Come¸caremos esta se¸c˜ao com um resultado atribu´ıdo a Coleman [1], que ir´a nos garantir que para estudar isomorfismo de ´algebras de grupos nilpotentes, basta estudar isomorfismo de ´algebras de p-grupos.
Teorema 2.2.1: Seja G = G1× G2× . . . × Gr e H = H1× H2× . . . × Hr, grupos
tais que |Gi| = |Hi| = ki e (ki, kj) = 1 se i 6= j. Ent˜ao F G ≃ F H, F corpo, se e
somente se F Gi ≃ F Hi, i = 1, 2, . . . , r.
Como todo grupo nilpotente ´e produto direto de seus subgrupos de Sylow temos com conseq¨uencia imediata:
Corol´ario: Dois grupos nilpotentes tˆem ´algebras de grupos isomorfos sobre F se e somente se seus correspondentes subgrupos de Sylow tˆem ´algebras de grupos isomorfos sobre F .
Coleman tamb´em estudou as condi¸c˜oes necess´arias e suficientes para dois p-grupos G e H terem ´algebras de grupos isomorfos sobre um corpo F qualquer.
Por um grupo satisfazendo a propriedade (p) entende-se que todas as re- presenta¸c˜oes absolutamente irredut´ıveis deste grupo tˆem grau 1 ou p. Grupos de ordem p, p2, p3, p4 satisfazem `a propriedade (p).
2.2 Caso especial: Isomorfismos de ´algebras de grupos sobre os racionais para
p-grupos de classe 2 35
Teorema 2.2.2: Sejam G e H p-grupos (p 6= 2) satisfazendo a propriedade (p). Ent˜ao F G ≃ F H se e somente se F (G/G′) ≃ F (H/H′) e os centros de F G e F H forem isomorfos sobre F .
Demonstra¸c˜ao: [1]
Observa¸c˜ao: A hip´otese de p 6= 2 ´e necess´aria para a rec´ıproca, uma vez que se p = 2 o resultado ´e falso, como contra-exemplo temos:
QD8 ≃ Q ⊕ Q ⊕ Q ⊕ Q ⊕ M2(Q) e QH ≃ Q ⊕ Q ⊕ Q ⊕ Q ⊕ H,
onde D8 ´e o grupo diedral de ordem 8, H ´e o grupo dos quat´ernios de ordem 8 e H
´e ´algebra dos quat´ernios sobre os racionais.
Agora vamos nos deter ao caso em que F = Q e QG ≃ QH, onde G p-grupo de classe de nilpotˆencia 2 com centro c´ıclico, este caso foi estudado por Vieira e Leal [25].
Come¸camos com um importante lema t´ecnico que ir´a nos mostrar a im- portˆancia de assumirmos como hip´otese a classe de G ser 2.
Lema 2.2.1: Seja G um grupo finito e g ∈ G. Se g−1C
gTZ(G) 6= {1}, ent˜ao G
cont´em um elemento z de ordem prima tal que ˆCg = ˆCgz, onde Cˆ g ´e a classe de
conjuga¸c˜ao de g e ˆCg ´e a soma de todos os elementos da classe.
Demonstra¸c˜ao: Pela hip´otese, existe um h ∈ G e um 1 6= z ∈ Z(G) tal que h−1gh = zg. Logo para qualquer inteiro positivo n temos h−nghn = zng, con-
seq¨uentemente < z > Cg ⊆ Cg ent˜ao < z > Cg = Cg. Assim ˆz ˆCg = ˆCg. Trocando
2.2 Caso especial: Isomorfismos de ´algebras de grupos sobre os racionais para
p-grupos de classe 2 36
Para a classe de G igual a 2 e g /∈ Z(G), temos sempre que {1} 6= G′
6 Z(G), logo g−1h−1gh ∈ Z(G), ou seja, g−1C
gTZ(G) 6= {1}, ∀g /∈ Z(G), ent˜ao
pelo lema anterior, para cada classe de conjuga¸c˜ao Cg de G, existir´a um elemento
zg ∈ Z(G), de ordem p, tal que ˆCg = ˆCgzˆg. Para ˆzg ser ´unico, ser´a importante que
G′
seja c´ıclico, o que segue diretamente se assumirmos Z(G) c´ıclico (este fato ser´a extremamente importante para estabelecermos as rela¸c˜oes entre os centros de G e H, o que ser´a feito na proposi¸c˜ao abaixo).
Proposi¸c˜ao 2.2.1: Seja G p-grupo de classe 2 com centro c´ıclico. Se QG = QH ent˜ao H tamb´em ´e de classe 2, Z(G) ≃ Z(H) e G′
= H′
.
Demonstra¸c˜ao: Como G ´e finito e a classifica¸c˜ao ´e feita a menos de isomorfismo, podemos assumir que QG = QH. Note que |G| = |H| e como as partes comutativas s˜ao as mesmas, Q(G/G′) = Q(H/H′), |G′| = |H′|.
Seja z ∈ Z(G), o(z) = p, como Z(G) ´e c´ıclico, temos pelo teorema 2.1.1 que e = 1 − ˆz ´e um idempotente central primitivo de QG.
Vamos provar agora que H → He ´e uma representa¸c˜ao fiel de H. Seja tr(e) o coeficiente de 1 em e, tra¸co de e, a dimens˜ao de que QGe por [16] ´e |G|tr(e) = = |G|(p − 1)/p. Se a representa¸c˜ao n˜ao for fiel, ent˜ao H → He tem um n´ucleo N 6= {1} tal que ˆN e = e. Isto implica que QHe ´e uma componente simples de QH ˆN ≃ Q(H/N), mas |H/N| = |H|/|N| = |G|/|N| 6 |G|/p 6 |G|(p − 1)/p = dimQQHe
• se p 6= 2 temos que dimQQH ˆN < dimQQHe, absurdo;
2.2 Caso especial: Isomorfismos de ´algebras de grupos sobre os racionais para
p-grupos de classe 2 37
QHe ≃ Mni(∆i) 6= QH ˆN ≃ QH/N
que ´e uma ´algebra de grupo, sendo Q uma componente simples de ´algebra QH ˆN.
Assim H tem uma representa¸c˜ao fiel e irredut´ıvel. Ent˜ao pelos lemas 2.1.1 e 2.1.2, Z(H) ´e c´ıclico.
Agora seja x ∈ Z(H), o(x) = p tal que xe = ze ent˜ao ˆxe = ˆze = ˆz(1−ˆz) = 0, conseq¨uentemente temos:
QG = QGˆz ⊕ QG(1 − ˆz) = QGˆx ⊕ QG(1 − ˆx) e QG(1 − ˆx) ⊇ QG(1 − ˆz),
mas pela dimens˜ao de QG(1 − ˆx) e QG(1 − ˆz) temos que QG(1 − ˆx) = QG(1 − ˆz) ent˜ao 1 − ˆx = 1 − ˆz ⇒ ˆx = ˆz. Temos ent˜ao xˆz = x · ˆx = ˆx = ˆz = z · ˆz, logo x = x · (ˆz + e) = xˆz + xe = zˆz + ze = z. Agora, tomando as ´algebras QG/ < z >≃ QGˆz = QH ˆx ≃ QH/ < x >, sabendo que Z(G/ < z >) ´e c´ıclico, argumentos apresentados na se¸c˜ao 1 do ca´ıtulo 2, “colamos” um elemento de G′ de ordem p2 com um elemento de H′
de mesma ordem. Utilizando indu¸c˜ao temos que G′ ⊆ H′ , mas |G′ | = |H′ |, ou seja, G′ = H′
, isto nos diz que H′
´e central em QH, ou seja, H′
6Z(H), logo cl(H) = 2. Para completar a prova vamos utilizar o lema 2.2.1 e a observa¸c˜ao feita abaixo desse lema.
Como G′
´e c´ıclico, o elemento z ∈ Z(G), o(z) = p, serve para todas as classes de conjuga¸c˜ao de G, logo ˆCg(1 − ˆz) = 0, logo o suporte de qualquer elemento
central em QG(1 − ˆz) = QH(1 − ˆz) est´a contido no centro de G(1 − ˆz) que ´e igual a Z(G)(1 − ˆz), como 1 − ˆz fornece uma representa¸c˜ao fiel de G e H temos que
2.2 Caso especial: Isomorfismos de ´algebras de grupos sobre os racionais para
p-grupos de classe 2 38
|Z(G)| = |Z(H)| e como j´a hav´ıamos conclu´ıdo que os centros s˜ao c´ıclicos temos que Z(G) ≃ Z(H).
Tanto o lema quanto a proposi¸c˜ao nos mostram quais os problemas que teremos pela frente quando retirarmos a hip´otese Z(G) c´ıclico e nada falarmos sobre G′, uma vez que 1 − ˆz n˜ao ser´a idempotente central primitivo de QG e se G′ n˜ao for c´ıclico poder´a existir g /∈ Z(G) tal que (1 − ˆz) ˆCg 6= 0, o que nos trar´a
problemas na preserva¸c˜ao dos isomorfismos dos centros. Na verdade sem a hip´otese do Z(G) c´ıclico, n˜ao temos isomorfismos entre os centros, o que ser´a demonstrado na pr´oxima se¸c˜ao.
O trabalho de Vieira e Leal [25] ´e mais abrangente, classificando os grupos H com ´algebras de grupos sobre os racionais isomorfos a QG, onde G ´e um grupo nilpotente finito de classe 2 com centros c´ıclicos.
Teorema 2.2.3: Seja G um p-grupo de classe 2, com centro c´ıclico. Se QG = QH ent˜ao H tamb´em ´e nilpotente de classe 2, G′
= H′
e os centros de G/N s˜ao isomorfos aos centros de H/N, para quaisquer subgrupos N de G′
. Reciprocamente assuma que G e H s˜ao p-grupos de classe 2 de mesma ordem com centros c´ıclicos, H′
≃ G′
e os centros de G/NG isomorfos aos centros de H/NH para quaisquer subgrupos NG
de G′ e NH seu correspondente em H
′
ent˜ao:
1. Se G n˜ao tem um grupo extra-especial como imagem homomorfa, temos QG ≃ QH;
2. Se G ´e um 2-grupo com uma imagem homomorfa de um grupo extra-especial de ordem 22n+1, sendo esta ´unica e H tamb´em tendo um extra-especial grupo
2.3 ´Algebras de Grupos sobre os racionais para alguns p-grupos metabelianos 39
como imagem homomorfa de mesma ordem. QG ≃ QH se, e somente se, as imagens extra-especiais de G e H forem isomorfas.
Observa¸c˜ao: A ida segue diretamente da proposi¸c˜ao anterior. Para a rec´ıproca ser´a necess´ario conhecer os idempotentes centrais primitivos da parte n˜ao comutativa que foram descritos na se¸c˜ao anterior. Al´em disso, ´e necess´ario saber que o ´ındice de Schur para grupos nilpotentes ´e 1 se p, primo ´ımpar, e 1 ou 2 se p = 2 (veja [16]). Este ´e o motivo principal para estudar estes casos em separado. Al´em disso precisaremos conhecer a caracterizar˜ao dos grupos extra-especiais que est´a feito em [7], onde por G p-grupo extra-especial, entende-se que G ´e n˜ao abeliano e G′
= Z(G) = Φ(G), ordem p, Φ(G) denota o subgrupo de Frattini de G (interse¸c˜ao de todos os seus subgrupos maximais). [19, 7]