Defini¸c˜ao: Um grupo G ´e metabeliano se este possui um subgrupo K normal e abeliano tal que G/K seja abeliano.
Segue direto das defini¸c˜oes de grupos metabelianos e nilpotentes que todos os grupos nilpotentes de classe 2 s˜ao metabelianos uma vez que G′
´e um subgrupo normal abeliano e G/G′ ´e abeliano.
O objetivo desta se¸c˜ao ´e mostrar que sem a hip´otese de Z(G) c´ıclico n˜ao temos necessariamente o isomorfismo dos centros de G e H, quando QG ≃ QH
2.3 ´Algebras de Grupos sobre os racionais para alguns p-grupos metabelianos 40
e cl(G) = 2, at´e mesmo a preserva¸c˜ao do posto dos centros n˜ao necessariamente ocorre.
Este estudo foi feito por Leal e Polcino Milies [13], que estudaram a classe de todos os grupos finitos tais que G/Z(G) ≃ Cp × Cp, p-primo, ou seja, grupos
metabelianos que possuem classe de nilpotˆencia 2, al´em disso eles possuem a menor parte n˜ao comutativa poss´ıvel, uma vez que se G/Z(G) ≃ Cp, implicaria que G =
Z(G). Todos estes grupos satisfazem a propriedade (p), isto ´e, o grau de todas as representa¸c˜oes absolutamente irredut´ıveis ´e 1 ou p.
A primeira pergunta ´e como seria a descri¸c˜ao deste grupo em termos de seus fatores. Para isto precisamos primeiramente calcular o comutador
Lema 2.3.1: Seja G um grupo tal que G/Z(G) ≃ Cp× Cp. Ent˜ao G
′
´e c´ıclico de ordem p.
Demonstra¸c˜ao: Sejam x, y ∈ G ent˜ao
1. [x, y] = [y, x]−1
2. [xy, z] = [x, z]y[y, z] e [x, yz] = [x, z][x, y]z
Como G/Z(G) ´e abeliano, G′
6Z(G) logo temos
3. [xy, z] = [x, z][y, z] e [x, yz] = [x, z][x, y]
Al´em disso, G/Z(G) ≃ Cp × Cp, logo existem elementos x, y ∈ G tais que G =
hx, y, Z(G)i , com xp, yp ∈ Z(G) ent˜ao
G′
2.3 ´Algebras de Grupos sobre os racionais para alguns p-grupos metabelianos 41
Por (1) e (3) temos
[xnym, xrys] = [x, y]ns−mr
Logo G′
´e c´ıclico e gerado por [x, y]. Como tanto xp e yp ∈ Z(G) temos que
1 = [x, yp] = [x, y]p
Assim conclu´ımos que |G′
| = p.
Teorema 2.3.1: Seja G um grupo. Ent˜ao G/Z(G) ≃ Cp × Cp se e somente se
G = D × A onde A ´e um grupo abeliano e D ´e um p-grupo indecompon´ıvel tal que D =< x, y, Z(D) > onde xp, yp ∈ Z(D) e Z(D) = C
pm1× Cpm2 × Cpm3 com m1 >1
e m2, m3 >0.
Demonstra¸c˜ao: [13]
Como conseq¨uˆencia imediata temos:
Corol´ario 2.3.1: Seja G um grupo indecompon´ıvel tal que G/Z(G) ≃ Cp × Cp.
Ent˜ao G ´e um p-grupo e Z(G) tem posto no m´aximo 3.
O pr´oximo resultado ir´a garantir que grupos desta forma tˆem a propriedade (p).
Lema 2.3.2: Seja G um grupo. Ent˜ao G/Z(G) ≃ Cp× Cp se e somente se |G
′
| = p e toda representa¸c˜ao complexa irredut´ıvel de G tem grau igual a 1 ou p.
Demonstra¸c˜ao: Assuma que G/Z(G) ≃ Cp× Cp. Neste caso |Z(G)| = |G|/p2.
Como |G′
| = p, toda classe de conjuga¸c˜ao tem ordem 1 ou p, logo o n´umero de classes de conjuga¸c˜ao em G ´e
2.3 ´Algebras de Grupos sobre os racionais para alguns p-grupos metabelianos 42 |Z(G)| + |G|−|Z(G)|p = |G|p2 + |G|+|G|/p2 p = (p2+p−1)|G| p3 Agora CG ≃ CG/G′ ⊕ ∆(G, G′ ). Como |G/G′ | = |G|/p, temos que CG/G′ ´e isomorfo a |G|/p c´opias diretas de C. Conseq¨uentemente o n´umero de componentes simples de ∆(G, G′ ) ´e p2+p−1 p3 |G| − |G| p = p−1 p3 |G|
Vamos calcular a dimens˜ao de ∆(G, G′) de duas maneiras diferentes
[∆(G, G′
) :C] = |G| − [CG/G′
:C] = p−1p |G|
Por outro lado, se G ´e indecompon´ıvel e p-grupo, e cada componente irredut´ıvel de ∆(G, G′
) tem dimens˜ao no m´ınimo igual a p2. Se G ≃ D × A, CG ≃ CA ⊗ CD,
A abeliano, temos novamente que cada componente de ∆(G, G′
) tem dimens˜ao no m´ınimo igual a p2, pois C ⊗ M
ni(C) ≃ Mni(C). Mas p−1 p |G|p 2 = p−1 p |G| que ´e a dimens˜ao de ∆(G, G′). Logo C(G) ≃ C ⊕ . . . ⊕ C| {z } |G|/p vezes ⊕ Mp(C) ⊕ . . . ⊕ Mp(C) | {z } (p−1)/p3|G| vezes
ou seja, todas as representa¸c˜oes complexas irredut´ıveis de G tˆem grau 1 ou p. Reciprocamente, assuma que todas as representa¸c˜oes irredut´ıveis de G sobre C tenham grau 1 ou p. Como CG ≃ CG/G′
⊕ ∆(G, G′), temos
[Z(CG) : C] = |G|/p + |G|−|G|/pp2 =
p2+p−1
p3 |G|.
Mas [Z(CG) : C] ´e o n´umero de classes de conjuga¸c˜oes de G, que n´os j´a calculamos, ent˜ao
2.3 ´Algebras de Grupos sobre os racionais para alguns p-grupos metabelianos 43
p2+p−1
p3 |G| = |Z(G)| +
|G|−|Z(G)| p
⇒ |G/Z(G)| = p2. Como G por hip´otese n˜ao ´e abeliano (tem representa¸c˜oes
irredut´ıveis de grau p) ent˜ao G/Z(G) ≃ Cp×Cp
Agora pode ser feito o estudo quando QG ≃ QH, G grupo descrito acima, para facilitar assuma que G ´e indecompon´ıvel, o caso em que G ≃ A × D s´o ser´a necess´ario tensorizar sobre Q o que n˜ao mudar´a os resultados encontrados.
Como QG ≃ QH e |G′
| = p ent˜ao segue de imediato que |H′
| = p e como as partes comutativas s˜ao as mesmas, temos que QG(1 − ˆG′
) = QH(1 − ˆH′ ) ent˜ao ˆ G′ = ˆH′ .
Outro fator importante a observar ´e que QG ≃ QH implica que CG ≃ CNQQG ≃
N
QQH ≃CH, conseq¨uentemente todas as representa¸c˜oes complexas
irredut´ıveis de H tˆem grau 1 ou p, pelo lema anterior temos que H/Z(H) ≃ Cp×Cp
ent˜ao pelo teorema 2.3.1 Z(H) ≃ Cpm1 × Cpm2 × Cpm3, m1 >1, m2, m3 >0.
Agora estamos prontos para fazer o estudo dos centros de G e H.
Lema 2.3.3: Seja G grupo descrito acima e QG ≃ QH ent˜ao n1 = m1 onde Z(G) =
Cpn1 × Cpn2 × Cpn3 e Z(H) = Cpm1 × Cpm2 × Cpm3, n1, m1 >1 e n2, m2, n3, m3 >0.
Demonstra¸c˜ao: Como |Z(G)| = |G|/p2 = |H|/p2 = |Z(H)| segue n
1+ n2+ n3 = m1+ m2 + m3. Agora ˆG′ = ˆH′ e G′ e H′
s˜a c´ıclicos de ordem p. Assim pelo lema 2.2.1 e pela observa¸c˜ao feita no lema 2.2.1 temos:
Z(QG(1 − ˆG′
)) = QZ(G)(1 − ˆG′
2.3 ´Algebras de Grupos sobre os racionais para alguns p-grupos metabelianos 44
Q(Cpn1)(Cpn2 × Cpn3)(1 − ˆG′)
e G′
6 Cpn1. Logo por [11] segue que 1 − ˆG′ ´e idempotente central primitivo
de QCpn1 e conseq¨uentemente QCpn1(1 − ˆG′) ≃ Q(ρ1) sendo ρ1 raiz primitiva da
unidade de grau pn1−1(p − 1). Portanto QZ(G)(1 − ˆG′
) = Q(ρ1)(Cpn2 × Cpn3). De
forma similar obtemos que Z(QH(1 − ˆH′
)) = QZ(H)(1 − ˆH′
) ≃ Q(ρ2)(Cpm2 × Cpm3),
onde ρ2 raiz primitiva da unidade de grau pm1−1(p − 1).
Como Z(QG(1 − ˆG′
)) = Z(QH(1 − ˆH′
)) temos que Q(ρ1)(Cpn2 × Cpn3) ≃
Q(ρ2)(Cpm2× Cpm3). Al´em disso Q(ρ1) e Q(ρ2) s˜ao as menores componentes destas
´algebras, logo n1 = m1.
Lema 2.3.4: Seja ρ uma raiz primitiva da unidade de ordem pn1 ent˜ao Q(ρ)(C
pn2×
Cpn3) ≃ Q(ρ)(Cpm2 × Cpm3) se e somente se
1. Cpn2 × Cpn3 ≃ Cpm2 × Cpm3; ou
2. n1 > max{n2, n3, m2, m3} e n2+ n3 = m2+ m3
Demonstra¸c˜ao: Assumindo primeiramente que Q(ρ)(Cpn2× Cpn3) ≃ Q(ρ)(Cpm2 ×
Cpm3) e que Cpn2 × Cpn3 ≇ Cpm2 × Cpm3. Sem perda de generalidade, podemos
assumir que n2 = max{n2, n3, m2, m3}. Como os grupos n˜ao s˜ao isomorfos temos
que n2 > m2, m3.
Por [11], Q(Cpn2 × Cpn3) cont´em uma componente simples isomorfa a Q(θ)
onde deg(θ) = pn2−1(p − 1). Logo Q(ρ)(C
pn2 × Cpn3) ≃ Q(ρ) ⊗ Q(Cpn2 × Cpn3)
2.3 ´Algebras de Grupos sobre os racionais para alguns p-grupos metabelianos 45
Se n1 < n2, Q(ρ) ⊗ Q(θ) ≃ Q(θ) e Q(ρ)(Cpm2 × Cpm3) n˜ao cont´em uma
componente simples isomorfa a Q(θ), contradi¸c˜ao.
Reciprocamente, se (1) ocorre, o resultado segue. Logo assuma que (2) ocorre. Como antes, seja n2 = max{n2, n3, m2, m3}. Se n1 > n2 ent˜ao Q(ρ) ´e um
corpo de decomposi¸c˜ao para ambos os grupos, logo Q(ρ)(Cpn2 × Cpn3) ≃ Q(ρ) ⊕ . . . ⊕ Q(ρ)
| {z }
(n2+n3) vezes
≃ Q(ρ)(Cpm2 × Cpm3)
Como ´ultimo resultado, iremos enunciar o teorema de isomorfismo de ´algebra de grupos sobre os racionais, para grupos deste tipo.
Teorema 2.3.2: Seja G um grupo descrito como no teorema 2.3.1 e H um outro grupo de mesma ordem. Se QG ≃ QH ent˜ao
1. G/G′ ≃ H/H′ e
2. Z(G) ≃ Z(H) ou n1 = m1 >max{n2, n3, m2, m3} e n2+ n3 = m2 + m3
Reciprocamente, se H ´e tamb´em como no teorema 2.3.1 e as condi¸c˜oes acima ocorrem, temos:
1. Se p 6= 2 ent˜ao QG ≃ QH ;
2. Se p = 2 e n1 > 1 ent˜ao QG ≃ QH ;
Demonstra¸c˜ao: [13]
Observe que no caso em que p = 2 e n1 = 1, temos um contra-exemplo.
Pegue G = D8 e H = K8, grupo dos quat´ernios de ordem 8, temos que |D
′ 8| = |K′ 8| = 2, Z(D8) ≃ Z(K8) ≃ C2 e D8/D ′ 8 ≃ K8/K ′ 8 ≃ C2× C2 por´em QD8 ≇ QK8.