Fisica experimental 8 Atividade recente no site Prof. Adhimar

Professor: Adhimar

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10 de mar¸co de 2017

1 M´etodo dos m´ınimos quadrados

2 Coeficiente de determina¸c˜ao r2

M´etodo dos m´ınimos quadrados

Suponha que foram realizadas v´arias medidas das grandezas x e y,

obtendo-se um conjunto de pontos: x1y1,x2y2, ...xnyn, sendoy uma

vari´avel relacionada a x pela equa¸c˜ao de uma reta

y=ax+b (1)

M´etodo dos m´ınimos quadrados

M´etodo dos m´ınimos quadrados

A estimativa das constantes ae b s˜ao aquelas que tornam m´ınima a

express˜ao:

n X

i=1 ǫ2_i =

n X

i=1

(yi−(axi +b))2 (2)

que ´e a diferen¸ca entre o valor observado yi e o valor ajustadoaxi +b.

M´etodo dos m´ınimos quadrados

M´etodo dos m´ınimos quadrados

Diferenciando-se a equa¸c˜ao 2 com rela¸c˜aoa e b e igualando a zero

(condi¸c˜ao m´ınima).

∂P ǫ2_i ∂a =

n X

i=1

∂[yi −(axi+b)]2 ∂a =−2

n X

i=1

[xiyi−axi2−bxi] = 0 (3)

∂P ǫ2_i ∂b =

n X

i=1

∂[yi−(axi +b)]2 ∂b =−2

n X

i=1

M´etodo dos m´ınimos quadrados

Das equa¸c˜oes anteriores, temos

n X

i=1

xiyi =b n X

i=1

xi +a n X

i=1

x_i2 (5)

n X

i=1

yi =b n X

i=1

xi +a n X

i=1

xi (6)

M´etodo dos m´ınimos quadrados

M´etodo dos m´ınimos quadrados

Da resolu¸c˜ao simultˆanea das equa¸c˜oes, temos

a=

Pn

i=1xiPn_i=1yi −nPn_i=1(xiyi)

(Pn_i=1xi)2−nPn_i=1x_i2

(7)

b=

Pn

i=1(xiyi)Pni=1xi −Pni=1xi2 Pn

i=1yi

(Pn_i=1xi)2−nPni=1xi2

Coeficiente de determina¸c˜ao r2

Define-se ainda um coeficiente de determina¸c˜ao r2 que assume valores

entre 0 e 1. Quanto mais pr´oximo da unidade, tanto melhor o ajuste.

r2 =

Pn

i=1xiyi −

Pn i=1xi

Pn i=1 yni

2

h Pn

i=1xi2−

(Pni=1xi)2

n i h

Pn i=1yi2−

(Pni=1yi)2

n

i (9)

Exemplos

Exemplo 1

x 10 20 30 40 50 60 70 80

Exemplo 2

x -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

y 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29