . . . , xm, Z(G) > com xpi ∈ Z(G),

i = 1, . . . , m. Ent˜ao G′ =< [xa1 1 xa 2 2 . . . xamm, xb 1 1 xb 2 2 . . . xbmm] : 0 6 ai, bi 6p, i = 1, . . . , m >.

Por (1) e (2), do fato que G′

6 Z(G) (pois G′ 6 Φ(G), p´ag 174 [7]) e do lema anterior temos: [xa1 1 xa 2 2 . . . xamm, xb 1 1 xb 2 2 . . . xbmm] = [xa1 1 , xb 1 1 xb 2 2 . . . xbmm][xa 2 2 . . . xamm, xb 1 1 xb 2 2 . . . xbmm] =

3.3 p-Grupos com G′ c´ıclico e p-Grupos Frattini central 61 [x1, xb11xb 2 2 . . . xbmm]a1[x2, xb11xb 2 2 . . . xbmm]a2. . . [xm, xb11xb 2 2 . . . xbmm]am = [x1, xb11]a1[x1, x2b2]a1. . . [xm, xbmm]am = [x1, x1]a1b1[x1, x2]a1b2. . . [xm, xm−1]ambm−1[xm, xm]ambm = [x1, x2]a1b2−a2b1. . . [xm−1, xm]am−1bm−ambm−1

Conseq¨uentemente [xi, xj], 1 6 i < j 6 m formam um conjunto de geradores

para G′, ou seja, o posto de G′ ´e no m´aximo m(m − 1)/2. Para provar que G′

´e abeliano elementar basta observar pelo lema anterior que [xi, xj]p = [xpi, xj] mas xpi ∈ Z(G), isto ´e, [x

i, xj] = 1, ou seja, [xi, xj]p = 1,

1 6 i < j 6 m.

Agora estamos prontos para a demostra¸c˜ao do teorema 3.3.2:

Pelo lema 3.3.3 G′ ´e abeliano elementar. Agora o teorema 3.1.1 assegura que G′

= H′

. Ent˜ao H′

também é abeliano elementar e |Z(G)| = |Z(H)|. Vamos provar que H/Z(H) é abeliano elementar.

De fato, se y ∈ H, y /∈ Z(H), temos que 1 6= [y, H] ⊆ H′

, mas H′

abeliano elementar, logo [y, H]p _{= 1. Mas por hip´otese cl(H) = 2, ent˜ao pelo lema 3.3.2,}

1 = [y, H]p _{= [y}p_{, H], isso nos diz que y}p _{∈ Z(H), ∀y ∈ H, y /}_{∈ Z(H). Logo}

H/Z(H) ´e abeliano elementar. Como |G/Z(G)| = |G|/|Z(G)| = |H|/|Z(H)| = |H/Z(H)| temos G/Z(G) ≃ H/Z(H).

O fato de H ser Frattini central segue da defini¸c˜ao de grupo de Frattini e do fato de H/Z(H) ser abeliano elementar.

Observa¸c˜ao 1: No caso em que G/Z(G) ≃ Cp × Cp tem-se |G

′

| = p = |H′

| e portanto cl(G) = cl(H) = 2, estudado por Leal e Polcino [13], ter´ıamos como

3.4 Um exemplo de duas Q-´algebras isomorfas de ordem p7

conseq¨uencia dos nossos resultados que |Z(G)| = |Z(H)| e H/Z(H) ≃ Cp × Cp ≃

G/Z(G) sem necessidade de provar que H tem a propriedade (p), e sem necessidade, neste caso, de assumir cl(H) = 2.

Observa¸c˜ao 2: No caso em que |G| = 32 e G/Z(G) ≃ C2 × C2 × C2 existem

somente dois grupos não isomorfos que possuem as mesmas álgebras de grupos sobre os racionais [24], são eles: G grupo do tipo 32/38 e H grupo do tipo 32/39. Esta classifica¸cão usa a nota¸cão do livro “Group Table” de Thomas e Woods [23], possuindo estes as seguintes apresenta¸cões:

G =< a, b, c, d : a4 _{= b}2 _{= c}2 _{= d}2 _{= 1, ad = dab, cd = da}2_c,

comuta nos outros casos > H =< a′ , b′ , c′ : a′4 = b′4 = c′2 = 1, a′ b′ = b′ a′ , a′ c′ = c′ a′−1 , b′ c′ = c′ a′2 b′−1 > Por [24] QG = 8Q ⊕ 2M2(Q) ⊕ 2M2(Q(i)) = QH, G ′ = Z(G) = Φ(G) = {1, a2_{, b, a}2_{b} ≃ C} 2× C2 e H ′ = Z(H) = Φ(H) = {1, a′2 , b′2 , a′2 b′2 } ≃ C2× C2.

Conseqüentemente temos que |Z(G)| = |Z(H)|, H é Frattini central, G/Z(G) ≃ H/Z(H) ≃ C2 × C2 × C2 e G ′ = H′ pois a2 _{→ a}′2 e b → b′2 , o que está de acordo com o último teorema.

3.4 Um exemplo de duas Q-´algebras isomorfas de ordem p

J´a sabemos, pelo Teorema 3.2.1, que as componentes c´ıclicas centrais de maior ordem de G e H se preservam e se G′ for c´ıclico, a ordem da componente c´ıclica do centro de G que intersecta G′

3.4 Um exemplo de duas Q-´algebras isomorfas de ordem p7

de H que intersecta H′

ser˜ao as mesmas (Teorema 3.3.1).

Uma pergunta que surge ´e se podemos obter este resultado se G′

n˜ao for c´ıclico, isto ´e:

Sejam G e H grupos nilpotentes de classe 2, QG ≃ QH, Z(G) ≃ Cpα1 ×

Cpα2×. . . C_pαn eG′ ≃ C_pβ1×. . .×C_pβt. Suponha queCpαiTC_pβi 6= {1} , i = 1, ..., t,

ent˜ao Z(H) ≃ Cpα1 × C_pα2 × . . . C_pαt × Cpγt+1 × . . . C_pγm?

A resposta para essa pergunta ´e negativa, como poderemos ver por meio de alguns contra-exemplos.

Para esbo¸carmos tais contra-exemplos, vamos construir os subgrupos G1

e G2, que ser˜ao grupos Frattini centrais de expoentes p2, p-primo, sendo esta

constru¸c˜ao baseada no trabalho de Passman ([16], p´agina 656) e provaremos que QG1 ≃ QG2.

O primeiro contra-exemplo ser´a dado com grupos G1 e G2 de ordem 27,

onde G1 e G2 ter˜ao as seguintes apresenta¸c˜oes:

Apresenta¸c˜ao de G1

Sejam f1, f2, f3, f4, f5, f6, f7 geradores de G1 com as seguintes rela¸c˜oes:

f4 1 = 1, f12 = f6 ; f4 2 = 1, f22 = f7 ; f2 3 = 1 ; f4 4 = 1, f42 = f6· f7 ; [f1, fi] = 1, 1 < i ≤ 7 ;

3.4 Um exemplo de duas Q-´algebras isomorfas de ordem p7 64 [f2, fi] = 1, 2 < i ≤ 7 ; [f3, f4] = f6 ; [f3, f5] = f7 ; [f4, f5] = f6· f7 ; [f6, fi] = 1, 3 ≤ i < 6 ; [f7, fi] = 1, 3 ≤ i < 7 ; Apresenta¸c˜ao de G2

Sejam h1, h2, h3, h4, h5, h6, h7 geradores de G2 com as seguintes rela¸c˜oes:

h4 1 = 1, h21 = h6 ; h4 2 = 1, h22 = h7 ; h2 3 = 1 ; h4 4 = 1, h24 = h6· h7 ; h2 5 = 1; [h1, hi] = 1, 1 ≤ i ≤ 7 ; [h5, hi] = 1, 1 ≤ i < 4 ; [h6, hi] = 1, 1 ≤ i ≤ 5 ; [h7, hi] = 1, 1 < i < 7 ; [h2, h3] = h6 ; [h2, h4] = h6 ;

3.4 Um exemplo de duas Q-´algebras isomorfas de ordem p7

[h3, h4] = h6· h7 ;

Com estas apresenta¸c˜oes temos:

|G1| = |G2| = 27 Z(G1) = < f1 > × < f2 > ≃ C4 × C4 G′ 1 = < f6 > × < f7 > ≃ C2 × C2 e Z(G2) = < h1 > × < h5 > × < h7 > ≃ C4 ×C2× C2 G′₂ = < h6 > × < h7 > ≃ C2 × C2

Logo se mostrarmos QG1 ≃ QG2 teremos respondido `a quest˜ao.

Observe que G1/G ′ 1 ≃ C2× C2× C2× C2× C2 ≃ G2/G ′ 2, conseq¨uentemente temos Q(G1/G ′ 1) ≃ Q(G2/G ′ 2).

Tamb´em temos G1/Z(G1) ≃ C2×C2×C2 ≃ G2/Z(G2) e conseq¨uentemente

pelo teorema de Itô [10] asseguramos que o grau das representa¸cões irredut´ıveis sobre os complexos serão 1, 2 e 22_{, ou seja, as componentes irredut´ıveis da parte}

não comutativa de CG1 e CG2 só poderão ser, a menos de isomorfismo, da forma

M2(C) ou M4(C).

Agora seja Ai uma componente irredut´ıvel da parte n˜ao comutativa de QGi,

i = 1, 2, ent˜ao Ai ⊗Q C ≃ aM2(C) ⊕ bM4(C) a, b ∈ Z+, donde conclu´ımos que

Ai = M2(Q(ρ)), M4(Q(ρ)), H ou M2(H) onde ρ ´e ra´ız 2n-´esima primitiva da unidade

3.4 Um exemplo de duas Q-´algebras isomorfas de ordem p7

Como exp(G1) = exp(G2) = 22, cl(G1) = cl(G2) = 2 ent˜ao ∀Bi⊳Gi, i = 1, 2,

|Z(Gi/Bi)| = 2 ou 4, o que implica ρ ser ra´ız quadrada da unidade ou ra´ız quarta

da unidade, ou seja, Q(ρ) = Q ou Q(i). Ent˜ao Ai = M2(Q), M4(Q), H, M2(Q(i)),

M4(Q(i))) ou M2(H). Como os idempotentes centrais primitivos de QG1 e QG2 da

parte n˜ao comutativa s˜ao da forma ˆB(1 − ˆz), G′

i B, i = 1, 2, vamos fazer um

estudo separado de cada grupo para exclu´ırmos as possibilidades dos componentes irredut´ıveis.

Estudando o grupo G1

Primeira possibilidade: Assumir que f6 ∈ B./

Como f6 ∈ B, temos que ˆ/ B(1 − ˆz) = ˆB(1 − ˆf6), donde conclu´ımos que

|Z(G1/B)| = | < f1 > | = 22 ent˜ao Ai n˜ao pode ser isomorfo a M2(Q), M4(Q), H e

M2(H).

Segunda possibilidade: Assumir que f6 ∈ B.

Como f6 ∈ B ent˜ao ˆB(1 − ˆz) = ˆB(1 − ˆf7), donde conlcu´ımos que

|Z(G1/B)| = | < f2 > | = 22 e novamente eliminamos as possibilidades de Ai

ser M2(Q), M4(Q), H e M2(H).

Logo QG1B(1 − ˆˆ z) = M2(Q(i)) ou M4(Q(i)).

Ent˜ao _|B|27 2−1₂ = 22_{· 2 ou 2}4_{· 2,}

ent˜ao |B| = 23 _{ou 2}

mas |B| = 2 n˜ao pode, uma vez que Z(G1/B) tem que ser c´ıclico, por´em Z(G1) ≃

3.4 Um exemplo de duas Q-´algebras isomorfas de ordem p7

M2(Q(i)).

Estudando o grupo G2

Primeira possibilidade: Assumir que h6 ∈ B./

Como h6 ∈ B, temos que ˆ/ B(1 − ˆz) = ˆB(1 − ˆh6)), donde conclu´ımos que

|Z(G2/B)| = | < h1 > | = 22 novamente excluindo as possibilidades de Ai ser

M2(Q), M4(Q), H e M2(H).

Segunda possibilidade: Assumir que h6 ∈ B.

Como h6 ∈ B, temos que ˆB(1 − ˆz) = ˆB(1 − ˆh7), mas |Z(G2/B)| =

| < h2 > | = 22 assim Ai n˜ao pode ser M2(Q), M4(Q), H e M2(H).

De forma an´aloga ao que fizemos anteriormente temos que:

|B| = 23 _{=⇒ QG}

2B(1 − ˆˆ z) ≃ M2(Q(i)).

Conclus˜ao QG1 ≃ QG2.

Na verdade podemos construir grupos G1 e G2 que servem como contra-

3.4 Um exemplo de duas Q-´algebras isomorfas de ordem p7

Construindo G1 de ordem p7, p-primo

Sejam f1, f2, f3, f4, f5, f6, f7 geradores de G1 com as seguintes rela¸c˜oes:

f1p2 = 1, f p 1 = f6 ; f₂p2 = 1, f₂p = f7 ; f₃p = 1 ; f4p2 = 1, f p 4 = f6· f7 ; f₅p2 = 1, f₅p = f6· f7 ; f₆p = 1 ; f7p = 1 ; [f1, fi] = 1, 1 ≤ i ≤ 7 ; [f2, fi] = 1, 1 ≤ i ≤ 7 ; [f3, f4] = f6p−1 ; [f3, f5] = f7p−1 ; [f4, f5] = f6p−1· f p−1 7 ; [f6, fi] = 1, 1 ≤ i ≤ 7 ; [f7, fi] = 1, 1 ≤ i ≤ 7 ;

3.4 Um exemplo de duas Q-´algebras isomorfas de ordem p7

Construindo G2 de ordem p7, p-primo

hp₁2 = 1, hp₁ = h6 ; hp22 = 1, h p 2 = h7 ; hp₃ = 1 ; hp₄2 = 1, hp₄ = h6· h7 ; hp5 = 1; hp₆ = 1 ; hp₇ = 1 ; [h1, hi] = 1, 1 ≤ i ≤ 7 ; [h5, hi] = 1, 1 ≤ i ≤ 7 ; [h6, hi] = 1, 1 ≤ i ≤ 7 ; [h7, hi] = 1, 1 ≤ i ≤ 7 ; [h2, h3] = hp−16 ; [h2, h4] = hp−16 ; [h3, h4] = hp−16 · hp−17 ;

Com estas apresenta¸c˜oes temos: |G1| = |G2| = p7

Z(G1) = < f1 > × < f2 > ≃ Cp2 × C_p2

G′

3.4 Um exemplo de duas Q-´algebras isomorfas de ordem p7 70 e Z(G2) = < h1 > × < h5 > × < h7 > ≃ Cp2 ×C_p× C_p G′ 2 = < h6 > × < h7 > ≃ Cp × Cp Al´em disso: G1/G ′ 1 ≃ Cp× Cp× Cp× Cp× Cp ≃ G2/G ′ 2 e G1/Z(G1) ≃ Cp× Cp× Cp ≃ G2/Z(G2).

Novamente utilizando o fato de cl(G1) = cl(G2) = 2, exp(G1) = exp(G2) =

= p2_{, o Teorema de Itˆo e o argumento de produto tensorial temos que todas as}

componentes da parte n˜ao comutativa de QG1 e QG2 ser˜ao a menos de isomorfismos

da forma Mp(Q(ρp)), Mp2(Q(ρ_p)), M_p(Q(ρ_p2)), M_p2(Q(ρ_p2)) onde ρ_p´e a p-´esima raiz

primitiva da unidade e ρp2 a p2-´esima raiz primitiva da unidade.

Estudando os grupos G1 e G2 de forma an´aloga ao que fizemos para p = 2,

conclu´ımos que para todo idempotente central primitivo da parte não comutativa de QG1 e QG2, que são da forma ˆB(1 − ˆz), deverão ter as seguintes restri¸cões:

1. Bi⊳ Gi, i = 1, 2

2. G′_i Bi, i = 1, 2

3. Z(Gi/Bi) c´ıclico, i = 1, 2

3.4 Um exemplo de duas Q-´algebras isomorfas de ordem p7 71 Assim temos: QG1 ≃ Q(G1/G ′ 1) ⊕ ∆(G1, G ′ 1) ≃ Q ⊕ p 5 −1 p−1Q(ρp) ⊕ p 2_{(p + 1)M} 3(Q(ρp2)) ≃ Q(G2/G ′ 2) ⊕ ∆(G2, G ′ 2) ≃ QG2.

Logo conseguimos construir um modelo de contra-exemplo para todo primo. Observa¸c˜oes:

(1) Para conseguirmos esbo¸car esta fam´ılia de contra-exemplos, come¸camos estudando G1 e G2 para p = 2 e p = 3 e utilizando o programa de computador

GAP (www.gap-system.org) para decompôr as álgebras QG1 e QG2. Os cálculos

nos mostram que todas as componentes da parte n˜ao comutativa tanto de QG1

quanto de QG2 eram isomorfas a M2(Q(i)) (para p = 2) e M3(Q(ρ3)) (para p = 3)

o que fez suspeitar que G1 e G2 com as rela¸c˜oes definidas anteriormente seriam uma

fonte de contra-exemplos para todo p primo, o que de fato ocorreu.

(2) Na verdade, com estes contra-exemplos mostramos que o resultado n˜ao ocorre para classe de nilpotˆencias maiores que 2. Basta tomar ˜G1 = G1 × P e

G2 = G2 × P , G1 e G2 grupos definidos anteriormente e P um p-grupo de classe

k ≥ 2, pois: Z( ˜Gi) = Z(Gi) × Z(P ); ˜ Gi ′ = G′ i× P ′ ; cl( ˜Gi) = cl(P ) = k ≥ 2, i = 1, 2 e Q ˜G1 = Q(G1× P ) ≃ QG1 ⊗QQP ≃ QG2 ⊗QQP ≃ Q(G2 × P ) = Q ˜G2;

No documento Álgebras de p-grupos de classe 2 sobre os Racionais. André Luiz Martins Pereira (páginas 53-79)